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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #216

इस यूट्यूब वीडियो में, मैट डेमन कहते हैं कि जॉन मैक्केन के अपने पहले कार्यकाल में बच न पाने की संभावना तीन में से एक है। क्या वह सही हैं?

Lisa से San Antonio, TX

नहीं। सीडीसी (रोग नियंत्रण केंद्र) की इस बीमांकिक तालिका के अनुसार, एक 72 वर्षीय श्वेत पुरुष के 76 वर्ष की आयु तक जीवित रहने की संभावना 85.63% है। यानी मृत्यु की संभावना लगभग 7 में से 1 है। उत्तरजीविता दर का पता लगाने के लिए, पृष्ठ 14 पर दी गई श्वेत पुरुषों की तालिका से 76 वर्ष की आयु में जन्म लेने वाले समूह (57,985) को 72 वर्ष की आयु में जन्म लेने वाले समूह (67,719) से भाग दिया जा सकता है। इस तालिका को "अवधि जीवन तालिका" कहा जाता है, जो यह मानती है कि 2003 की मृत्यु दर भविष्य में नहीं बदलेगी, और यह सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली बीमांकिक तालिका है। एक पूर्णतावादी शायद 1936 की जीवन तालिका का उपयोग करना चाहे, लेकिन मुझे नहीं लगता कि इससे कोई खास फर्क पड़ेगा।

ps इस उत्तर को पोस्ट करने के बाद मुझे कई टिप्पणियाँ मिलीं कि मेरे जवाब में जॉन मैक्केन की व्यक्तिगत स्वास्थ्य स्थिति पर विचार नहीं किया गया। उनके ख़िलाफ़ काम करना कैंसर से बचे रहना है। उनके पक्ष में काम करना पैसे से खरीदी जा सकने वाली सर्वोत्तम चिकित्सा सेवा तक उनकी पहुँच है, एक 72 वर्षीय व्यक्ति के लिए वे स्पष्ट रूप से मानसिक और शारीरिक रूप से अभी भी अच्छी स्थिति में हैं, और उनकी दीर्घायु भी, जैसा कि इस तथ्य से प्रमाणित होता है कि उनकी माँ अभी भी जीवित हैं। हालाँकि, मेरा इस जानकारी को ध्यान में रखने का कभी इरादा नहीं था। मैट डेमन ने बीमांकिक तालिकाओं का हवाला दिया था, जिसका मैं ज़िक्र कर रहा था। मैं बस इतना कह रहा हूँ कि एक औसत 72 वर्षीय श्वेत पुरुष के लिए, चार और साल जीवित रहने की संभावना 86% है। अगर मजबूर किया जाए, तो मैं अनुमान लगाऊँगा कि जॉन मैक्केन की संभावना इससे भी बेहतर है।

एक पाठक ने व्यान में एक स्लॉट टूर्नामेंट के बारे में पूछा था। इसमें भाग लेने की लागत $25,000 थी, और औसत पुरस्कार $30,000 था। आपने कहा था कि केली क्राइटेरियन के अनुसार, इसमें भाग लेने के लिए आपको लगभग तीन मिलियन की धनराशि की आवश्यकता होगी। मेरे दो प्रश्न हैं:

1. क्या यह स्लॉट मशीनों पर अज्ञात हाउस एज को ध्यान में रखता है?

2. सर्वोत्तम समग्र लाभ के लिए आपकी खेल रणनीति क्या होगी? क्या आप आराम से बैठ सकते हैं और जुआ नहीं खेल सकते, और उम्मीद कर सकते हैं कि बाकी 49 खिलाड़ी पीछे रह जाएँगे, जबकि आप बराबरी पर रहकर $1,000,000 का भव्य पुरस्कार जीत सकते हैं?

Gray C. से Silicon Valley, CA

स्लॉट टूर्नामेंट हमेशा समर्पित टूर्नामेंट मशीनों पर आयोजित किए जाते हैं। आमतौर पर ये मशीनें दांव स्वीकार नहीं करतीं, इसलिए हर बार खेलने के बाद आपका बैलेंस या तो बराबर रहेगा या बढ़ जाएगा। इसलिए रिटर्न कितना भी हो, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता; आप जितना ज़्यादा खेलेंगे, आपका बैलेंस उतना ही ज़्यादा बढ़ने की उम्मीद कर सकते हैं। अगर आपको पारंपरिक स्लॉट मशीनों पर भी खेलना पड़े, तो भी मैं जितनी जल्दी हो सके दांव लगाऊँगा, और सिर्फ़ तभी रुकूँगा जब मुझे इतना बड़ा जैकपॉट मिले कि मैं टूर्नामेंट जीत सकूँ। इसकी वजह यह है कि 49 में से 49 खिलाड़ियों का नेगेटिव होना बहुत कम संभावना है।

दिलचस्प बात यह है कि एक बार सीज़र्स पैलेस में एक स्लॉट टूर्नामेंट हुआ था जहाँ आखिरी स्थान पर आने वाले खिलाड़ी को इनाम दिया जाता था। हालाँकि, उन्होंने पुरस्कार समारोह तक इस नियम की घोषणा नहीं की थी। अगर आपको किसी तरह ऐसे नियम के बारे में पता होता, तो शायद बेहतर होता कि आप दांव न लगाएँ।

ऐसा क्यों है कि क्रेप्स टेबल पर डीलर आपके चिप स्टैक को रंगने से कतराते हैं, जब तक कि आप टेबल से उठकर न जा रहे हों? हालाँकि मैंने कभी किसी डीलर को ऐसा करने से साफ़ मना करते नहीं देखा, फिर भी वे अक्सर अनिच्छा से कोई समझदारी भरी या व्यंग्यात्मक टिप्पणी करके मान जाते हैं, मानो मैं उनसे बहुत ज़्यादा माँग रहा हूँ।

Ron से State College

यह सिर्फ़ क्रेप्स ही नहीं, बल्कि सभी टेबल गेम्स के लिए सच है। रंग भरने के ख़िलाफ़ नीति, खेल छोड़ने के अलावा, प्रबंधन की ओर से है, इसलिए डीलरों को दोष न दें। एक अच्छे डीलर से अपेक्षा की जाती है कि वह खिलाड़ी को उस स्तर के चिप्स से पूरी तरह लैस रखे जिस पर वह दांव लगा रहा है। रंग भरना इस उद्देश्य के विरुद्ध है। इससे चिप्स की कमी हो जाएगी, जिससे खिलाड़ी बड़ी चिप्स तोड़ने के लिए कहेगा, जिससे समय की बर्बादी होगी। इसका एक अघोषित उद्देश्य यह भी हो सकता है कि खिलाड़ी बड़ी चिप पर दांव लगाने की संभावना कम ही रखे।
स्लॉट्स या वीडियो पोकर में, जब डबल या नथिंग फीचर के साथ खेलते हैं, तो मुझे कितनी बार डबल करने की कोशिश करनी चाहिए?

Joseph R. से Manila, Philippines

यह आपके खेलने के कारण पर निर्भर करता है। अगर आप कोई जीत का लक्ष्य हासिल करना चाहते हैं, जैसे कि अपना बैंकरोल दोगुना करना, तो आपको तब तक दोगुना करते रहना चाहिए जब तक आप अपने लक्ष्य तक नहीं पहुँच जाते, या अधिकतम अनुमत डबल्स की संख्या तक नहीं पहुँच जाते। अगर आप किसी दिए गए बैंकरोल पर यथासंभव लंबे समय तक खेलना चाहते हैं, तो मैं केवल छोटी जीत पर ही डबल करूँगा, और वह भी केवल एक बार। अगर आपके दोनों लक्ष्यों का कोई संयोजन है, तो मेरी रणनीति मिश्रित होगी। जीत आपके लिए जितनी ज़्यादा महत्वपूर्ण है, आपको उतना ही आक्रामक होकर डबल करना चाहिए। आपके लिए "डिवाइस पर बिताया गया समय" जितना ज़्यादा महत्वपूर्ण है, आपको उतना ही कम डबल करना चाहिए।
बैकारेट में, कटे हुए पत्ते को शू में अंतिम 13 पत्तों के सामने रखा जाता है, और जिस हाथ से कटा हुआ पत्ता निकला है, उसके बाद एक हाथ बांटा जाता है। यदि कटा हुआ पत्ता पहले खिलाड़ी के पत्ते के बंटने के बाद निकला है, और खिलाड़ी और बैंकर दोनों एक-एक पत्ता खींचते हैं, तो आखिरी हाथ के लिए शू में केवल 8 पत्ते ही बचेंगे। यदि आप पत्तों पर नज़र रख रहे हैं, और जानते हैं कि अंतिम 8 पत्ते सभी 0-मूल्य वाले हैं, तो बराबरी पर टेबल मैक्स बेट लगाने से आपको भारी मुनाफा होगा। मेरा प्रश्न यह है कि 8 पत्तों वाले शू में अंतिम 8, 9, या 10 पत्तों के 10-मूल्य वाले होने की क्या संभावना है? और यदि आपको ठीक-ठीक पता हो कि अंतिम 8 पत्ते क्या थे, तो क्या आप किसी सूत्र या प्रोग्राम का उपयोग करके यह पता लगा सकते हैं कि अगला हाथ बैंकर, खिलाड़ी या बराबरी का होगा?

Mike S. से Michigan City

आपके पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए, 8-डेक वाले शू में अंतिम 8 पत्तों के 0-मान वाले होने की प्रायिकता कॉम्बिन (128,8)/कॉम्बिन (416,8) = 0.0000687746 है। इसलिए, यह ऐसी चीज़ नहीं है जिसके लिए इंतज़ार करना पड़े। मुझे अन्य स्थितियों में क्या दांव लगाना है, इसका कोई आसान फ़ॉर्मूला नहीं पता। अगर आपको कोई ऐसा कैसीनो मिल जाए जो आपको कंप्यूटर इस्तेमाल करने की अनुमति दे, तो शू के अंत में, खासकर टाई होने पर, कभी-कभी फ़ायदे बहुत ज़्यादा होंगे।
पासे के लगातार 180 बार फेंकने पर, मैं निम्नलिखित को कितनी बार देखने की उम्मीद कर सकता हूँ:

लगातार दो सात?
लगातार तीन सात?
लगातार चार सात?

समय देने के लिए आपको धन्यवाद :-)।

Melanie D. से Elizabeth City, NC

मैं इस जानकारी को जानने का कोई उपयोगी कारण नहीं सोच पा रहा हूँ, लेकिन मुझसे इस तरह की बातें अक्सर पूछी जाती हैं, इसलिए मैं आपकी बात मान लूँगा।

पहले रोल से शुरू होकर या आखिरी रोल पर खत्म होने वाले सातों का एक निर्दिष्ट क्रम प्राप्त करना थोड़ा आसान होता है, क्योंकि यह क्रम एक तरफ से घिरा होता है। विशेष रूप से, पहले रोल से शुरू होकर या आखिरी रोल पर खत्म होने वाले s सातों का एक क्रम प्राप्त करने की प्रायिकता (1/6) s × (5/6) है। 5/6 पद इसलिए है क्योंकि आपको क्रम के खुले सिरे पर एक गैर-7 प्राप्त करना है।

अनुक्रम के मध्य में किसी भी बिंदु पर s सेवन का अनुक्रम शुरू करने की प्रायिकता (1/6) s × (5/6) 2 है। हम 5/6 पद का वर्ग करते हैं, क्योंकि खिलाड़ी को अनुक्रम के दोनों सिरों पर एक गैर-7 प्राप्त करना होगा।

यदि r रोल हैं, तो अंदर के क्रम के लिए 2 स्थान होंगे, और n सातों के क्रम के लिए rn-1 स्थान होंगे। इन समीकरणों को एक तालिका में रखने पर, 1 से 10 तक, सातों के क्रम की अपेक्षित संख्या यहाँ दी गई है। "अंदर" कॉलम 2*(5/6)*(1/6) r है, और "बाहर" कॉलम (179-r)*(5/6) 2 *(1/6) r है, जहाँ r क्रम में सातों की संख्या है। इसलिए, हम दो सातों के 3.46 रन, तीन सातों के 0.57 रन और चार सातों के 0.10 रन की अपेक्षा कर सकते हैं।

180 रोल में सेवन्स के अपेक्षित रन

दौड़ना अंदर बाहर कुल
1 0.277778 20.601852 20.87963
2 0.046296 3.414352 3.460648
3 0.007716 0.565844 0.57356
4 0.001286 0.093771 0.095057
5 0.000214 0.015539 0.015754
6 0.000036 0.002575 0.002611
7 0.000006 0.000427 0.000433
8 0.000001 0.000071 0.000072
9 0 0.000012 0.000012
10 0 0.000002 0.000002