सिचरमैन पासा

इस सप्ताह हम कैमिनो डेल नॉर्टे की अपनी यात्रा को कुछ समय के लिए रोक रहे हैं। इसके बजाय, मैं जो पहेली प्रस्तुत कर रहा हूँ, वह एक अलग न्यूज़लेटर के योग्य है। पहेली यह रही:

आप दो पासों पर इस प्रकार संख्याएँ कैसे अंकित कर सकते हैं कि किसी भी योगफल की प्रायिकता दो पारंपरिक छह-पहलू वाले पासों के योगफल के समान हो? एक पासे पर प्रत्येक तरफ एक से चार बिंदु होने चाहिए। दूसरे पासे पर प्रत्येक तरफ कोई भी संख्या हो सकती है।

सबसे पहले, आइए दो पारंपरिक पासों के साथ प्रत्येक योग के संयोजनों की संख्या की समीक्षा करें।

दोनों पासों के लुढ़कने के अनुसार कुल योग इस प्रकार हैं।

मरना 1	मरना 2
	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

यहां बताया गया है कि 2 से 12 तक की प्रत्येक संख्या कितनी बार देखी जाती है।

कुल	युग्म
2	1
3	2
4	3
5	4
6	5
7	6
8	5
9	4
10	3
11	2
12	1

मान लीजिए कि पासा 1 वह है जिस पर केवल 1 से 4 तक की संख्याएँ ही आ सकती हैं। यह मान लेना सुरक्षित है कि इस पर कम से कम एक 1 और कम से कम एक 4 अवश्य होगा। अन्यथा, दी गई सीमा संभवतः संकीर्ण होती।

कुल 2 का एक संयोजन प्राप्त करने के लिए, पासे 2 पर ठीक एक 1 होना चाहिए।

12 का एक संयोजन प्राप्त करने के लिए, पासे 2 पर ठीक एक 8 होना चाहिए।

पासे 1 पर एक से अधिक 1 और एक से अधिक 4 नहीं हो सकते, अन्यथा हमारे पास 2 या 12 का एक से अधिक योग होगा। अभी स्थिति यह है:

मरना 1	मरना 2
	1	?	?	?	?	8
1	2	?	?	?	?	9
2 या 3	?	?	?	?	?	?
2 या 3	?	?	?	?	?	?
2 या 3	?	?	?	?	?	?
2 या 3	?	?	?	?	?	?
4	5	?	?	?	?	12

यदि पासे 1 पर चारों तरफ 2 हों, तो कुल 3 आने के कम से कम 4 तरीके होंगे। हमें ठीक दो तरीके चाहिए। इसलिए, कम से कम एक फलक पर 3 होना चाहिए।

यदि पासे 2 पर 1-2-2-2-3-4 आता, तो कुल 3 आने के कम से कम 3 तरीके होते। फिर से, हमें ठीक दो तरीके चाहिए।

तो, पासा 2 पर 1-2-2-3-3-4 आना चाहिए। इस तरह अब तक 3 आने के 3 तरीके हैं।

पहले पासे की इस स्थिति को देखते हुए, दूसरे पासे पर कोई भी 2 नहीं आ सकता। अन्यथा, कुल योग 3 आने के बहुत सारे तरीके हो जाएंगे। चलिए, दूसरे पासे पर अगला अंक 3 मानकर चलते हैं। इससे हमें दोनों पासों के बीच निम्नलिखित योग प्राप्त होते हैं:

मरना 1	मरना 2
	1	3	?	?	?	8
1	2	4	?	?	?	9
2	3	5	?	?	?	10
2	3	5	?	?	?	10
3	4	6	?	?	?	11
3	4	6	?	?	?	11
4	5	7	?	?	?	12

ध्यान दें कि 5 का योग प्राप्त करने के तीन तरीके हैं। हमें कुल चार तरीकों की आवश्यकता है। याद रखें कि दो पासों के साथ हम 1+4, 4+1, 2+3, या 3+2 से 5 का योग प्राप्त कर सकते हैं।

यदि हम पासे 2 पर एक और 3 जोड़ दें, तो हमारे पास कुल 5 आने के पाँच तरीके हो जाएँगे, जो कि बहुत अधिक हैं। इसलिए, पासे 2 पर आने वाला अगला अंक 4 होना चाहिए ताकि पासे 1 पर आए 1 से मेल खाकर एक और कुल 5 बन सके। अब हम इस स्थिति में हैं:

मरना 1	मरना 2
	1	3	4	?	?	8
1	2	4	5	?	?	9
2	3	5	6	?	?	10
2	3	5	6	?	?	10
3	4	6	7	?	?	11
3	4	6	7	?	?	11
4	5	7	8	?	?	12

ध्यान दें कि हमारे पास कुल छह बनाने के चार तरीके हैं। हमें पाँच तरीकों की आवश्यकता है। यदि हम पासे 2 में एक और 4 जोड़ दें, तो कुल 5 बनाने के बहुत अधिक तरीके हो जाएँगे। इसलिए, कुल 5 बनाने का दूसरा तरीका पासे 2 पर आए 5 को पासे 1 पर आए 1 के साथ मिलाकर प्राप्त करना होगा। इससे हमें यह मिलता है:

मरना 1	मरना 2
	1	3	4	5	?	8
1	2	4	5	6	?	9
2	3	5	6	7	?	10
2	3	5	6	7	?	10
3	4	6	7	8	?	11
3	4	6	7	8	?	11
4	5	7	8	9	?	12

अगला योग 7 है। अब तक हमारे पास पाँच तरीके हैं और हमें छठा तरीका चाहिए। यह केवल पासे 2 में 6 जोड़ने से ही प्राप्त हो सकता है। यह पासे 1 पर आए 1 के साथ मिलकर हमें एक और योग 7 देगा। इससे हमें मिलेगा:

मरना 1	मरना 2
	1	3	4	5	6	8
1	2	4	5	6	7	9
2	3	5	6	7	8	10
2	3	5	6	7	8	10
3	4	6	7	8	9	11
3	4	6	7	8	9	11
4	5	7	8	9	10	12

प्रत्येक योग के लिए कुल संयोजन दो पारंपरिक पासों के योग के समान हैं। तो, हमारा काम पूरा हो गया। वैसे, इन्हें सिचरमैन पासे कहा जाता है।

श्रेय

मैंने दशकों में इस समस्या को कई बार देखा है। मुझे लगता है कि अगर आपको यह संकेत न दिया जाए कि एक पासे का मान 1 से 4 तक हो सकता है, तो यह बहुत कठिन हो जाता है।

एक अच्छा वीडियो जिसमें मुझे इस समाधान का तर्क मिला, उसका शीर्षक है " क्या आप शापित पासे की पहेली को हल कर सकते हैं? - डैन फिंकेल " जो टेड-एड यूट्यूब चैनल पर है।