मेगा मिलियन्स

परिचय

मेगा मिलियंस एक बहु-राज्य लॉटरी है जो बहुत बड़े जैकपॉट के लिए जानी जाती है। इसकी शुरुआत 1996 में "द बिग गेम" के नाम से हुई थी। तब से इसका नाम बदलकर "द बिग गेम मेगा मिलियंस" और अंततः "मेगा मिलियंस" हो गया है। इसके नियमों में भी कई बदलाव हुए हैं। यह पृष्ठ 5 अप्रैल, 2025 को होने वाले नियम परिवर्तन के बाद लागू होने वाले नियमों के बारे में बताता है।

2025 नियम

5 अप्रैल 2025 को नियमों में पुनः परिवर्तन किया गया, जो इस प्रकार है।

• टिकट की कीमत 2 डॉलर से बढ़कर 5 डॉलर हो गई।
• स्वर्ण गेंदों की संख्या 25 से घटकर 24 हो गई।
• मेगाप्लायर में 10x गुणक जोड़ा गया।
• मेगाप्लायर अब शामिल कर दिया गया है, जबकि पहले खिलाड़ियों को इसके लिए अतिरिक्त 1 डॉलर का भुगतान करना पड़ता था।
• प्रारंभिक जैकपॉट 20 मिलियन डॉलर से बढ़कर 50 मिलियन डॉलर हो गया।

निम्नलिखित नए पूर्ण नियम हैं, जो 4/5/25 से प्रभावी होंगे।

1. एक टिकट की कीमत 5 डॉलर है।
2. खिलाड़ी को 1 से 70 तक पांच अलग-अलग संख्याएं चुननी होंगी, साथ ही 1 से 24 तक एक "मेगा बॉल" भी चुननी होगी।
3. लॉटरी नीचे दी गई तालिका के अनुसार यादृच्छिक रूप से एक मेगाप्लायर चुनेगी। मेगाप्लायर एक गुणक है जो जैकपॉट को छोड़कर सभी जीत पर लागू होगा।
4. प्रत्येक मंगलवार और शुक्रवार को पूर्वी समयानुसार रात्रि 11:00 बजे, लॉटरी से 1 से 70 तक क्रमांकित पांच सफेद गेंदें और 1 से 24 तक क्रमांकित एक स्वर्ण मेगा बॉल निकाली जाएगी।
5. नीचे दी गई भुगतान तालिका के अनुसार, लॉटरी द्वारा चुनी गई गेंदों में से कितनी गेंदें ड्रॉ से मेल खाती हैं, उसके आधार पर खिलाड़ी जीतेगा।
6. जैकपॉट 50 मिलियन डॉलर पर पुनः स्थापित किया जाएगा।

निम्न तालिका दर्शाती है कि लॉटरी ड्रॉ में कितनी सफ़ेद और सुनहरी गेंदें आती हैं, उसके आधार पर खिलाड़ी कितना जीतता है। जीत मेगाप्लायर लागू करने से पहले की है।

सफेद गेंदें	सोने की गेंदें	भुगतान करता है
5	1	जैकपोट
5	0	$1,000,000
4	1	$10,000
4	0	$500
3	1	$200
3	0	$10
2	1	$10
1	1	$7
0	1	$5

निम्नलिखित तालिका प्रत्येक संभावित मेगाप्लायर का भार और संभावना दर्शाती है।

मेगाप्लायर	वज़न	संभावना
10	1	0.03125
5	2	0.06250
4	4	0.12500
3	10	0.31250
2	15	0.46875
कुल	32	1.00000

2025 विश्लेषण

निम्न तालिका मेगाप्लायर पर मेरे विश्लेषण को दर्शाती है। निचले दाएँ सेल में औसत मेगाप्लायर 3.0 दिखाया गया है।

मेगाप्लायर	वज़न	संभावना	अपेक्षित
10	1	0.03125	0.31250
5	2	0.06250	0.31250
4	4	0.12500	0.50000
3	10	0.31250	0.93750
2	15	0.46875	0.93750
कुल	32	1.00000	3.00000

निम्न तालिका सभी निश्चित जीतों के रिटर्न में संभावना और योगदान दर्शाती है। जीत औसतन 3 गुना मेगाप्लायर मानती है। अपेक्षित रिटर्न, $5 टिकट मूल्य के सापेक्ष जीत का अनुपात है। निचले दाएँ सेल में, निश्चित जीत का रिटर्न में 22.37% योगदान दर्शाया गया है।

सफेद गेंदें	सोने की गेंदें	युग्म	संभावना	भुगतान करता है	अपेक्षित वापस करना
5	1	1	0.0000000034	जैकपोट	?
5	0	23	0.0000000792	1000000	0.047509
4	1	325	0.0000011189	10000	0.006713
4	0	7,475	0.0000257339	500	0.007720
3	1	20,800	0.0000716075	200	0.008593
3	0	478,400	0.0016469727	10	0.009882
2	1	436,800	0.0015037577	10	0.009023
1	1	3,385,200	0.0116541219	7	0.048947
0	1	8,259,888	0.0284360573	5	0.085308
2 या उससे कम	0	277,883,424	0.9566605475	0	0.000000
कुल	0	290,472,336	1.0000000000		0.223695

वार्षिकी, कर और जैकपॉट साझाकरण पर विचार करने से पहले, जैकपॉट में प्रति $100 मिलियन का मूल्य अतिरिक्त 6.89% रिटर्न है।

वार्षिकी, करों और जैकपॉट शेयरिंग के प्रभावों को नज़रअंदाज़ करने पर, ब्रेक-ईवन जैकपॉट $1,127,475,660 होगा। यह मानते हुए कि एकमुश्त विकल्प और उच्चतम 37% सीमांत कर दर के लिए जैकपॉट को आधा कर दिया जाता है, ब्रेक-ईवन जैकपॉट $3,579,287,810 तक पहुँच जाता है। अगर हम जैकपॉट शेयरिंग को भी ध्यान में रखें, तो टिकटों की बढ़ती माँग और जैकपॉट के बड़े होने पर अपेक्षित विजेताओं के कारण, खेल कभी भी सकारात्मक नहीं होता।

2017 के नियम

28 अक्टूबर, 2017 को नियमों में बदलाव किया गया, जिससे जैकपॉट की कीमत $1 से बढ़कर $2 हो गई, जिससे जैकपॉट जीतना मुश्किल हो गया, और जैकपॉट को और बड़ा करने की कोशिश की गई। मुझे लगता है कि ये नियम पावरबॉल लॉटरी से मिल रही प्रतिस्पर्धा के जवाब में बदले गए थे। दोनों लॉटरी के नियम अब बहुत समान हैं।

1. एक टिकट की कीमत 2 डॉलर है।
2. खिलाड़ी को 1 से 70 तक पांच अलग-अलग संख्याएं चुननी होंगी, साथ ही 1 से 25 तक एक "मेगा बॉल" भी चुननी होगी।
3. प्रत्येक मंगलवार और शुक्रवार को पूर्वी समयानुसार रात्रि 11:00 बजे, लॉटरी से 1 से 70 तक क्रमांकित पांच सफेद गेंदें और 1 से 25 तक क्रमांकित एक स्वर्ण मेगा बॉल निकाली जाएगी।
4. खिलाड़ी को जीत इस आधार पर मिलेगी कि उसके कितने पिक्स बॉल ड्रॉ से मेल खाते हैं, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया है।

   वेतन तालिका

   सफ़ेद गेंदों मिलान	मेगा गेंद माचिस	जीतना
   5	हाँ	जैकपोट
   5	नहीं	$1,000,000
   4	हाँ	$10,000
   4	नहीं	$500
   3	हाँ	$200
   3	नहीं	$10
   2	हाँ	$10
   1	हाँ	$4
   0	हाँ	$2
   0 से 2	नहीं	$0

5. कैलिफ़ोर्निया को छोड़कर, खिलाड़ी मेगाप्लायर गुणक को सक्षम करने के लिए अतिरिक्त $1 का भुगतान भी कर सकता है। यदि खिलाड़ी मेगाप्लायर विकल्प का उपयोग करता है, तो जैकपॉट के अलावा अन्य सभी पुरस्कार नीचे दी गई तालिका में दी गई संभावनाओं के अनुसार 2 से 5 तक गुणा किए जाएँगे।

   मेगाप्लायर

   गुणक	वज़न	संभावना
   5	1	0.066667
   4	3	0.200000
   3	6	0.400000
   2	5	0.333333
   कुल	15	1.000000

6. एक अन्य विकल्प में खिलाड़ी को 3 डॉलर में दो टिकट खरीदने की अनुमति दी जाती है, लेकिन दोनों ही केवल जैकपॉट के लिए ही योग्य होंगे।
7. विज्ञापित जैकपॉट राशि का भुगतान 30 साल की वार्षिकी के रूप में किया जाता है, जिसमें पहला भुगतान कुल देय राशि के 1.5051435% के बराबर तुरंत देय होगा। भविष्य के भुगतानों में प्रति वर्ष 5% की वृद्धि होगी, जो वार्षिक रूप से संयोजित होगी।
8. वार्षिकी के बदले में, खिलाड़ी एकमुश्त राशि का विकल्प चुन सकता है, जो अंकित मूल्य का लगभग 62.5% होगा।
9. कैलिफोर्निया के लिए भुगतान तालिका अलग है, क्योंकि उस राज्य में सभी पुरस्कारों का भुगतान सम-पारस्परिक आधार पर किया जाना चाहिए।
10. किसी भी बड़े प्रगतिशील लॉटरी की तरह, यदि एक से अधिक खिलाड़ी जीतते हैं, तो जैकपॉट सभी विजेताओं के बीच समान रूप से विभाजित किया जाएगा।
11. बड़े पुरस्कार वाली किसी भी लॉटरी की तरह, यदि बहुत बार चुने गए नंबरों का सेट, जैसे 4-8-15-16-23-42 की खोई हुई संख्याएं, हिट हो जाती हैं, तो निश्चित पुरस्कारों सहित पुरस्कारों को कम करना पड़ सकता है।
12. जैकपॉट का भुगतान 30 साल की वार्षिकी के रूप में किया जाता है, जिसका भुगतान साल में एक बार होता है और तुरंत शुरू होता है। प्रत्येक भुगतान पिछले भुगतान से 5% अधिक होता है। कुल भुगतानों को जीती गई राशि के बराबर करने के लिए, पहला भुगतान कुल जीत का 1.50514% होगा। खिलाड़ी एकमुश्त राशि का विकल्प भी चुन सकता है। इस लेखन के समय (16 अक्टूबर, 2018) $654 के जैकपॉट पर एकमुश्त राशि $372 मिलियन, यानी कुल राशि का 56.88% थी। मेरा मानना है कि यह अनुपात उतार-चढ़ाव वाला होता है।

विश्लेषण

निम्नलिखित तालिका सभी संभावित परिणामों की प्रायिकता और अपेक्षित प्रतिफल दर्शाती है, यह मानते हुए कि खिलाड़ी ने मेगाप्लायर विकल्प का उपयोग नहीं किया और जैकपॉट $40 मिलियन का है। प्रतिफल स्तंभ जीत, प्रायिकता और 0.5 का गुणनफल है। 2 से भाग देने का कारण यह है कि एक टिकट की कीमत $2 है। इस तालिका में करों, जैकपॉट पर वार्षिकी और जैकपॉट बंटवारे के कारकों पर विचार नहीं किया गया है। कुछ विश्लेषण तालिका के अनुसार हैं।

उपरोक्त तालिका के निचले दाएँ भाग में दिखाया गया है कि खिलाड़ी $40 मिलियन के जैकपॉट पर अपनी राशि का 18.96% वापस पाने की उम्मीद कर सकता है। जैकपॉट में प्रत्येक अतिरिक्त $100 मिलियन के लिए रिटर्न की दर 16.52% बढ़ जाती है। ब्रेक-ईवन बिंदु, जहाँ अपेक्षित रिटर्न 100% होगा, $530,420,124* है। किसी भी जीत की संभावना 4.17% है।

* वार्षिकी, कर या जैकपॉट साझाकरण पर विचार नहीं किया जाता है।

मेगाप्लायर विश्लेषण

निम्न तालिका प्रत्येक गुणक की प्रायिकता दर्शाती है। निचले दाएँ कक्ष में मेगाप्लायर का औसत गुणक 3.00 दर्शाया गया है।

निम्नलिखित तालिका सभी संभावित परिणामों की प्रायिकता और अपेक्षित प्रतिफल दर्शाती है, यह मानते हुए कि खिलाड़ी ने मेगाप्लायर विकल्प का प्रयोग किया और उसे $40 मिलियन का जैकपॉट मिला। जीत का कॉलम मेगाप्लायर लागू करने से पहले की आधार जीत है। प्रतिफल कॉलम जीत, प्रायिकता, औसत मेगाप्लायर और 1/3 का गुणनफल है। 3 से भाग देने का कारण यह है कि मेगाप्लायर के साथ एक टिकट की कीमत $3 है। इस तालिका में करों, जैकपॉट पर वार्षिकी और जैकपॉट के बंटवारे के कारकों पर विचार नहीं किया गया है। कुछ विश्लेषण तालिका के अनुसार हैं।

उपरोक्त तालिका के निचले दाएँ भाग में दिखाया गया है कि खिलाड़ी $40 मिलियन के जैकपॉट पर अपनी राशि का 29.10% वापस पाने की उम्मीद कर सकता है। मेगाप्लायर विकल्प के साथ, जैकपॉट में प्रत्येक अतिरिक्त $100 मिलियन के लिए रिटर्न की दर 11.02% बढ़ जाती है। वार्षिकी, करों और जैकपॉट शेयरिंग पर विचार करने से पहले, ब्रेक-ईवन बिंदु, जहाँ अपेक्षित रिटर्न 100% होगा, $224,191,728 है।

बस जैकपॉट विश्लेषण

अगर खिलाड़ी "जस्ट द जैकपॉट" विकल्प का इस्तेमाल करता है, तो $40 मिलियन के मीटर रीसीड मूल्य पर, करों, वार्षिकी या जैकपॉट शेयरिंग को ध्यान में रखे बिना, अपेक्षित रिटर्न 8.81% होगा। जैकपॉट में हर अतिरिक्त $100 मिलियन के लिए, अपेक्षित रिटर्न 22.03% बढ़ जाता है।

जैकपॉट प्रतियोगिता

जैकपॉट जितना बड़ा होता है, दूसरे खिलाड़ियों से उतनी ही ज़्यादा प्रतिस्पर्धा होती है। दरअसल, एक अरब की बजाय 40 करोड़ के जैकपॉट पर टिकट खरीदना ज़्यादा फ़ायदेमंद होता है, क्योंकि जब जैकपॉट इतना ज़्यादा होता है, तो उसके कई हिस्सों में कटने की संभावना ज़्यादा होती है।

विशेष रूप से, मुझे जैकपॉट के आकार और टिकटों की बिक्री के बीच एक घातांकीय संबंध तब मिलता है जब जैकपॉट 400 मिलियन या उससे कम होता है। निम्नलिखित ग्राफ़ जैकपॉट के आकार (क्षैतिज अक्ष) द्वारा टिकटों की बिक्री (ऊर्ध्वाधर अक्ष) को दर्शाता है।

400 मिलियन से ज़्यादा के जैकपॉट के लिए, खासकर एक बिलियन के क़रीब के जैकपॉट के लिए, ज़्यादा डेटा उपलब्ध नहीं है, जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में दिखाया गया है। काली रेखा डेटा बिंदुओं के बीच लघुगणकीय फ़िट दिखाती है।

मैंने इन न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण वक्रों को अपने लॉटरी जैकपॉट टिकट बिक्री कैलकुलेटर में डाला है। यह देखने में उपयोगी होगा कि जैकपॉट के आकार के अनुसार आप कितने अन्य लोगों के साथ जैकपॉट बाँटने की संभावना रखते हैं। इंटरनेट पर ऐसी स्पोर्ट्स बुक भी हैं जो इस बात पर दांव लगाती हैं कि जैकपॉट लगेगा या नहीं।

अन्य कारक

अब तक मेरा सारा विश्लेषण वार्षिकी, करों और जैकपॉट शेयरिंग में कोई भी समायोजन करने से पहले का है। बहरहाल, आइए इन बातों पर गौर करें।

इस मूल्य-निर्धारण का सबसे जटिल हिस्सा जैकपॉट काटना है। नीचे दी गई तालिका जैकपॉट के आकार (मिलियन में) के अनुसार, बिकने वाले टिकटों की अनुमानित संख्या, कम से कम एक विजेता की संभावना, प्रति विजेता जैकपॉट का अपेक्षित हिस्सा, और किसी भी कटौती के बाद अपेक्षित जैकपॉट दर्शाती है।

ध्यान दें कि ऊपर दी गई तालिका में दाएँ कॉलम में 1.3 बिलियन के जैकपॉट आकार के लिए अधिकतम राशि $732 मिलियन है। चॉपिंग के बाद अधिकतम जैकपॉट आकार का निकटतम अनुमान $1.255 बिलियन है। इससे आगे, टिकटों की प्रेरित मांग के कारण मूल्य कम हो जाता है और इस प्रकार अधिक विजेताओं के साथ जैकपॉट चॉप हो जाता है। अगर किसी को आश्चर्य हो रहा है, तो मैं $300 मिलियन से अधिक के जैकपॉट के लिए टिकट बिक्री का अनुमान लगाने के लिए पैराबोलिक रिग्रेशन का उपयोग करता हूँ।

वार्षिकी कारक आसान है। विजेता वार्षिकी (जैसा कि ऊपर नियम अनुभाग में बताया गया है) या जैकपॉट राशि के कुछ प्रतिशत के बराबर एकमुश्त राशि ले सकता है। 16 अक्टूबर, 2018 तक, यह प्रतिशत 56.88% था। ऐसा लगता है कि सभी लोग एकमुश्त राशि का विकल्प चुनते हैं। वैसे, ब्याज दर के अलावा सभी कारकों को नज़रअंदाज़ करते हुए, 3.40% से अधिक की ब्याज दर पर एकमुश्त राशि लेने पर जीत का समय मूल्य अधिक होता है, अन्यथा एकमुश्त राशि लें। इस लेखन के समय (16 अक्टूबर, 2018) 20-वर्षीय ट्रेजरी बिल की दर 3.27% थी। गणित को आसान रखने के लिए, मान लेते हैं कि विजेता एकमुश्त राशि का विकल्प चुनता है।

कर भी काफी आसान हैं। इस लेख के लिखे जाने तक, अधिकतम संघीय आयकर दर 37% थी। राज्य करों में काफ़ी अंतर होता है, लेकिन मान लीजिए कि राज्य और स्थानीय कर 8% हैं। इसका मतलब है कि विजेता को करों में 45% का नुकसान होगा।

उदाहरण के लिए, एक अरब के जैकपॉट का उपयोग करते हैं। जैकपॉट शेयरिंग, एकमुश्त राशि और करों के बाद, आपके पास $220.6 मिलियन बचेंगे। जीतने की संभावना 302,575,350 में से 1 है। इतने बड़े जैकपॉट पर, खिलाड़ी को केवल जैकपॉट विकल्प चुनना चाहिए, जिसकी कीमत प्रति टिकट $1.50 है। इससे एक टिकट का मूल्य $220.6 मिलियन / 302,575,350 = 72.9 ¢ हो जाता है। यह मानते हुए कि एक टिकट की कीमत $1.50 है, अपेक्षित रिटर्न $0.729 / $1.50 = 48.6% है। इसका मतलब है कि 51.4% का हाउस एज। 1.255 अरब के अधिकतम जैकपॉट मूल्य पर, अपेक्षित रिटर्न 52.7% है। यह जितना अच्छा हो सकता है, उतना अच्छा है। तो, नहीं, मेगा मिलियंस कभी भी सकारात्मक नहीं होता। वास्तव में, यह कभी भी करीब भी नहीं आता।

रणनीति

खेलने के तीन तरीके हैं, जो इस प्रकार हैं:

• सामान्य टिकट 2 डॉलर प्रति टिकट।
• मेगाप्लायर के साथ टिकट 3 डॉलर प्रति टिकट
• "जस्ट द जैकपॉट" टिकट दो, 3 डॉलर में।

फिर से, करों, वार्षिकी और जैकपॉट शेयरिंग को नज़रअंदाज़ करते हुए, सबसे अच्छी रणनीति $224,191,728 से कम के जैकपॉट पर मेगाप्लायर विकल्प का इस्तेमाल करना है। इससे ज़्यादा राशि के जैकपॉट पर, खिलाड़ी को "सिर्फ़ जैकपॉट" टिकट खरीदने चाहिए। दिलचस्प बात यह है कि ठीक $224,191,728 के जैकपॉट पर, तीनों विकल्पों के लिए अपेक्षित रिटर्न 49.40% के बराबर है।

मुझे यह कहने में ज़रा भी संकोच हो रहा है, लेकिन मुझसे "सिर्फ़ जैकपॉट" टिकटों से मेगाप्लायर खरीदने के बारे में पूछा गया है। जवाब है, नहीं! "सिर्फ़ जैकपॉट" टिकटों से गुणा करने के लिए कोई निश्चित जीत नहीं होती, इसलिए आप कुछ भी गुणा नहीं कर पाएँगे। मुझे उम्मीद है कि वे इस विकल्प की अनुमति ही नहीं देंगे क्योंकि यह सचमुच फ़ायदा उठाने जैसा होगा।

करों, जैकपॉट शेयरिंग और वार्षिकी के प्रभावों को ध्यान में रखते हुए, मेरी सलाह है कि मेगाप्लायर को किसी भी जैकपॉट राशि पर खरीदें और केवल जैकपॉट विकल्प का उपयोग न करें। बताए गए तीन कारक जैकपॉट के मूल्य को काफी कम कर देते हैं।

निष्कर्ष

गणितीय दृष्टि से देखें तो मेगा मिलियन्स एक बहुत ही खराब दांव है। लॉटरी की कटौती, जैकपॉट शेयरिंग, वार्षिकी और करों को ध्यान में रखते हुए, अपेक्षित रिटर्न कभी भी 40% से ज़्यादा नहीं होता। मुझे लॉटरी टिकट खरीदने का फ़ैसला पूरी तरह से अतार्किक लगता है, और मुझे अभी तक समझ नहीं आया है कि लोग अपना पैसा बर्बाद करने के लिए कतार में क्यों लगते हैं।

लॉटरी

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खेल

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कैलकुलेटर

• पावरबॉल कैलकुलेटर - पावरबॉल, या पांच "सफेद गेंदों" और एक "पावर बॉल" वाली किसी भी लॉटरी के लिए बाधाओं की गणना करें।
• मेगा मिलियंस कैलकुलेटर (2017 नियम) — मेगा मिलियंस, या पाँच "सफ़ेद गेंदों" और एक "मेगा बॉल" वाली किसी भी लॉटरी के लिए ऑड्स की गणना करें। डिफ़ॉल्ट रूप से 2017 के नियम लागू होते हैं।
• मेगा मिलियंस कैलकुलेटर (2025 नियम) — मेगा मिलियंस, या पाँच "सफ़ेद गेंदों" और एक "मेगा बॉल" वाली किसी भी लॉटरी के लिए ऑड्स की गणना करें। डिफ़ॉल्ट रूप से 2025 नियम लागू होते हैं।
• पिक सिक्स कैलकुलेटर - किसी भी "पिक सिक्स" गेम के लिए बाधाओं की गणना करें।
• सुपरलोट्टो प्लस - कैलिफोर्निया लॉटरी खेल।
• लॉटरी जैकपॉट टिकट बिक्री कैलकुलेटर - पावर बॉल और मेगामिलियंस के लिए किसी भी जैकपॉट आकार के लिए टिकट बिक्री और विजेता की संभावना का अनुमान लगाएं।

बाहरी संबंध

• लॉटरी के लिए बड़ा सप्ताह 29 अक्टूबर-2018, 2 विशाल जैकपॉट जीते गए।
• मेगा मिलियंस -आधिकारिक वेब साइट.
• विकिपीडिया .
• LottoReport.com - ऐतिहासिक टिकट बिक्री और जैकपॉट आकार के बारे में जानकारी।

द्वारा लिखित: Michael Shackleford