रेल

परिचय

चेमिन डे फेर आधुनिक बैकारेट का एक पुराना पूर्वज है। एक विलुप्त खेल के रूप में इस पर शायद ज़्यादा चर्चा नहीं होती, सिवाय इसके कि जेम्स बॉन्ड इसे बहुत पसंद करते थे और मुझसे समय-समय पर पूछा जाता है कि बॉन्ड आखिर क्या खेलते थे। मेरा मानना है कि 1990 के दशक में यह खेल अंततः डोडो पक्षी की तरह लुप्त हो गया। फिर भी, यह जुए के इतिहास में एक गौरवशाली अध्याय का हकदार है और मुझे इसे लिखने में मदद करने में खुशी होगी।

नियम

भ्रम से बचने के लिए, खिलाड़ी और बैंकर के हाथों का ज़िक्र करते समय, मैं बड़े अक्षरों का इस्तेमाल करूँगा और आमतौर पर खिलाड़ी का हाथ या बैंकर का हाथ कहूँगा। मानव खिलाड़ी या बैंकर का ज़िक्र करते समय, मैं छोटे अक्षरों का इस्तेमाल करूँगा। पहले मैं स्कोरिंग नियमों पर चर्चा करूँगा, जो बैकारेट के समान ही हैं और फिर प्रक्रियात्मक नियमों पर। अगर आप पहले से ही बैकारेट से परिचित हैं, तो आप स्कोरिंग नियमों को छोड़ सकते हैं।

कुछ नियमों पर स्रोतों में मतभेद हैं। मैं अपने विश्लेषण को दो स्रोतों तक सीमित रखूँगा। अन्य स्रोत इनमें से किसी एक स्रोत से नकल करते प्रतीत होते हैं।

• स्कार्ने की जुआ खेलने की नई सम्पूर्ण गाइड (कॉपीराइट 1974) जॉन स्कार्ने द्वारा।
• कैसीनो रोयाल (कॉपीराइट 1953) इयान फ्लेमिंग द्वारा।

स्कार्ने स्कोरिंग नियम इस प्रकार हैं।

1. छह (फ्लेमिंग) या आठ (स्कार्ने) डेक का उपयोग किया जाता है।
2. कार्डों को निम्न प्रकार से अंक मान दिए जाते हैं: इक्का = 1, 2-9 = पिप मान, 10 और फेस कार्ड = 0.
3. इसमें दो हाथ होते हैं, जिन्हें प्लेयर और बैंकर के नाम से जाना जाता है।
4. सभी दांव समाप्त हो जाने के बाद, डीलर खिलाड़ी और बैंकर दोनों के हाथों में दो कार्ड नीचे की ओर रख देता है।
5. प्रत्येक हाथ के अंक निकालने का तरीका यह है कि हाथ में मौजूद प्रत्येक कार्ड के कुल अंक लें। यदि योग 9 से अधिक है, तो पहला अंक हटा दें। उदाहरण के लिए, यदि किसी भी हाथ में 9 और 7 हैं, तो आप 16 के योग में से 1 अंक हटा देंगे, जिससे 6 अंकों का हाथ बन जाएगा।
6. जिस हाथ के अंक अधिक होंगे वह जीतेगा।
7. यदि दो पत्तों वाले किसी भी हाथ में 8 या 9 अंक हों, तो कोई भी पक्ष अधिक पत्ते नहीं खींच सकता।
8. अन्यथा, प्लेयर हैंड की ओर से कार्य करने वाला खिलाड़ी उस हैंड के अंक मूल्य के आधार पर निम्नानुसार कार्य करेगा।
   • 0 से 4 अंक — ड्रा
   • 5 अंक - खिलाड़ी के पास ड्रॉ या स्टैंड का विकल्प होता है।
   • 6 या 7 अंक - खड़े रहें
9. यदि खिलाड़ी ड्रॉ करता है, तो तीसरा कार्ड सामने की ओर बांटा जाएगा।
10. यदि खिलाड़ी के हाथ में कोई तीसरा कार्ड नहीं बांटा गया है, तो बैंकर के हाथ के अंक मूल्य के आधार पर बैंकर का हाथ निम्नानुसार कार्य करेगा।
    • 0 से 5 अंक — ड्रा
    • 6 या 7 अंक - खड़े रहें
11. यदि खिलाड़ी के हाथ में तीसरा कार्ड आ जाता है, तो बैंकर अपने दो-कार्ड वाले हाथ के अंक मूल्य और खिलाड़ी के हाथ में आए कार्ड के आधार पर ड्रॉ या स्टैंड का निर्णय लेगा, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया है।
12. खिलाड़ी और बैंकर के हाथों के अंतिम अंकों की तुलना की जाती है। यदि खिलाड़ी का हाथ जीतता है, तो दांव पर बराबर राशि का भुगतान किया जाता है। बराबरी की स्थिति में पुश होता है। यदि बैंकर का हाथ जीतता है, तो दांव हार जाता है।

फ्लेमिंग के नियम जहाँ अलग हैं, वह यह है कि दोनों पक्षों के पास स्वतंत्र इच्छाशक्ति थी, सिवाय इसके कि किसी एक पक्ष के पास स्वाभाविक इच्छाशक्ति हो। हालाँकि, फ्लेमिंग संकेत देते हैं कि खेल खेलने का एक कठोर तरीका था, जहाँ प्रोटोकॉल ज़्यादातर हाथों को कैसे खेलना है, यह तय करता था, और कुछ को स्वतंत्र इच्छाशक्ति पर छोड़ दिया जाता था।

प्रक्रियात्मक नियम इस प्रकार हैं।

1. बैकारेट के विपरीत, चेमिन डे फेर एक खिलाड़ी-बैंक वाला खेल है।
2. कैसीनो की भूमिका कार्ड बाँटना और खेल का संचालन करना है, न कि दांव लगाना।
3. एक खिलाड़ी को बैंकर हैंड खेलने तथा प्लेयर हैंड पर सभी दांवों का सम्मान करने के लिए नामित किया जाएगा।
4. अगर बैंकर हैंड पिछले राउंड में जीत गया या बराबरी पर रहा, तो वही व्यक्ति बैंकर की भूमिका निभा सकता है, बशर्ते वह कम से कम पिछले हैंड जितनी ही राशि दांव पर लगाने को तैयार हो। दूसरा विकल्प शू छोड़ देना है।
5. अगर बैंकर हैंड पिछले हैंड में हार जाता है, तो बैंकर की भूमिका निभाने वाले खिलाड़ी को शू छोड़ना होगा। टेबल पर अगला खिलाड़ी, वामावर्त दिशा में चलते हुए, बैंकर बनने का विकल्प चुन सकता है, बशर्ते वह कम से कम उतनी ही राशि दांव पर लगाने को तैयार हो जितनी पिछले बैंकर ने पिछले हैंड पर लगाई थी।
6. अगर कोई भी बैंकर हैंड पर ज़रूरी रकम दांव पर लगाने को तैयार नहीं है, तो बैंकर बनने का विकल्प उस खिलाड़ी को मिलता है जो सबसे ज़्यादा दांव लगाने को तैयार हो। अगर बराबरी हो, तो विकल्प पिछले बैंकर के सबसे नज़दीकी खिलाड़ी को मिलता है, जो टेबल के चारों ओर वामावर्त घूमता है।
7. चाहे बैंकिंग कौन कर रहा हो और क्यों कर रहा हो, बैंकर के पास अपनी शर्त की राशि को बढ़ाने का विकल्प होता है, जो कि पिछले हाथ में लगाई गई राशि से दो गुना तक हो सकती है।
8. एक बार बैंकर और बैंकर हैंड पर अधिकतम दांव स्थापित हो जाने के बाद, प्लेयर हैंड पर दांव लगाया जा सकता है।
9. कोई भी खिलाड़ी जो बैंकर द्वारा लगाई गई पूरी राशि दांव पर लगाने को तैयार है, उसे ऐसा करने की पहली प्राथमिकता दी जाती है।
10. अगर एक से ज़्यादा खिलाड़ी अधिकतम राशि दांव पर लगाने को तैयार हैं, तो पहला विकल्प उस खिलाड़ी को मिलेगा जिसने पिछली बार अधिकतम राशि दांव पर लगाई थी और हार गया था। इसे "सुइवे" कहते हैं, जिसका फ़्रांसीसी में अर्थ "अनुसरण करना" होता है।
11. अन्यथा, अधिकतम दांव लगाने का विकल्प मेज के चारों ओर दिया जाता है, जो बैंकर के दाईं ओर के खिलाड़ी से शुरू होकर वामावर्त दिशा में चलता है।
12. यदि कोई भी बैंकर की पूरी जोखिम राशि दांव पर लगाने का विकल्प नहीं अपनाता है, तो बैंकर के दाईं ओर का खिलाड़ी बैंकर की शर्त तक अपनी इच्छानुसार दांव लगा सकता है।
13. सट्टेबाजी मेज के चारों ओर वामावर्त दिशा में तब तक जारी रहती है, जब तक कि खिलाड़ी के हाथ पर लगे दांव बैंकर के दांव के बराबर नहीं हो जाते।
14. एक बार जब सभी दांव समाप्त हो जाते हैं, तो खिलाड़ी और बैंकर दोनों के हाथों में दो कार्ड बांटे जाएंगे, जो नीचे की ओर होंगे।
15. प्लेयर हैंड पर सबसे अधिक धनराशि दांव पर लगाने वाले खिलाड़ी को कार्ड मिलेंगे तथा निर्णय लेने का अधिकार भी उसी के पास होगा।
16. यदि दो-कार्ड वाले खिलाड़ी के हाथ में आठ या नौ अंक हों, तो उसे तुरंत प्रकट कर देना चाहिए।
17. यदि प्लेयर हैंड पर कार्य करने वाला खिलाड़ी आठ या नौ अंक वाला हैंड (जिसे "प्राकृतिक" कहा जाता है) प्रकट करता है, तो बैंकर हैंड भी तुरंत प्रकट हो जाएगा, क्योंकि कोई भी पक्ष ड्रॉ नहीं कर सकता है।
18. अन्यथा, प्लेयर हैंड पर कार्य करने वाले खिलाड़ी द्वारा स्टैंड या ड्रॉ का निर्णय लेने के बाद, बैंकर को अपने दो कार्ड दिखाने होंगे।
19. यदि दो-कार्ड वाले बैंकर हैंड में कुल आठ या नौ अंक हैं, तो खिलाड़ी हैंड में कोई तीसरा कार्ड नहीं खींचा जाएगा, क्योंकि यदि किसी भी पक्ष के पास 8 या 9 अंक के दो-कार्ड हैंड हैं, तो आगे कोई कार्ड नहीं बांटा जा सकता है।
20. अन्यथा, यदि खिलाड़ी ने प्लेयर हैंड पर कार्य करते हुए कोई कार्ड निकाला है, तो उसे सामने की ओर से ही कार्ड दिया जाएगा।
21. प्लेयर हैंड पर कार्य करने वाले खिलाड़ी द्वारा कार्य करने के बाद, यह मानते हुए कि किसी भी पक्ष के पास प्राकृतिक रूप से 8 या 9 अंक का हैंड नहीं है, तब बैंकर के रूप में कार्य करने वाले खिलाड़ी की बारी आएगी।
22. यदि खिलाड़ी के हाथ से तीसरा कार्ड नहीं निकला है, तो बैंकर पांच या उससे कम अंकों के साथ कार्ड निकालेगा और छह या सात अंकों पर खड़ा होगा।
23. अन्यथा, यदि खिलाड़ी के हाथ से तीसरा कार्ड निकलता है, तो बैंकर के हाथ को दो कार्ड वाले बैंकर के हाथ में कुल अंकों और खिलाड़ी के हाथ में निकाले गए तीसरे कार्ड के अनुसार, अपनी कार्रवाई निर्धारित करने के लिए ऊपर दिए गए स्कोरिंग नियमों की तालिका का उपयोग करना होगा।
24. कैसीनो स्टाफ द्वारा हाथों का स्कोर और निर्णय किया जाएगा।
25. स्कार्ने के अनुसार, यदि बैंकर हैंड जीतता है, तो हाउस को कमीशन मिलेगा, जो आमतौर पर कुल खिलाड़ी दांव का 5% होता है, जिसे बैंकर को देना होगा। फ्लेमिंग के अनुसार, प्रत्येक दांव पर एक "छोटा प्रतिशत" लिया जाता था। कैसीनो रोयाल (जो पुस्तक में चेमिन डे फेर पर आधारित था) से उनके सटीक शब्द इस प्रकार हैं: "प्रत्येक दांव से कैसीनो एक छोटा प्रतिशत, कैग्नोट, लेता है, लेकिन बड़े खेल में बैंकर द्वारा इसे स्वयं या तो एकमुश्त राशि के रूप में या प्रत्येक हाथ के अंत में अंशदान के रूप में देना आम बात है, ताकि बैंक की हिस्सेदारी की राशि हमेशा एक गोल संख्या में रहे। ले शिफ्रे ने दूसरा रास्ता चुना था।"

स्कार्ने नियम विश्लेषण

चेमिन डे फेर में तीन स्वतंत्र इच्छा स्थितियों के बीच, 2*2*2 = विजेता खिलाड़ी के हाथ, बैंकर के हाथ और बराबरी के परिणामों के संयोजनों के 8 सेट होते हैं। नीचे दी गई तालिका उन सभी आठ तरीकों के संयोजनों को दर्शाती है जिनसे दोनों पक्ष अपनी स्वतंत्र इच्छा वाले हाथों को खेल सकते हैं।

अगली तालिका उपरोक्त तालिका में तीन संभावित परिणामों के संयोजनों को लेती है और उन्हें संभावनाओं में परिवर्तित करती है।

अगली तालिका प्लेयर हैंड और बैंकर हैंड, दोनों पर दांवों का अपेक्षित मूल्य दर्शाती है। बैंकर हैंड का अपेक्षित मूल्य जीत पर दिए जाने वाले 5% कमीशन को मानता है।

ऊपर दी गई तालिका उचित रणनीति के बारे में सलाह देती है। सबसे पहले, खिलाड़ी के हाथ के कुल पाँच अंकों पर स्टैंड या ड्रॉ के निर्णय पर विचार करें। ध्यान दें कि बैंकर चाहे किसी भी चार तरीकों से खेले, खिलाड़ी के हाथ पर अपेक्षित मूल्य हिट करने पर काफ़ी ज़्यादा होता है। स्टैंडिंग पर औसत अपेक्षित मूल्य -0.015340 और हिट करने पर -0.012158 है। अगर बैंकर ने अपने फ़ैसले यादृच्छिक रूप से लिए हों, तो खिलाड़ी के हाथ के दांव पर हाउस एज, स्टैंडिंग की तुलना में हिट करने पर 0.32% कम होता है।

यह मानते हुए कि प्लेयर हैंड पर खेलने वाला खिलाड़ी पाँच का कार्ड निकालेगा, बैंकर हैंड पर खेलने वाले खिलाड़ी को कुल पाँच का प्रबंधन कैसे करना चाहिए, अगर खिलाड़ी का तीसरा कार्ड 4 है? ऊपर दी गई तालिका दर्शाती है कि बैंकर हैंड 3 बनाम 9 को कैसे भी खेला जाए, ड्रॉ करने पर अपेक्षित मान 0.000028 अधिक होता है।

इसी तर्क का इस्तेमाल करते हुए, अगर खिलाड़ी का तीसरा कार्ड 9 है, तो बैंकर हैंड पर खेलने वाले खिलाड़ी को कुल तीन कार्ड कैसे संभालने चाहिए? ऊपर दी गई तालिका दर्शाती है कि ड्रॉ से अपेक्षित मान 0.000339 ज़्यादा है, चाहे बैंकर हैंड 5 बनाम 4 कैसे भी खेला जाए।

निष्कर्षतः, स्वतंत्र इच्छा वाली सभी तीन स्थितियों में, निर्णय लेने वाले खिलाड़ी को ड्रा करना चाहिए।

बैंकर 3 बनाम 9 विश्लेषण

हालाँकि मैंने अपनी बात रखी है कि अगर बैंकर के हाथ में 3 बनाम 9 आता है, तो खेल का अपेक्षित मूल्य बैंकर के हाथ में ज़्यादा होता है, आइए उस स्थिति पर विशेष रूप से विचार करें। नीचे दी गई तालिकाएँ केवल उन्हीं हाथों पर आधारित हैं जहाँ बैंकर के हाथ में दो पत्तों का कुल योग 3 है, खिलाड़ी के हाथ में 9 है, और खिलाड़ी के हाथ पर खेलने वाले खिलाड़ी के हाथ में दो पत्तों का कुल योग 5 है।

निम्नलिखित तालिका संभावित परिणामों को दर्शाती है यदि बैंकर 3 बनाम 9 पर खड़ा है। खड़े होने का अपेक्षित मूल्य 0.457205 - 0.390567 = 0.043777 है।

निम्नलिखित तालिका संभावित परिणामों को दर्शाती है यदि बैंकर 3 बनाम 9 पर हिट करता है। खड़े होने का अपेक्षित मूल्य 0.516019 - 0.371799 = 0.118419 है।

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, बैंकर 3 बनाम 9 का अपेक्षित मान ड्रॉइंग द्वारा 0.118419 और स्टैंडिंग द्वारा 0.043777 है। हिटिंग के ऑड्स 7.46% के अंतर से प्रबल रूप से अनुकूल हैं।

बैंकर 5 बनाम 4 विश्लेषण

हालाँकि मैंने अपनी बात रखी है कि अगर बैंकर के हाथ में 5 बनाम 4 आता है, तो खेल का अपेक्षित मूल्य बैंकर के हाथ में ज़्यादा होता है, आइए उस स्थिति पर विशेष रूप से विचार करें। नीचे दी गई तालिकाएँ केवल उन्हीं हाथों पर आधारित हैं जहाँ बैंकर के हाथ में दो पत्तों का कुल योग 5 है, खिलाड़ी के हाथ में 4 है, और खिलाड़ी के हाथ पर खेलने वाले खिलाड़ी के हाथ में दो पत्तों का कुल योग 5 है।

निम्नलिखित तालिका संभावित परिणामों को दर्शाती है यदि बैंकर 5 बनाम 4 पर खड़ा होता है। खड़े होने का अपेक्षित मूल्य 0.95×0.238182 - 0.608714 = -0.382441 है, यह मानते हुए कि जीत पर 5% कमीशन है।

निम्नलिखित तालिका संभावित परिणामों को दर्शाती है यदि बैंकर 5 बनाम 4 पर हिट करता है। जीत पर 5% कमीशन मानते हुए, स्टैंडिंग का अपेक्षित मूल्य 0.95×0.262186 - 0.625426 = -0.376349 है।

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, बैंकर 5 बनाम 4 का अपेक्षित मान ड्रॉइंग द्वारा -0.376349 और स्टैंडिंग द्वारा -0.382441 है। हिटिंग के आसार मामूली रूप से, 0.61% के अंतर से, पक्ष में हैं।

खिलाड़ी 5 विश्लेषण

निम्नलिखित दो तालिकाएं दो-कार्ड वाले खिलाड़ी के हाथ के संभावित परिणामों को दर्शाती हैं, कुल पांच, यह मानते हुए कि बैंकर के हाथ में कोई प्राकृतिक नहीं है और बैंकर 3 बनाम 9 और 5 बनाम 4 दोनों को हिट करेगा।

निम्न तालिका संभावित परिणामों को दर्शाती है यदि प्लेयर हैंड पर कार्य करने वाला खिलाड़ी दो पत्तों के योग पाँच पर खड़ा हो। ऐसा करने पर अपेक्षित मान 0.444715 - 0.469428 = -0.024713 है, यह मानते हुए कि जीत पर 5% कमीशन मिलता है।

निम्न तालिका संभावित परिणामों को दर्शाती है यदि प्लेयर हैंड पर कार्य करने वाला खिलाड़ी दो पत्तों का कुल योग पाँच निकालता है। ऐसा करने पर अपेक्षित मान 0.442311 - 0.429768 = 0.012543 है, यह मानते हुए कि जीत पर 5% कमीशन मिलेगा।

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, एक खिलाड़ी के हाथ में पाँच का अपेक्षित योग स्टैंडिंग द्वारा -0.024713 और ड्रॉ द्वारा 0.012543 है। हिटिंग के पक्ष में संभावनाएँ 3.73% के अंतर से हैं।

पांच पर खड़े खिलाड़ी के खिलाफ बैंकिंग

यदि मैं बैंकर हैंड रणनीति का इतना गहराई से विश्लेषण नहीं करता हूं तो मुझे माफ करें, यदि प्लेयर हैंड पर काम करने वाला खिलाड़ी मूर्खतापूर्ण तरीके से दो कार्ड के कुल योग पांच पर खड़ा हो जाए।

बैंकर हैंड 3 बनाम 9 के साथ, अपेक्षित मूल्य खड़े होने पर 0.051725 अधिक है।

बैंकर हैंड 5 बनाम 4 के साथ, अपेक्षित मूल्य खड़े होने पर 0.005315 अधिक है।

सीमित स्वतंत्र इच्छा स्थितियों को देखते हुए, खिलाड़ी के हाथ की रणनीति को "प्रभुत्व" कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, बैंकर का हाथ दो स्वतंत्र इच्छा स्थितियों में चाहे जैसे भी खेले, खिलाड़ी के हाथ को कुल पाँच पर हिट होना चाहिए। इस धारणा के तहत कि खिलाड़ी का हाथ पाँच पर हिट होगा, बैंकर के हाथ को 3 बनाम 9 और 5 बनाम 4 दोनों पर हिट होना चाहिए। यह मानते हुए कि दोनों पक्ष ऐसा करते हैं, खेल के दोनों पक्षों के लिए निम्नलिखित अपेक्षित मान हैं। बैंकर का अपेक्षित मान जीत पर 5% कमीशन मानता है।

• खिलाड़ी: -0.012351
• बैंकर: -0.010579

यह रणनीति बैकारेट के नियमों के अनुरूप है। अगर ये संख्याएँ परिचित लगें, तो ये बैकारेट के अपेक्षित मान हैं। दूसरे शब्दों में, अगर दो तर्कशास्त्री चेमिन डे फेर के सीमित स्वतंत्र इच्छा वाले संस्करण को खेलें, तो यह बैकारेट रणनीति के अनुरूप होगा।

मुझे ध्यान देना चाहिए कि अगर हम बैंकर 4 बनाम इक्का में स्वतंत्र इच्छा जोड़ते हैं, तो खिलाड़ी को उस पर हिट करना चाहिए। स्कार्ने द्वारा वर्णित सीमित स्वतंत्र इच्छा नियमों के तहत, बैंकर को उस स्थिति में खड़े रहने के लिए बाध्य किया जाता है। अगर बैंकर 4 बनाम इक्का हिट कर पाता है, तो बाकी रणनीति अभी भी ऊपर बताई गई रणनीति जैसी ही होगी। अपेक्षित मान इस प्रकार बदलेंगे:

• खिलाड़ी: -0.012359
• बैंकर: -0.010575

ध्यान दें कि ये अपेक्षित मान बैंकर के लिए थोड़े बेहतर और खिलाड़ी के लिए थोड़े कम हैं। बैंकर को 4 बनाम ऐस पर क्यों खड़ा किया गया है (बैंकर के लिए खराब खेल के रूप में), मुझे नहीं पता। शायद बैकारेट के नियमों के निर्माण में कोई गलती है।

निष्कर्ष

यह मानते हुए कि दोनों पक्ष हर उस स्थिति में ड्रॉ करते हैं जहां स्वतंत्र इच्छा की अनुमति है, जैसा कि उन्हें होना चाहिए, आठ डेक मानते हुए, प्रत्येक परिणाम की संभावनाएं निम्नलिखित हैं।

• खिलाड़ी की जीत = 0.446247
• बैंकर जीत = 0.458597
• टाई = 0.095156

खिलाड़ी के हाथ का अपेक्षित मूल्य -0.012351 है। जीत पर 5% कमीशन को ध्यान में रखते हुए, बैंकर के हाथ का अपेक्षित मूल्य -0.010579 है। ये आँकड़े पारंपरिक बैकारेट के समान ही हैं।

फ्लेमिंग नियम विश्लेषण

इयान फ्लेमिंग द्वारा लिखित "कैसीनो रोयाल" के नियमों के अनुसार, चेमिन डे फेर का मेरा विश्लेषण निम्नलिखित है। स्टुअर्ट एन. एथियर द्वारा लिखित "द डॉक्ट्रिन ऑफ़ चांसेस " में इन नियमों को दोहराया गया है कि 20वीं सदी के शुरुआती दौर में यह खेल कैसे खेला जाता था। जैसा कि ऊपर नियमों वाले भाग में बताया गया है, फ्लेमिंग ने कहा था कि यह खेल छह डेक और सभी स्थितियों में स्वतंत्र इच्छाशक्ति के साथ खेला जाता था, सिवाय इसके कि किसी भी पक्ष के पास एक भी प्राकृतिक हो।

काफी विश्लेषण के बाद, मुझे पता चला कि केवल छह स्थितियाँ ऐसी हैं जहाँ सही खेल इस बात पर निर्भर करता है कि दूसरा पक्ष कैसा खेलता है। ये हैं वे:

• खिलाड़ी के दो-कार्ड का कुल योग 5
• खिलाड़ी के खड़े होने के बाद बैंकर के दो कार्ड का कुल योग 6
• बैंकर के दो-कार्ड का कुल योग 3, खिलाड़ी द्वारा 9 निकालने के बाद
• खिलाड़ी द्वारा इक्का खींचने के बाद बैंकर के दो पत्तों का कुल योग 4
• खिलाड़ी द्वारा 4 कार्ड खींचने के बाद बैंकर के दो कार्ड का कुल योग 5 होता है

बैंकर की रणनीति खिलाड़ी की तरह ही खेलने की होती है। दूसरे शब्दों में, अगर खिलाड़ी पाँच का स्कोर करता है, तो बैंकर को सूचीबद्ध सभी चार अन्य स्थितियों में स्कोर करना चाहिए। इस बीच, खिलाड़ी को सूचीबद्ध चार रणनीति-आधारित स्थितियों में बैंकर के खेलने के विपरीत खेलना चाहिए।

निम्नलिखित तालिका प्रत्येक हाथ के लिए दो संभावित रणनीतियों के अनुसार दोनों हाथों के लिए अपेक्षित मूल्य दर्शाती है। बैंकर रणनीति यह दर्शाती है कि बैंकर ऊपर सूचीबद्ध सभी चार बैंकर हाथों को कैसे खेलता है। बैंकर अपेक्षित मूल्य जीत पर 5% कमीशन मानता है।

अगर दो तर्कशास्त्री चेमिन डे फेर खेलें, तो वे दोनों अपनी रणनीति बेतरतीब ढंग से तय करेंगे, बिल्कुल पत्थर-कागज़-कैंची की तरह। खास तौर पर, दोनों पक्षों के लिए संभावनाएँ इस प्रकार हैं:

• खिलाड़ी: 78.84% संभावना के साथ पांच पर हिट।
• बैंकर: सूचीबद्ध चारों स्थितियों पर समान 78.84% संभावना के साथ हिट करें।

जब तक कम से कम एक पक्ष उपरोक्त यादृच्छिकरण रणनीति का उपयोग करता है, तब तक दोनों पक्षों के लिए समग्र अपेक्षित मूल्य निम्नलिखित होंगे, पुनः यह मानते हुए कि बैंकर की जीत पर कमीशन 0% है:

• खिलाड़ी: -0.012735
• बैंकर: 0.012735

मैं यह कहना चाहूँगा कि एथियर मुझसे अलग निष्कर्ष निकालते हैं। ऐसा इसलिए लगता है क्योंकि वह खिलाड़ी के खड़े होने के बाद बैंकर द्वारा छक्का मारने को ऐसा कुछ नहीं मानते जिसकी उन्हें अनुमति है। इसके बजाय, एथियर मानते हैं कि इस स्थिति में बैंकर हमेशा खड़ा रहता है।

बाहरी संबंध

• मैसाचुसेट्स के गेमिंग आयोग द्वारा बनाए गए "चेमिन डे फेर" नियम । ध्यान दें कि ये बैंकर को कोई स्वतंत्र इच्छा नहीं देते।
• चेमिन डे फेर पर विकिपीडिया पृष्ठ।
• स्टीवर्ट एन. एथियर द्वारा लिखित "द डॉक्ट्रिन ऑफ़ चांसेस: प्रोबेबिलिस्टिक आस्पेक्ट्स ऑफ़ गैंबलिंग" । इस कॉलेज पाठ्यपुस्तक में कई पृष्ठ चेमिन डे फेर के गणित को समर्पित हैं।

द्वारा लिखित: Michael Shackleford