जादूगर से पूछो #144

वेगास में 4 घंटे के ठहराव के दौरान, 2000 डॉलर के बैंकरोल को दोगुना करने के लिए मेरी सबसे अच्छी रणनीति क्या है? कौन सा खेल, बड़ा या छोटा दांव, आदि?

Tom से Culver City

सबसे पहले मैं टैक्सी से हार्ड रॉक जाऊँगा, जो हवाई अड्डे के सबसे नज़दीकी प्रमुख कैसीनो है। मुझे नहीं पता कि हार्ड रॉक क्रेप्स में कितने ऑड्स देता है, लेकिन मेरा अनुमान है कि 3-4-5 होंगे। अगर ऐसा है, तो अपने बैंकरोल का 1/7 हिस्सा "डोंट पास" बेट पर लगाएँ, या $275 को राउंड डाउन करने के लिए। अगर एक पॉइंट बनता है, तो ऑड्स पर अधिकतम दांव लगाएँ, या $1650। अगर आप जीत जाते हैं, तो आप अपने लक्ष्य के बहुत करीब होंगे, राशि पॉइंट पर निर्भर करेगी। जीतें या हारें, अपने बैंकरोल के 1/7 हिस्से और $4000 से कितनी दूरी पर हैं, उसके 1/7 हिस्से में से जो भी कम हो, उस पर दांव लगाएँ। अगर आप किसी भी चरम सीमा के करीब पहुँच जाते हैं, तो बस इसे खत्म कर दें और अगर आपकी राशि कम है, तो सब कुछ दांव पर लगा दें, या अगर आपकी राशि ज़्यादा है, तो $4000 पर अंतर कम करने के लिए जो भी ज़रूरी हो, लगा दें, और ऑड्स के बारे में भूल जाएँ। चार घंटे का समय पर्याप्त होना चाहिए। हालाँकि, देर न करें। सुरक्षाकर्मियों की कतारें बहुत लंबी हो सकती हैं। यदि आपकी उड़ान टर्मिनल सी में है तो एजेंट से गुप्त प्रवेश द्वार के बारे में अवश्य पूछें।

ब्लैकजैक में रॉयल मैच साइड बेट के आपके विश्लेषण को पढ़ते हुए, क्या मैं सही कह रहा हूँ कि आपके ऑड्स शू के पहले हाथ के लिए हैं? अगर ऐसा है, तो क्या एक आसान मैच की वास्तविक दुनिया की ऑड्स खिलाड़ी के पक्ष में थोड़ी ज़्यादा नहीं झुकेंगी? मुझे लगता है कि अगर सूट किसी भी दिशा में असंतुलित हो जाते हैं, तो इससे हाउस एज थोड़ा कम हो जाएगा, और शू में सूट निश्चित रूप से उतार-चढ़ाव करेंगे।

Frank से Michigan

यह सच नहीं है। खिलाड़ी के पक्ष में ऑड्स को बदलने के लिए शेष डेक को एक निश्चित डिग्री से अधिक तिरछापन प्रदर्शित करने की आवश्यकता है। एक काल्पनिक पक्ष पर विचार करें जो एक-डेक गेम में किसी भी सूट वाली जोड़ी के लिए 3 से 1 का भुगतान करता है। डेक के शीर्ष पर जीतने की संभावना 4 * कॉम्बिन (13,2) / कॉम्बिन (52,2) = 23.53% है। हालांकि यदि आप अलग-अलग सूट के दो कार्ड जलाते हैं तो जीतने की संभावना 2 * (कॉम्बिन (13,2) + कॉम्बिन (12,2)) / कॉम्बिन (50,2) = 23.51% तक कम हो जाती है। यदि आप एक ही सूट के दो कार्ड जलाते हैं तो जीतने की संभावना (3 * कॉम्बिन (13,2) + कॉम्बिन (11,2)) / कॉम्बिन (52,2) = 23.59% तक बढ़ जाती है। यदि प्रत्येक रैंक का एक पत्ता हटा दिया जाए, तो जीतने की संभावना 4*कॉम्बिन(12,2)/कॉम्बिन(48,2) = 23.40% हो जाएगी। यह सब दर्शाता है कि यदि पत्तों को एक समान वितरण पर हटाया जाए, तो जीतने की संभावना कम हो जाती है, जबकि बहुत विषम वितरण पर संभावनाएँ बढ़ जाती हैं। जैसे-जैसे डेक नीचे खेला जाता है, कभी आपकी संभावनाएँ बेहतर होती जाती हैं, और कभी बदतर, लेकिन लंबे समय में वे औसत हो जाती हैं और जीतने की संभावना 23.53% पर बनी रहती है।

फुल पे ड्यूसेस वाइल्ड में रॉयल फ्लश मिलने की संभावना लगभग 40,000 में से 1 है। क्या यह कहा जा सकता है कि 5-प्ले में यह संभावना पाँच गुना आसान होगी, या 8000 में से 1?

TS से Santa Barbara

लगभग। अगर 5-प्ले में हर डील में एक से ज़्यादा रॉयल को सिर्फ़ एक बार देखा गया माना जाता है, तो आपको 5 बार से थोड़ा कम बार देखा जाएगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि रॉयल्स की कुल संख्या पाँच गुना ज़्यादा होगी, लेकिन कभी-कभी वे एक ही प्ले में एक साथ जमा हो जाएँगे, आमतौर पर जब आपको डील पर एक रॉयल मिलता है, और इस तरह ड्रॉ पर 5 रॉयल मिलते हैं।

निम्नलिखित तालिका, पूर्ण भुगतान इष्टतम रणनीति मानते हुए, आयोजित रॉयल के लिए कार्ड की संख्या के अनुसार 1-प्ले में रॉयल बनाने की संभावना को दर्शाती है।

1-प्ले वीडियो पोकर में रॉयल फ्लश की संभावना

कार्ड रखा गया	सौदे की संभावना	ड्रॉ की संभावना	कुल संभावना
0	0.19066396	0.0000014	0.00000027
1	0	0.00000561	0
2	0.01969711	0.00006167	0.00000121
3	0.01299751	0.00092507	0.00001202
4	0.0003309	0.0212766	0.00000704
5	0.00000154	1	0.00000154
कुल	0.22369101	0	0.00002208

यह तालिका दर्शाती है कि 22.37% बार आपके पास रॉयल ड्रॉ होने की संभावना होगी। बाकी समय रॉयल होना असंभव होगा, क्योंकि आपके पास वाइल्ड कार्ड या पेयर है। निचले दाएँ सेल में कुल रॉयल संभावना 0.00002208, यानी 45282 में 1 दिखाई गई है।

अगली तालिका में भी यही बात दर्शाई गई है, लेकिन 5-प्ले के लिए, तथा कम से कम एक रॉयल की संभावना दर्शाई गई है।

5-प्ले वीडियो पोकर में रॉयल फ्लश की संभावना

कार्ड रखा गया	सौदे की संभावना	ड्रॉ की संभावना	कुल संभावना
0	0.19066396	0.00000698	0.00000133
1	0	0.00002803	0
2	0.01969711	0.00030832	0.00000607
3	0.01299751	0.0046168	0.00006001
4	0.0003309	0.10195134	0.00003374
5	0.00000154	1	0.00000154
कुल	0.22369101	0	0.00010268

ध्यान दें कि कम से कम एक रॉयल मिलने की प्रायिकता 0.00010268 है। यह वन-प्ले की प्रायिकता से 4.65 गुना ज़्यादा है। इसका कारण यह है कि कम से कम एक रॉयल मिलने की प्रायिकता हमेशा वन-प्ले की प्रायिकता से पाँच गुना कम होती है। उदाहरण के लिए, वन-प्ले में रॉयल मिलने की प्रायिकता 1/47 है। हालाँकि, 5-प्ले में कम से कम एक रॉयल मिलने की प्रायिकता 1-(1-(1/47)) ⁵ = 0.101951341 है, जो लगभग 4.79 गुना ज़्यादा है।

अपने पसंदीदा स्थानीय कैसीनो में पिछले दो सत्रों के दौरान, मुझे दो अलग-अलग पोकर खेलों: 4-कार्ड पोकर और 3-कार्ड पोकर, में डीलर की गलतियों का सकारात्मक परिणाम मिला है। दोनों ही बार, मैं चुप रहा और 4-कार्ड पोकर के मामले में, मैं निश्चित रूप से अन्य खिलाड़ियों के लिए इसे खराब नहीं करना चाहता था। तर्क देने के लिए नहीं, लेकिन कभी-कभी मुझे यह भी लगता है कि इन गलतियों को उजागर करने से डीलर की छवि खराब हो सकती है, बजाय इसके कि उसे छोड़ दिया जाए - यह मानते हुए कि आकाश की नज़र गलती को पकड़ नहीं पाती - और बाद में पर्दे के पीछे फटकार भी लगती है। इस विषय से संबंधित मेरे कुछ प्रश्न हैं। क्या डीलर की गलती हाउस एज को कैसे प्रभावित करती है, इस बारे में कोई अध्ययन या अनुमान लगाया गया है? निश्चित रूप से, सबसे असंगत या नौसिखिए खिलाड़ी को छोड़कर सभी ऐसी गलतियाँ पकड़ लेंगे जो हाउस के लिए मददगार होती हैं, लेकिन मेरा अनुभव रहा है कि खिलाड़ी की मदद करने वाली ज़्यादातर गलतियाँ, खिलाड़ियों द्वारा, वैसे भी, उजागर नहीं की जाती हैं। पीछे मुड़कर देखें तो, डीलर की गलती ने पिछले एक साल में मुझे अच्छी-खासी रकम लौटाई है। किसी भी जानकारी के लिए धन्यवाद!

Tim से Cleveland

मुझे किसी औपचारिक अध्ययन की जानकारी नहीं है। जैसा कि आप उम्मीद कर सकते हैं, कैसीनो की गुणवत्ता बढ़ने के साथ डीलर की गलतियाँ कम होती जाती हैं। मैंने खुद टेबल के पीछे हज़ारों घंटे खेले हैं, जब से मैं 19 साल पहले 21 साल का हुआ हूँ (ऐसा लगता है जैसे कल ही की बात हो)। इतने सारे खेल के आधार पर, मुझे पूरा यकीन है कि ज़्यादातर गलतियाँ घर के पक्ष में होती हैं, शायद लगभग 80%। उदाहरण के लिए, कई डीलरों को यह नहीं पता कि थ्री कार्ड पोकर में, भले ही खिलाड़ी हार जाए या डीलर क्वालीफ़ाई न करे, फिर भी आपको एंटे बोनस देना होता है। (ब्लूजे को इस तरह से धोखा मिला क्योंकि वह खुद नियम के बारे में निश्चित नहीं था।) कुछ डीलर इस नियम पर मुझसे असहमत थे, जिन्हें बाद में पिट बॉस ने सही ढंग से खारिज कर दिया। मुझे आश्चर्य है कि मेरे खेलने से पहले कितने खिलाड़ी, जो नियमों को उतना नहीं जानते, इन्हीं डीलरों द्वारा धोखा खा गए। बेशक, अगर गलती डीलर के पक्ष में हो, तो गलती के ठीक होने की संभावना ज़्यादा होती है। मुझे लगता है कि कैसीनो को गलतियों की कीमत बहुत ज़्यादा नहीं चुकानी पड़ती क्योंकि डीलर के पक्ष में प्रतिशत ज़्यादा होता है। असल में, मुझे कोई आश्चर्य नहीं होगा अगर कैसिनो ने वाकई गलतियों से पैसा कमाया हो। अगर कैसिनो प्रबंधन में किसी का कोई और नज़रिया है, तो मैं उसे सुनने के लिए तैयार हूँ।

कहते हैं कि पावरबॉल लॉटरी जीतने की संभावना 146,107,962 में से 1 है। हाल ही में 340 मिलियन डॉलर के जैकपॉट के लिए हुए ड्रॉ में, स्थानीय मीडिया ने बताया कि 105,000,000 टिकट बिके। मेरा सवाल यह है कि अगर आप जीत जाते हैं, तो जैकपॉट में हिस्सा लेने की कितनी संभावना है, और इससे अपेक्षित मूल्य में कितनी कमी आएगी?

Mitch F. से Hopkins, MN

सबसे पहले, आइए उस प्रायिकता की पुष्टि करें। खिलाड़ी को 55 के समूह से 5 नियमित संख्याओं और 42 के समूह से एक पावर बॉल का मिलान करना होगा। जीतने की प्रायिकता (55,5)*42 = 146,107,962 में 1 के संयोजन में 1 होगी। इसलिए मैं आपकी प्रायिकता से सहमत हूँ। मुझे आपके जैसे प्रश्नों के लिए पॉइसन वितरण का उपयोग करना पसंद है। जीत की औसत संख्या 105,000,000/146,107,962 = 0.71865 होगी। n विजेताओं की प्रायिकता का सामान्य सूत्र, जिसका माध्य m है, e ^-m *m ⁿ /n! है। इस स्थिति में माध्य 0.71865 है, इसलिए शून्य की प्रायिकता e ^-0.71865 *0.71865 ⁰ /0! = 0.48741 है। तो कम से कम एक विजेता की संभावना 1-0.48741 = 0.51259 है। इसलिए 0.71865 विजेताओं को जैकपॉट का 0.51259 हिस्सा बाँटना होगा। यानी प्रति विजेता 0.51259/0.71865 = 0.71327 जैकपॉट। इसलिए जैकपॉट बाँटने से आपकी अपेक्षित जीत जैकपॉट राशि के 71.327% तक कम हो जाती है, यानी 28.673% की कमी।

जादूगर, एनएफएल पिक्स के लिए मेरे "असली" जीत प्रतिशत के बारे में मेरा एक सवाल है। मैं अपने दोस्तों को बताता हूँ कि पिछले 5 सालों से मेरा कोई भी सीज़न हार का नहीं रहा है (जो कि सच है), मैं हफ़्ते 3-16 तक औसतन 2-3 पिक्स के साथ सट्टा लगाता हूँ। मेरी बात यह है कि मुझे खेलों की अच्छी समझ है और मैं उन खेलों में काफ़ी ज़्यादा दांव लगाता हूँ जहाँ मुझे लगता है कि ऑड्स मेरे पक्ष में हैं। उदाहरण के लिए, मैंने इस साल 9 दांव लगाए हैं, जिनमें से 4 $55 के थे, और उनमें से 3 पिक्स पर जीत हासिल की है। मैंने $110 के 3 दांव लगाए हैं, जिनमें से 1 में जीत हासिल की है। लेकिन मुझे दो खेल बहुत पसंद आए, जिनमें मैंने एक पर $330 और एक पर $600 (सम रेखा) का दांव लगाया, और दोनों में जीत हासिल की। बिल्कुल, मेरे 9 में से 6 दांव 66% क्लिप के लिए हैं, लेकिन चूँकि मैंने उन खेलों पर दांव लगाया जिनके बारे में मुझे ज़्यादा यकीन था, इसलिए यह वास्तव में लगभग 80% क्लिप (पैसे के हिसाब से) दर्शाता है। क्या यह आपको समझ में आता है? पिछले 5 सालों में मैंने मोटे तौर पर यही किया है, जब मैंने इसकी गणना की (चुनावों में 60-70%, लेकिन दांव पर लगाई गई राशि को ध्यान में रखते हुए लगभग 80%)। क्या आप मुझे दांव की राशि को ध्यान में रखने का कोई आसान तरीका बता सकते हैं, और क्या मैं अपनी धारणाओं में सही हूँ? बहुत-बहुत धन्यवाद।

Luke से Chicago

मैं हाल ही में इस बारे में काफ़ी सोच रहा हूँ। मेरी राय में, जीत प्रतिशत का हर मैच में बराबर वज़न होना चाहिए। आपके पास अपने निवेश पर कुल रिटर्न का एक अलग आँकड़ा भी होना चाहिए, हालाँकि किसी भी आँकड़े के साथ टीम, तारीख, लाइन स्रोत, पॉइंट स्प्रेड और ऑड्स (आमतौर पर -110) की सूची होनी चाहिए। एक और मुद्दा जो आप नहीं उठाते, वह यह है कि अगर आपको 3 या 7 पॉइंट स्प्रेड पर -120 लगाना पड़े तो क्या करें। अगर आप अपनी पसंद के दांवों में ऐसे दांव लगाएँ तो अच्छा जीत प्रतिशत हासिल करना आसान होगा। इसलिए मेरा मानना है कि फ्लैट बेटिंग के बावजूद भी निवेश पर रिटर्न का आँकड़ा रखा जाना चाहिए। एक और बात जो मुझे कुछ दूसरे हैंडीकैपर्स के बारे में परेशान करती है, वह यह है कि वे ऐसी लाइनें बताते हैं जो कहीं दिखाई नहीं देतीं। मुझे लगता है कि थोड़ा इधर-उधर देखना ठीक है, लेकिन बताई गई लाइनें ढूँढ़ना मुश्किल नहीं होना चाहिए। मैं मानता हूँ कि मैं इस सीज़न में इनमें से कुछ चीज़ें खुद नहीं कर रहा हूँ, क्योंकि शुरुआत में मैंने इनके बारे में नहीं सोचा था। अगले साल, अगर मैं फिर से ऐसा करूँगा, तो मैं अपने नतीजों को भी एक निवेश के रूप में दर्ज करूँगा।