रूले - अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

आपके पास $140 जीतने की 2/38 संभावना, $5 जीतने की 24/38 संभावना और $40 हारने की 12/38 संभावना होगी। कुल अपेक्षित रिटर्न [(2/38)*140 + (24/38)*5 + (12/38)*-40]/40 = -5.26% है। डबल-ज़ीरो रूलेट में हर दांव पर समान हाउस एज (0-00-1-2-3 संयोजन को छोड़कर, जो 7.89% है)।

आप सही कह रहे हैं, जीतने की संभावना 24/38, यानी लगभग 63% है। हालाँकि, आपको केवल $100 जीतने के लिए $200 का जोखिम उठाना होगा। अगर आप अपनी जीत की संभावना और बढ़ाना चाहते हैं, तो किसी भी 35 नंबरों पर दांव लगाएँ। जीतने की संभावना 92% होगी।

जब तक आप 0-00-1-2-3 के संयोजन से दूर रहते हैं, तब तक किसी भी दांव के संयोजन पर हाउस एज हमेशा ठीक 1/19, या 5.26% होता है। जीतने की संभावना बढ़ाने के कई तरीके हैं, लेकिन इसकी कीमत यह होगी कि आप अपने कुल दांव के मुकाबले कम जीतेंगे।

किसी भी संख्या के 4 में से तीन बार आने की प्रायिकता 38*4*(1/38) ³ *(37/38) = 1/5932 है। हालाँकि, अगर आप काफी देर तक खेलते हैं, तो आप इस तरह की असामान्य घटनाओं को देखे बिना नहीं रह सकते। यह संदेह के स्तर तक नहीं पहुँचता। असली कैसिनो में धोखाधड़ी होती है। आमतौर पर कोई धोखेबाज डीलर ही कैसिनो सुरक्षाकर्मियों द्वारा पकड़ा जाता है। ऑनलाइन कैसिनो के खिलाफ धोखाधड़ी के कुछ गंभीर मामले दर्ज किए गए हैं, लेकिन जहाँ तक मुझे पता है, किसी भी सरकारी प्राधिकरण ने कभी किसी को दोषी नहीं ठहराया है।

जुए के बारे में मेरी दस आज्ञाएँ देखिए। छठी आज्ञा है, "अपने दांव कभी भी हेज न करें।" आपके रूलेट प्रश्न के अनुसार, एक-एक करके दांव लगाने पर सभी दस दांव हारने की संभावना (37/38) ¹⁰ = 76.59% है। अलग-अलग संख्याओं पर एक साथ दांव लगाने पर सभी दस दांव हारने की संभावना (28/38) = 73.68% है। हेजिंग करके, या एक साथ दस संख्याओं पर दांव लगाकर, आप कुल नुकसान की संभावना कम करते हैं, लेकिन अपनी अधिकतम जीत को $26 तक सीमित रखते हैं। एक-एक करके दांव लगाने वाला खिलाड़ी $350 तक जीत सकता है। इन दोनों विधियों का कुल अपेक्षित प्रतिफल 94.74% है।

$15 जीतने के 30 तरीके हैं, $135 हारने के 6 तरीके हैं, और $45 जीतने के 2 तरीके हैं (न कि $40)। इस दांव संयोजन का अपेक्षित प्रतिफल ((30/38)*15 + (6/38)*-135 + (2/38)*(45))/135 = -.0526, या 5.26% है, जो किसी भी एक दांव या दांवों के संयोजन पर हाउस एज है, बशर्ते कि खतरनाक 0-00-1-2-3 संयोजन से बचा जाए। आपके अवलोकन में, आपने संभवतः अपेक्षा से कम 19-24 बार ऐसा होते देखा होगा, जिससे यह भ्रम पैदा होता है कि यह तरीका जीत रहा है।

आप बस जुआरी के भ्रम को दोहरा रहे हैं। अगर गेंद लगातार 100 बार सम संख्या में आती है, तो अगले चक्कर के सम होने की संभावना हर चक्कर के बराबर ही रहेगी, दोहरे शून्य वाले पहिये पर 47.37%। इसलिए बिना दांव लगाए घूमने से कोई फायदा नहीं है। गेंद की कोई याददाश्त नहीं होती।

मैंने इन दोनों तकनीकों के इस्तेमाल के बारे में सुना है। मुझे पहियों को घड़ी की तरह चलाने वाले उपकरणों के बारे में ज़्यादा जानकारी नहीं है, सिवाय इसके कि ये मौजूद हैं और समय-समय पर इस्तेमाल किए जाते हैं। यहाँ नेवादा में ऐसा उपकरण बेहद गैरकानूनी होगा। पक्षपाती पहियों का फ़ायदा उठाने के बारे में मैंने काफ़ी सुना है। ऐसा कई बार किया गया है। मुझे लगता है कि पुराने पहियों वाले कैसीनो सबसे असुरक्षित लक्ष्य हैं। मैं सालों से कह रहा हूँ कि अर्जेंटीना इसके लिए एक उपयुक्त लक्ष्य है।

यदि अधिकतम हानि 255 यूनिट है, तो आप 8 बार तक दांव लगा सकते हैं। लगातार आठ बार हारने की संभावना (19/37) ⁸ = .004835 है। इसलिए, आपके पास एक यूनिट जीतने की 99.52% संभावना है, और 255 यूनिट हारने की 0.48% संभावना है।

आप संख्याओं के हर 37 जोड़ों में एक बार दोहराव की उम्मीद कर सकते हैं। तो, 36 संख्याओं के साथ हमारे पास संख्याओं के 35 जोड़े हैं। इसलिए, दोहराव की अपेक्षित संख्या 35/37 = 0.9459 है।

मुझे कोई ऐसा दिखाओ जो रूलेट के निष्पक्ष खेल में जीत रहा हो, और मैं तुम्हें कोई ऐसा दिखाऊँगा जो बस भाग्यशाली है, और शायद सब कुछ हार जाएगा। आप रूलेट को केवल लाभप्रद खेल से ही कुशलता से हरा सकते हैं, जैसे पक्षपाती पहिये का फायदा उठाना, या पहिये को घुमाना।

कैसीनो को जीतने के लिए ऐसी तरकीबें अपनाने की ज़रूरत नहीं है। इसके अलावा, कैसीनो को प्रगतिशील सट्टेबाजों से डरने की कोई ज़रूरत नहीं है। ज़्यादातर प्रगतिशील सट्टेबाज ही जीतते हैं, लेकिन जो कुछ लोग अपनी बैंकरोल सीमा तक पहुँच जाते हैं, वे सभी विजेताओं के लिए भुगतान करते हैं और फिर कैसीनो के लिए कुछ और भी। इसके अलावा, किसी गेंद को जानबूझकर किसी खास हिस्से में घुमाने के लिए बहुत कौशल की ज़रूरत होती है। मुझे नहीं लगता कि यह किसी भी हद तक सटीकता से किया जा सकता है।

तारीफ़ के लिए शुक्रिया। सबसे पहले, किसी भी सम संख्या वाले दांव पर मानक विचलन 0.998614 है और एकल संख्या पर 5.762617 है। 1, 100 और 10000 स्पिन पर सम संख्या वाले दांव पर फ्लैट बेटिंग करके आगे निकलने की संभावना क्रमशः 0.473684, 0.265023 और 0.00000007 है। 1, 100 और 10000 स्पिन पर एकल संख्या वाले दांव पर फ्लैट बेटिंग करके आगे निकलने की संभावना क्रमशः 0.0263158, 0.491567 और 0.18053280 है। ऐसा लगता है कि आप यह तर्क देने की कोशिश कर रहे हैं कि एकल संख्या वाले दांव बेहतर होते हैं क्योंकि कई दांवों पर आगे निकलने की संभावना ज़्यादा होती है। यह सच है, हालाँकि, बड़े नुकसान की संभावना भी कहीं ज़्यादा होती है। एक सत्र में अपेक्षित परिणाम हमेशा बेल कर्व पर कहीं न कहीं आते हैं। लाल या काले जैसे कम अस्थिरता वाले दांवों के साथ, यह बेल कर्व स्पष्ट होता है और छोटे नुकसान से ज़्यादा दूर नहीं जाता। एकल संख्याओं जैसे उच्च अस्थिरता वाले दांवों के साथ, यह बेल कर्व चौड़ा होता है, जिससे अच्छे और बुरे, दोनों तरह के शुद्ध परिणामों की एक व्यापक श्रृंखला प्राप्त होती है।

वह तो बस किस्मत वाला है। जैसा कि मैंने हज़ारों बार कहा है, कोई भी सट्टेबाजी प्रणाली समय की कसौटी पर खरी नहीं उतर सकती।

मार्टिंगेल हर खेल में खतरनाक होता है और लंबे समय में कभी जीत नहीं दिलाएगा। हालाँकि, बैकारेट में रूलेट की तुलना में इसका इस्तेमाल करना बेहतर है, क्योंकि इसमें हाउस एज कम होता है। खिलाड़ी के लगातार 8 बार जीतने की संभावना 0.493163^8 = 286 में 1 है। यह भी ध्यान रखें कि आप सीरीज़ के आखिर में एक हाथ जीत सकते हैं और फिर भी कमीशन के कारण पीछे रह सकते हैं। उदाहरण के लिए, अगर आपने $1 की बाजी से शुरुआत की और आप सातवें हाथ में जीत गए, तो आप $60.80 ($64*95%) जीतेंगे, जो पिछले $63 के नुकसान की भरपाई नहीं करेगा।

बिल्कुल नहीं। आपके पास 3 यूनिट जीतने की 12/38 संभावना, बराबरी पर आने की 12/38 संभावना और 3 यूनिट हारने की 14/38 संभावना होगी। अपेक्षित मान [(12/38)*3 + (12/38)*0 + (14/38)*-3]/3 = (-6/38)/3 = -2/38 = -5.26% है। यह दांवों के किसी भी संयोजन पर लागू होगा, बशर्ते आप खतरनाक 5 नंबरों के संयोजन (0/00/1/2/3) से बचें। अगर आप सिर्फ़ एक स्पिन के लिए खेलते हैं और अपनी जीत की संभावना को अधिकतम करना चाहते हैं, तो 35 नंबरों पर बराबर दांव लगाएँ। आपके पास 1 यूनिट जीतने की 92.11% संभावना और 35 यूनिट हारने की 7.89% संभावना होगी।

7500 स्पिन? बस इतना ही? अगर कोई आक्रामक तरीके से दांव लगाए, तो 7500 स्पिन से ज़्यादा में कोई भी कुल दांव पर लगाई गई रकम का 7.94% मुनाफ़ा दिखा सकता है। 15000 स्पिन के बारे में भी यही बात लागू होती है। ज़्यादातर सिस्टम छोटी-छोटी जीत और कम संख्या में बड़े नुकसान के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। एक ऐसा सिस्टम जिसके लिए बहुत ज़्यादा बैंकरोल की ज़रूरत होती है, वह आसानी से 15000 स्पिन तक जा सकता है और मुनाफ़ा दिखा सकता है। आखिरकार नुकसान तो होगा ही और यह समय की कसौटी पर खरा नहीं उतरेगा। शुरुआत में भी बड़े नुकसान हो सकते हैं। किसी सिस्टम को परखने का सही तरीका है उसे अरबों बार आज़माना। इन सिस्टम के बारे में मेरी राय बाकी सभी सिस्टम जैसी ही है, ये बेकार हैं। मुझे आपके इन्हें आज़माने से कोई दिक्कत नहीं है, लेकिन मुझे इस बात से दिक्कत है कि कोई इन्हें बेचने वालों की जेब में एक पैसा भी डाल दे।

नोट: इस प्रश्न का अनुवर्ती उत्तर अगले कॉलम में देखें।

आप सही हैं कि विकल्प B में सफलता की संभावना ज़्यादा है, हालाँकि लक्ष्य और पूँजी समान हैं। इसका कारण यह है कि विकल्प B में दांव की औसत राशि कम होती है, इसलिए आपका पैसा हाउस एज से कम प्रभावित होता है, जिससे जीतने की संभावना बढ़ जाती है। विकल्प A में दांव की राशि हमेशा $500 होती है। विकल्प B में दांव की औसत राशि (12/37)*125 + (25/37)*(12/37)*(125+187.5)+ (25/37)*(25/37)*(125+187.5+187.5) = 337.29 है।

जब मैं वेगास चैलेंज में था, तो कुछ ही मिनट बचे थे, मेरे पास लगभग $8,000 थे और मुझे कम से कम $24,000 तक पहुँचना था। इसलिए मैंने अपने बैंकरोल को $2000 के चार ढेरों में बाँट दिया और हर एक पर चार अंकों के संयोजन पर दांव लगाया, जिससे मुझे $22,000 मिलते। इस तरह मैं अपनी पूरी हिस्सेदारी हाउस एज पर नहीं लगा रहा था, जिससे मेरे जीतने की संभावना बढ़ गई।

मैं किसी दांव के मूल्य को जीतने की संभावना से नहीं, बल्कि अपेक्षित प्रतिफल से मापता हूँ। इसलिए सभी 38 नंबरों पर दांव लगाने पर 2/38 = 5.26% का हाउस एज होता है, जो एक नंबर या किसी भी संख्या पर दांव लगाने के समान है। हालाँकि सभी 38 नंबरों पर दांव लगाने पर शुद्ध जीत की संभावना 0% होती है, लेकिन इसका नकारात्मक पक्ष यह है कि आप अपने कुल दांवों का केवल 5.26% ही हारते हैं। यदि आपको दांव लगाने के लिए मजबूर किया जाता है और आप विचरण को कम करना चाहते हैं, तो आपको सभी 38 नंबरों पर दांव लगाना चाहिए। एक व्यावहारिक उदाहरण यह है कि यदि आपके पास प्रमोशनल चिप्स हैं जिन पर आपको दांव लगाना है और आप उनसे अपना सटीक अपेक्षित मूल्य प्राप्त करने के लिए दांव नहीं लगाना चाहते हैं। तो आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए, संख्याओं की कोई इष्टतम सीमा नहीं है। सभी सीमाएँ अपेक्षित मूल्य में समान हैं।

सबसे पहले, मैं यह कहना चाहूँगा कि यह आदमी मूर्ख था। उसने एक सामान्य अमेरिकी रूलेट व्हील पर $138,000 का दांव लगाया, जिसमें दो शून्य होते हैं और हाउस एज 5.26% होता है। इससे उसे $7,263 का अपेक्षित नुकसान हुआ। हालाँकि, अगर वह बेलाजियो, मिराज या अलादीन तक 10 मिनट की सवारी करता, तो वह एक शून्य वाले व्हील पर दांव लगा सकता था, जो यूरोपीय नियम के अनुसार है कि अगर गेंद शून्य पर आती है तो उसे आधा सम राशि का दांव वापस मिलता है। उसने वैसे भी सम राशि का दांव लगाने की योजना बनाई थी। इसलिए, पूरे यूरोपीय नियमों वाले इन व्हील पर उसका हाउस एज केवल 1.35% होता, और उसे केवल $1865 का अपेक्षित नुकसान होता।

आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए, यदि मुझे केवल एक समान धन प्रकार का दांव लगाने के लिए मजबूर किया जाता, तो मैं बैकारेट में 1.06% हाउस एज के साथ बैंकर दांव चुनता।

बर्बादी के जोखिम वाले सवाल गणितीय रूप से जटिल हैं। जब तक कि यह एक साधारण जीत/हार का खेल न हो, मैं कंप्यूटर पर एक यादृच्छिक सिमुलेशन करने की सलाह दूँगा।

अटलांटिक सिटी में ढेरों सिंगल ज़ीरो व्हील हैं। वहाँ के ज़्यादातर कैसिनो में ये उपलब्ध हैं, लेकिन कम से कम 25 डॉलर में।

1. नहीं
2. कैसीनो ऑन नेट पर एक एकल-शून्य पहिया का उपयोग किया जाता है। इसलिए, शून्य के साथ 16 बार जाने की संभावना (25/37) ¹⁶ = 0.1887% है।
3. (25/37) ¹⁷ = 0.1275%.

डबल-जीरो रूलेट गेम में किसी भी संख्या के 10 स्पिन में ठीक 5 बार आने की संभावना को 38* संयोजन (10,5)*(1/38) ⁵ *(37/38) ⁵ = 359275 में 1 के द्वारा करीब से अनुमानित किया जा सकता है।

धन्यवाद। आपने बिलकुल सही बात कही है। सामान्य नियमों के तहत 6 से 5 ब्लैकजैक में हाउस एज 1.44% है, जबकि डबल ज़ीरो रूलेट में यह 5.26% है। यह 3.7 गुना ज़्यादा है। हालाँकि, मैंने वर्षों में यह सीखा है कि खिलाड़ियों को उनके पसंदीदा खेल से दूर करना लगभग असंभव है, चाहे हाउस एज कितनी भी कम क्यों न हो। इसलिए मैं बस यही कर सकता हूँ कि उन्हें सलाह दूँ कि वे अपनी पसंद का खेल कैसे खेलें। ब्लैकजैक खिलाड़ियों के लिए अभी भी 3 से 2 खेलों की कोई कमी नहीं है। 6 से 5 खेलने से कैसीनो को बिना किसी कारण के 0.8% का अतिरिक्त लाभ मिल रहा है। अगर आप रूलेट खिलाड़ी हैं, तो मैं सिंगल-ज़ीरो रूलेट पर भी ध्यान देने की ज़रूरत पर ज़ोर देता हूँ। इसलिए मुझे कोई असंगति नज़र नहीं आती।

रूलेट में आमतौर पर दो न्यूनतम राशियाँ होती हैं। उदाहरण के लिए: बाहर $5, अंदर $1। बाहरी दांव सभी सम राशि वाले दांव, स्तंभ दांव और दर्जन दांव होते हैं। अंदर के दांव 2, 3, 4, 5 और 6 के समूहों वाली संख्याओं पर होते हैं। इस स्थिति में, बाहर के दांव पर न्यूनतम राशि $5 और अंदर के दांव पर $1 होती है। हालाँकि, आपको अंदर के दांव पर कम से कम $5 का दांव लगाना होगा या बिल्कुल भी नहीं लगाना होगा।

मैं आपके पक्ष में हूँ। अगर ऐसा हो पाता, तो डीलर आसानी से खिलाड़ियों के साथ साज़िश रचकर मुनाफ़े में हिस्सा ले सकते थे। फिर भी, मैंने ऐसा होते कभी नहीं सुना। एक अच्छा परीक्षण यह होगा कि किसी ऐसे व्यक्ति को ढूँढा जाए जो रोल को प्रभावित करने का दावा करता हो और उसे 100 चक्करों में जितनी बार हो सके, पहिये के एक खास हिस्से में गेंद डालने का प्रयास करने को कहा जाए। वह जितनी ज़्यादा बार ऐसा करेगा, उसका दावा उतना ही ज़्यादा मज़बूत होगा। नीचे दी गई तालिका 50 से 70 सफल स्पिनों की संभावना दर्शाती है। उदाहरण के लिए, 60 या उससे ज़्यादा सफल स्पिनों की संभावना 2.8444% है। सांख्यिकी में सामान्य विश्वास सीमाएँ 90%, 95% और 99% के स्तर हैं। 90% विश्वास परीक्षण को पास करने के लिए, जिसमें दिए गए यादृच्छिक स्पिनों में असफल होने की संभावना 90% है, सफल स्पिनों की संख्या 57 या उससे ज़्यादा होनी चाहिए। 95% परीक्षण को पास करने के लिए संख्या 59 या उससे ज़्यादा होनी चाहिए, और 99% पर यह संख्या 63 या उससे ज़्यादा होनी चाहिए।

कम से कम 50 से 70 सफल रूलेट स्पिन की संभावना

जीत	संभावना
70	0.000039
69	0.000092
68	0.000204
67	0.000437
66	0.000895
65	0.001759
64	0.003319
63	0.006016
62	0.010489
61	0.0176
60	0.028444
59	0.044313
58	0.066605
57	0.096674
56	0.135627
55	0.184101
54	0.242059
53	0.30865
52	0.382177
51	0.460205
50	0.539795

मैंने उस खेल को ढूँढ़ने की कोशिश की, लेकिन जब मैंने जाँच की तो साइट बंद थी। हालाँकि, मान लीजिए कि ऐसा कोई खेल मौजूद है, तो जवाब है नहीं। किसी भी सिस्टम से लंबे समय तक उसे हराने या उससे हारने की उम्मीद नहीं की जा सकती। हर सिस्टम का अपेक्षित मान बिल्कुल शून्य होगा।

पहली संख्या चाहे जो भी हो, केवल दूसरे स्पिन के उससे मेल खाने की संभावना (1/37)*(36/37) है। केवल तीसरे स्पिन के उससे मेल खाने की संभावना (36/37)*(1/37) है। किसी भी स्पिन के मेल न खाने की संभावना, लेकिन दूसरे और तीसरे स्पिन के एक-दूसरे से मेल खाने की संभावना (36/37)*(1/37) है। दूसरे और तीसरे दोनों स्पिन के उससे मेल खाने की संभावना (1/37)*(1/37) है। इन सबको जोड़ने पर आपको 3*(1/37)*(36/37)+ (1/37)*(1/37) = 7.962% मिलता है।

मैंने इसकी जाँच करने के लिए वहाँ एक खाता बनाने की कोशिश की, लेकिन उन्होंने अमेरिकी खिलाड़ियों को ब्लॉक कर दिया। मुझे बताया गया है कि न्यूनतम दांव £2 और अधिकतम £50 है। यहाँ तक कि नो-ज़ीरो रूलेट जैसे ज़ीरो हाउस एज गेम में भी, कोई भी सट्टेबाजी प्रणाली 0% के आंकड़े से ऊपर या नीचे नहीं पहुँचती। आप चाहे जो भी करें, जितना ज़्यादा आप करेंगे, वास्तविक हाउस जीत 0% के उतने ही करीब पहुँचेगी।

मैंने एक बार उनके बारे में एक टेलीविज़न शो देखा था, और मैं उनके काम की सराहना करता हूँ। मैं जिसे "सिस्टम" कहता हूँ, वह एक सट्टेबाजी पैटर्न है, जैसे मार्टिंगेल , जो किसी ऐसे खेल पर लागू होता है जिसमें हाउस एडवांटेज हो, जैसे कि एक निष्पक्ष रूलेट गेम। गोंजालो गार्सिया-पेलायो ने जो सफलतापूर्वक किया, वह यह सर्वेक्षण करना था कि गेंद कितनी बार प्रत्येक संख्या पर गिरती है, ताकि पक्षपाती रूलेट पहियों को ढूंढा जा सके और उनका फायदा उठाया जा सके। मैं इसे एक रणनीति कहूँगा, न कि एक सिस्टम। कैसीनो को हराने के लिए कई लाभदायक रणनीतियाँ हैं, लेकिन कोई भी लाभदायक सट्टेबाजी प्रणाली नहीं है।

नहीं।

आपके दयालु शब्दों के लिए धन्यवाद। मुझे लगता है कि मैंने इसका उत्तर पहले भी दिया है, लेकिन नहीं, शून्य हाउस एज के साथ भी, कोई भी सट्टेबाजी प्रणाली लंबे समय तक जीत नहीं सकती।

यह पहली बार नहीं है जब मैंने यह दावा सुना है, और मुझे इस पर बहुत संदेह है। ज़्यादातर डीलर भी इस मिथक पर यकीन करते हैं कि एक खराब थर्ड-बेसमैन ब्लैकजैक में दूसरे खिलाड़ियों को हार का कारण बनेगा, इसलिए एक समूह के रूप में वे ज़्यादा संदेह करने वाले समूह नहीं हैं। मुझे लगता है कि हो यह रहा है कि उन्हें वे मौके याद रहते हैं जब वे स्पिन को नियंत्रित करने की कोशिश में सफल रहे थे, और वे आसानी से भूल जाते हैं जब वे असफल रहे थे। ठीक वैसे ही जैसे उन्हें वे मौके याद रहते हैं जब थर्ड-बेसमैन ने डीलर का बस्ट कार्ड लिया था, लेकिन वे वे मौके भूल जाते हैं जब उसने टेबल को बचा लिया था।

अगर डीलर वाकई ऐसा कर पाते, तो किसी कॉन्फ़ेडरेट को खेल में शामिल करना आसान होता, जिससे वह जीत जाता और दूसरे खिलाड़ी हार जाते, और इसकी भरपाई हो जाती। जब तक वे स्पिन के लिए उचित प्रक्रियाओं का पालन करते और कॉन्फ़ेडरेट के साथ सार्वजनिक रूप से नहीं दिखाई देते, तब तक यह सब पूरी तरह से वैध लगता। फिर भी, आपने ऐसा होते कभी नहीं सुना होगा। मुझे लगता है कि विश्वास करने वाले कह सकते हैं कि ऐसा करने वाले बस अपनी पहचान छिपा रहे हैं, लेकिन बेकार सट्टेबाजी प्रणालियों में विश्वास करने वाले भी यही कहते हैं। अगर यह उतना आसान होता जितना आपके कार्यस्थल पर रूलेट डीलर दावा करते हैं, तो परिणामस्वरूप धोखाधड़ी की समस्या बहुत बढ़ जाती।

किसी भी दी गई संख्या के हिट न होने की संभावना (37/38) ²⁰⁰ = 0.48% है।

38 संख्याओं के साथ, हम गलत तरीके से कह सकते हैं कि उनमें से किसी एक के हिट न होने की संभावना 38 × (37/38) ²⁰⁰ = 18.34% है।

यह गलत है क्योंकि यह उन दो संख्याओं की दोहरी गणना करता है जो नहीं टकराईं। इसलिए हमें उन संभावनाओं को घटाना होगा। कुल 38 में से 2 संख्याओं के 703 सेट हैं। किसी भी दो दी गई संख्याओं के न टकराने की संभावना (36/38) ²⁰⁰ = 0.000020127 है। हमें दोनों संख्याओं से बचने की संभावना घटानी होगी। तो हम यहाँ हैं:

38×(37/38) ²⁰⁰ - संयोजन(38,2)×(36/38) ²⁰⁰ = 16.9255%।

हालाँकि, अब हमने तीन संख्याओं के न आने की प्रायिकता को रद्द कर दिया है। तीन संख्याओं के किसी भी दिए गए समूह के लिए, हमने किसी एक संख्या के न आने की प्रायिकता को तीन गुना गिना। फिर हमने तीन में से दो संख्याएँ चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए तीन गुना घटाया, जिससे तीनों संख्याओं के न आने की प्रायिकता शून्य रह गई। ऐसे संयोजन (38,3) = 8,436 समूह हैं। उन्हें वापस जोड़ने पर अब हम इस पर पहुँचते हैं:

38×(37/38) ²⁰⁰ - कॉम्बिन(38,2)×(36/38) ²⁰⁰ + कॉम्बिन(38,3)×(35/38) ²⁰⁰ = 16.9862%।

फिर भी, अब हमने चार संख्याओं के न आने की संभावना को ज़्यादा गिन लिया है। चार संख्याओं के प्रत्येक संयोजन (38,4) = 73,815 समूहों के लिए, मूल रूप से प्रत्येक की चौगुनी गणना की गई थी। फिर हमने संयोजन (4,2) = 6 के प्रत्येक समूह में से 2 को घटाया। फिर हमने 4 में से 3 के 4 समूहों को वापस जोड़ा। इस प्रकार, चार संख्याओं के प्रत्येक संयोजन के लिए, इसे 4 − 6 + 4 = 2 बार गिना गया। दोहरी गणना को समायोजित करने के लिए हमें प्रत्येक समूह के लिए घटाना होगा। उन्हें घटाने पर अब हम इस पर पहुँचते हैं:

38×(37/38) ²⁰⁰ - कॉम्बिन(38,2)×(36/38) ²⁰⁰ + कॉम्बिन(38,3)×(35/38) ²⁰⁰ - कॉम्बिन(38,4)×(34/38) ²⁰⁰ = 16.9845%।

इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम बारी-बारी से जोड़ते और घटाते रहेंगे, जब तक कि 37 संख्याएँ छूट न जाएँ। इस प्रकार, कम से कम एक संख्या के कभी न मिलने की प्रायिकता है:

योग i=1 से 37 [(-1) ⁽ⁱ⁺¹⁾ × संयोजन(38,i) × ((38-i)/38) ³⁸ ] = 16.9845715651245%

यहां ऐसे 126,900,000 200-स्पिन प्रयोगों के यादृच्छिक सिमुलेशन के परिणाम दिए गए हैं।

कम से कम एक संख्या के हिट न होने की बारंबारता का अनुपात 0.169833 था।

दुख की बात है कि अज्ञानता सीढ़ी पर बहुत ऊपर तक जा सकती है। मैं इस बात से इनकार नहीं करता कि एक विशेषज्ञ बहुत धीमी गति से घूमते हुए भी पहिये को घुमा सकता है। हालाँकि, इस मुद्दे को छोड़ दें, डीलर बदलने से संभावनाएँ नहीं बदलतीं। कोई भाग्यशाली या बदकिस्मत डीलर जैसी कोई चीज़ नहीं होती। अंधविश्वास को छोड़ना मुश्किल होता है। जैसा कि मैंने कई बार कहा है, कोई भी मान्यता जितनी बेतुकी होती है, उतनी ही दृढ़ता से उस पर विश्वास किया जाता है।

अगर मेरी शब्दावली सही है, तो "व्हील क्लॉकिंग" का मतलब गेंद की गति, गेंद की स्थिति और पहिये की गति के आधार पर गेंद के गिरने की जगह का अनुमान लगाना है। ऐसा लगता है कि आप एक पक्षपाती पहिये का फायदा उठा रहे हैं, जो एक अलग तरह का फ़ायदा उठाने वाला खेल है। जब तक हम इस विषय पर हैं, एक तीसरा फ़ायदा उठाने वाला खेल "डीलर के हस्ताक्षर" का फायदा उठाना है, जहाँ क्रुपियर इतना स्थिर रहता है कि गेंद और पहिये की गति हर स्पिन में लगभग एक जैसी रहती है। इससे खिलाड़ी गेंद की स्थिति और पिछले परिणामों के आधार पर गेंद के गिरने की जगह का अनुमान लगा सकता है।

आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपके द्वारा अपने नंबर पर अपेक्षित बार हिट होने की संख्या 8672/37 = 234.38 है। विचरण 8672×(1/37)×(36/37) = 228.04 है। मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है, या 15.10 है। आपके द्वारा अपेक्षित हिट से 278-234.38 = 43.62 अधिक हिट हुए। यानी (43.62-0.5)/15.10 = 2.8556 मानक विचलन। 0.5 घटाने का कारण स्पष्ट करना कठिन है। इतना कहना पर्याप्त है कि यह एक असतत फलन का अनुमान लगाने के लिए एक सतत फलन का उपयोग करने हेतु एक समायोजन कारक है। गॉसियन सन्निकटन का उपयोग करते हुए, आपके नंबर पर इतनी बार या उससे अधिक बार हिट होने की संभावना 0.21% है। इसलिए, इस बात की अच्छी संभावना है कि आपको एक पक्षपाती पहिया मिला हो। हालाँकि, अभी भी 466 में से 1 संभावना है कि यह सिर्फ अच्छी किस्मत थी।

अगर वह खिलाड़ी पर दांव लगाता है तो गणित ज़्यादा आसानी से हल हो जाता है। मैं अपनी mathproblems.info साइट पर रूलेट में इसी तरह की एक समस्या हल करता हूँ, समस्या संख्या 116। सम राशि के दांवों के लिए, सामान्य सूत्र ((q/p) ^b -1)/((q/p) ^g -1) है, जहाँ:

b = इकाइयों में प्रारंभिक बैंकरोल.
g = इकाइयों में बैंकरोल लक्ष्य.
p = किसी भी शर्त को जीतने की संभावना, बराबरी की गिनती नहीं।
q = किसी भी शर्त के हारने की संभावना, टाई की गिनती नहीं।

यहाँ खिलाड़ी $12 मिलियन, यानी $200,000 की 60 इकाइयों से शुरुआत करता है, और तब तक खेलता रहेगा जब तक कि वह 120 इकाइयों तक नहीं पहुँच जाता या बस्ट नहीं हो जाता। इसलिए खिलाड़ी के दांव के मामले में समीकरण के मान इस प्रकार हैं:

बी = 60
जी = 120
पी = 0.493175
क्यू = 0.506825

तो उत्तर है ((0.506825/0.493175) ⁶⁰ -1)/(( 0.506825/0.493175) ¹²⁰ -1) = 16.27%.

बैंकर बेट पर यह 5% कमीशन के कारण कहीं अधिक जटिल है। इससे खिलाड़ी के अपने लक्ष्य से आगे निकल जाने की पूरी संभावना हो जाती है। अगर हम यह नियम जोड़ दें कि अगर जीतने वाली बेट से खिलाड़ी अपना लक्ष्य हासिल कर लेता है, तो वह केवल उतना ही दांव लगा सकता है जितना $12 मिलियन तक पहुँचने के लिए ज़रूरी हो, तो मेरा अनुमान है कि उसकी सफलता की संभावना 21.66% होगी।

बैंकरोल को दोगुना करने की संभावना के लिए एक सरल सूत्र 1/[1+(q/p) ^{b] है।}

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

पहले परीक्षण की गणना करते हुए, मैं दिखाता हूँ कि माध्य 8.408797 है, माध्यिका 8 है, और बहुलक 7 है।

दो संख्याओं के बिना दोहराए जाने की संभावना 37/38 = 97.37% है।

बिना दोहराए तीन संख्याओं की संभावना (37/38) × (36/38) = 92.24% है।

चार संख्याओं के बिना दोहराए जाने की संभावना (37/38) × (36/38) × (35/38) = 84.96% है।

इस पैटर्न का अनुसरण करते हुए, 8 संख्याओं में कोई दोहराव न होने की संभावना (37/38) × (36/38) × (35/38) ×... × (31/38) = 45.35% है।

अतः 8 संख्याओं के भीतर पुनरावृत्ति की संभावना 100% - 45.35% = 54.65% है।

मुझे लगता है कि ज़्यादातर लोग अनुमान लगाएँगे कि 8 संख्याओं के भीतर किसी संख्या के दोहराने की संभावना इससे कम होगी। अगर आप अपने गणित में कमज़ोर दोस्तों का फ़ायदा उठाने से नहीं हिचकिचाते, तो शर्त लगाएँ कि कम से कम एक संख्या दोहराने के लिए 8 या उससे कम संख्याएँ लगेंगी। इस तरह आप 8 या उससे कम पर दांव लगाएँगे, और आपका दोस्त 9 या उससे ज़्यादा पर। अगर वह मना कर दे, तो 7 या उससे ज़्यादा पर दांव लगाने की पेशकश करें, जिससे जीतने की संभावना 55.59% होगी। मूलतः, जो भी पक्ष 8 के मध्यमान को कवर करेगा, उसके जीतने की संभावना ज़्यादा होगी।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

नहीं, वह सही नहीं है। एंडी की एकल दांव रणनीति की संभावना 1/38 = 2.6316% है।

काफी प्रयास और त्रुटि के बाद, मैंने अपनी "हेल मैरी" रूलेट रणनीति तैयार की, जिससे $30 को $1,000 में बदलने की संभावना 2.8074% तक बढ़ जाएगी।

रूलेट के लिए जादूगर की "हेल मैरी" रणनीति:

यह रणनीति मानती है कि दांव $1 की वृद्धि में होने चाहिए। सभी दांव गणनाओं में, नीचे की ओर पूर्णांकित करें।

होने देना:
b = आपका बैंकरोल
g = आपका लक्ष्य

1. यदि 2*b >=g, तो किसी भी सम राशि वाले दांव पर (gb) दांव लगाएं।
2. अन्यथा, यदि 3*b >=g, तो किसी भी कॉलम पर (gb)/2 का दांव लगाएं।
3. अन्यथा, यदि 6*b >=g, तो किसी भी छह लाइन (छह संख्या) पर (gb)/5 का दांव लगाएं।
4. अन्यथा, यदि 9*b >=g, तो किसी भी कोने (चार संख्या) पर (gb)/8 का दांव लगाएं।
5. अन्यथा, यदि 12*b >=g, तो किसी भी स्ट्रीट (तीन नंबर) पर (gb)/11 का दांव लगाएं।
6. अन्यथा, यदि 18*b >=g, तो किसी भी विभाजन (दो संख्या) पर (gb)/17 का दांव लगाएं।
7. अन्यथा, किसी भी एक नंबर पर (gb)/35 का दांव लगाएं।

दूसरे शब्दों में, अगर हो सके तो हमेशा एक ही दांव लगाकर लक्ष्य तक पहुँचने की कोशिश करें, बिना लक्ष्य से ज़्यादा खर्च किए। अगर ऐसा करने के कई तरीके हैं, तो उस तरीके को चुनें जिसमें जीतने की संभावना सबसे ज़्यादा हो।

आप पूछ सकते हैं कि दूसरे खेलों के बारे में क्या? डिस्कवरी चैनल के वॉयस-ओवर वाले के अनुसार, "हर कोई इस बात पर सहमत है कि कैसीनो में रूलेट सबसे जल्दी अमीर बनने का सबसे अच्छा तरीका है।" खैर, मैं नहीं मानता। आम खेलों और नियमों तक ही सीमित रहकर भी, मुझे क्रेप्स ज़्यादा बेहतर लगता है। खासकर, पास न होने पर दांव लगाना और ऑड्स लगाना।

क्रेप्स के लिए मेरी हेल मैरी रणनीति (नीचे बताई गई है) के अनुसार, $30 के $1,000 में बदलने की संभावना 2.9244% है। यह मानकर चला जाता है कि खिलाड़ी पॉइंट की परवाह किए बिना 6x ऑड्स लगा सकता है (ऐसा तब होता है जब 3x-4x-5x ऑड्स लेने की अनुमति हो)। सफलता की यह संभावना रूलेट के लिए मेरी हेल मैरी रणनीति से 0.117% ज़्यादा और एंडी ब्लॉक रणनीति से 0.2928% ज़्यादा है।

एंडी शायद यह तर्क दे कि मेरा उपरोक्त तर्क न्यूनतम $1 के दांव की धारणा पर आधारित है, जो वेगास में लाइव डीलर गेम में मिलना मुश्किल है। यह उम्मीद करते हुए कि कोई ऐसा कहेगा, मैंने दोनों गेम न्यूनतम $5 के दांव के अनुमान और $5 की वृद्धि में दांव लगाकर खेले। उस स्थिति में, मेरी हेल मैरी रणनीति का उपयोग करके सफलता की संभावना रूलेट में 2.753% और क्रेप्स में 2.891% है। दोनों ही मामलों में, एंडी ब्लोच रणनीति के तहत 2.632% से अधिक है।

सच कहूँ तो, डिस्कवरी चैनल ने कभी भी ऊपर दी गई बेतुकी बातें प्रसारित नहीं की होंगी और निश्चित रूप से कुछ ऐसा सरल तरीका खोज रहा था जो आम जनता को समझ में आए। एंडी निश्चित रूप से उन्हें कुछ ऐसा दे रहे थे जो वे सुनना चाहते थे। उनकी सलाह का मूल आधार यह है कि अगर आप किसी खास लक्ष्य तक पहुँचना चाहते हैं, तो हिट-एंड-रन रणनीति, हाउस एज के कारण कई दांव लगाने से कहीं बेहतर है। यह बिल्कुल सच है और मैं पिछले 17 सालों से इसी बात का प्रचार कर रहा हूँ।

क्रेप्स के लिए जादूगर की "हेल मैरी" रणनीति।

इस रणनीति में यह माना जाता है कि दांव $1 के हिसाब से लगने चाहिए और जीत की राशि को निकटतम डॉलर तक पूर्णांकित किया जाएगा। दांव की गणना करते समय, कभी भी इतना दांव न लगाएँ कि आप लक्ष्य से आगे निकल जाएँ। साथ ही, कभी भी दांव की राशि इतनी न रखें कि आपको गोल में ही जीत मिल जाए।

होने देना:
b = आपका बैंकरोल
g = आपका लक्ष्य

1. पास न होने पर अधिकतम ($1, न्यूनतम(b/7,(gb)/6)) दांव लगाएं।
2. अगर कोई पॉइंट आता है और आपके पास पूरी ऑड्स वाली शर्त के लिए पर्याप्त राशि है, तो पूरी ऑड्स लगाएँ। अन्यथा, जितना हो सके, लगाएँ।

तो, मुझे उम्मीद है कि एंडी और डिस्कवरी चैनल खुश होंगे। मैंने उन्हें ग़लत साबित करने के लिए कई दिन सिमुलेशन चलाए हैं।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

सामान्य सूत्र है:

Pr(गेंद 1 में गिरती है) + Pr(गेंद 2 में गिरती है) + Pr(गेंद 3 में गिरती है) - Pr(गेंद 1 और 2 में गिरती है) - Pr(गेंद 1 और 3 में गिरती है) - Pr(गेंद 2 और 3 में गिरती है) + Pr(गेंद 1, 2 और 3 में गिरती है)।

डबल-जीरो रूलेट में, n स्पिनों के लिए, यह 3*(1-(37/38)^n)-3*(1-(36/38)^n)+(1-(35/38)^n) आता है।

निम्नलिखित तालिका एकल और दोहरे शून्य रूलेट के लिए 3 से 100 तक विभिन्न स्पिनों के लिए सभी तीन संख्याओं के आने की संभावना को दर्शाती है।

0 और 00 के जीतने की संभावना 1/36 होगी। अगर इन नतीजों पर दांव लगाने वालों को सामान्य 35 से 1 का भुगतान मिलता है, तो हाउस एज ठीक 0% होगा।

किसी भी अन्य संख्या के जीतने की संभावना (34/36)*(1/36) = 2.62% होगी। इसकी तुलना पारंपरिक डबल-ज़ीरो रूलेट में 1/38 = 2.63% से करें। 1 से 36 तक की संख्याओं पर किसी भी दांव पर हाउस एज 5.56% होगा। इसकी तुलना पारंपरिक डबल-ज़ीरो रूलेट में 5.26% से करें। इस खेल में मेरी सलाह है कि केवल शून्य और डबल-ज़ीरो पर ही दांव लगाएँ।

यदि कोई इन नियमों की पुष्टि या खंडन कर सकता है और भुगतान कर सकता है, तो कृपया मुझे बताएं।

निम्नलिखित ग्राफ़ आपके परिणामों को पहिये पर क्रमिक क्रम में दर्शाता है। नीली रेखा आपके परिणाम दिखाती है। लाल रेखा वह संख्या है जिसकी आपको 5.26% हाउस एज को पार करने के लिए आवश्यकता है, 207.11।

इस वितरण पर काई-स्क्वेयर परीक्षण से 37 डिग्री स्वतंत्रता के साथ 68.1 का आँकड़ा प्राप्त होता है। इस विषम या उससे अधिक परिणाम की संभावना 725 में 1 है।

मुझे नहीं लगता कि इस स्थिति के लिए काई-स्क्वेयर्ड सही परीक्षण है क्योंकि यह परिणामों के क्रम पर विचार नहीं करता, लेकिन मुझे इससे बेहतर कोई परीक्षण नहीं पता। कुछ लोगों ने कोल्मोगोरोव-स्मिरनोव परीक्षण का सुझाव दिया है, लेकिन मुझे नहीं लगता कि वह उपयुक्त है। अगर कोई और उपयुक्त परीक्षण हैं, तो मैं पूरी तरह तैयार हूँ।

मैं कह सकता हूँ कि अगर आपने 5 नंबर के आसपास 3-अंकीय चाप पर दांव लगाया होता, तो आपको अपने रिकॉर्ड किए गए स्पिन पर 10.57% का लाभ होता। हालाँकि, अगर आपने इसे 7-अंकीय चाप तक बढ़ा दिया, तो यह लाभ घटकर 2.84% रह जाता है।

अगर मुझे सीधे-सादे अंग्रेजी में जवाब देने के लिए मजबूर किया जाए, तो मैं कहूँगा कि पहिया इस बात का सबूत ज़रूर देता है, लेकिन किसी भी तरह के संदेह से परे कोई सबूत नहीं कि पहिया पक्षपाती है। हालाँकि, यह पक्षपात शायद हाउस एज पर पूरी तरह से और आत्मविश्वास से काबू पाने के लिए पर्याप्त नहीं है। यह मानते हुए कि कैसीनो टेबलों के बीच पहियों को नहीं बदलता, मैं कहूँगा कि बड़ी रकम दांव पर लगाने से पहले ज़्यादा जानकारी इकट्ठा कर लेनी चाहिए। मुझे खेद है कि यह जवाब इतना अस्पष्ट है।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

माध्य का उत्तर देना ज़्यादा आसान है, इसलिए हम इसी से शुरुआत करेंगे। आइए इसे चरण दर चरण समझते हैं:

• पहला स्पिन निश्चित रूप से एक नया नंबर होगा।
• दूसरे प्रक्षेप में एक नई संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता 36/37 होगी। यदि किसी घटना की प्रायिकता p है, तो उसके घटित होने के लिए अपेक्षित प्रयासों की संख्या 1/p है। इस स्थिति में, दूसरी संख्या प्राप्त करने के लिए अपेक्षित प्रयासों की संख्या 37/36 = 1.0278 है।
• दो संख्याओं के देखे जाने के बाद, अगले स्पिन में नई संख्या आने की संभावना 35/37 है। इस प्रकार, दूसरी संख्या के बाद तीसरी संख्या देखने के लिए अपेक्षित स्पिनों की संख्या 37/35 = 1.0571 है।
• इस तर्क के अनुसार, प्रत्येक संख्या को देखने के लिए स्पिन की औसत संख्या 1 + 37/36 + 37/35 + 37/34 + ... + 37/2 + 37/1 = 155.458690 है।

माध्यिका कहीं अधिक जटिल है। सटीक उत्तर प्राप्त करने के लिए, यादृच्छिक सिमुलेशन के बजाय, मैट्रिक्स बीजगणित का भरपूर उपयोग करना पड़ता है। मैंने अन्य Ask the Wizard प्रश्नों में इसी तरह की समस्याओं को हल करने के तरीके पर चर्चा की है, इसलिए मैं फिर से विवरण में नहीं जाऊँगा। इसी तरह के एक प्रश्न का उदाहरण लगातार तीन बार 6-6 जोड़ी होल में आने का प्रश्न है, जैसा कि Ask the Wizard #311 में चर्चा की गई है। इतना कहना पर्याप्त है कि 145 चक्करों में प्रत्येक संख्या को देखने की प्रायिकता 0.49161779 है, और 146 चक्करों में 0.501522154 है। इस प्रकार, माध्यिका 146 है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

लाल के समान, दोहरे शून्य पहिये पर 47.37%, 18 काली संख्याओं को 38 कुल संख्याओं से विभाजित किया गया।

यह सच है, लेकिन इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता। 20 लाल कार्ड के बाद एक काला कार्ड आने की संभावना भी यही है। सच तो यह है कि रूलेट जैसे स्वतंत्र परीक्षणों वाले खेलों में अतीत कोई मायने नहीं रखता।

यह शायद सभी सट्टेबाजी प्रणालियों में सबसे लोकप्रिय है, जिसे मार्टिंगेल के नाम से जाना जाता है। जुआरी अनादि काल से इसकी कल्पना और उपयोग करते आ रहे हैं। सभी सट्टेबाजी प्रणालियों की तरह, यह न केवल घर के लाभ को कम नहीं करता, बल्कि उसे नुकसान भी नहीं पहुँचाता। इसका कारण यह है कि जुआरी अंततः एक बुरी हार का सिलसिला शुरू कर देता है, जहाँ उसका बैंकरोल एक और डबल बनाने के लिए पर्याप्त नहीं होता।

इसे एंटी-मार्टिंगेल कहते हैं और यह भी उतना ही बेकार है। जब आपका बैंकरोल पूरी तरह से खत्म हो जाएगा, तो लक्ष्य हासिल करने पर मिलने वाली जीत की रकम उससे ज़्यादा होगी। आप चाहे कोई भी सट्टेबाजी प्रणाली अपनाएँ, या बिल्कुल भी न लगाएँ, आप जितना ज़्यादा खेलेंगे, डबल-ज़ीरो रूलेट में आपके दांव पर लगे पैसों के मुकाबले आपके खोए हुए पैसों का अनुपात उतना ही ज़्यादा 5.26% के करीब पहुँच जाएगा।

[स्पॉइलर] उत्तर है 3872789/118098 =~ 32.79301089 स्पिन. [/स्पॉइलर]

यहां मेरा समाधान (पीडीएफ) है।

"तिहाई का नियम" कहता है कि यदि आप पहिये पर प्रत्येक संख्या के लिए रूलेट पहिये को एक बार घुमाते हैं, तो लगभग 1/3 संख्याएं कभी नहीं आएंगी।

1/3 वाकई एक बहुत ही खराब अनुमान है। इससे बेहतर अनुमान 1/e =~ 36.79% होगा। डबल-ज़ीरो रूलेट में असली प्रतिशत 36.30% है।

निम्नलिखित तालिका डबल-जीरो रूलेट के 38 स्पिनों में 1 से 38 अलग-अलग संख्याओं के देखे जाने की संभावना को दर्शाती है।

तालिका दर्शाती है कि सबसे संभावित परिणाम 24 अलग-अलग संख्याएँ हैं, जो 20.49% है। औसत 24.20656478 है।

कुछ धोखेबाज़ यह तर्क देते हैं कि खिलाड़ी को पहले नौ अलग-अलग परिणामों को देखना चाहिए और फिर उन पर दांव लगाना चाहिए, इस गलत धारणा के तहत कि उनके होने की संभावना अन्य संख्याओं की तुलना में ज़्यादा है। यह बिल्कुल सच नहीं है! पहिये और गेंद की कोई स्मृति नहीं होती। निष्पक्ष पहिये पर, हर संख्या समान रूप से संभावित होती है और अतीत मायने नहीं रखता।