उत्तरी मार्ग भाग 12

हमेशा की तरह, कैमिनो डेल नॉर्ट की अपनी कहानी शुरू करने से पहले, मैं अपनी साप्ताहिक तर्क पहेली प्रस्तुत करता हूँ।

तर्क पहेली

एक 8x8 शतरंज बोर्ड के ऊपरी बाएँ खाने पर एक मोहरा रखा है। यह एक बार में केवल एक खाना नीचे या दाएँ जा सकता है। शतरंज बोर्ड के निचले दाएँ कोने वाले खाने तक पहुँचने के कितने अलग-अलग रास्ते हैं?

कैमिनो डेल नॉर्ट भाग 12

मेरी इस यात्रा का यह अध्याय कैमिनो डेल नॉर्टे के रिबाडेओ और पारगा के बीच के चार दिवसीय खंड को कवर करेगा। रिबाडेओ में जहां से मार्ग उत्तरी तट से अलग होता है और अरज़ुआ में जहां यह कैमिनो फ्रांसेस से मिलता है, उस खंड को तय करने में मुझे छह दिन लगे। यह अध्याय 12 उन छह दिनों में से पहले चार दिनों को कवर करेगा।

दिन 18 (4 अप्रैल)

अंतर्देशीय यात्रा का यह पहला दिन कुछ खास यादगार नहीं रहा। मारियो मेरे उठने से पहले ही जा चुका था, इसलिए मैं पूरे दिन अकेला ही चलता रहा। आस-पास कोई दूसरा तीर्थयात्री नहीं था। 28.6 किलोमीटर की दूरी तय करना तुलनात्मक रूप से लंबा दिन था।

उस शाम मेरा ठहरने का ठिकाना लौरेंज़ा के कैस्टेलोस अल्बर्ग में था। 26 बिस्तरों में से मैं केवल तीन तीर्थयात्रियों में से एक था। बाकी दो को मैंने मुश्किल से ही देखा और उनसे कभी बात नहीं की। मेज़बान भी मुश्किल से ही वहाँ मौजूद था। कस्बा काफी अच्छा था। रिबादेओ जितना अच्छा तो नहीं, लेकिन फिर भी बेहतर कस्बों में से एक था। मैंने फिर से गैलिसियन ऑक्टोपस का भोजन किया, जिससे मैं कभी ऊब नहीं सकता।

मैंने अगले दिन के लिए कुछ अंडे उबालने की कोशिश की, लेकिन अल्बर्ग में चूल्हा खराब था। इसलिए मैंने उन्हें माइक्रोवेव में गर्म करने की कोशिश की। बहुत बड़ी गलती। मैं इसके बारे में बात भी नहीं करना चाहती, बस इतना कहूँगी कि मुझे खुशी है कि किसी और ने इसे या सफाई को नहीं देखा।

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दिन 19 (5 अप्रैल)

इस ईस्टर रविवार को मैं सुबह जल्दी निकल गया, बस इतनी रोशनी थी कि सब कुछ दिखाई दे रहा था। लगभग दो घंटे बाद, अचानक मेरी मुलाकात मारियो से हो गई, जिससे मैं दो दिनों से नहीं मिला था। मारियो मुझसे तेज़ चल रहा था, लेकिन बीच-बीच में लंबे-लंबे विराम ले रहा था, शायद अपने फोन पर कुछ काम निपटाने के लिए। हम थोड़ी देर साथ चले, लेकिन आखिर में मैंने उसे छोड़ दिया क्योंकि मुझे पता था कि वह शायद मुझसे ज़्यादा तेज़ चलना चाहता था।

अलग होने से पहले हमारी बातचीत का एक मुख्य विषय यह था कि मोंडोनेडो और अबादिन शहरों के बीच जाने का रास्ता कौन सा है। पहला विकल्प 12.9 किलोमीटर का एक खड़ी और सुनसान सड़क मार्ग था, जहाँ कोई सुविधा उपलब्ध नहीं थी। दूसरा विकल्प 18.3 किलोमीटर का अधिक सुंदर मार्ग था, जो कुछ छोटे कस्बों से होकर गुजरता था, जिनमें से एक में एक अल्बर्ग (पारंपरिक मंगोलियाई आवास) था।

मारियो और सेबेस्टियन (जिनसे मेरी मुलाकात 13वें दिन हुई थी) ने लंबा विकल्प 2 चुना। मैंने विकल्प 1 चुना। 5 किलोमीटर में 480 मीटर की चढ़ाई थी। यह कैमिनो की सबसे लंबी लगातार चढ़ाई थी। कम से कम मौसम अच्छा था, हालांकि शायद थोड़ी ज्यादा गर्मी थी। कैमिनो का यह एकमात्र हिस्सा था जहाँ मैंने एक से अधिक पानी की बोतल ली, जिसकी मुझे ज़रूरत थी। चढ़ाई के बाद, रास्ता कई पवनचक्कियों के बीच एक पहाड़ी श्रृंखला से होकर गुजरता था। सभ्यता का एकमात्र संकेत जो मुझे दिखाई दिया, वह कई पवनचक्कियाँ और एक कार थी जो शायद उनकी मरम्मत के लिए वहाँ खड़ी थी। कैमिनो का यह सूखा, ऊबड़-खाबड़ और निर्जन हिस्सा मुझे ट्रांस कैटालिना ट्रेल की याद दिलाता है, जिसे मैं तीन बार कर चुका हूँ।

आखिरकार, मैं मारियो से पहले अबादिन पहुँच गया। अल्बर्ग का मेज़बान बहुत अच्छा था और मेरे जादू के करतब देखकर हैरान रह गया। जैसा कि मैंने बताया, ईस्टर का त्योहार था, इसलिए ज़्यादातर दुकानें बंद थीं। मुझे एक किराना स्टोर से ब्रेड, वाइन और चीज़ दोबारा लेनी पड़ी। मारियो मुझसे ज़्यादा खाने-पीने का शौकीन था और एक अच्छा सैंडविच बनाने का सारा सामान खरीदने के लिए और दूर चला गया। जब वह सैंडविच बनाने के लिए वापस आया, तो अल्बर्ग की रसोई में जैतून का तेल न होने के कारण उसे निराशा हाथ लगी। जब मैंने उसे उपलब्ध मूंगफली के तेल का इस्तेमाल करने का सुझाव दिया, तो वह चौंक गया। मुझे याद है उसने कहा था, "कोई भी स्वाभिमानी इतालवी मूंगफली के तेल से खाना नहीं बनाता।"

अंत में, उन्होंने उदारतापूर्वक अपना बनाया हुआ भोजन बाँटा और वहाँ मौजूद चार-पाँच तीर्थयात्रियों ने मिलकर एक अच्छा अनौपचारिक भोजन किया। ईस्टर मनाने का यह एक अच्छा तरीका था, हालाँकि किसी ने इस बारे में बात नहीं की। मुझे लगता है कि यीशु को यह पसंद आया होता।

19वें दिन तय की गई दूरी 21.8 किलोमीटर थी।

दिन 20 (6 अप्रैल)

20वां दिन तुलनात्मक रूप से छोटा और आसान था, जिसमें 21.8 किलोमीटर की दूरी तय करनी थी। हमेशा की तरह, मैं अकेला ही चला। कैमिनो मार्ग केवल दो बहुत छोटे कस्बों से होकर गुजरा।

मैं विलाल्बा पहुँच गया, जो उस दिन मेरी मंज़िल थी। वहाँ मेरी मुलाक़ात मारियो और सेबेस्टियन से हुई। मारियो और मैंने साथ में बढ़िया दोपहर का भोजन किया। खाने-पीने के मामले में मेरी बेरुखी ने उसे एक बार फिर नाराज़ कर दिया। मुझे याद है, उसने कहा था, "एक इतालवी होने के नाते, तुम्हें लाल शराब के साथ मछली खाते देखना मेरी आँखों को चुभता है।" उसे एक ज़रूरी बैठक के लिए इटली वापस जाना पड़ा और अगले ही दिन वह कैमिनो पर लौट आया।

विलाल्बा कस्बा काफी बड़ा था, लेकिन तटवर्ती अन्य शहरों की तरह उतना सुंदर नहीं था। अल्बर्ग में वापस आकर, हिप्पी जैसे कपड़े पहने एक युवती, जो शायद किसी नशे में थी, ने पूरे माहौल को मोहक बना दिया। इसी बीच, सेबेस्टियन से मेरी जान-पहचान बेहतर हुई। उसने मुझसे पूछा कि दो साल पहले अमेरिकियों ने जिसे राष्ट्रपति चुना था, वह कैसे चुन लिया? इस पर हमारी तीन घंटे लंबी बातचीत हुई। सौभाग्य से, हमारे पास इसके लिए काफी समय था, क्योंकि करने को और कुछ नहीं था।

दिन 21 (7 अप्रैल)

कैमिनो पर आज का दिन भी कुछ खास घटनापूर्ण नहीं रहा। बामोंडे से 5.2 किलोमीटर आगे, रास्ता फिर दो भागों में बंट गया। मैंने उत्तरी मार्ग चुना, जो छोटा तो था, लेकिन शायद उतना सुंदर नहीं था। एक बार फिर, मैं अकेला ही चला और मुझे कोई दूसरा तीर्थयात्री नहीं दिखा।

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उस दिन मेरा गंतव्य पारगा नाम का एक छोटा सा कस्बा था। वहाँ मुझे नटुरा अलोजामिएंटो नाम का एक शानदार नया अल्बर्ग मिला। मैं वहाँ ठीक समय पर पहुँचा क्योंकि मेरे पहुँचने के लगभग दस मिनट बाद ही ज़ोरदार बारिश शुरू हो गई।

यह शायद अब तक का सबसे आलीशान अल्बर्ग था जिसमें मैं रुका था। जैसा कि अक्सर छोटे शहरों में होता है, मुझे पूरा यकीन है कि यह इमारत पहले एक निजी घर रही होगी। वहां की मालकिन ने मेरा ऐसे स्वागत किया जैसे मैं उनका पहला मेहमान हूँ। उन्होंने मुझसे गाइडबुक और ऐप्स में अपना नाम शामिल करवाने के सुझाव मांगे। मैंने बताया कि कुछ अन्य अल्बर्ग विज्ञापन देते हैं। उन्होंने कहा कि उन्होंने भी ऐसा करने की कोशिश की थी, लेकिन प्रतिस्पर्धी अल्बर्ग ने अपने विज्ञापन हटा दिए।

जब मैं लिविंग रूम में आराम कर रही थी, तभी छठे दिन वाली लीना अपने कथित प्रेमी के साथ अंदर आई। लगता है वो मुझसे पिछली बार मिलने के बाद कहीं उससे मिल गया था। वो एक हट्टा-कट्टा नौजवान था जो एकदम सही अंग्रेज़ी बोलता था। मेरी उससे लीना के मुकाबले कहीं ज़्यादा अच्छी बनती थी।

मेज़बानों ने शानदार डिनर परोसा। पूरी यात्रा के दौरान अल्बर्ग में खाए गए सबसे बेहतरीन भोजनों में से एक। सेबेस्टियन भी वहाँ मौजूद था, लेकिन उसने डिनर के लिए अतिरिक्त पैसे देने से मना कर दिया। वह किसी बात को लेकर नाराज़ लग रहा था। यह एकमात्र ऐसा मौका था जब मैंने छठे और तेरहवें दिन के अपने ग्रुप के सदस्यों (लेना और सेबेस्टियन) को एक साथ देखा, हालाँकि मैंने उन्हें कभी आपस में बात करते हुए नहीं देखा।

21वें दिन मेरी तय की गई दूरी 26.4 किलोमीटर थी।

तर्क पहेली का उत्तर

3432

तर्क पहेली का हल #1

ध्यान दें कि किसी भी खाने तक पहुँचने के लिए टोकन या तो उसके ऊपर वाले खाने से या उसके बाईं ओर वाले खाने से आना चाहिए। इससे यह स्पष्ट होता है कि बाईं ओर के स्तंभ या ऊपर की पंक्ति में स्थित किसी भी खाने तक पहुँचने का केवल एक ही रास्ता है। इसलिए, किसी भी अन्य खाने तक पहुँचने के तरीकों की संख्या उसके ऊपर और बाईं ओर के खानों की संख्या का योग होती है। नीचे दी गई तालिका दर्शाती है कि सबसे नीचे दाईं ओर के खाने तक पहुँचने के तरीकों की संख्या 3432 है।

1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8
1	3	6	10	15	21	28	36
1	4	10	20	35	56	84	120
1	5	15	35	70	126	210	330
1	6	21	56	126	252	462	792
1	7	28	84	210	462	924	1716
1	8	36	120	330	792	1716	3432

तर्क पहेली का हल #2

टोकन को सात कदम नीचे और सात कदम दाईं ओर चलना होगा। कुल आवश्यक कदम 7+7=14 हैं। प्रश्न यह है कि वह इन 14 कदमों को कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकता है? इन 14 कदमों को उनके क्रम के अनुसार 1 से 14 तक क्रमांकित करें। इन 14 कदमों में से 7 कदमों को नीचे की ओर ले जाने के लिए आप कितने तरीकों से चुन सकते हैं?

एक्सेल नोटेशन का उपयोग करते हुए, उत्तर को combin(14,7) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, 14!/(7! * (14-7)!) = 14!/(7! * 7!) = 87178291200 / (5040 * 5040) = 3432।

पावती

इस समस्या के लिए प्रेरणा देने वाले YouTube चैनल 'MindYourDecisions' के प्रेश तलवलकर को मैं धन्यवाद देना चाहूंगा। यह समस्या " क्या आप ग्रिड पहेली पर सेब के पथों को हल कर सकते हैं? " शीर्षक वाले वीडियो में पाई जा सकती है।

द्वारा लिखित: Michael Shackleford