WOO logo

विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #215

2008 की वर्ल्ड सीरीज़ ऑफ़ पोकर में, मोटोयुकी माबुची के क्वाड ऐस जस्टिन फिलिप के रॉयल फ्लश से हार गए थे। ऐसा होने की संभावना के बारे में मेरा एक साधारण सा सवाल है। ईएसपीएन और अन्य ने इसे लगभग 2.7 अरब में 1 बताया था। मुझे लगता है कि उन्होंने क्वाड होने की प्रकाशित संभावना को लिया और उसे रॉयल फ्लश होने की संभावना से गुणा कर दिया। क्या यह गणना का सही तरीका है?

Wade

मैं 2.7 अरब में 1 वाले आंकड़े से भी असहमत हूँ। जैसा कि आपने कहा, उन्होंने प्रत्येक खिलाड़ी के लिए अलग-अलग प्रायिकताएँ गणना कीं, ठीक उसी स्थिति में जब दोनों खिलाड़ी दोनों होल कार्ड इस्तेमाल करते हैं, और गुणा करते हैं। इस विधि का उपयोग करके मुझे 0.000000000341101, यानी लगभग 2.9 अरब में 1, की प्रायिकता प्राप्त होती है। हो सकता है कि 2.7 अरब में 1 में दोनों खिलाड़ियों की प्रायिकताओं पर पूर्णांकन त्रुटि का संयोजन भी शामिल हो। वे स्पष्ट रूप से प्रायिकता को 2 से गुणा करना भी भूल गए, जिसके कारण मैं बाद में बताऊँगा।

रॉयल फ्लश में चार इक्के हारने के तीन तरीके इस प्रकार हैं।

केस 1: एक खिलाड़ी के पास रॉयल फ्लश के दो कार्ड हैं, दूसरे के पास दो इक्के हैं, तथा बोर्ड पर अन्य दो इक्के, रॉयल फ्लश के अन्य दो कार्ड तथा कोई अन्य कार्ड है।

उदाहरण:

खिलाड़ी 1:
खिलाड़ी 2:
तख़्ता:

ज़्यादातर पोकर रूम में, बैड-बीट जैकपॉट जीतने के लिए, जीतने वाले और हारने वाले दोनों खिलाड़ियों को दोनों होल कार्ड इस्तेमाल करने होते हैं। वीडियो में भी बैड बीट का यही प्रकार था; दरअसल, ये कार्ड बिल्कुल वही थे।

केस 2: एक खिलाड़ी के पास रॉयल फ्लश (टी.के.) के लिए दो कार्ड हैं, दूसरे के पास एक इक्का और एक "रिक्त" कार्ड है, तथा बोर्ड पर अन्य तीन इक्के और रॉयल के लिए अन्य दो कार्ड हैं।

उदाहरण:

खिलाड़ी 1:
खिलाड़ी 2:
तख़्ता:

केस 3: एक खिलाड़ी के पास रॉयल फ्लश (टी.के.) का एक कार्ड और एक खाली कार्ड है, दूसरे के पास दो इक्के हैं, और बोर्ड पर अन्य दो इक्के और रॉयल फ्लश के अन्य तीन कार्ड हैं।

उदाहरण:

खिलाड़ी 1:
खिलाड़ी 2:
तख़्ता:

निम्नलिखित तालिका खिलाड़ियों और बोर्ड दोनों के लिए प्रत्येक मामले में संयोजनों की संख्या दर्शाती है। निचले दाएँ कक्ष में कुल संयोजनों की संख्या 16,896 दिखाई गई है।

खराब बीट संयोजन

मामला खिलाड़ी 1 खिलाड़ी 2 तख़्ता उत्पाद
1 24 3 44 3,168
2 24 132 1 3,168
3 704 3 1 2,112
कुल 8,448

हालाँकि, हम दोनों खिलाड़ियों के पत्ते उलट सकते हैं, और फिर भी एक खराब बीट हो सकती है। इसलिए, हमें संयोजनों की संख्या को 2 से गुणा करना चाहिए। इसे समायोजित करने पर, कुल योग्य संयोजन 2 × 8,448 = 16,896 होंगे।

दो-खिलाड़ियों वाले टेक्सास होल्ड 'एम में सभी संयोजनों की कुल संख्या संयोजन (52,2) × संयोजन (50,2) × संयोजन (48,5) = 2,781,381,002,400 है। इसलिए, चार इक्कों के रॉयल फ्लश से हारने की संभावना 8,448/2,781,381,002,400 = 0.0000000060747 है, यानी लगभग 165 मिलियन में 1। सिर्फ़ एक केस में खराब हार की संभावना 439 मिलियन में 1 है। ऑड्स उस वीडियो में बताए गए लंबे समय तक नहीं हैं, इसका सीधा कारण यह है कि दोनों हाथ ओवरलैप होते हैं, जिसमें साझा इक्का होता है। दूसरे शब्दों में, दोनों घटनाएँ सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं।

मेरी समझ से, न्यूयॉर्क के मोंटीसेलो और योंकर्स स्थित "रेसिनो" को "वीडियो लॉटरी टर्मिनल" कहा जाता है। मैंने पढ़ा है कि ये असली स्लॉट/वीडियो पोकर मशीनें नहीं हैं, क्योंकि ये रैंडम नंबर जनरेटर का इस्तेमाल नहीं करतीं, बल्कि अल्बानी स्थित एक केंद्रीय कंप्यूटर से जुड़ी होती हैं, जो खेल के नतीजे को नियंत्रित करता है। उदाहरण के लिए, वीडियो पोकर में अगर आपको शुरुआत में एक तरह का चार कार्ड मिलता है और आप उन सभी को छोड़ देते हैं, तो वह फिर से विजेता के रूप में दिखाई देगा, क्योंकि केंद्रीय कंप्यूटर को आपकी मशीन को एक तरह का चार कार्ड देने के लिए प्रोग्राम किया गया था। इसलिए, कोई भी रणनीति बेकार है। क्या यह सही है?

"न्यू यॉर्क वीडियो पोकर के बारे में सच बताना" नामक पत्रिका के अनुसार, आप बिल्कुल सही हैं। खिलाड़ी का परिणाम वास्तव में पूर्वनिर्धारित होता है। खिलाड़ी चाहे जितने भी पत्ते रखे, वह अपने भाग्य से बच नहीं सकता। यदि खिलाड़ी जानबूझकर अपने भाग्य से बचने की कोशिश करता है, तो खेल खिलाड़ी की गलती सुधारने के लिए एक संरक्षक देवदूत सुविधा का उपयोग करेगा। मैं लेखक से पूरी तरह सहमत हूँ कि ऐसे खेलों में खिलाड़ी को चेतावनी दी जानी चाहिए कि वे असली वीडियो पोकर नहीं खेल रहे हैं, और भुगतान तालिका खिलाड़ी की वास्तविक बाधाओं का एक अर्थहीन माप है। यह भी ध्यान देने योग्य है कि इस प्रकार की नकली वीडियो पोकर मशीनें केवल न्यूयॉर्क तक ही सीमित नहीं हैं।

मैं आपकी बेहतरीन साइट का अक्सर इस्तेमाल करता हूँ, शुक्रिया! मुझे अटलांटिक सिटी के बोरगाटा में लेट इट राइड में थ्री कार्ड बोनस बेट के लिए एक नया पे टेबल मिला। उन्होंने इसे हाल ही में लागू किया है, यहाँ तक कि डीलरों को नए ऑड्स याद रखने में भी दिक्कत हो रही है। नया पे टेबल यहाँ है:

मिनी रॉयल: 50 से 1
स्ट्रेट फ्लश: 40 से 1
एक तरह के तीन: 30 से 1
सीधे: 6 से 1
फ्लश: 4 से 1
जोड़ी: 1 से 1

मैं उत्सुक हूं कि इसका समग्र हाउस एज पर क्या प्रभाव पड़ेगा।

Kyle से Leesburg, VA

साइड बेट के लिए यह बुरा नहीं है। मैं दिखा रहा हूँ कि हाउस एज 2.14% है।
हाय विज़ार्ड, मुझे एक नया ऑनलाइन कैसीनो मिला और मैंने उसे आज़माने का फैसला किया। मैं उनके क्रेप्स टेबल पर खेल रहा था और मैंने देखा कि पासे के 20 बार लुढ़कने पर, फ़ील्ड बेट 16 बार हारा और केवल 4 बार जीता। क्रम इस प्रकार था: L6,W1,L1,W1,L1,W1,L2,W1,L6। मुझे पता है कि यह एक छोटा सा नमूना है, लेकिन क्या यह इस बात का आकलन करने के लिए पर्याप्त है कि यह नया कैसीनो वैध है या नहीं?

Mark से Ottawa, Ontario

p प्रायिकता वाली किसी घटना के संभावित n में से x बार घटित होने की प्रायिकता (n,x) × p x × (1-p) (nx) का संयोजन है। इस स्थिति में, p=4/9, x=4, और n=20 है। यहाँ 20 में से सभी संभावित फ़ील्ड रोल की प्रायिकता दी गई है:

खराब बीट संयोजन

जीत संभावना
0 0.000008
1 0.000126
2 0.000954
3 0.004579
4 0.015567
5 0.039851
6 0.079703
7 0.127524
8 0.165782
9 0.176834
10 0.155614
11 0.113174
12 0.067904
13 0.033430
14 0.013372
15 0.004279
16 0.001070
17 0.000201
18 0.000027
19 0.000002
20 0.000000
कुल 1.000000


0 से 4 तक का योग लेने पर, संभावना 2.12% है। तो, निष्पक्ष खेल में ऐसा आसानी से हो सकता था।

गणित की पहेलियों के आपके मनोरंजक संग्रह के लिए धन्यवाद। मेरी प्रेमिका और मैंने समुद्री डाकू पहेली का यह रूपांतर तैयार किया है। क्या होगा यदि सभी समुद्री डाकू समान रैंक के हों, और प्रत्येक दौर में विभाजन का प्रस्तावक लॉटरी द्वारा चुना जाए? इस रूपांतर में, मान लें कि प्रत्येक समुद्री डाकू की सर्वोच्च प्राथमिकता प्राप्त सिक्कों की अपेक्षित मात्रा को अधिकतम करना है। मेरे पास इसका समाधान है, लेकिन शायद आप पहले इसे आज़माना चाहेंगे। एक बार फिर धन्यवाद।

Jon S

आपका स्वागत है। अगर सिर्फ़ दो समुद्री डाकू बचे हैं, तो सुझाव देने के लिए चुने गए समुद्री डाकू के पास कोई उम्मीद नहीं है, क्योंकि दूसरा समुद्री डाकू 'नहीं' वोट देगा। जो निकाला जाएगा उसे शून्य मिलेगा, और बाकी सभी को 1000। इसलिए, ड्रॉ से पहले, दो समुद्री डाकुओं के साथ अपेक्षित मूल्य 500 सिक्के हैं।

तीन समुद्री डाकुओं के चरण में, ड्रॉ किए गए समुद्री डाकू को दूसरे समुद्री डाकुओं में से एक को 501 और खुद को 499 देने का सुझाव देना चाहिए। 501 पाने वाला हाँ में वोट देगा, क्योंकि यह ना में वोट देने पर 500 के अपेक्षित मूल्य से अधिक है। ड्रॉ से पहले, जब तीन समुद्री डाकू बचे हों, तो आपके पास 0, 499 या 501 सिक्के पाने का 1/3 मौका होता है, जिसका औसत 333.33 होता है।

चार समुद्री डाकुओं के चरण में, ड्रॉ किए गए समुद्री डाकू को अन्य दो डाकुओं में से किसी एक को 334 और खुद को 332 देने का विकल्प चुनना चाहिए। इससे उसे 334 सिक्के पाने वाले डाकुओं से दो 'हाँ' वोट मिलेंगे, क्योंकि वे 333.33 की बजाय 334 लेना पसंद करेंगे। अपने वोट को मिलाकर, आपके पास 4 में से 3 वोट होंगे। ड्रॉ से पहले, प्रत्येक समुद्री डाकू के लिए अपेक्षित मान 0, 334, 334 और 332 का औसत है, या 1000/4=250।

इसी तर्क से, पाँच समुद्री डाकुओं वाले चरण में, चुने गए समुद्री डाकू को किन्हीं दो समुद्री डाकुओं को 251 और खुद को 498 देने का विकल्प चुनना चाहिए। मूल समस्या के विपरीत, इसमें उलटी गिनती करने की ज़रूरत नहीं है। बस सिक्कों की संख्या को समुद्री डाकुओं की संख्या से भाग दें, जिसमें खुद को शामिल न करें। फिर उनमें से आधे (नीचे की ओर पूर्णांकित करते हुए) उस औसत के साथ एक और सिक्का दें।