फिबोनाची अनुक्रम भाग 1

इस सप्ताह हम फिबोनाची अनुक्रम पर तीन भागों की श्रृंखला शुरू कर रहे हैं, जो गणित और प्रकृति दोनों में व्यापक रूप से दिखाई देता है। हालाँकि, इससे पहले, मैं हमेशा की तरह साप्ताहिक तर्क पहेली प्रस्तुत करता हूँ।

तर्क पहेली

आप एक यूनिकॉर्न और एक पेगासस के साथ हैं। यूनिकॉर्न सोमवार, मंगलवार और बुधवार को झूठ बोलता है और बाकी दिनों में सच बोलता है। पेगासस गुरुवार, शुक्रवार और शनिवार को झूठ बोलता है और बाकी दिनों में सच बोलता है।

आपको यह नहीं पता कि आज कौन सा दिन है, और आप निम्नलिखित कथन सुनते हैं।

यूनिकॉर्न, "कल मेरे झूठ बोलने वाले दिनों में से एक था।"

पेगासस ने कहा, "कल का दिन मेरे झूठ बोलने वाले दिनों में से एक था।"

आज कौन सा दिन है?

फिबोनाची अनुक्रम भाग 1

चलिए चर्चा की शुरुआत एक गणितीय समस्या से करते हैं।

यदि आप एक निष्पक्ष सिक्के को 20 बार उछालते हैं, तो लगातार दो बार हेड न आने की प्रायिकता क्या है?

पहला प्रयास - दो सफल संयोजन और कुल दो संयोजन हैं, जिनकी प्रायिकता 2/2 = 100% है। हम कभी भी लगातार दो हेड नहीं देख सकते। दूसरे शब्दों में, एक ही बार में दो हेड आना असंभव है।

फ्लिप 2 – तीन सफल संयोजन (HT, TH, TT) हैं और ^2² = 4 कुल संयोजन हैं, जिसकी प्रायिकता ¾ = 75% है। हम दो फ्लिप में कभी भी लगातार दो हेड नहीं देखते हैं।

फ्लिप 3 – पाँच सफल संयोजन (HTT, HTH, THT, TTH, TTT) हैं और कुल 23=8 संयोजन हैं, जिसकी प्रायिकता 5/8 = 62.5% है। तीन फ्लिप में हमें कभी भी लगातार दो हेड नहीं दिखते।

हालांकि, अब सफल संयोजनों की गिनती करना थकाऊ होता जा रहा है। चलिए इसे दूसरे तरीके से देखते हैं। अगर तीसरी बार पलटने पर टेल आता है, तो दो बार पलटने से बनने वाले सभी सफल संयोजन मान्य होंगे। दूसरे शब्दों में, हम दो बार पलटने से बनने वाले सभी संयोजनों में एक टेल जोड़ सकते हैं: HTT, THT, TTT।यदि तीसरी बार हेड आता है, तो उसके बाद किसी भी संयोजन को सही माना जा सकता है, बस उसके अंत में TH जोड़ दें: HTH, TTH। इस प्रकार, यदि तीसरी बार टेल आता है तो कुल 3 सफल संयोजन बन सकते हैं और यदि हेड आता है तो 2 सफल संयोजन बन सकते हैं, इस प्रकार कुल 5 संयोजन बनते हैं।

चौथी बार पलटें – यदि पलटने पर टेल आता है, तो हम तीसरी बार पलटने से प्राप्त सभी 5 संयोजनों का उपयोग कर सकते हैं और प्रत्येक में एक 'T' जोड़ सकते हैं। यदि पलटने पर हेड आता है, तो हम दूसरी बार पलटने से प्राप्त संयोजनों में से प्रत्येक में एक 'TH' जोड़ सकते हैं। कुल संयोजन 5+3=8 हैं।

क्या आपको कोई पैटर्न दिख रहा है? वह पैटर्न जो दो 1 से शुरू होता है और जिसका अगला भाग पिछले दो 1 का योग होता है, इस प्रकार है: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … और इसे फिबोनाची अनुक्रम के नाम से जाना जाता है। हम यहाँ ठीक यही कर रहे हैं, यानी अगर पिछली बार टेल आया था तो एक अंक पीछे जा रहे हैं और अगर हेड आया था तो दो अंक पीछे जा रहे हैं।

नीचे दी गई तालिका में 1 से 20 बार सिक्का उछालने पर सफल संयोजनों की संख्या, कुल संयोजनों की संख्या और लगातार दो बार हेड न आने की प्रायिकता दर्शाई गई है। प्रायिकता सफल संयोजनों की संख्या को कुल संयोजनों से भाग देने पर प्राप्त होती है, जो कि 2^n के बराबर है, जहाँ n सिक्का उछालने की संख्या है। सबसे नीचे वाली पंक्ति में लगातार दो बार हेड न आने की प्रायिकता 17711/1048576 = ~ 1.69% है।

यह फिबोनाची अनुक्रम का सिर्फ एक व्यावहारिक उपयोग दर्शाता है। अगले सप्ताह हम अनुक्रम में दो लगातार पदों के अनुपात को देखकर इस विषय को और विस्तार से समझेंगे।

तर्क पहेली का उत्तर

गुरुवार

तर्क पहेली का हल

आइए पहले यूनिकॉर्न के कथन पर गौर करें। यह कथन केवल सोमवार और गुरुवार को ही यूनिकॉर्न की सत्यता के अनुरूप है।

चलिए अब पेगासस के कथन पर गौर करते हैं। यह कथन केवल गुरुवार और रविवार को ही गेंडा की सत्यता से मेल खाता है।