केली मानदंड

परिचय

केली मानदंड एक दांव-आकार निर्धारण तकनीक है जो लाभ कमाने वाले जुआरी के लिए जोखिम और लाभ दोनों को संतुलित करती है। यही सिद्धांत किसी भी ऐसे निवेश पर लागू होगा जिसमें लाभ की उम्मीद हो। औसत भाग्य वाले और निश्चित दांव वाले जुआरी/निवेशक के लिए, एक दांव के बाद अपेक्षित बैंकरोल वृद्धि है:

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक कैसीनो ने क्रेप्स में एक प्रमोशन चलाया, जहाँ 2 ने 3 से 1 का भुगतान किया और 12 ने 4 से 1 का भुगतान किया। 3, 4, 9, 10, या 11 भी 1 से 1 का भुगतान करते हैं और बाकी सभी योग हार जाते हैं। 2 या 12 प्रत्येक की संभावना 1/36 है, किसी भी सम राशि की जीत की संभावना 14/36 है और हार की संभावना 20/36 है। मान लीजिए कि खिलाड़ी हर दांव पर अपने बैंकरोल का 1% दांव लगाता है। तो प्रति दांव अपेक्षित बैंकरोल वृद्धि होगी:

(1 + (0.01*3))^(1/36) * (1 + (0.01*1)^(14/36) * (1 + (0.01*-1))^(20/36) * (1 + (0.01*4))^(1/36)) - 1 = 0.00019661.

केली बेटिंग इस उत्पाद को अधिकतम करती है। केली बेटिंग, बैंकरोल को दोगुना करने के लिए अपेक्षित दांवों की संख्या को भी न्यूनतम कर देती है, जब दांव का आकार हमेशा वर्तमान बैंकरोल के अनुपात में होता है।

औसत भाग्य वाले जुआरी के लिए, केली दांव राशि अपेक्षित बैंकरोल वृद्धि को अधिकतम करने के लिए इष्टतम राशि है। केली से अधिक दांव लगाने से प्रति दांव के आधार पर अधिक अपेक्षित लाभ प्राप्त होगा, लेकिन अधिक अस्थिरता के कारण दीर्घकालिक बैंकरोल वृद्धि, सटीक केली दांव आकार की तुलना में कम हो जाती है। केली के दोगुने दांव लगाने से अपेक्षित वृद्धि शून्य होती है। केली के दोगुने से अधिक दांव लगाने से अपेक्षित बैंकरोल में गिरावट आती है। आमतौर पर पूरी केली राशि से कम दांव लगाना देखा जाता है। हालाँकि इससे अपेक्षित वृद्धि कम होती है, लेकिन यह बैंकरोल की अस्थिरता को भी कम करता है। उदाहरण के लिए, केली राशि का आधा दांव लगाने से बैंकरोल की अस्थिरता 50% कम हो जाती है, लेकिन वृद्धि केवल 25% कम होती है।

केवल दो परिणामों वाले सरल दांवों के लिए, इष्टतम केली दांव लाभ को दांव द्वारा "एक" के आधार पर भुगतान की जाने वाली राशि से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। एक से अधिक संभावित परिणामों वाले दांवों के लिए, इष्टतम केली दांव वह होता है जो दांव के बाद बैंकरोल के लॉग को अधिकतम करता है। हालाँकि, एक से अधिक परिणामों वाले दांवों के लिए, यह निर्धारित करना कठिन हो सकता है। अधिकांश जुआरी लाभ/प्रसरण को एक अनुमान के रूप में उपयोग करते हैं, जो एक बहुत अच्छा अनुमानक है। उदाहरण के लिए, यदि किसी दांव में 2% का लाभ और 4 का प्रसरण है, तो "पूर्ण केली" का उपयोग करने वाला जुआरी उस घटना पर अपने बैंकरोल का 0.02/4 = 0.5% दांव लगाएगा। याद रखें कि प्रसरण मानक विचलन का वर्ग है, जो मेरे खेल तुलना गाइड में कई खेलों के लिए सूचीबद्ध है।

आइये तीन उदाहरण देखें।

उदाहरण 1: एक कार्ड काउंटर को दी गई गिनती पर 1% का लाभ मिलता है। मेरे खेल तुलना गाइड से, हम देखते हैं कि ब्लैकजैक का मानक विचलन 1.15 है (जो नियमों और गिनती दोनों के अनुसार भिन्न हो सकता है)। यदि मानक विचलन 1.15 है, तो विचरण 1.15 ² = 1.3225 है। दांव लगाने के लिए बैंकरोल का हिस्सा 0.01 / 1.3225 = 0.76% है।

उदाहरण 2: शहर का एक कसीनो वीडियो पोकर में 5X पॉइंट्स का प्रमोशन दे रहा है। आमतौर पर स्लॉट क्लब मुफ़्त प्ले में 1% का 2/9 देता है। इसलिए 5X पर, स्लॉट क्लब 1.11% देता है। सबसे अच्छा खेल 9/6 जैक्स या बेटर है, जिस पर 99.54% रिटर्न मिलता है। स्लॉट क्लब पॉइंट्स के बाद, रिटर्न 99.54% + 1.11% = 100.65%, या 0.65% का लाभ है। गेम तुलना गाइड के अनुसार, 9/6 जैक्स या बेटर का मानक विचलन 4.42 है, इसलिए विचरण 19.5364 है। दांव लगाने के लिए बैंकरोल का हिस्सा 0.0065 / 19.5364 = 0.033% है। वैसे, जब मैं यह लिख रहा हूँ, तब यही प्रमोशन 2 और 3 सितंबर, 2007 को Wynn में चल रहा है।

उदाहरण 3: एक खेल दांव में जीतने की संभावना 20% है और 9 से 2 का भुगतान होता है। लाभ 0.2×4.5 + 0.8×-1 = 0.1 है। इष्टतम केली दांव 0.1/4.5 = 2.22% है।

उदाहरण 3 का सटीक गणित इस प्रकार है। मान लीजिए x इष्टतम केली बेट है, और बेट से पहले बैंकरोल 1 है। बेट के बाद बैंकरोल का अपेक्षित लघुगणक है...

f(x) = 0.2 × लॉग(1+4.5x) + 0.8 × लॉग(1-x)

f(x) को अधिकतम करने के लिए, व्युत्पन्न लें और उसे शून्य के बराबर रखें।

f'(x) = 0.2 × 4.5 / (1+4.5x) - 0.8 / (1-x) = 0

0.9 / (1+4.5x) = 0.8/(1-x)

0.9 - 0.9x = 0.8 + 3.6 x

4.5x = 0.1

x = .1/4.5 = 1/45 = 2.22%

वीडियो पोकर जैसे खेलों में, जब एक से ज़्यादा संभावित परिणाम हों, तो गणित और भी उलझ जाता है। तरीका वही रहता है, लेकिन x का हल निकालना ज़्यादा मुश्किल होता है। मेरे विचार से, ऐसे मामलों में x का हल निकालने का सबसे आसान तरीका अलग-अलग मानों के साथ प्रयोग करना है, उच्च और निम्न तकनीकों (जैसे "प्राइस इज़ राइट" पर क्लॉक गेम) का इस्तेमाल करके, जब तक कि f'(x) शून्य के बहुत करीब न पहुँच जाए।

मैंने 100% से ज़्यादा रिटर्न वाले दो आम वीडियो पोकर गेम्स के लिए ऐसा किया। 100.76% रिटर्न वाले " फुल पे ड्यूसेस वाइल्ड " के लिए, सबसे उपयुक्त दांव का आकार बैंकरोल का 0.0345% है। 100.17% रिटर्न वाले " 10/7 डबल बोनस " के लिए, सबसे उपयुक्त दांव का आकार बैंकरोल का 0.0062637% है। मैंने एक सामान्य नियम सुना है कि वीडियो पोकर में सफल होने के लिए आपके पास रॉयल राशि का 3 से 5 गुना बैंकरोल होना चाहिए। अगर आप फुल पे ड्यूसेस वाइल्ड खेल रहे हैं, तो सटीक राशि 3.66 रॉयल है। 10/7 डबल बोनस के लिए यह 19.96 रॉयल है।

सिमुलेशन

अपने इस कथन को सिद्ध करने के लिए कि केली बैंकरोल को दोगुना करने के लिए दांवों की संख्या कम से कम करता है, मैंने 2% लाभ और 2% केली दांव के आकार के लिए, जीतने की 51% संभावना वाला एक सम राशि वाला दांव मान लिया। यहाँ विभिन्न दांव आकारों पर बैंकरोल को दोगुना करने के लिए औसतन कितने दांव लगाने पड़ते हैं, यह बताया गया है। यदि कोई विजयी दांव दांव लगाने वाले को बैंकरोल के दोगुने से अधिक का दांव लगाता है, तो वह केवल उतना ही दांव लगाएगा जितना बैंकरोल को ठीक दोगुना करने के लिए आवश्यक हो।

केली बनाम इष्टतम वीडियो पोकर रणनीति

20 सितंबर, 2007 को अपने "आस्क द विज़ार्ड" कॉलम में, मैंने सुझाव दिया था कि केली बेटर को कभी-कभी इष्टतम वीडियो पोकर रणनीति नहीं अपनानी चाहिए। मेरे कारण वहाँ बताए गए हैं।

केली पर लिंक

विलियम पाउंडस्टोन द्वारा लिखित फॉर्च्यून का फ़ॉर्मूला । मेरी समीक्षा पढ़ें।

विजेता के लिए कैसीनो जुआ

केली पर एक अच्छा स्रोत, विशेष रूप से ब्लैकजैक से संबंधित, डॉन स्लेसिंगर द्वारा ब्लैकजैक अटैक है।

विकिपीडिया पर केली मानदंड.

द्वारा लिखित: Michael Shackleford