जादूगर से पूछो #223

एक ऐसे खेल सट्टेबाज के रूप में, जो अंडरडॉग्स पर दांव लगाना पसंद करता है, और जो लाइनों के लिए इधर-उधर खरीदारी करना पसंद करता है, मैं हर एक अतिरिक्त आधा अंक पाने की कीमत जानता हूँ। आपके सामान्य NFL या NBA खेल में, आपके लिए प्रत्येक आधा अंक कितना मूल्यवान है? मुझे पता है कि फेयर लाइन पर -110 पर दांव लगाने वाले जुआरी को ब्रेक-ईवन के लिए 52.4% तक पहुँचना होगा। मुझे पता है कि लाइनें बाज़ार द्वारा तय की जाती हैं, लेकिन आप क्या कहेंगे कि प्रत्येक आधे अंक का वास्तविक मूल्य क्या है? यदि आप प्रत्येक खेल में फेयर लाइन पर आधा अंक अतिरिक्त प्राप्त कर सकें, तो क्या इससे आपका ब्रेक-ईवन अंक वास्तव में 50% हो जाएगा? क्या इसकी गणना करने का कोई तरीका है? धन्यवाद।

Chris से Chicago

जैसा कि मैंने NBA में अपने पेज पर दिखाया है, आधा पॉइंट खरीदने पर जीत की संभावना 51.01%, हार की संभावना 47.01% और पुश की संभावना 1.98% होती है, बशर्ते कि सट्टेबाज 0 या -1 के स्प्रेड पर आधा पॉइंट कभी न खरीदे, जो उसे नहीं करना चाहिए। अगर आपको अतिरिक्त आधा पॉइंट के लिए केवल 110 लगाना होता, तो अपेक्षित रिटर्न (0.5101 - 1.1×0.4701)/1.1 = -0.64% होता। इसलिए, एक मुफ़्त आधा पॉइंट हाउस एज को पार करने के लिए पर्याप्त नहीं होगा।

ऐसा नहीं है कि आपने पूछा, लेकिन अगर आप 120 लगाते हैं, तो आप ज़्यादातर स्पोर्ट्स बुक पर आधा पॉइंट खरीद सकते हैं। अगर आप किसी भी तरह से स्प्रेड के ख़िलाफ़ किसी खेल पर दांव लगाने को तैयार हैं, तो क्या अतिरिक्त आधा पॉइंट एक अच्छा मूल्य है? 110 लगाने पर, किसी रैंडम पिकर के लिए हाउस एज 4.45% है, जिसमें टाई भी शामिल है। 120 लगाने पर, आधे पॉइंट के साथ हाउस एज 4.50% है। इसलिए, आधा पॉइंट खरीदना थोड़ा भी उचित नहीं है।

फ़ुटबॉल में आधा पॉइंट खरीदने का मूल्य काफ़ी हद तक पॉइंट स्प्रेड पर निर्भर करता है, क्योंकि कुछ जीत के अंतर दूसरों की तुलना में ज़्यादा संभावित होते हैं। NFL में आधा पॉइंट खरीदना सिर्फ़ 3 पॉइंट स्प्रेड पर ही फ़ायदेमंद होता है। दुर्भाग्य से, स्पोर्ट्स बुक्स भी यह जानते हैं, और ज़्यादातर समय आपको 3 पॉइंट स्प्रेड पर ऐसा करने की इजाज़त नहीं देते।

एक ब्लैकजैक खिलाड़ी होने के नाते, मैं मानता हूँ कि सट्टेबाजी की प्रणालियाँ लंबे समय तक काम नहीं करतीं। हालाँकि, बहुत सारा ब्लैकजैक खेलने के बाद, स्ट्रीक (अच्छे और बुरे) तो आते ही रहते हैं। तो, मैं सोच रहा हूँ कि बिना पत्तों की गिनती के, क्या 6 या 8 डेक वाले शू डेक के बचे हुए पत्तों की तुलना में साधारण जीत बनाम हार का हिसाब लगाना सार्थक होगा? दूसरे शब्दों में, अगर आपको पता हो कि जीत-हार का अनुपात गड़बड़ है, तो क्या आप शू के बचे हुए एक-तिहाई हिस्से पर थोड़ा प्रतिशत लाभ प्राप्त कर पाएँगे?

Alex से Greenwich, CT

मैं खुद भी कई सालों से यही सोच रहा हूँ। 2004 में किसी ने मेरी बेटिंग सिस्टम चुनौती स्वीकार कर ली थी और दावा किया था कि वह बिना गिनती के ब्लैकजैक जीत सकता है। डैनियल रेनसॉन्ग चुनौती पर मेरे पेज पर इसकी पूरी जानकारी है। इसे पोस्ट करने के बाद, मुझे एक ब्लैकजैक विशेषज्ञ, जिसका नाम "कैकारुलो" है, का संदेश मिला। उसने मुझे रेनसॉन्ग चुनौती में बताई गई उन्हीं शर्तों और ब्लैकजैक नियमों के तहत चुनौती दी थी।

ब्लैकजैक के बारे में उनकी गहरी जानकारी को देखते हुए, मुझे लगा कि शायद वह सही होंगे, इसलिए मैंने चुनौती ठुकरा दी। मैंने फिर भी पूछा कि वह अपनी रणनीति कैसे अपनाते, लेकिन उन्होंने मुझे कुछ नहीं बताया। मुझे लगता है कि वह ज़्यादातर समय न्यूनतम दांव लगाते, सिवाय इसके कि अगर शू में देर हो चुकी हो और पिछली बार के फेरबदल के बाद से हार और जीत का अनुपात बहुत ज़्यादा हो, तो वह अधिकतम दांव लगाते। इसकी वजह यह है कि हारना छोटे पत्तों के खेले जाने से सकारात्मक रूप से जुड़ा है, और जीतना बड़े पत्तों के खेले जाने से। दूसरे शब्दों में, हारने का एक फ़ायदा यह है कि इससे गिनती बेहतर हो जाती है। हालाँकि, यह एक कमज़ोर सहसंबंध है। मेरी चुनौती में खिलाड़ी को 1 से 1,000 तक की दांव सीमा दी गई थी, जो शायद हाउस एज को पार करने के लिए काफ़ी है, लेकिन ऐसा असली कैसिनो ढूँढ़ना मुश्किल होगा जहाँ दांव का आकार 1,000 गुना बढ़ जाए।

आपके प्रश्न का संक्षिप्त उत्तर है, नहीं, जीत और हार पर नज़र रखने से इतनी मदद नहीं मिलेगी कि ऐसा करने की परेशानी उठानी पड़े।

मैंने पढ़ा है कि लगातार दो रातों में एक ही तीन अंकों वाली संख्या निकलने की संभावना दस लाख में एक है। लेकिन चूँकि निकाली गई वास्तविक संख्या का कोई महत्व नहीं है, इसलिए संभावना सचमुच हज़ार में एक ही है, है ना?

Jon से Philadelphia

आप सही कह रहे हैं। लगातार दो रातों में एक ही क्रम में संख्याएँ निकलने की प्रायिकता 1000 में 1 है। लेखक जिस प्रश्न का उत्तर दे रहा था, वह यह है कि 1-9-6 के लगातार दो बार निकलने की प्रायिकता क्या है, जो वास्तव में दस लाख में एक है। हालाँकि, जैसा कि आपने देखा, प्रासंगिक प्रश्न यह है कि किसी भी क्रम के दोहराए जाने की क्या संभावना है। इस प्रश्न का उत्तर है (1/10) ³ = 1000 में 1।

मेरे दोस्त ने मुझसे $20.00 की शर्त लगाने की पेशकश की और मुझे 3 में से 1 का ऑड्स दिया कि अगर मैं एक सिक्का 100 बार उछालूँ, तो ठीक 50 बार चित और 50 बार पट आएगा। अगर ऐसा हुआ, तो मैं $60.00 जीत जाऊँगा और अगर ऐसा नहीं हुआ, तो मुझे उस पर $20.00 देने होंगे। क्या मुझे शर्त लगानी चाहिए थी? इसके अलावा, अगर 50/50 सबसे संभावित परिणाम नहीं है, तो क्या कोई और परिणाम (जैसे 51/49) है जिसकी संभावना अधिक है?

Joe से Colorado

प्रत्येक के ठीक 50 आने की संभावना (100,50)*(1/2) ¹⁰⁰ = 7.96% है । उचित ऑड्स 11.56 से 1 होंगे। इसलिए, 3 से 1 पर, यह एक बहुत ही खराब दांव है, जिसमें हाउस एज 68.2% है। यह आपके लिए एक अच्छा दोस्त है। 50/50 चित और पट के बीच सबसे अधिक संभावित सटीक विभाजन है। एक दिलचस्प दांव यह है कि चित/पटल की संख्या 47 और 53 के बीच आएगी या नहीं। इस सीमा के अंदर आने की संभावना 51.59% है। अगर आपको कोई ऐसा व्यक्ति मिल जाए जो यह दांव लगा सके कि कुल योग उस सीमा के बाहर आएगा, तो सम धन पर आपको 3.18% का लाभ होगा।

निम्नलिखित तालिका 30 से 70 चित/पूंछ की संभावना दर्शाती है।

100 फ़्लिप में कुल चित/पूंछ की संभावना

चित्त पट	संभावना
30, 70	0.000023
31, 69	0.000052
32, 68	0.000113
33, 67	0.000232
34, 66	0.000458
35, 65	0.000864
36, 64	0.001560
37, 63	0.002698
38, 62	0.004473
39, 61	0.007111
40, 60	0.010844
41, 59	0.015869
42, 58	0.022292
43, 57	0.030069
44, 56	0.038953
45, 55	0.048474
46, 54	0.057958
47, 53	0.066590
48, 52	0.073527
49, 51	0.078029
50	0.079589

n परीक्षणों में से w जीत की संभावना के लिए सामान्य सूत्र, जहां प्रत्येक जीत की संभावना p है, संयोजन (n, w) × p ^w × (1-p) ^(nw) = [n!/(w! × (nw)!] × p ^w × (1-p) ^{(nw) है} ।