लॉटरी - अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

आइए प्रश्न को दूसरे शब्दों में लिखने का प्रयास करें। मान लें कि लॉटरी में 1 करोड़ संयोजन हैं, और सभी खिलाड़ी अपनी संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनते हैं (डुप्लिकेट की अनुमति देते हुए), लॉटरी को कितने टिकट बेचने होंगे ताकि कम से कम एक व्यक्ति के जीतने की संभावना 90% हो? मान लीजिए कि जीतने की संभावना p है और बेची गई टिकटों की संख्या n है। 1 व्यक्ति के हारने की संभावना 1-p है। सभी n लोगों के हारने की संभावना (1-p) ⁿ है। कम से कम एक विजेता की संभावना 1 - (1-p) ⁿ है। इसलिए हमें इसे .9 के बराबर रखना होगा और n के लिए हल करना होगा।

.9 = 1 - (1-पी) ^एन
.1 = (1-पी) ^एन
ln(.1) = ln((1-p) ⁿ )
ln(.1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1-p)
एन = एलएन(.1)/एलएन(.9999999)
एन = 23,025,850.

तो, लॉटरी में कम से कम एक विजेता की संभावना 90% होने के लिए 23,025,850 टिकट बेचने होंगे। अगर आप सोच रहे हैं, तो अगर लॉटरी में ठीक दस मिलियन टिकट बिकते हैं, तो कम से कम एक विजेता की संभावना 63.2% होगी, जो लगभग 1-(1/e) के बराबर है।

उत्तर में एक कारक अन्य खिलाड़ियों को बेचे गए टिकटों की कुल संख्या है। यदि एक से अधिक खिलाड़ी जैकपॉट जीतते हैं, तो इसे साझा करना होगा। आइए संभावित संयोजनों की संख्या n, बेचे गए अन्य टिकटों की कुल संख्या t, छोटे पुरस्कारों पर वापसी की दर r (बड़े खेल के मामले में r=0.179612), और जैकपॉट का आकार j कहें। इसे बराबरी पर लाने के लिए j*n/(n+t) + r*n - n=0। इसका मान j=(1-r)*(n+t) होगा।

संक्षिप्त उत्तर है, नहीं, आप कभी नहीं जीतेंगे। सामान्य 6/49 लॉटरी जीतने की संभावना 13,983,816 में 1 है। कम से कम एक बार जीतने की 50/50 संभावना के लिए आपको यह खेल ln(.5)/ln(1-1/combin(49,6)) = 9,692,842 बार खेलना होगा। मान लीजिए कि आप प्रतिदिन 100 लॉटरी टिकट खरीदते हैं, तो जीतने की 50% संभावना होने में 265.6 वर्ष लगेंगे। जीतने की 90% संभावना होने में 882.2 वर्ष लगेंगे।

आइए f(x,y) को एक सूट के x और दूसरे सूट के y मिलने की प्रायिकता के रूप में परिभाषित करें। यह फलन दो पदों तक सीमित नहीं है।

दो तर्कों के साथ f(x,y)= combin(13,x)*combin(13,y)*12/combin(52,5).

तीन तर्कों के साथ f(x,y,z)= combin(13,x)*combin(13,y)*combin(13,z)*12/combin(52,5).

चार तर्कों के साथ f(w,x,y,z)=combin(13,w)*combin(13,x)*combin(13,y)*combin(13,z)*4/combin(52,5).

सभी चार सूट की संभावना COMBIN(13,1) ³ *COMBIN(13,2)*4/combin(52,5) = 26.37% है।

तीन सूट की संभावना COMBIN(13,3)*COMBIN(13,1) ² *12 + COMBIN(13,1)*COMBIN(13,2)^2*12/combin(52,5) = 58.84%

दो सूट की संभावना COMBIN(13,3)*COMBIN(13,2)*12 + COMBIN(13,4)*COMBIN(13,1)*12/combin(52,5) = 14.59%

एक सूट (स्ट्रेट और रॉयल फ्लश सहित) की संभावना 4*कॉम्बिन(13,5)/कॉम्बिन(52,5) = 0.20% है।

इसलिए तीन सूट सबसे अधिक बार आने वाला परिणाम है।

नहीं, मैंने जैकपॉट के बँटवारे का हिसाब नहीं लगाया। इससे निश्चित रूप से मूल्य कम होता है, जितने ज़्यादा लोग खेलेंगे, अपेक्षित रिटर्न उतना ही कम होगा। जब मैंने वह लेख लिखा था, तब मेरे पास खिलाड़ियों की संख्या के बारे में पर्याप्त जानकारी नहीं थी, इसलिए मैं उसे ठीक से शामिल नहीं कर पाया।

मुझे लगता है कि आप लॉटरी नंबर चाहते हैं। माफ़ कीजिए, मैं आपसे बेहतर कुछ नहीं कर सकता। फिर भी, मैं आपको सलाह दूँगा कि आप बिल्कुल भी न खेलें, खासकर अगर आप बहुत गरीब हैं। लगता है वहाँ बहुत से पूर्व जनरल और तानाशाह मुझे 17 मिलियन डॉलर भेजने की कोशिश कर रहे हैं, हो सकता है उनमें से कोई आपको स्कॉलरशिप दे दे।

माइक एस., क्या संभावनाएँ हैं? कई रेसट्रैक "क्लास 2" गेमिंग की अनुमति देते हैं, जो लॉटरी या बिंगो आधारित होनी चाहिए। इस नियम के तहत स्लॉट्स की पेशकश करने का तरीका यह है कि पर्दे के पीछे लॉटरी या बिंगो गेम चलता रहे और परिणाम स्लॉट मशीन की जीत के रूप में प्रदर्शित हो। उदाहरण के लिए, अगर लॉटरी गेम में यह तय होता है कि आप अपनी शर्त का 20 गुना जीतेंगे, तो यह स्लॉट मशीन के प्रतीकों को 20 का भुगतान करते हुए दिखाएगा। तो यह एक चतुर भ्रम है।

49 में से 6 संख्याएँ सही चुनने पर जीतने की संभावना (49,6) में 1 = 13,983,816 में 1 है। आपके दोनों टिकटों के मेल खाने की संभावना भी यही है।

मैंने कुछ शोध किया और प्रत्येक ड्रॉ में छह संख्याएँ चुनी गईं। किसी भी ड्रॉ में संख्या 53 के न आने की प्रायिकता संयोजन (89,6)/संयोजन (90,6) = 93.333% है। दो वर्षों में 208 ड्रॉ होंगे। इसलिए किसी विशिष्ट दो वर्ष की अवधि में 53 के न आने की प्रायिकता 0.93333 ²⁰⁸ = 0.000000585665, या 1,707,460 में 1 होगी।

दो साल की अवधि में किसी भी संख्या के न आने की प्रायिकता लगभग 90*(1/1,707,460) = 18,972 में 1 के रूप में अनुमानित की जा सकती है। वास्तविक प्रायिकता इससे थोड़ी कम होगी क्योंकि मैंने दो छूटी हुई संख्याओं को दो बार गिना है, जो बहुत नगण्य है। बेशक, लॉटरी में पिछले अंक मायने नहीं रखते और हर ड्रॉ में 53 नंबर चुनने की समान प्रायिकता होती है।

सबसे पहले, आइए उस प्रायिकता की पुष्टि करें। खिलाड़ी को 55 के समूह से 5 नियमित संख्याओं और 42 के समूह से एक पावर बॉल का मिलान करना होगा। जीतने की प्रायिकता (55,5)*42 = 146,107,962 में 1 के संयोजन में 1 होगी। इसलिए मैं आपकी प्रायिकता से सहमत हूँ। मुझे आपके जैसे प्रश्नों के लिए पॉइसन वितरण का उपयोग करना पसंद है। जीत की औसत संख्या 105,000,000/146,107,962 = 0.71865 होगी। n विजेताओं की प्रायिकता का सामान्य सूत्र, जिसका माध्य m है, e ^-m *m ⁿ /n! है। इस स्थिति में माध्य 0.71865 है, इसलिए शून्य की प्रायिकता e ^-0.71865 *0.71865 ⁰ /0! = 0.48741 है। तो कम से कम एक विजेता की संभावना 1-0.48741 = 0.51259 है। इसलिए 0.71865 विजेताओं को जैकपॉट का 0.51259 हिस्सा बाँटना होगा। यानी प्रति विजेता 0.51259/0.71865 = 0.71327 जैकपॉट। इसलिए जैकपॉट बाँटने से आपकी अपेक्षित जीत जैकपॉट राशि के 71.327% तक कम हो जाती है, यानी 28.673% की कमी।

लॉटरी हमेशा एक बेवकूफी भरा दांव होता है! संक्षेप में, पावरप्ले विकल्प का रिटर्न 49.28% है। अकेले पावरबॉल टिकट से रिटर्न इतना कम है कि पावरप्ले विकल्प के साथ x/2 टिकट खरीदना, बिना पावरप्ले विकल्प के x टिकट खरीदने से बेहतर होगा। अगर आपको और जानकारी चाहिए, तो मैंने अपने लॉटरी सेक्शन में इस विकल्प के बारे में जानकारी जोड़ दी है।

मान लीजिए आपका उत्तर n है। 7 या 11 आने की प्रायिकता 8/36 है। n का हल निकालने के लिए:

(8/36) ⁿ = 1/41,400,000

लॉग((8/36) ⁿ ) = लॉग(1/41,400,000)

एन × लॉग(8/36) = लॉग(1/41,400,000)

n = लॉग(1/41,400,000)/लॉग(8/36)

एन = -7.617 / -0.65321

एन = 11.6608

तो लीजिए, सुपरलोट्टो जीतने की संभावना लगातार 11.66 बार सात या ग्यारह फेंकने के बराबर है। जो लोग आंशिक फेंक को नहीं समझ पा रहे हैं, उनके लिए मैं इसे इस तरह से कहूँगा कि संभावना लगातार 11 से 12 बार फेंकने के बीच है।

इंडियाना लॉटरी वेबसाइट के अनुसार, 325,000 टिकट धारकों को कुल $3,270,000 की पुरस्कार राशि दी जाएगी। यह मानते हुए कि पूरी श्रृंखला बिक गई है, प्रत्येक टिकट की कीमत औसतन $10.615 होगी। $20 प्रति टिकट की कीमत पर, रिटर्न 50.31% होगा। यदि केवल 60,000 टिकट बिके, तो प्रत्येक टिकट की कीमत $54.50 होगी, यानी 272.50% रिटर्न। ब्रेक-ईवन पॉइंट 163,500 टिकट बिकने पर है। अगर आपको लगता है कि इससे कम टिकट बिकेंगे, तो टैक्स और पैसे की उपयोगिता को दरकिनार करते हुए, टिकट खरीदना एक अच्छा दांव है।

मैंने न्यूयॉर्क और कैलिफ़ोर्निया की लॉटरी वेबसाइटें देखीं। दोनों में बताया गया था कि अगर विजेता की मृत्यु सभी भुगतानों से पहले हो जाती है, तो बाकी राशि विजेता के उत्तराधिकारी या उसकी संपत्ति को दे दी जाएगी।

यह सच है, लेकिन यह उतना संदिग्ध नहीं है जितना आप सोचते हैं। HC Tijms द्वारा लिखित "अंडरस्टैंडिंग प्रोबेबिलिटी: चांस रूल्स इन एवरीडे लाइफ " के अनुसार, 21 जून, 1995 और 20 दिसंबर, 1986 को द्वि-साप्ताहिक ड्रॉ में संख्याओं का एक ही सेट निकाला गया था। 20 दिसंबर, 1986 का ड्रॉ 3,016वाँ ड्रॉ था। 6/49 लॉटरी में संयोजनों की संख्या combin(49,6) = 13,983,816 है। दूसरे ड्रॉ में संख्याओं के पहले ड्रॉ से मेल न खाने की प्रायिकता (c-1)/c है, जहाँ c संयोजनों की संख्या है, या 13,983,816 है। तीसरे ड्रॉ में संख्याओं का एक अद्वितीय सेट निकलने की प्रायिकता (c-2)/c है। इसलिए, 2 से 3,016वें तक हर ड्रॉ से अद्वितीय संख्याएँ निकलने की प्रायिकता (c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3015)/c = 0.722413 है। इसलिए, समान संख्याओं के कम से कम एक सेट की प्रायिकता 1-0.722413 = 0.277587, या 27.8% है। निम्नलिखित तालिका वर्षों की संख्या के अनुसार, प्रति सप्ताह दो ड्रॉ मानकर, कम से कम एक जोड़ी समान संख्याओं के निकलने की प्रायिकता दर्शाती है।

6/49 लॉटरी में संख्याओं के मिलान की संभावना

साल	संभावना
5	0.009640
10	0.038115
15	0.083800
20	0.144158
25	0.215822
30	0.295459
35	0.379225
40	0.463590
45	0.545437
50	0.622090
55	0.691985
60	0.753800
65	0.807008
70	0.851638
75	0.888086
80	0.917254
85	0.940000
90	0.957334
95	0.970225
100	0.971954

यदि आप सोच रहे हैं, तो बता दूं कि किसी मिलान ड्रॉ के 50% से अधिक होने की संभावना के लिए ड्रॉ की संख्या 4,404 है।

अन्य पाठकों के लिए, नोवा स्कोटिया स्पोर्ट्स लॉटरी नेवादा के किसी कैसीनो में होने वाले ऑफ-द-बोर्ड परलेज़ की तरह है, जिसमें संभावनाएँ और भी कम होती हैं। किसी दिए गए चुनाव के लिए अपेक्षित रिटर्न पाने के लिए, यादृच्छिक चयनकर्ता को प्रत्येक परिणाम के भुगतान के व्युत्क्रम का योग लेना होगा। फिर, उस योग का व्युत्क्रम लेना होगा।

उदाहरण के लिए, 9 नवम्बर 2009 के सोमवार रात्रि फुटबॉल खेल में उनके पास निम्नलिखित विकल्प हैं:

स्टीलर्स 3.5 या उससे अधिक अंकों से जीतते हैं: 1 के लिए 1.9 का भुगतान
ब्रोंकोस 3.5 या उससे अधिक अंकों से जीतता है: 1 के लिए 3.25 का भुगतान करता है
जीत का अंतर 3 या उससे कम: 1 के लिए 3.65

व्युत्क्रमों का योग (1/1.9) + (1/3.25) + (1/3.65) = 1.107981 है। इस संख्या का व्युत्क्रम 1/1.107981 = 0.902543 है। इसलिए, अपेक्षित प्रतिफल 90.25 है। पार्ले के लिए, सभी पिक्स के प्रतिफल का गुणनफल लें।

मैंने कई इवेंट देखे, और प्रत्येक इवेंट पर रिटर्न 75.4% से 90.3% (ऊपर दिए गए उदाहरण से) के बीच रहा। औसत 82.6% था। उस औसत के आधार पर, पिक्स की संख्या के अनुसार अपेक्षित रिटर्न इस प्रकार है:

2: 68.2%
3: 56.3%
4: 46.5%
5: 38.4%
6: 31.7%

मुझे सचमुच लगता है कि लॉटरी टिकट खरीदने के फ़ैसले में इस पहलू पर विचार किया जाना चाहिए, हालाँकि यह कुछ हद तक मामूली ही है। आपके सवाल का जवाब देने के लिए, मैंने lottoreport.com पर उपलब्ध जैकपॉट राशि और बिक्री के आँकड़ों का इस्तेमाल किया। मैंने जनवरी 2008 से पावरबॉल को देखा, क्योंकि उस वेबसाइट पर इतने ही पुराने आँकड़े उपलब्ध हैं। मैंने जून 2005 से मेगा मिलियंस को भी देखा, जब नियमों में बदलाव हुआ था। नीचे दी गई तालिका मेरे परिणामों का सारांश प्रस्तुत करती है।

पावरबॉल और मेगा मिलियंस में जैकपॉट बाँटें

वस्तु	पावरबॉल	मेगा मिलियन्स
जैकपॉट जीतने की संभावना	195,249,054 में 1	175,711,536 में 1
औसत जैकपॉट की पेशकश	$73,569,853	$65,792,976
प्रति ड्रॉ औसत बिक्री	$23,051,548	$25,933,833
प्रति ड्रॉ औसत अपेक्षित विजेता	0.118	0.148
प्रति ड्रॉ विभाजित जैकपॉट की औसत संभावना	0.74%	1.29%
साझा जैकपॉट के कारण प्रतिफल में हानि (असमायोजित)	4.01%	6.59%
साझा जैकपॉट के कारण प्रतिफल में हानि (समायोजित)	1.41%	2.31%

तो पावरबॉल में जैकपॉट के बंटवारे की औसत संभावना 0.74% और मेगा मिलियंस में 1.29% है। जैसे-जैसे जैकपॉट बढ़ता है और बिक्री बढ़ती है, जैकपॉट के बंटवारे की संभावना भी बढ़ती है। मेगा मिलियंस में जैकपॉट के बंटवारे की संभावना इसलिए ज़्यादा होती है क्योंकि जीतने की संभावना ज़्यादा होती है और दूसरे खिलाड़ियों से प्रतिस्पर्धा भी ज़्यादा होती है।

कुल मिलाकर, मैंने दिखाया है कि पावरबॉल में जैकपॉट शेयरिंग के कारण 4.01% और मेगा मिलियंस में 6.59% का नुकसान होता है। हालाँकि, इन आँकड़ों में टैक्स शामिल नहीं है, या जैकपॉट का भुगतान वार्षिकी के रूप में किया जाता है। इसे समायोजित करने के लिए, मैंने मान लिया है कि खिलाड़ी को इसका केवल आधा हिस्सा ही मिलेगा, या तो एकमुश्त विकल्प चुनकर या वार्षिकी चुनने से मूल्य में होने वाली हानि से। मैंने यह भी मान लिया है कि शेष राशि का 30% टैक्स में जाता है, इसलिए विजेता दोनों कारकों के बाद 35% प्राप्त करने की उम्मीद कर सकता है। इस समायोजन के बाद, मैंने पावरबॉल में जैकपॉट शेयरिंग के कारण 1.20% और मेगा मिलियंस में 1.98% का नुकसान दिखाया है।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

आप कैश विनफॉल गेम की बात कर रहे होंगे। मुझे इसके बारे में सबसे पहले boston.com वेबसाइट पर "कुछ जानकारों के लिए एक अप्रत्याशित लाभ वाला खेल" लेख से पता चला था।

प्रगतिशील लॉटरी खेलों में जैकपॉट का इतना बड़ा होना कि रिटर्न 100% से ज़्यादा हो जाए, असामान्य नहीं है, करों, वार्षिक भुगतानों, जीतने की कम संभावना और विशाल जैकपॉट के लिए धन की घटती उपयोगिता को ध्यान में रखे बिना। इन बातों को ध्यान में रखते हुए, लॉटरी लगभग कभी भी एक अच्छा दांव नहीं होती।

कैश विनफॉल गेम को अलग बनाने वाली बात यह है कि जब जैकपॉट दो मिलियन डॉलर से ज़्यादा हो जाता है, और कोई भी उसे नहीं जीत पाता, तो वे $500,000 को छोड़कर बाकी सारी इनामी राशि को कम इनामों में बाँट देते हैं। इससे छह अंकों वाले बैंकरोल वाले समूहों के लिए भारी मुनाफ़ा लगभग सुनिश्चित हो जाता है।

आइए, उदाहरण के तौर पर हाल ही में 18 जुलाई, 2011 को हुए ड्रॉ पर एक नज़र डालें। यह एक साधारण 6-46 गेम है जिसमें खिलाड़ी 1 से 46 तक छह संख्याएँ चुनता है और लॉटरी भी यही करती है। आपकी संख्याएँ जितनी ज़्यादा लॉटरी की संख्याओं से मेल खाती हैं, आप उतना ही ज़्यादा जीतते हैं। नीचे दी गई तालिका प्रत्येक घटना के लिए प्रायिकता और रिटर्न दर्शाती है। दो संख्याएँ पकड़ने पर मिलने वाली जीत एक मुफ़्त टिकट है, जिसका मूल्य मैं अलग से 26¢ के रूप में दिखा रहा हूँ। प्रत्येक टिकट की कीमत $2 है, इसलिए रिटर्न कॉलम प्रायिकता और जीत के गुणनफल को टिकट की कीमत से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। नीचे दाएँ कॉलम में 117% का अपेक्षित रिटर्न, या खिलाड़ी का 17% का लाभ दर्शाया गया है।

जब से मैंने अपना उत्तर लिखा है, मैसाचुसेट्स लॉटरी ने किसी भी स्टोर द्वारा एक दिन में बेचे जाने वाले टिकटों की संख्या को 2,500 या $5,000 तक सीमित कर दिया है, लेख के अनुसार, लॉटरी उच्च-स्तरीय खिलाड़ियों को boston.com पर प्रतिबंधित करती है । इससे ज़ाहिर है कि बड़ी रकम जीतना मुश्किल हो जाएगा, लेकिन यह कम-पैसे वाले खिलाड़ियों के लिए अच्छा हो सकता है, क्योंकि इससे दूसरे खिलाड़ियों से प्रतिस्पर्धा कम हो जाएगी। "रोल डाउन" में बस इतना ही पैसा है, इसलिए इसमें जितनी कम प्रतिस्पर्धा होगी, उतना ही अच्छा है। अगर मैं मैसाचुसेट्स के आस-पास कहीं रहता, तो मैं कम से कम इसे खेलने की कोशिश ज़रूर करता।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

जो लोग इस कहानी से परिचित नहीं हैं, उनके लिए क्यूबेक लॉटरी " एक्स्ट्रा" नामक एक खेल पेश करती है। मशीन यादृच्छिक रूप से एक 7-अंकीय संख्या चुनती है, और खिलाड़ी को यादृच्छिक ड्रॉ से क्रमानुसार, यथासंभव अधिक से अधिक अंकों का मिलान करना होता है। मिलान किए गए अंकों को किसी भी दिशा में संरेखित किया जा सकता है। सबसे छोटा इनाम केवल सबसे दाहिने अंक के मिलान के लिए $2 है। सबसे बड़ा इनाम सभी सात अंकों के मिलान के लिए $1,000,000 है।

मुकदमे में वादी पक्ष ने यह देखा कि अगर आप दस एक्स्ट्रा खरीदते हैं, तो खेल में पहले और आखिरी अंक के लिए, हर अंक में से एक अंक चुना जाता है। दूसरे शब्दों में, अगर आप सिर्फ़ पहले या आखिरी स्थान पर देखते हैं, तो आपको 0 से 9 तक की सभी दस संख्याएँ दिखाई देंगी। वादी पक्ष का दावा है कि इससे उन्हें जीतने के सिर्फ़ दो मौके मिलते हैं और यह यादृच्छिक नहीं है।

मैं उनकी बात समझता हूँ। उस खेल में लगभग सारा विचलन $1,000,000 के जैकपॉट से आता है। दस पूरी तरह से स्वतंत्र यादृच्छिक टिकटों का मानक विचलन 1002.845 होगा। क्यूबेक लॉटरी में, एक ही समय में खरीदे गए दस टिकटों का मानक विचलन लगभग 1002.833 ही होता है।

मेरी राय में, अगर खिलाड़ी कई क्विक पिक लॉटरी टिकट खरीदता है, तो हर टिकट दूसरे टिकटों से स्वतंत्र होना चाहिए। हालाँकि, मुझे 2 करोड़ डॉलर का मुकदमा लगभग पूरी तरह से बेतुका लगता है। अगर मैं जज होता, तो मैं वादी को 1 डॉलर का मुआवज़ा देता।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

निम्नलिखित तालिका क्यूबेक लॉटरी के अनुसार चुने गए तीन सबसे अधिक बार चुने गए अंकों के सेट को दर्शाती है। ये टिकट 30 जनवरी, 2010 की लॉटरी के लिए बेचे गए कुल 366,518 टिकटों में से हैं। जो लोग तीसरे सेट के पैटर्न को नहीं पहचानते, उनके लिए बता दें कि ये "खोए हुए" नंबर थे, जिन्होंने उस शो में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई थी।

अनुमान लगाने पर, यदि लोट्टो 6/49 गेम में 7-14-21-28-35-42 संख्याएं निकाली जातीं, तो जैकपॉट हजारों खिलाड़ियों के बीच विभाजित किया जाता, जिनमें से प्रत्येक को जैकपॉट का केवल 0.03% प्राप्त होता।

मेरी सलाह है कि यदि आपको लॉटरी खेलनी ही है तो क्विक पिक का चुनाव करें।

नहीं, मैं इससे सहमत नहीं हूँ। यह पत्रकारिता का एक घटिया नमूना है और बिज़नेस इनसाइडर को इससे शर्मिंदा होना चाहिए।

शुरुआत में, यह लेख 17 दिसंबर, 2013 को, उस शाम 636 मिलियन डॉलर के ड्रॉ से पहले प्रकाशित हुआ था। आइए, 1 डॉलर के टिकट के मूल्य का आकलन करने के लिए गणित पर नज़र डालें। नीचे दी गई तालिका 636 मिलियन डॉलर के जैकपॉट के सभी संभावित परिणामों की संभावना और अपेक्षित रिटर्न को दर्शाती है, जिसमें एकमुश्त जुर्माना, कर और जैकपॉट शेयरिंग जैसी बातों पर विचार करने से पहले, यह दर्शाया गया है। शीर्ष तीन संभावनाएँ वैज्ञानिक संकेतन में हैं क्योंकि संख्याएँ बहुत छोटी हैं।

इससे पता चलता है कि एक डॉलर के टिकट पर 2.630864 डॉलर वापस मिलेंगे। टिकट की कीमत से एक डॉलर घटाने के बाद, अपेक्षित लाभ 1.630864 डॉलर होगा। बिज़नेस इनसाइडर को 1.632029 डॉलर मिलेंगे। 0.001164 का अंतर है, लेकिन कोई बड़ी बात नहीं है।

हालाँकि, तीन चीजें हैं जो मूल्य को काफी कम कर देती हैं:

1. एकमुश्त जुर्माना.
2. कर.
3. जैकपॉट साझा करना.

आइये हम एक-एक करके उन पर नजर डालें।

बड़े लॉटरी प्रोग्रेसिव जैकपॉट आमतौर पर लगभग 30 साल की वार्षिकी के रूप में दिए जाते हैं, जिसमें मेगा मिलियन्स भी शामिल है। अगर विजेता पूरी रकम एक साथ चाहता है, जैसा कि ज़्यादातर लोग चाहते हैं, तो उसे एक बड़ी कटौती करनी होगी। यह उचित ही है क्योंकि आज का एक डॉलर भविष्य के एक डॉलर से ज़्यादा कीमती है। 17 दिसंबर, 2013 के ड्रॉ में, कुल पुरस्कार राशि घटाकर $347.6 मिलियन कर दी गई, यानी विज्ञापित जैकपॉट का 54.65%।

अब, आइए करों पर नज़र डालते हैं। उच्चतम संघीय सीमांत आयकर दर 39.6% है। राज्य कर 0% से 12.3% तक हैं, तो मान लीजिए कि औसतन 6% है। 45.6% करों को हटाने के बाद, हमारे पास $189.1 मिलियन बचते हैं।

अब सबसे मुश्किल हिस्सा आता है - जैकपॉट शेयरिंग। यह ध्यान देने योग्य है कि 22 अक्टूबर, 2013 के ड्रॉ से शुरू होकर मेगा मिलियंस ने नियमों को 75-15 प्रारूप में बदल दिया, जहां वे 1 से 75 तक पांच नंबर खींचते हैं, और फिर 1 से 15 के एक अलग पूल से एक नंबर निकालते हैं। इससे जीतने की संभावना 258,890,850 में 1 तक कम हो गई, जाहिर तौर पर बड़ा जैकपॉट पाने के प्रयास में। LottoReport.com से जैकपॉट और बिक्री डेटा का उपयोग करके, तब से केवल 17 ड्रॉ को देखते हुए, मुझे लगता है कि जैकपॉट के आकार और मांग के बीच एक घातीय संबंध है। वैसे, मुझे पावरबॉल लॉटरी के लिए भी यही बात मिली। घातीय प्रतिगमन का उपयोग करते हुए, कुल बेची गई टिकटों (मिलियन में) के लिए मेरा सूत्र 12.422 × exp(0.0052 × j) है, उदाहरण के लिए, $636 मिलियन के जैकपॉट के लिए, अपेक्षित बिक्री 12.422 * exp(0.0052*636) = 339.2 (मिलियन) होगी। वास्तविक बिक्री $337 मिलियन थी, यानी काफी करीब।

336,545,306 टिकटों की वास्तविक बिक्री के आधार पर, हम 336,545,306/258,890,850 = 1.300 विजेताओं की उम्मीद कर सकते हैं। प्रासंगिक प्रश्न यह है कि यदि आप जीतते हैं, तो आप कितने अन्य लोगों के साथ धनराशि साझा करने की अपेक्षा कर सकते हैं? पॉइसन वितरण को देखकर इसका उत्तर आसानी से मिल जाता है। 1.3 विजेताओं का माध्य दिया गया है, तो ठीक x विजेताओं की प्रायिकता exp(1.3)×1.3 ^x /fact(x) है। निम्न तालिका 0 से 10 अन्य विजेताओं की प्रायिकता, प्रत्येक स्थिति में जैकपॉट में आपका हिस्सा, और अपेक्षित हिस्सा, यह मानते हुए कि आप जीतते हैं, दर्शाती है।



नीचे के दाहिने कक्ष से पता चलता है कि आप 55.96% धनराशि अपने पास रख सकते हैं, तथा शेष 44.04% धनराशि उन अन्य विजेताओं को मिलेगी, जिनके साथ आपको उसे साझा करना होगा।

अब हमारा $636 मिलियन का जैकपॉट घटकर $189.1 × 55.96% = $105.8 मिलियन रह गया है। आइए देखें कि इस आंकड़े को जैकपॉट मानकर रिटर्न टेबल कैसी दिखती है।



नीचे दाएँ कोने में 58.29% का अपेक्षित रिटर्न दिखाया गया है। दूसरे शब्दों में, आपके $1 के निवेश से लगभग 58 सेंट की वापसी की उम्मीद की जा सकती है, जबकि अपेक्षित नुकसान या हाउस एज लगभग 42% है। क्या यह गणित आपको टिकट खरीदने के लिए प्रेरित कर रहा है?

लेख के अनुसार, "अतः, जब तक 730 मिलियन से कम टिकटें बिकती हैं, जो कि अभी काफी संभावित स्थिति है, टिकट का अपेक्षित मूल्य सकारात्मक होना चाहिए, और इसलिए आपको आज ही मेगा मिलियन्स टिकट खरीदने पर विचार करना चाहिए।"

बिक्री 730 मिलियन से भी कम थी और फिर भी यह एक बहुत ही खराब मूल्य था। हालाँकि, पूरी ईमानदारी से, लेख में आगे कहा गया:

"याद रखें कि इस विश्लेषण में कई चेतावनियाँ हैं। करों के कारण आपकी अपेक्षित जीत पर बहुत बुरा असर पड़ेगा - संघीय सरकार लगभग 40% ले लेगी, और आपका गृह राज्य 0% से लेकर लगभग 13% तक का दावा करेगा।

बहुत से लोग टिकट खरीद रहे हैं, और जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, इससे बराबरी की संभावना बहुत बढ़ जाएगी, और इसके साथ ही भुगतान भी कम हो जाएगा।" - बिजनेस इनसाइडर

ये कुछ बहुत बड़ी चेतावनियाँ हैं! इन्हें बस नीचे सरसरी तौर पर नहीं बताया जाना चाहिए, बल्कि विश्लेषण की शुरुआत में ही ध्यान में रखना चाहिए।

ऐसा नहीं है कि आपने पूछा था, लेकिन मुझे लगता है कि गणित कहता है कि आपको मेगा मिलियन्स कभी नहीं खेलना चाहिए। जैकपॉट के आकार के आधार पर टिकटों की बढ़ती माँग को देखते हुए, मुझे लगता है कि खेलने का सबसे अच्छा समय $545 मिलियन का जैकपॉट है। इससे बड़े जैकपॉट के लिए आपको इसे कई अन्य विजेताओं के साथ साझा करना होगा। इस जैकपॉट आकार पर, खिलाड़ी 60.2% रिटर्न या 39.8% नुकसान की उम्मीद कर सकता है। यह सबसे अच्छा है।

अंत में, नहीं, मैं बिजनेस इनसाइडर से सहमत नहीं हूं कि उसने सनसनीखेज शीर्षक से पाठकों को गुमराह किया है और करों तथा जैकपॉट बंटवारे का उचित विश्लेषण नहीं किया है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

अगर हम टैक्स, जैकपॉट पर वार्षिकी और जैकपॉट शेयरिंग के प्रभावों को नज़रअंदाज़ कर दें, तो अगर जैकपॉट $224,191,728 से ज़्यादा है, तो आपको "सिर्फ़ जैकपॉट" विकल्प का इस्तेमाल करना चाहिए। अगर हम इन कारकों पर विचार करते हैं, तो आपको कभी भी मेगाप्लायर का इस्तेमाल नहीं करना चाहिए।

अधिक जानकारी के लिए कृपया मेगा मिलियन्स लॉटरी पर मेरा पेज देखें।

हाँ। ज़्यादातर लोट्टो-आधारित लॉटरी गेम्स में हाउस एडवांटेज लगभग 50% होता है। इसलिए, $2 के एक काल्पनिक गेम में, जिसमें $1,000,000 का जैकपॉट हो और कोई छोटा इनाम न हो, 50% हाउस एज बनाए रखने के लिए जीतने की संभावना 0.5*(2/1000000) = एक मिलियन में 1 होनी चाहिए।

यहां मेरी रणनीति है कि मैं $2 को $1,000,000 में बदल सकता हूं, और इसके आसार भी बेहतर हैं।

• डबल-ज़ीरो रूलेट में किसी भी संख्या पर पहले $2 का दांव लगाएँ। एल कॉर्टेज़ और साउथ पॉइंट जैसे कुछ वेगास कैसीनो में आपको न्यूनतम $2 का दांव मिल सकता है। अगर आप जीत जाते हैं, तो आपको $72 तक मिलेंगे।
• इसके बाद, अपने $72 को किसी और एकल-संख्या वाले दांव पर लगाएँ। अगर आप जीत जाते हैं, तो आपकी राशि $2,592 हो जाएगी।
• इसके बाद, उस $2,592 को स्ट्रिप के किसी उच्च-स्तरीय कैसिनो, जैसे कि व्यान, वेनिशियन, या बेलाजियो, में ले जाएँ। रूलेट में अपने $2,592 को बैकारेट में बैंकर बेट पर दांव लगाएँ। ऐसा कुल नौ बार करें, हर बार सब कुछ दांव पर लगा दें। अपनी नौवीं जीत के बाद, आपके पास $1,056,687 हो जाएँगे। आपका नौवाँ दांव $541,891 का होगा, और मुझे यकीन है कि इनमें से कोई भी कैसिनो आपको अपनी नाक के सामने जीतते हुए देख लेगा।

डबल-ज़ीरो रूलेट में एक अंक वाली बाजी जीतने की संभावना 1/38 है। बैकारेट में बैंकर बाजी जीतने की संभावना 50.6825% है, जिसमें बराबरी की संभावना शामिल नहीं है। इसलिए, दो रूलेट जीतने और नौ बैंकर जीतने की संभावना (1/38)^2 × 0.506825^9 = 654,404 में 1 है। ये लॉटरी में मिलने वाले दस लाख में 1 के ऑड्स से बेहतर हैं और आपके पास दस लाख डॉलर से थोड़ा ज़्यादा भी होगा।

सबसे पहले, आइए इस प्रायिकता का हल निकालें कि किसी भी दिए गए गेम नंबर के 5 में से 3 दिन ठीक उसी संख्या के हों। इसका उत्तर है COMBIN(5,3)*(1/80)^2*(79/80)^2 = 0.001523682। यह दूसरे और तीसरे दिन के पहले दिन से मेल खाने की प्रायिकता के 5 गुना में से 3 मेल खाने वाले दिनों को चुनने के तरीकों की संख्या है, जबकि बाकी दो दिन मेल नहीं खाते हैं।

इसलिए, किसी भी दिए गए खेल नंबर के लिए 5 में से 3 दिन का मैच न होने की संभावना 1 - 0.001523682 = 0.9984763 है।

300 दिनों तक ऐसा न होने की संभावना 0.9984763 ³⁰⁰ = 63.29% है।

इस प्रकार, विकल्प की संभावना, कि कम से कम एक ड्राइंग संख्या 5 में से 3 दिनों में एक ही बुल्स आई संख्या से मेल खाती हो, 36.71% है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

मैं सभी गणित में नहीं जाऊंगा, लेकिन यहां जैकपॉट बिंदु हैं जहां एक से अधिक विजेताओं की संभावना एक के बराबर है:

• पावरबॉल: $975 मिलियन
• मेगा मिलियन्स: 1.65 बिलियन डॉलर

ऐसा नहीं है कि आपने पूछा था, लेकिन यहां कुछ जैकपॉट हैं जहां कम से कम एक विजेता की संभावना किसी के न जीतने की संभावना (50%) के बराबर है।

• पावरबॉल: 704 मिलियन डॉलर
• मेगा मिलियन्स: $867 मिलियन

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ वेगास में मेरे मंच पर चर्चा में उठाया गया है।

सबसे पहले, नियमों पर गौर करते हैं। दांव की कीमत $2 है। यह खेल 43 में से पाँच गेंदें निकालने पर आधारित है। भुगतान तालिका इस प्रकार है:

• मैच 5 = जैकपॉट
• गणित 4 = $200
• मैच 3 = $10
• मैच 2 = $2

इसके अलावा, मुझे लगता है कि खिलाड़ी को एक स्क्रैच-ऑफ कार्ड मिलता है। इसमें $6 जीतने की 1/80 संभावना और $2 जीतने की 1/5 संभावना होती है।

नीचे दी गई तालिका मेरे द्वारा मूल खेल के विश्लेषण को दर्शाती है। इसमें 2 से 4 संख्याओं को पकड़ने का मूल्य $0.287784 है।

नीचे दी गई तालिका क्विक कैश इंस्टेंट विन फ़ीचर पर मेरे विश्लेषण को दर्शाती है। निचले दाएँ सेल में $0.475 का मान दर्शाया गया है।

इस प्रकार, गैर-प्रगतिशील पुरस्कारों का मूल्य $0.287784 + $0.475000 = $0.762784 है।

मान लीजिए j, ब्रेक-ईवन जैकपॉट के मान के बराबर है। तो:

2 = 0.762784 + जे × (1/962598)
1.237216 = जे × (1/962598)
जे = 1.237216 × 962598
जे = $1,190,941.95.

जैकपॉट में प्रत्येक $100,000 के लिए कुल रिटर्न दर 0.381392 प्लस 0.051943 है।

जैसा कि प्रश्न में कहा गया है, यह सब करों और जैकपॉट बंटवारे की अनदेखी करता है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

जुए के सभी रूपों के लिए मेरी सलाह इस बात पर आधारित है कि खिलाड़ी अपने दांव से अधिकतम लाभ की उम्मीद कर सकता है। जुए का विश्लेषण करने के अपने 25 वर्षों में, इस नीति ने मेरे लिए अच्छा काम किया है और आप इसके लिए मुझ पर हमला करने वाले पहले व्यक्ति हैं।

हालाँकि, मैं हमेशा दूसरे नज़रिए पर विचार करने के लिए तैयार हूँ। इस प्रयास में, आइए एक ऐसे खिलाड़ी पर विचार करें जो उत्साह और मूल्य दोनों को समान रूप से महत्व देता है। यह खिलाड़ी कम उतार-चढ़ाव वाले खेलों से खुश नहीं होगा, बल्कि या तो पूरी तरह से जीतना चाहता है या कोशिश करके हारना चाहता है। ऐसे खिलाड़ी के लिए किसी भी दांव को मापने के लिए, मैंने एक आँकड़ा बनाया है जिसे मैं उत्साह गुणांक कहता हूँ। इसे मैं मानक विचलन और जोखिम के तत्व के अनुपात के रूप में परिभाषित करता हूँ। याद दिला दें कि जोखिम का तत्व हाथ के अंत तक खिलाड़ी की अपेक्षित हानि और दांव पर लगाई गई औसत राशि का अनुपात है (जिसमें ब्लैकजैक में दोगुना और पोकर के प्रकारों में बढ़ोतरी जैसे बाद के दांव भी शामिल हैं)।

नीचे दी गई तालिका विभिन्न कैसीनो खेलों और दांवों के लिए उत्साह गुणांक को उच्चतम से निम्नतम क्रम में दर्शाती है। यह वास्तव में दर्शाता है कि ऐसे रोमांच चाहने वाले खिलाड़ी के लिए, मेगा मिलियंस पैसे के बदले सबसे ज़्यादा रोमांच प्रदान करता है।

*: मेगा मिलियन्स की लाइन में वार्षिकी या करों पर विचार नहीं किया जाता है।
**: ब्लैकजैक में छह डेक शामिल हैं, ब्लैकजैक में 3-2 का भुगतान होता है, डीलर सॉफ्ट 17 हिट करता है, विभाजन के बाद डबल की अनुमति है, आत्मसमर्पण की अनुमति है, इक्के को पुनः विभाजित करने की अनुमति है।

टिप्पणी के लिए और अपमान के लिए धन्यवाद।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।