एक पूर्ण ब्रैकेट की संभावना

परिचय

मार्च में मुझे अक्सर एक सवाल पूछा जाता है, "मार्च मैडनेस ब्रैकेट को पूरी तरह से सही तरीके से पूरा करने की संभावना क्या है?" मीडिया में अक्सर उद्धृत एक आँकड़ा 9,223,372,036,854,780,000 में से 1 है। यह उद्धरण बेतरतीब ढंग से लगाए गए अनुमान पर आधारित है, जो कोई नहीं करता, और इसे सुनकर मेरे रोंगटे खड़े हो जाते हैं। यहाँ मैं एक बुनियादी रणनीति बताऊँगा जिसका आप पालन कर सकते हैं, भले ही आपको बास्केटबॉल के बारे में कुछ भी पता न हो, और उस रणनीति से आपकी सफलता की संभावना का एक अनुमान भी।

नियम

टूर्नामेंट के नियम नीचे दिए गए हैं। अगर आप इन्हें पहले से जानते हैं, तो आप इस भाग को छोड़ सकते हैं।

ज़्यादातर उद्देश्यों और मकसदों के लिए, यह टूर्नामेंट सिंगल एलिमिनेशन है, जिसकी शुरुआत 64 टीमों से होती है। मेरे परफेक्शनिस्ट पाठकों की संतुष्टि के लिए बता दूँ कि असल में 68 टीमें हैं, जिनमें से आठ टीमें चार मैचों में एक-दूसरे से भिड़ती हैं। इन चार मैचों और 60 अन्य टीमों के विजेताओं को मिलाकर कुल 64 टीमें बनती हैं, और यहीं से आमतौर पर ब्रैकेट चुनना शुरू होता है।

64 टीमों को चार अलग-अलग कॉन्फ़्रेंसों, उत्तर, दक्षिण, पश्चिम और पूर्व, में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक में 16 टीमें होंगी। प्रत्येक कॉन्फ़्रेंस की प्रत्येक टीम को 1 से 16 तक एक "सीड" दिया जाएगा, जिसका उद्देश्य उनकी क्षमता की रैंकिंग है, हालाँकि यह एक अपूर्ण तरीका है। इसके बाद निम्नलिखित होगा:

चार 1 सीड चार 16 सीड से खेलेंगे।
चार 8 सीड चार 9 सीड के साथ खेलेंगे।
चार 5 सीड चार 12 सीड से खेलेंगे।
चार 4 सीड चार 13 सीड से खेलेंगे।
चार 6 सीड चार 11 सीड से खेलेंगे।
चार 3 सीड चार 14 सीड से खेलेंगे।
चार 2 सीड चार 15 सीड से खेलेंगे।
चार 7 सीड चार 10 सीड से खेलेंगे।
चरण 1 से 8 तक के खेलों के बाद, 64 टीमों की संख्या घटकर 32 रह जाएगी।
नियम 1 के विजेता नियम 2 के विजेताओं से खेलेंगे।
नियम 3 के विजेता नियम 4 के विजेताओं से खेलेंगे।
नियम 5 के विजेता नियम 6 के विजेताओं के साथ खेलेंगे।
नियम 7 के विजेता नियम 8 के विजेताओं के साथ खेलेंगे।
चरण 10 से 13 के खेलों के बाद, शेष 32 टीमों की संख्या घटाकर 16 कर दी जाएगी।
नियम 10 के विजेता नियम 11 के विजेताओं से खेलेंगे।
नियम 12 के विजेता नियम 13 के विजेताओं से खेलेंगे।
चरण 15 और 16 के खेलों के बाद, शेष 16 टीमों को घटाकर आठ कर दिया जाएगा।
नियम 15 के विजेता नियम 16 के विजेताओं के साथ खेलेंगे।
चरण 18 में खेलों के बाद, शेष आठ टीमों को घटाकर 4 कर दिया जाएगा। इससे चारों डिवीजनों में से प्रत्येक से एक विजेता का चयन हो जाएगा।
टूर्नामेंट टीमों का चयन करते समय एनसीएए बास्केटबॉल समिति द्वारा निर्धारित #1 समग्र टीम वाले क्षेत्रीय का विजेता, #4 समग्र टीम वाले क्षेत्रीय के विजेता से खेलता है; विजेता आगे बढ़ता है।
नियम 20 में उल्लिखित नहीं किए गए दो क्षेत्रों के विजेता एक दूसरे के साथ खेलते हैं, तथा विजेता आगे बढ़ता है।
चरण 20 और 21 के विजेता खेलेंगे, विजेता टूर्नामेंट जीतेगा।

एक बार जब टीमें 64 हो जाती हैं, तो टूर्नामेंट में 32+16+8+4+2+1=63 खेल होते हैं।

मूल रणनीति

हमेशा उच्च रैंकिंग वाली या कम रैंकिंग वाली टीम चुनें। उदाहरण के लिए, उन चार खेलों में जहाँ नंबर 1 सीड का मुकाबला नंबर 16 सीड से होता है, नंबर 1 सीड चुनें। 136 बार जब नंबर 1 सीड ने नंबर 16 सीड से मुकाबला किया है, तो नंबर 1 सीड ने 135 बार जीत हासिल की है। 2018 में पहली बार नंबर 1 सीड को 16 सीड से हार का सामना करना पड़ा, जब UMBC (जिसकी एक बेहतरीन शतरंज टीम है) ने वर्जीनिया विश्वविद्यालय को हराया।

जब आप चारों डिवीजनों में से प्रत्येक में जीतने वाले नंबर एक सीड तक पहुंच जाएं, तो शेष तीन गेम यादृच्छिक रूप से चुनें।

मैचअप

नीचे दी गई तालिका में सभी असंतुलित मुकाबलों में कम से कम एक बार हुए कई आमने-सामने के मुकाबलों को दिखाया गया है। इसमें वे मैच शामिल नहीं हैं जहाँ समान वरीयता वाली टीमें एक-दूसरे के खिलाफ खेली थीं। दाएँ कॉलम में उच्च रैंक वाली टीम के जीतने की संभावना दर्शाई गई है।

असंतुलित मैचअप परिणाम

उच्च बीज	निचला बीज	खेले गए खेल	उच्च वरीयता प्राप्त जीत	संभावना
1	2	67	36	0.537313
1	3	36	22	0.611111
1	4	64	47	0.734375
1	5	48	40	0.833333
1	6	13	10	0.769231
1	7	7	6	0.857143
1	8	75	60	0.800000
1	9	71	65	0.915493
1	10	6	5	0.833333
1	11	8	4	0.500000
1	12	20	20	1.000000
1	13	4	4	1.000000
1	16	144	143	0.993056
2	3	56	34	0.607143
2	4	7	3	0.428571
2	5	5	0	0.000000
2	6	30	23	0.766667
2	7	82	57	0.695122
2	8	7	2	0.285714
2	9	1	0	0.000000
2	10	52	34	0.653846
2	11	18	15	0.833333
2	12	2	2	1.000000
2	15	144	134	0.930556
3	4	7	4	0.571429
3	5	4	2	0.500000
3	6	75	45	0.600000
3	7	15	9	0.600000
3	8	2	2	1.000000
3	9	2	2	1.000000
3	10	12	8	0.666667
3	11	49	32	0.653061
3	14	144	122	0.847222
3	15	2	2	1.000000
4	5	75	42	0.560000
4	6	4	2	0.500000
4	7	5	2	0.400000
4	8	9	4	0.444444
4	9	3	2	0.666667
4	10	2	2	1.000000
4	12	39	26	0.666667
4	13	144	113	0.784722
5	6	1	1	1.000000
5	8	3	1	0.333333
5	9	3	1	0.333333
5	10	1	1	1.000000
5	12	144	93	0.645833
5	13	19	16	0.842105
6	7	9	6	0.666667
6	8	1	0	0.000000
6	10	7	4	0.571429
6	11	144	90	0.625000
6	14	15	13	0.866667
7	8	2	1	0.500000
7	10	144	87	0.604167
7	11	3	0	0.000000
7	14	1	1	1.000000
7	15	5	3	0.600000
8	9	144	74	0.513889
8	11	1	1	1.000000
8	12	2	0	0.000000
8	13	1	1	1.000000
8	16	1	0	0.000000
9	11	1	0	0.000000
9	13	1	1	1.000000
10	11	3	1	0.333333
10	14	1	1	1.000000
10	15	5	5	1.000000
11	14	7	6	0.857143
12	13	12	9	0.750000

विश्लेषण

जिस तरह से मैंने एक पूर्ण ब्रैकेट की संभावना का विश्लेषण किया, वह किसी एक सीड द्वारा दूसरे सीड को हराने के ऐतिहासिक अनुभव को देखना था। उदाहरण के लिए, 4 सीड द्वारा 5 सीड को हराने की संभावना। इस लेखन के समय, 1985 से 2021 तक के 36 वर्षों के आंकड़ों के साथ, ऐसा मुकाबला 75 बार हुआ है, जिसमें 4 सीड ने उनमें से 42 में जीत हासिल की है, 56% की संभावना के साथ। यह एक सभ्य तरीका है, लेकिन एक छोटे नमूने के आकार की समस्या से ग्रस्त है। मुझे लगता है कि दो सीड नंबरों के अनुसार, किसी भी दिए गए गेम को जीतने वाली उच्च वरीयता प्राप्त टीम की संभावना को प्राप्त करने का एक बेहतर तरीका 1985 और 2021 के बीच 36 वर्षों में खेले गए सभी 2,268 टूर्नामेंट खेलों को देखना है। ऐसा करने से मुझे डेटा में उतार-चढ़ाव को सुचारू करने और बेहतर अनुमान लगाने का अवसर मिला।

निम्न तालिका उच्च वरीयता प्राप्त टीम के जीतने की संभावना दर्शाती है, यदि खिलाड़ी हर मैच में उच्च वरीयता प्राप्त टीम को चुनता है। यदि कोई खिलाड़ी पहली वरीयता प्राप्त टीम से खेलता है, तो मैं किसी भी मैच में जीतने की 50% संभावना मानता हूँ। "पुरानी विधि" ऐतिहासिक अनुभव के आधार पर सटीक संभावना को देखती है। "नई विधि" किसी भी दी गई वरीयता प्राप्त टीम की ताकत का अधिक सटीक चित्र प्राप्त करने के लिए डेटा को सुचारू करने की मेरी विधि पर आधारित है।

पसंदीदा की जीत की संभावना

गोल	आयोजन	खेले गए खेल	संभावना पुरानी विधि	संभावना नई विधि
1	1 बीट्स 16	4	0.993056	0.993049
1	2 बीट्स 15	4	0.930556	0.933458
1	3 बीट्स 14	4	0.847222	0.887485
1	4 बीट्स 13	4	0.784722	0.832170
1	5 बीट्स 12	4	0.645833	0.768372
1	6 बीट्स 11	4	0.625000	0.697340
1	7 बीट्स 10	4	0.604167	0.620749
1	8 ने 9 को हराया	4	0.513889	0.540650
2	1 8 को हराता है	4	0.800000	0.792047
2	4 बीट्स 5	4	0.560000	0.540873
2	3 बीट्स 6	4	0.600000	0.622246
2	2 बीट्स 7	4	0.695122	0.702952
3	1 4 को हराता है	4	0.734375	0.668944
3	2 बीट्स 3	4	0.607143	0.551538
4	1 2 को हराता है	4	0.537313	0.578959
5	1 बीट्स 1	2	0.500000	0.500000
6	1 बीट्स 1	1	0.500000	0.500000

आगे बढ़ने से पहले, मैं pr(x) = घटना x के घटित होने की प्रायिकता का प्रयोग करूँगा। उदाहरण के लिए, pr(दो पासों से कुल 7 आना) = 1/6।

याद रखें कि टूर्नामेंट में चार डिवीजन हैं, इसलिए पहले चार राउंड के लिए, खिलाड़ी को किसी भी मैच को चार बार जीतना होगा।

पहले राउंड में सभी 32 गेम जीतने और राउंड 2 में आगे बढ़ने की संभावना है: [pr(1 सीड 16 सीड को हराता है)*pr(2 सीड 15 सीड को हराता है)*pr(3 सीड 14 सीड को हराता है)*pr(4 सीड 13 सीड को हराता है)*pr(5 सीड 12 सीड को हराता है)*pr(6 सीड 11 सीड को हराता है)*pr(7 सीड 10 सीड को हराता है)*pr(8 सीड 9 सीड को हराता है)]^4.

नई विधि के तहत, दूसरे राउंड तक जीवित रहने की संभावना 4,354 में से 1 है।

दूसरे राउंड में, खिलाड़ी के पास जीतने के लिए 16 गेम होंगे। यह मानते हुए कि वह पहले राउंड में बच जाता है, दूसरे राउंड में बचने की संभावना [pr(पहला सीड 8वें सीड को हराता है)*pr(दूसरा सीड 7वें सीड को हराता है)*pr(तीसरा सीड 6वें सीड को हराता है)*pr(चौथा सीड 5वें सीड को हराता है)]^4 होगी। नई विधि का उपयोग करते हुए, यह संभावना 811 में 1 है। पहले और दूसरे दोनों राउंड में बचने की संभावना 3,531,138 में 1 है।

तीसरे राउंड में, खिलाड़ी के पास जीतने के लिए 8 गेम होंगे। यह मानते हुए कि वह पहले और दूसरे राउंड में बच जाता है, तीसरे राउंड में बचने की संभावना [pr(1 सीड, 4 सीड से बेहतर)*pr(2 सीड, 3 सीड से बेहतर)]^4 होगी। नई विधि का उपयोग करते हुए, यह संभावना 54 में से 1 है। शुरुआत से लेकर अब तक बचने की संभावना लगभग 19 करोड़ में से 1 है।

चौथे राउंड में, खिलाड़ी के पास जीतने के लिए 4 गेम होंगे। ये सभी 1 सीड बनाम 1 सीड गेम होंगे। मान लीजिए कि प्रत्येक गेम जीतने की संभावना 50% है। चारों गेम जीतने की संभावना (1/2)^4 = 16 में 1 है। शुरुआत से लेकर अब तक, इस बिंदु तक जीवित रहने की संभावना लगभग 1.7 अरब में 1 है।

पाँचवें राउंड में, खिलाड़ी के पास जीतने के लिए दो गेम होंगे। ये सभी एक सीड बनाम एक सीड गेम होंगे। फिर से, मान लीजिए कि प्रत्येक गेम जीतने की संभावना 50% है। दोनों गेम जीतने की संभावना (1/2)^2 = 4 में 1 है। शुरुआत से लेकर अब तक, इस बिंदु तक जीवित रहने की संभावना लगभग 6.8 अरब में 1 है।

खिलाड़ी को अभी एक और गेम जीतना है, चैंपियनशिप गेम। अगर वह इतनी दूर तक बच जाता है, तो यह एक और सीड बनाम एक सीड होगा। मान लीजिए कि जीतने की संभावना 50% है। इससे चैंपियनशिप गेम में बचने की संभावना, एक आदर्श ब्रैकेट के लिए, लगभग 13.6 अरब में से 1 हो जाती है।

वैसे, पुरानी पद्धति का उपयोग करने पर पूर्ण ब्रैकेट की संभावना 56.7 बिलियन में 1 होती है।

वॉरेन बफेट पुरस्कार

वॉरेन बफेट ने अपने किसी भी कर्मचारी को, जो एक आदर्श ब्रैकेट भर सके, आजीवन प्रति वर्ष $1,000,000 देने की पेशकश की है। वॉरेन के लगभग 377,000 कर्मचारी हैं ( स्रोत )। यह मानते हुए कि प्रत्येक कर्मचारी ने उपरोक्त रणनीति का पालन किया और 60 वर्ष और जीवित रहा, प्रति कर्मचारी अपेक्षित मूल्य 0.4 सेंट है और श्री बफेट के लिए अपने सभी कर्मचारियों पर अपेक्षित लागत $1,667 है।

अगर आप मेरी रणनीति का पालन करते हुए किसी और के साथ परफेक्ट ब्रैकेट का गौरव साझा करने का जोखिम नहीं उठाना चाहते, तो मेरा सुझाव है कि आप 8 सीड वाले को हराने के लिए एक या दो 9 सीड चुनें। 9 सीड वाले के 8 सीड वाले को हराने की संभावना 47.8% है, इसलिए परफेक्ट ब्रैकेट का गौरव अपने नाम करने की संभावना बढ़ाने के लिए यह एक छोटा सा त्याग है।