जादूगर से पूछो #207

केली सन्निकटन, लाभ को विचरण से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। संभावित परिणाम दांव की राशि का 39, 5, 0, -0.2, और -0.8 गुना जीत हैं। लाभ (1/50)×39 + (1/50)×5 + (4/50)×0 + (2/50)× -0.2 + (42/50)×-0.8 = 0.2 है।

विचरण अपेक्षित(जीत ² ) - (अपेक्षित(जीत)) ² = (1/50)×39 ² + (1/50)×5 ² + (4/50)×0 ² + (2/50)× -0.2 ² + (42/50)×-0.8 ² − 0.2 ² = 31.4192

तो, अनुमानित इष्टतम केली दांव 0.2/31.492 = बैंकरोल का 0.0063655 गुना है। $25,000 की पूरी प्रविष्टि के लिए, आवश्यक बैंकरोल 25,000/0.0063655 = $3,927,400 होना चाहिए।

हालाँकि, इस तरह के बड़े दांवों के लिए, मुझे लगता है कि सटीक इष्टतम केली दांव खोजने में समय लगाना उचित है। इसके बाद, दांव का आकार b ज्ञात करें, जो टूर्नामेंट के बाद बैंकरोल के अपेक्षित लॉग को अधिकतम करता है, जैसा कि नीचे दिया गया है।

टूर्नामेंट के बाद बैंकरोल का लॉग = (1/50)*लॉग(1+39×b) + (1/50)*लॉग(1+5×b) + (4/50)*लॉग(1) + (2/50)*लॉग(1-0.2×b) + (42/50)*लॉग(1-0.8×b)

b को हल करने का कोई आसान तरीका नहीं है। व्यक्तिगत रूप से, मैं एक्सेल में "लक्ष्य खोज" सुविधा की सलाह देता हूँ। इसका उत्तर 0.0083418 आएगा। इसलिए, सटीक केली दांव आपके बैंकरोल का 0.0083418 गुना होना चाहिए। $25,000 के प्रवेश शुल्क को उचित ठहराने के लिए, आपका बैंकरोल $25,000/0.0083418 = $2,996,937 होना चाहिए।

आपके स्नेहपूर्ण शब्दों के लिए धन्यवाद। मैं मान रहा हूँ कि डीलर सॉफ्ट 17 पर पहुँचता है, और स्प्लिट की अनुमति के बाद डबल हो जाता है। डॉन श्लेसिंगर द्वारा रचित ब्लैकजैक अटैक में तालिका D17 के अनुसार, प्रत्येक डेक में एक टेन निकालने पर हाउस एज 0.5512% बढ़ जाता है। छह-डेक वाले खेल में, इसे छह से भाग देने पर, हाउस एज में 0.09% की वृद्धि होती है।

सबसे पहले, अगर आप $16.50 का दांव लगाते हैं और कूपन का इस्तेमाल करने के लिए ब्लैकजैक जीतने का इंतज़ार करते हैं, तो अपेक्षित नुकसान की गणना करते हैं। एक खिलाड़ी के ब्लैकजैक जीतने की प्रायिकता, इक्कों की संख्या × दहाई की संख्या / शू में 312 पत्तों में से दो पत्ते चुनने के तरीकों के संयोजन के बराबर होती है। यानी 24×96/ कॉम्बिनेशन (312,2) = 0.0474895। अगर आप दोनों के पास ब्लैकजैक है, तो कूपन आपके काम नहीं आएगा। यह मानते हुए कि खिलाड़ी के पास ब्लैकजैक है, डीलर के ब्लैकजैक जीतने की प्रायिकता 23 × 95 / कॉम्बिनेशन (310,2) = 0.045621 है। तो, खिलाड़ी के ब्लैकजैक जीतने की प्रायिकता 0.0474895 * (1-0.045621) = 0.045323 है, यानी 22.06 हाथों में एक बार। तो, आपके द्वारा 22.06 हाथों को $16.50 प्रति हाथ के भाव पर खेलने पर अपेक्षित हानि 22.06 × $16.50 × .0064=$2.33 होगी।

अब, आइए $25 का दांव लगाने और कूपन का उपयोग करने के लिए पहली जीत तक प्रतीक्षा करने पर अपेक्षित हानि की गणना करें। किसी भी जीत की संभावना 42.42% है, जैसा कि मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 4 में बताया गया है। विभाजन में जटिलताओं के कारण, यह इस स्थिति के लिए बिल्कुल उपयुक्त आँकड़ा नहीं है, लेकिन काफी करीब है। इसलिए, जीतने वाले हाथ के लिए खेले जाने वाले हाथों की अपेक्षित संख्या 1/0.4242 = 2.36 है। $25 वाले 2.36 हाथों पर दांव लगाने का अपेक्षित नुकसान 2.36 × $25 × .0064 = $0.38 है, जिसकी लागत ब्लैकजैक के लिए प्रतीक्षा करने की लागत से 84% कम है।

मेरे बैकारेट पृष्ठ से, हम देखते हैं कि सामान्य 8-डेक गेम में संभावनाएं हैं:

बैंकर: 45.86%
खिलाड़ी: 44.62%
टाई: 9.52%

टाई को छोड़कर, बैंकर और खिलाड़ी के लिए संभावनाएं हैं:

बैंकर: 45.68%/(45.68%+44.62%) = 50.68%.
खिलाड़ी: 44.62%/(45.68%+44.62%) = 49.32%.

पहले सत्र में कुल हाथों की संख्या 282+214 = 496 थी। पहले सत्र में खिलाड़ियों की जीत की अपेक्षित संख्या 49.32% × 496 = 244.62 है। 282 का वास्तविक योग अपेक्षा से 282-244.62 = 37.38 अधिक है।

जीत/हार की घटनाओं की एक श्रृंखला के लिए प्रसरण n × p × q है, जहाँ n संख्या नमूना आकार है, p जीतने की प्रायिकता है, और q हारने की प्रायिकता है। इस स्थिति में, प्रसरण 496 × 0.5068 × 0.4932 = 123.98 है। मानक विचलन इसका वर्गमूल है, जो 11.13 है। इसलिए, कुल खिलाड़ियों की जीत अपेक्षा से 37.38/11.13 = 3.36 मानक विचलन से अधिक रही। विषम या उससे अधिक परिणामों की प्रायिकता 0.000393, या 2,544 में 1 है।

नमूना II के लिए गणितीय विधि का उपयोग करते हुए, प्रायिकता 0.042234 है। यदि आप दोनों नमूनों को एक में मिला दें, तो प्रायिकता 0.000932 है। लगभग 0.1% "निश्चित रूप से खिलाड़ी पक्षपाती" होने के लिए पर्याप्त नहीं है। अगर आपको अभी भी लगता है कि खेल निष्पक्ष नहीं है, तो मैं बड़े नमूने के लिए और अधिक डेटा एकत्र करूँगा।

जब तक वह स्थिर दर पर फ्लैट बेटिंग कर रही है, हाँ, हर हाल में बेट लगाओ। या तो वह किसी बेकार प्रोग्रेसिव का इस्तेमाल कर रही है, या यह किसी और की अतिशयोक्ति है। इससे मैं सोचने लगा कि आपके दोस्त के पक्ष में हाथों की इष्टतम संख्या क्या होगी। 9/6 जैक या बेहतर, और इष्टतम रणनीति मानते हुए, आगे होने की संभावना 136 हाथों पर अधिकतम होती है, जिसकी संभावना 39.2782% है।