पाइथागोरस सूत्र का प्रमाण

इस हफ़्ते, मैं पारंपरिक पाइथागोरस सूत्र सिद्ध करूँगा, जो कहता है कि एक समकोण त्रिभुज में भुजाओं के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। इसका सबसे प्रसिद्ध उदाहरण 3, 4 और 5 भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज है। ध्यान दें: 3 ² + 4 ² = 5 ^2। हालाँकि, उस पर आने से पहले, मैं सामान्य साप्ताहिक तर्क पहेली प्रस्तुत करता हूँ।

तर्क पहेली

एक अनजान प्राचीन दार्शनिक घर की दीवार पर टंगी अपनी बड़ी घड़ी को घुमाना भूल गया। उसके पास रेडियो, टीवी, टेलीफोन, इंटरनेट या समय बताने का कोई और साधन नहीं था। इसलिए, वह सीधी रेगिस्तानी सड़क पर कुछ मील पैदल चलकर अपने दोस्त के घर पहुँचा। वह रात भर अपने दोस्त के घर रुका और घर वापस आकर उसे घड़ी सेट करना आता था। उसे कैसे पता चला?

इसका उत्तर समाचार-पत्र के अंत में है।

पाइथागोरस सूत्र का प्रमाण

निम्नलिखित आरेख पर विचार करें, जिसमें एक बड़ा वर्ग चार बराबर समकोण त्रिभुजों में विभाजित है और बीच में एक छोटा वर्ग है। बीच में एक वर्ग होगा क्योंकि किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है। मैंने 13 नवंबर, 2025 के न्यूज़लेटर में इसे सिद्ध किया था।

बड़े वर्ग का क्षेत्रफल (a+b) ² है। प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल ab 2 है। बीच में स्थित पीले वर्ग का क्षेत्रफल c ² है। बड़े वर्ग के क्षेत्रफल को उसके आंतरिक भागों के योग के बराबर करने पर हमें यह प्राप्त होता है:

6; फ़ॉन्ट-फ़ैमिली: 'ओपन सैंस', सैंस-सेरिफ़; रंग: #313131 !important;">(a+b) ² = 4 ab 2 + c ²

ए ² + 2ab + बी ² = 2ab + सी ²

दोनों ओर से 2ab घटाने पर हमें प्राप्त होता है:

ए ² + बी ² = सी ²

तर्क पहेली समाधान

1. प्रोफेसर ने घड़ी घुमाकर उसे मनमाना समय पर सेट कर दिया।
2. जब वह अपने दोस्त के घर पहुंचता है तो वह आगमन का समय नोट कर लेता है।
3. जब वह जाता है, तो वह जाने का समय नोट करता है और साथ ही अपने मित्र के घर पर बिताए गए समय की गणना भी करता है, जिसमें वह आने के समय को जाने के समय से घटाता है।
4. वह अपने मित्र के घर जाते समय जितनी गति से चलता था, वापस लौटते समय भी उसी गति से चलने का ध्यान रखता है।
5. जब वह अपने घर वापस पहुँचेगा, तो उसकी घड़ी में उसके दोस्त के घर पर बिताया गया समय और पैदल चलने का समय आगे बढ़ चुका होगा। वह कुल समय में से दोस्त के घर पर बिताए गए समय को घटाकर पैदल चलने का समय निकाल सकता है। फिर वह कुल पैदल चलने के समय को 2 से भाग देकर एकतरफ़ा समय निकाल सकता है।
6. इसके बाद वह अपनी घड़ी को मित्र के घर से निकलने के समय के साथ-साथ एक तरफ चलने के समय के अनुसार सेट कर सकता है।

आइये एक उदाहरण देखें।

गलत घड़ी घुमाकर 12:00 बजे पर सेट कर दी गई है। 8:00 बजे, वह अपने दोस्त के घर पहुँचता है। 1:00 बजे, वह पाँच घंटे की मुलाक़ात को नोट करते हुए निकल जाता है। जब वह वापस आता है, तो देखता है कि उसकी घड़ी 8:00 बजे है। पाँच घंटे की मुलाक़ात को घटाने पर, उसने कुल तीन घंटे पैदल चलने में बिताए। यानी हर तरफ़ डेढ़ घंटे। अगर वह 1:00 बजे निकला और डेढ़ घंटे पैदल चला, तो अब 2:30 बजे होंगे, और फिर वह अपनी घड़ी को उसी पर सेट कर देता है।