वीडियो पोकर - संभावना

डेक में बचे 47 पत्तों में से 3 पत्ते निकालने के तरीकों की संख्या (47,3) = 16,215 है । इनमें से एक तरीका रॉयल के लिए ज़रूरी तीन पत्तों का होगा, इसलिए संभावना 16,215 में 1 है।

ट्रिपल प्ले मशीन पर आपका अपेक्षित रिटर्न सिंगल हैंड मशीन के समान ही है, बशर्ते कि भुगतान तालिका समान हो।

मान लीजिए कि आपने पारंपरिक 8/5 रणनीति अपनाई, तो आपके उदाहरण में रिटर्न 99.68% होगा। हालाँकि, अगर आपने इस जैकपॉट के लिए इष्टतम रणनीति अपनाई, तो रिटर्न 100.08% होगा। तो, वोंग गलत नहीं था।

मेरी समझ से, बाकी 47 पत्ते तब तक लगातार फेंटे जाते रहते हैं जब तक खिलाड़ी यह तय नहीं कर लेता कि कौन से पत्ते निकालने हैं। इसलिए, निकाले जाने वाले पत्ते पहले से तय नहीं होते। गणितीय रूप से कहें तो इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता।

रिटर्न 99.9367% है।

आपका स्वागत है, आपके दयालु शब्दों के लिए धन्यवाद!

सामान्य सूत्र है combin(X,Z) × p ^Z × (1-p) ^XZ , जहाँ p = 1/combin(47,5-Y).

कॉम्बिन एक एक्सेल फॉर्मूला है, जो X!/[Z! × (XZ)!] के बराबर है।

आइए 10-प्ले वीडियो पोकर का एक उदाहरण देखें, जहां खिलाड़ी के पास चार से एक रॉयल है।

आपके दयालु शब्दों के लिए धन्यवाद। हाँ, एक तरह के तीन कार्ड आने की संभावना पे टेबल पर निर्भर करती है, जो खिलाड़ी की रणनीति को प्रभावित करती है। मेरा वीडियो पोकर प्रोग्राम ड्रॉ के सभी संभावित कार्डों को लूप करके हर हाथ के लिए हमेशा सर्वोत्तम खेल बनाता है। हालाँकि, लिखित रूप में रणनीति बनाने में बहुत समय लगता है।

किसी भी 52-कार्ड वीडियो पोकर गेम में प्राकृतिक रॉयल फ्लश मिलने की संभावना 649,740 में से 1 है।

मुझे उम्मीद है आप खुश होंगे, मैंने इस सवाल पर पूरा दिन लगा दिया। जवाब के लिए कृपया मेरे नए वीडियो पोकर परिशिष्ट 1 पर जाएँ। सिर्फ़ विचरण से बर्बादी के जोखिम का आंकड़ा निकालने का कोई आसान तरीका नहीं है। यह इस बात पर निर्भर करता है कि हर हाथ के लिए रिटर्न क्या है और उनकी संभावना क्या है।

नहीं, इसका मतलब यह नहीं है। आम धारणा के विपरीत, कोई चक्र नहीं होता। हर हाथ स्वतंत्र होता है। सैद्धांतिक 99.54% रिटर्न की गारंटी के लिए, अनगिनत हाथों की ज़रूरत होगी, जिन्हें पूरी तरह से खेला गया हो।

आपके लिए कुछ आँकड़े यहाँ दिए गए हैं। 9-6 जैक या उससे बेहतर स्थिति में रॉयल्स का रिटर्न में 1.98% योगदान होता है। इसका मतलब है कि आप रॉयल्स के बीच खेल में 97.56% रिटर्न की उम्मीद कर सकते हैं। एक हाथ का मानक विचलन 4.42 है। रॉयल्स के बीच औसत संख्या, 40,391 हाथों के रिटर्न का मानक विचलन 2.20% है। इसलिए, एक पूरे रॉयल चक्र के बाद भी आप 99.54% रिटर्न से काफी दूर रह सकते हैं। 95% संभावना है कि आप 95.24% और 103.85% के बीच कहीं होंगे।

पॉप-अप्स के बारे में, मुझे भी उनसे नफ़रत है। हालाँकि, कुछ तो करना ही होगा। इन्हें उस जानकारी की कीमत समझिए जो आपको मिल रही है।

पहले पांच कार्डों के संयोजन (52,5) = 2598960 संभावित संयोजन हैं। आपको उन सभी का विश्लेषण करने की आवश्यकता नहीं है। व्यक्तिगत रूप से मैं उन्हें 191659 विभिन्न प्रकारों में विभाजित करता हूं और प्रत्येक को समान हाथों की संख्या के साथ भारित करता हूं। उदाहरण के लिए, राजा के सूट के बावजूद चार इक्के और एक राजा सिंगलटन के साथ बाधाएं समान हैं। आपको राजा के प्रत्येक संभावित सूट के लिए चार हाथों का विश्लेषण करने की आवश्यकता नहीं है, उनमें से सिर्फ एक और चार से गुणा करें। एक बार आपके पास हाथ होने के बाद हाथ खेलने के 2 ⁵ = 32 तरीके हैं। मैं प्रत्येक तरीके का विश्लेषण करता हूं और सबसे बड़ी अपेक्षित मूल्य के साथ खेल लेता हूं। एक खेल के अपेक्षित मूल्य को निर्धारित करने के लिए आपको प्रतिस्थापन कार्ड गिरने के सभी तरीकों का विश्लेषण करना होगा और प्रत्येक हाथ को स्कोर करना होगा। किसी विशिष्ट हाथ के सर्वश्रेष्ठ खेल को निर्धारित करने के लिए विश्लेषण किए जाने वाले हाथों की कुल संख्या है combin(47,5)+5*combin(47,4)+10*combin(47,3)+10*combin(47,2)+5*47+1, जो संयोग से 2598960 के बराबर भी है। इसलिए यदि हमने कोई शॉर्टकट नहीं लिया तो हमें 2598960 ² = 6,754,593,081,600 हाथों का विश्लेषण करना होगा। प्रारंभिक हाथों को घटाकर 191659 करने पर भी हमारे पास विश्लेषण करने के लिए 498,114,074,640 हाथ हैं। स्पष्ट रूप से अधिक शॉर्टकट की आवश्यकता है। इतने हाथों पर काम करने के लिए डेस्कटॉप कंप्यूटर को कम से कम कई घंटे लगेंगे। व्यक्तिगत रूप से मैं वास्तव में किसी हाथ का स्कोर नहीं करता, लेकिन एक हाथ को बेहतर बनाने की संभावना निर्धारित करने के लिए सावधानी से चुने गए सूत्रों का उपयोग करता हूं। स्ट्रेट्स और फ्लश के साथ चीज़ें ज़्यादा जटिल हो जाती हैं, लेकिन फिर भी प्रबंधनीय हैं। मेरा प्रोग्राम जैक या उससे बेहतर के खेल के लिए अपेक्षित रिटर्न की गणना लगभग एक मिनट में कर सकता है। यह देखते हुए कि पहले मुझे इसमें एक दिन से ज़्यादा समय लगता था, मुझे इस पर गर्व है। मुझे उम्मीद है कि इससे आपके प्रश्न का उत्तर मिल गया होगा।

मान लीजिए कि आपके पास हुकुम का इक्का है और आप चार बिना इक्के वाले सिंगल कार्ड फेंक देते हैं। इक्कों में एक तरह का चार कार्ड पाने के 44 तरीके हैं। 44, ड्रॉ में मिलने वाले संभावित सिंगल कार्डों की संख्या है, साथ ही अन्य तीन इक्के (52 पत्तों में से 4 इक्के कम और आपके द्वारा छोड़े गए 4 सिंगल कार्ड) भी। इक्के और आपके द्वारा छोड़े गए चार कार्डों के अलावा, आपको अन्य 8 रैंक में से किसी एक में भी एक तरह का चार कार्ड मिल सकता है। तो डील में एक तरह का चार कार्ड पाने के कुल तरीके 44+8=52 हैं। डील में संयोजनों की कुल संख्या combin(47,4)=178365 है। तो एक तरह के चार कार्ड की प्रायिकता 52/178365 = 3430 में 1 है।

1. 1/47
2. 1/कॉम्बिन(47,2) = 1/1081
3. 1/कॉम्बिन(47,3) = 1/16215
4. 1/कॉम्बिन(47,4) = 1/178365
5. 4/कॉम्बिन(52,5) = 1/2598960

बचे हुए 47 पत्तों में से 4 पत्ते चुनने के लिए combin(47,4) = 178365 तरीके हैं। केवल एक ही तरीके से आपको ज़रूरी तीन पत्ते मिलेंगे। इसलिए संभावना 178365 में 1 है।

n-प्ले मशीन में 4-कार्ड रॉयल के लिए ड्रॉ करते समय x रॉयल्स मिलने की प्रायिकता combin(n,x) * (1/47) ^x * (46/47) ^nx है। combin(n,x) फ़ंक्शन की व्याख्या के लिए पोकर में प्रायिकताओं पर मेरे अनुभाग पर जाएँ। 3-प्ले के मामले में प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:

0 रॉयल्स: 0.937519
1 रॉयल: 0.061143
2 रॉयल्स: 0.001329
3 रॉयल्स: 0.000010

आपके पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए, शुरुआती हाथ के लिए 52 में से 5 पत्ते चुनने के 2598960 तरीके हैं। ड्रॉ पर, खिलाड़ी के पास कितने पत्ते हैं, इस पर निर्भर करते हुए, प्रतिस्थापन पत्ते निकालने के 1, 47, 1081, 16215, 178365, या 1533939 तरीके हैं। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 7669695 है। वास्तविक संयोजनों को भारित करके कुल 7669695 प्राप्त किया जाता है। इसलिए संयोजनों की कुल संख्या 2,596,960*7,669,695=19,933,230,517,200 है। आपके दूसरे प्रश्न का उत्तर देने के लिए, वीडियो पोकर मशीनें 1 से 52 तक यादृच्छिक रूप से संख्याएँ चुनती हैं और उन्हें एक पत्ते में निर्दिष्ट करती हैं। यादृच्छिक संख्या जनरेटर स्वयं बहुत जटिल हैं, लेकिन उद्देश्य सरल है।

नेवादा गेमिंग कंट्रोल बोर्ड के नियम 14.040.1(a) के अनुसार, गेमिंग उपकरणों को कम से कम 75% रिटर्न देना होगा, बशर्ते खिलाड़ी की रणनीति सबसे अच्छी हो। आपके दूसरे प्रश्न का उत्तर देने के लिए, मैंने अपने वीडियो पोकर प्रोग्राम को हमेशा सबसे खराब संभव खेल खेलने के लिए संशोधित किया है। उदाहरण के लिए, सभी पाँच कार्ड एक ऐसे हाथ में रखना जो भुगतान न कर रहा हो, और कुछ या सभी पैट हाथों को टॉस करना। 9/6 जैक या बेहतर के आधार पर, इस रणनीति का परिणाम 2.72% रिटर्न या 97.28% हाउस एज होता है। पूरी रिटर्न तालिका नीचे दी गई है। ऐसा खिलाड़ी कैसीनो पर मुकदमा नहीं कर पाएगा क्योंकि इतना खराब खेलना उसकी गलती थी।

संभावना 1/कॉम्बिन (47,2) = 1081 में 1 है। मैंने जिन भी खेलों का अध्ययन किया है, उनमें एक उच्च जोड़ी, रॉयल के लिए 3 से अधिक मजबूत हाथ है, सिवाय चेस द रॉयल खेल के।

अगर आपके पास तीन ड्यूस हैं, तो दूसरा ड्यूस और एक और पत्ता पाने के 46 तरीके हैं। डेक में बचे 47 पत्तों में से दो चुनने के लिए कॉम्बिन (47,2) = 1081 है। इसलिए, तीन पत्तों के साथ ड्रॉ पर चार ड्यूस मिलने की संभावना 46/1081 = 4.26% = 23.5 में 1 है। अगर आपके पास दो ड्यूस हैं, तो दो और ड्यूस और एक और पत्ता पाने के 45 तरीके हैं। 47 में से 3 पत्ते चुनने के लिए कॉम्बिन (47,3) = 16215 तरीके हैं। इसलिए, दो पत्तों के साथ ड्रॉ पर चार ड्यूस मिलने की संभावना 45/16215 = 0.28% = 360.33 में 1 है।

अगर आपकी रणनीति हर कीमत पर रॉयल्स की संख्या बढ़ाने की होती, तो आपको हर 23081 हाथों में एक बार रॉयल मिलता। मैंने यह मानकर चला कि समान रॉयल संभावना वाले दो दांवों में, खिलाड़ी वह दांव चुनेगा जो दूसरे हाथों पर अधिकतम रिटर्न देता है। 9/6 जैक या उससे बेहतर वाले खेल में इस रणनीति का हाउस एज 51.98% है। नीचे एक तालिका दी गई है जो प्रत्येक हाथ की संभावना और रिटर्न दर्शाती है।

धन्यवाद! हाँ, मैंने पहले कहा था कि अगर मेरे पास सिर्फ़ 1% की बढ़त वाली कोई सट्टेबाजी प्रणाली होती, तो मैं बस उस बढ़त का इस्तेमाल करके $1000 को $1,000,000 में बदल सकता था। यह वीडियो पोकर में भी संभव होगा, लेकिन इसमें ज़्यादा समय लगेगा क्योंकि 0.77% की बढ़त वाला खेल (फुल पे ड्यूसेस वाइल्ड) सिर्फ़ क्वार्टर लेवल पर ही मिलता है। मान लीजिए कि आप प्रति घंटे 1000 हाथ खेल सकते हैं (ऐसी गति जो बहुत कम लोग हासिल कर पाते हैं) और पूरी तरह से खेलते हैं, तो आपको औसतन $9.63 प्रति घंटे की आय होगी। $1,000,000 तक पहुँचने के लिए 11.86 साल लगातार काम करना होगा। क्वार्टर वीडियो पोकर खेलने के लिए $1000 भी बहुत कम पूँजी होगी, इसलिए बर्बादी का जोखिम काफ़ी ज़्यादा होगा। टेबल गेम में समान बढ़त के साथ $1,000,000 तक पहुँचना तेज़ होगा क्योंकि खिलाड़ी ज़्यादा दांव लगा सकता है।

इस उत्तर का एक सरल सूत्र है। यह शुरुआती निवेश को हाउस एज से भाग देने पर प्राप्त होता है। इस स्थिति में उत्तर $100/0.02 = $5000 है। हालाँकि, वीडियो पोकर की अस्थिरता के कारण, ज़्यादातर समय $100 इतने लंबे समय तक नहीं टिकते।

"9/6" जैक या उससे बेहतर के आधार पर, किसी भी एक तरह के तीन या फुल हाउस की संभावना 0.085961 है। चीजों को आसान बनाने के लिए, मैं एक तरह के तीन के रैंक के तीन होने की संभावना प्राप्त करने के लिए 13 से भाग दूंगा। यह स्पष्ट रूप से संभावना को बढ़ा-चढ़ाकर बताना है क्योंकि आप इक्कों के माध्यम से जैक में अधिक देखेंगे क्योंकि सही रणनीति उन कार्डों को अधिक बार रखना है। 0.085961/13 = 0.006612। 9 खेलों के लिए जीत को तिगुना करना 18 मुफ्त गेम प्राप्त करने जैसा है। 18 * 0.006612 = 0.119023। इसके लिए मैं तीनों में असमान रूप से कम एक तरह के तीन के लिए किसी प्रकार का फज कारक लागू करूंगा, शायद 75%। 0.119023 * 0.75 = 0.089267। इसलिए जो भी आपका सामान्य रिटर्न है उसे 1.089 से गुणा करें।

मेरे ड्यूस वाइल्ड सेक्शन से हम देख सकते हैं कि किसी एक हाथ में चार ड्यूस आने की प्रायिकता 0.000204 है। इसलिए किसी एक हाथ में चार ड्यूस न आने की प्रायिकता 1-0.000204 = 0.999796 है। 14000 हाथों में चार ड्यूस न आने की प्रायिकता 0.999796 ¹⁴⁰⁰⁰ = 5.75% है।

यह कोई असामान्य बात नहीं है। कभी-कभी वेगास के कैसिनो में एक प्रमोशन होता है जिसमें 24 घंटे की अवधि में दूसरी रॉयल हिट पर दोगुना भुगतान मिलता है। मान लीजिए कि आप 8 घंटे तक 400 हैंड प्रति घंटे की गति से, या कुल 3200 हैंड की गति से खेलते हैं। एक हैंड के रॉयल फ्लश होने की प्रायिकता 0.00002476 है। 3200 हैंड में शून्य रॉयल मिलने की प्रायिकता (1-0.00002476) ³²⁰⁰ = 0.923825 है। एक रॉयल मिलने की प्रायिकता 3200*0.923825*(1-0.923825) ³¹⁹⁹ = 0.073198 है। इसलिए दो या अधिक मिलने की प्रायिकता 1-0.923825 - 0.073198 = 0.002977, या लगभग 336 में 1 है।

पॉइसन वितरण के लिए यह एक अच्छा प्रश्न है। यदि कोई घटना किसी दिए गए क्षण में समसंभाव्य है और अन्य घटनाओं से स्वतंत्र है, और अपेक्षित माध्य संख्या m है, तो n घटनाओं की प्रायिकता e ^-m *m ⁿ /n! है। अतः इस स्थिति में प्रायिकता e ^-17.76 *17.76 ³ /3! = 0.00001808, या 55321 में 1 है।

यहां खेलों की संख्या के अनुसार प्रति खेल शून्य जीतने की संभावना दी गई है।

यह तालिका एक यादृच्छिक सिमुलेशन पर आधारित है। मुझे पता है कि सैद्धांतिक रूप से 100-प्ले में शून्य जीतना संभव है, लेकिन 15,820,000 खेलों में ऐसा कभी नहीं हुआ। इसलिए कृपया इसके बारे में न लिखें। तालिका दर्शाती है कि 10-प्ले में शून्य मिलने की संभावना 0.025914, या 2.59% है। लगातार दस बार ऐसा होने की संभावना 0.025914 है ^{। 10} = 7,323,073,295,177,980 में 1।

मैंने इस सॉफ़्टवेयर को मुफ़्त-प्ले मोड में आज़माया और मेरे नतीजे ठीक रहे। ख़ास तौर पर 10 गेम में, मैंने हर बार कुछ न कुछ जीता। हालाँकि, जहाँ तक मुझे पता है, कोई भी कैसीनो यह सॉफ़्टवेयर नहीं देता और अमेरिका से असली पैसे वाले खिलाड़ियों को स्वीकार नहीं करता। मैं आगे और जाँच-पड़ताल करने की योजना बना रहा हूँ, लेकिन इस फ़ोरम में यह नहीं बताना चाहता कि कैसे।

किसी भी कीमत पर रॉयल जीतने की रणनीति, मानो बाकी सभी हाथों में शून्य भुगतान हो, 9/6 जैक या बेहतर खेल में 47.85% का रिटर्न देगी। रॉयल की अपेक्षित आवृत्ति हर 40388 हाथों में एक बार से बढ़कर हर 23081 हाथों में एक बार हो जाएगी।

लगभग। अगर 5-प्ले में हर डील में एक से ज़्यादा रॉयल को सिर्फ़ एक बार देखा गया माना जाता है, तो आपको 5 बार से थोड़ा कम बार देखा जाएगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि रॉयल्स की कुल संख्या पाँच गुना ज़्यादा होगी, लेकिन कभी-कभी वे एक ही प्ले में एक साथ जमा हो जाएँगे, आमतौर पर जब आपको डील पर एक रॉयल मिलता है, और इस तरह ड्रॉ पर 5 रॉयल मिलते हैं।

निम्नलिखित तालिका, पूर्ण भुगतान इष्टतम रणनीति मानते हुए, आयोजित रॉयल के लिए कार्ड की संख्या के अनुसार 1-प्ले में रॉयल बनाने की संभावना को दर्शाती है।

यह तालिका दर्शाती है कि 22.37% बार आपके पास रॉयल ड्रॉ होने की संभावना होगी। बाकी समय रॉयल होना असंभव होगा, क्योंकि आपके पास वाइल्ड कार्ड या पेयर है। निचले दाएँ सेल में कुल रॉयल संभावना 0.00002208, यानी 45282 में 1 दिखाई गई है।

अगली तालिका में भी यही बात दर्शाई गई है, लेकिन 5-प्ले के लिए, तथा कम से कम एक रॉयल की संभावना दर्शाई गई है।

ध्यान दें कि कम से कम एक रॉयल मिलने की प्रायिकता 0.00010268 है। यह वन-प्ले की प्रायिकता से 4.65 गुना ज़्यादा है। इसका कारण यह है कि कम से कम एक रॉयल मिलने की प्रायिकता हमेशा वन-प्ले की प्रायिकता से पाँच गुना कम होती है। उदाहरण के लिए, वन-प्ले में रॉयल मिलने की प्रायिकता 1/47 है। हालाँकि, 5-प्ले में कम से कम एक रॉयल मिलने की प्रायिकता 1-(1-(1/47)) ⁵ = 0.101951341 है, जो लगभग 4.79 गुना ज़्यादा है।

बोनस पोकर और डबल बोनस जैसे खेलों में, मेरा मानना है कि खिलाड़ी को बड़ी जीत का बेहतर मौका देने के लिए, छोटी-छोटी जीत की कीमत पर, कुछ खास चार-तरफ़ा कार्डों के लिए ज़्यादा भुगतान किया जाता है। चार इक्कों को प्रीमियम चार-तरफ़ा कार्ड के रूप में रखना उचित है, क्योंकि इक्के नियमित पोकर में सबसे बड़ा कार्ड होता है। मुझे लगता है कि चार-दो कार्डों पर चार राजाओं से ज़्यादा भुगतान इसलिए होता है क्योंकि खिलाड़ी अक्सर कम कार्ड नहीं रखते, और इसलिए चार-दो कार्डों पर चार राजाओं की तुलना में कम बार भुगतान होता है। इसलिए, हालाँकि प्रत्येक कार्ड की संभावना समान होती है, खिलाड़ी के व्यवहार के कारण कम-तरफ़ा कार्ड कम आते हैं, जिससे गेम मेकर के लिए कम-तरफ़ा कार्डों पर ज़्यादा भुगतान करना आसान हो जाता है।

आइये पहले सामान्य मामले की जांच करें।

p को इस संभावना के रूप में परिभाषित करें कि एक ही प्रकार के अगले चार में से एक वह होगा जिसकी आपको पदोन्नति के लिए आवश्यकता है।

q को 1 - p के रूप में परिभाषित करें।

m को एक प्रकार के चार की अपेक्षित संख्या के रूप में परिभाषित करें, जिससे आपको वह मिल सके जिसकी आपको आवश्यकता है।

संभावनाओं का योग 1 है। इस प्रकार,

(1) पी + पी×क्यू ¹ + पी×क्यू ² + पी×क्यू ³ + पी×क्यू ⁴ + ... = 1

p और q के संदर्भ में m का सूत्र निम्नलिखित है।

(2) m = 1×p + 2×q×p ¹ + 3×q ² ×p + 4×q ³ ×p + 5×q ⁴ ×p + ...

(2) के दोनों पक्षों को q से गुणा करें।

(3) mq = 1×pq + 2×p×q ² + 3×p×q ³ + 4×p×q ⁴ + 5×p×q ⁵

(2) में से (3) घटाएँ

(4) एम - एमक्यू = पी + पीक्यू + पीक्यू ² + पीक्यू ³ + पीक्यू ⁴ + ...

(4) का दाहिना भाग (1) से 1 के बराबर है।

(5) एम - एमक्यू = 1

(6) m×(1-q) = 1

(7) एम = 1/(1-क्यू) = 1/पी.

इसलिए, यदि किसी घटना की संभावना p है, तो औसतन उसके घटित होने में 1/p परीक्षण लगेंगे।

समस्या पर वापस आते हुए, सूची से पहले वाले को हटाने के लिए स्पष्ट रूप से केवल एक ही तरह के चार की आवश्यकता होगी। अगले चार एक ही तरह के होने की संभावना 12/13 है। इसलिए, औसतन, इसे प्राप्त करने में 13/12 = 1.0833 प्रयास लगेंगे। सूची से दो को हटाने के बाद, अगले वाले के होने की संभावना 11/13 है, इसलिए तीसरे को प्राप्त करने में 13/11 = 1.1818 और प्रयास लगेंगे।

इस पैटर्न का अनुसरण करते हुए, प्रत्येक प्रकार का कम से कम एक प्राप्त करने के लिए चार प्रकार के कुल अपेक्षित संख्या है

1 + (13/12) + (13/11) + (13/10) + ... + (13/1) = 41.34173882.

हाँ। मान लीजिए कि आप 9/6 जैक या बेटर खेल रहे हैं। प्रत्येक अंतिम हाथ का विचरण n*1.966391 + 17.548285 है, जहाँ n चालों की संख्या है। इसलिए 10 चालों में प्रति हाथ विचरण 10*1.966391 + 17.548285 = 37.2122 है, और 1-चाल में 1*1.966391 + 17.548285 = 19.51468 है। 10-चालों के 1,000 प्रारंभिक या 10,000 कुल हाथों का विचरण 10,000*37.2122 = 372,122 है। 1-चालों के 10,000 हाथों का विचरण 10,000*19.51468 = 195,149 है। हालाँकि, मुझे लगता है कि हमें मानक विचलन पर बात करनी चाहिए, जो कि प्रसरण का वर्गमूल है। 10-प्ले वाले 10,000 हाथों का मानक विचलन 372,122 ^0.5 = 610.02 है। 1-प्ले वाले 10,000 हाथों का मानक विचलन 195.149 ^0.5 = 441.75 है। जब तक कुल अंतिम हाथ समान हैं, 9/6 जैक या बेहतर में, 10-प्ले हमेशा 38.1% अधिक अस्थिर रहेगा। अधिक जानकारी के लिए , एन-प्ले वीडियो पोकर में मानक विचलन पर मेरे अनुभाग पर जाएँ।

9/6 जैक्स या बेटर में, सही रणनीति के साथ, आपको ड्रॉ पर हर 40,601 हाथों में एक बार रॉयल मिलेगा, लेकिन हर 460 हाथों में एक बार चार से एक रॉयल। हर रॉयल के लिए, आप 88.33 बार एक कार्ड दूर होंगे। चार से एक रॉयल वाले हाथों में से, 50.37% में कुछ नहीं मिलेगा, 24.89% में जोड़ी के रूप में, 7.89% में स्ट्रेट के रूप में, 16.16% में फ्लश के रूप में, और 0.69% में स्ट्रेट फ्लश के रूप में भुगतान मिलेगा। ये रहे सटीक आंकड़े।

170 चार से एक रॉयल्स के लिए रॉयल्स की अपेक्षित संख्या 170/88.33 = 1.92 है। 1.92 के माध्य के साथ शून्य देखने की संभावना e ^-1.92 = 14.59% है।

इस प्रकार के प्रश्न का उत्तर देने के लिए पॉइसन वितरण का उपयोग किया जा सकता है। सामान्य सूत्र e ^-m *m ^x /x! है, जहाँ x आपके द्वारा देखी गई घटना की संख्या है, और m अपेक्षित संख्या है। इस स्थिति में x = 3 है। " नॉट सो अग्ली डक्स ड्यूस वाइल्ड " में रॉयल फ्लश की प्रायिकता 0.000023 है। इसलिए 10,000 हाथों में अपेक्षित संख्या 0.23 होगी। इस प्रकार 10,000 हाथों में ठीक तीन रॉयल फ्लश मिलने की प्रायिकता e ^-0.23 *0.23 ³ /3! = 0.161% है। एक्सेल में इसका सूत्र पॉइसन(3,0.23,0) है।

मैं मानता हूँ कि आप एक रॉयल की संभावना 40,000 में 1 मानते हैं। प्रति सत्र 4,000 हाथ खेलने पर, प्रति सत्र रॉयल की अपेक्षित संख्या 0.1 है। प्रति सत्र शून्य रॉयल की संभावना का एक बहुत ही करीबी अनुमान e ^-0.1 = 90.48% है। यह 90% नहीं है क्योंकि कभी-कभी आपको प्रति सत्र एक से अधिक रॉयल मिलेंगे। 50 सत्रों में रॉयल की अपेक्षित संख्या 0.1 × 50 = 5 है। 50 सत्रों में शून्य रॉयल की संभावना e ^-5 = 0.67% के करीब अनुमानित की जा सकती है। सटीक संभावना भी (39,999/40,000)^(200,000) = 0.67% है।

अगर आप सिंगल लाइन खेल रहे होते, तो यह आसान होता। $800,000, $5 के 160,000 हाथों के बराबर होते हैं। यानी 3.9616 रॉयल साइकिल। कोई रॉयल न होने की संभावना लगभग e ^-3.9616 = 1.9% के रूप में अनुमानित की जा सकती है।

मल्टी-लाइन गेम्स में गणित और भी उलझ जाता है। मुझे लगता है कि इस सवाल का जवाब देने का सबसे आसान तरीका रैंडम सिमुलेशन है। मेरे वीडियो पोकर परिशिष्ट 6 के अनुसार, 50-प्ले 9/6 जैक्स या बेटर में हर हाथ में कम से कम एक रॉयल मिलने की संभावना 0.00099893 है। $1 वाले 50-प्ले के प्रत्येक हाथ की कीमत $250 है। तो आपने शुरुआती 3,200 हाथ खेले होंगे। 3,200 हाथों में रॉयल वाले हाथों की अपेक्षित संख्या 3.1966 है। इसी सन्निकटन विधि से, शून्य रॉयल मिलने की संभावना e ^-3.1966 = 4.09% है। सिमुलेशन परिणामों के आधार पर, सटीक उत्तर (1-0.00099893)^3200 = 0.04083732, या 4.08% है।

आपका स्वागत है। आपके प्रश्न का उत्तर पाने के लिए, मैंने 9/6 जैक्स या बेटर में कुछ यादृच्छिक सिमुलेशन चलाए। नीचे दी गई तालिका 9/6 जैक्स या बेटर में खेली गई 2 से 9 पंक्तियों के लिए सहप्रसरण दर्शाती है। यह प्रसरण खेले गए मूल खेल के समान ही होगा।

आइए 9-लाइन 9/6 जैक्स या बेटर का एक उदाहरण देखें। बेस गेम का प्रसरण 19.52 है। सहप्रसरण 33.46 है। इसलिए कुल प्रसरण 19.52 + 33.46 = 52.98 है। मानक विचलन 52.98 ^1/2 = 7.28 है।

जब तक वह स्थिर दर पर फ्लैट बेटिंग कर रही है, हाँ, हर हाल में बेट लगाओ। या तो वह किसी बेकार प्रोग्रेसिव का इस्तेमाल कर रही है, या यह किसी और की अतिशयोक्ति है। इससे मैं सोचने लगा कि आपके दोस्त के पक्ष में हाथों की इष्टतम संख्या क्या होगी। 9/6 जैक या बेहतर, और इष्टतम रणनीति मानते हुए, आगे होने की संभावना 136 हाथों पर अधिकतम होती है, जिसकी संभावना 39.2782% है।

6/5 डबल डबल बोनस का रिटर्न, सटीक रूप से, 0.946569 है। मेरी तालिका के अनुसार, रॉयल की प्रायिकता 0.000025 है। हालाँकि, मैं इससे ज़्यादा सार्थक अंकों का उपयोग करना पसंद करता हूँ, इसलिए आइए रिटर्न को जीत से विभाजित करें, जो 0.020297/800 = 0.00002537 है। रॉयल के अलावा सभी जीत का रिटर्न 0.926273 है। आइए j को ब्रेक-ईवन जैकपॉट राशि कहें। j का हल:

1 = 0.926273 + 0.00002537*j
जे = (1-0.926273)/ 0.00002537 = 2,906.

2,906 को दांव की इकाइयों में मापा जाता है। $1 वाली मशीन ($5 कुल दांव) के लिए, ब्रेक-ईवन पॉइंट $5*2,906 = $14,530 होगा। इसलिए, $12,000 अभी भी ब्रेक-ईवन से बहुत दूर है। इससे पहले कि कोई परफेक्शनिस्ट मुझे लिखे, जैसे-जैसे प्रोग्रेसिव बढ़ता जाएगा, इष्टतम रणनीति बदल जाएगी, और रॉयल्स के लिए खेलने की ओर अधिक आक्रामक हो जाएगी। मेरा जवाब यह मानता है कि खिलाड़ी पूरे समय एक ही 6/5 इष्टतम रणनीति का पालन करता है।

किसी भी 52-कार्ड वीडियो पोकर गेम के लिए एक सरल अनुमान यह है कि मीटर में प्रत्येक अतिरिक्त 1,000 सिक्कों के लिए 0.5% जोड़ा जाए। $10,100 मीटर के मामले में, यह गैर-प्रगतिशील मीटर से $6,100 अधिक है। यह एक डॉलर का खेल है, इसलिए यह 6,100 सिक्के हैं, इसलिए आधार रिटर्न में 0.5% × (6,100/1,000) = 3.05% जोड़ें। आधार रिटर्न 92.63% है, इसलिए कुल रिटर्न लगभग 94.66% + 3.05% = 97.71% हो सकता है। $10,100 मीटर का वास्तविक रिटर्न 97.75% है, जो काफी करीब है।

3 से लेकर रॉयल तक के 4 सूट चुनने के लिए विकल्प हैं। 5 रैंक में से 3 चुनने के लिए कॉम्बिन (5,3) = 10 तरीके हैं। बाकी दो कार्ड चुनने के लिए कॉम्बिन (47,2) = 1,081 तरीके हैं। 52 में से 5 कार्ड चुनने के लिए कॉम्बिन (52,5) = 2,598,960 तरीके हैं। इसलिए, रॉयल में 3 कार्ड मिलने की प्रायिकता 4×10×1081/2,598,960 = 1.66% है।

अन्य पाठकों के लाभ के लिए, किसी भी यादृच्छिक चर के लिए विषमता गुणांक (तिरछापन) इस बात का माप है कि किस दिशा में लंबी पूंछ है। ऋणात्मक विषमता का अर्थ है कि सबसे संभावित परिणाम वितरण के उच्च पक्ष पर हैं, जो निम्न पक्ष की ओर झुकाव वाले चरम बिंदुओं द्वारा संतुलित होते हैं। धनात्मक विषमता इसके विपरीत है, जहाँ सबसे संभावित परिणाम निम्न पक्ष पर होते हैं, लेकिन चरम बिंदु उच्च पक्ष की ओर झुकाव वाले होते हैं। ऋणात्मक विषमता में माध्य, माध्यिका से कम होता है, और धनात्मक विषमता में अधिक होता है। एक सटीक सूत्र विकिपीडिया या सांख्यिकी की कई पुस्तकों में पाया जा सकता है।

सरल शब्दों में कहें तो, स्क्यूनेस इस बात से संबंधित होगा कि आप एक सत्र में कितनी बार जीतते हैं। जैक्स ऑर बेटर में, ज़्यादातर मामलों में, अगर आप रॉयल नहीं मारते, तो आपको कुछ घंटों में जीत का सत्र नहीं मिलेगा। आप डबल डबल बोनस में बैठकर कुछ घंटों बाद ज़्यादा बार विजेता बन सकते हैं, क्योंकि वहाँ बड़े क्वाड पेआउट होते हैं। चूँकि ज़्यादातर लोग संज्ञानात्मक पूर्वाग्रहों से ग्रस्त होते हैं, इसलिए हार का दर्द जीत के आनंद से दोगुना होता है। लोग डबल डबल बोनस इसलिए नहीं खेलते क्योंकि उन्हें वैरिएंस पसंद है, बल्कि इसलिए खेलते हैं क्योंकि उनके जीतने की संभावना ज़्यादा होती है। नीचे दी गई तालिका चार आम वीडियो पोकर खेलों के कुछ प्रमुख आँकड़े दिखाती है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि स्क्यू जैक्स ऑर बेटर में सबसे ज़्यादा होता है।

नौकरी - 9/6 = पूर्ण वेतन या उससे बेहतर
बीपी - 8/5 = मानक भुगतान बोनस पोकर
डीडीबी - 9/6 = मानक भुगतान डबल डबल बोनस पोकर
DW — NSUD = "नॉट सो अग्ली डक्स" ड्यूसेस वाइल्ड

यह जानने से वीडियो पोकर खिलाड़ी को वास्तव में कैसे मदद मिल सकती है? मुझे लगता है कि कोई यह कह सकता है कि बड़े स्क्यू वाले गेम में कुछ घंटों के सत्र में हारने की संभावना ज़्यादा होती है। उदाहरण के लिए, जैक्स या बेटर में, अगर आप कोई रॉयल्स नहीं मारते हैं, तो हाउस एज शायद अंततः आपके बैंकरोल को कम कर देगा। हालाँकि, ड्यूसेस वाइल्ड या डबल डबल बोनस जैसे गेम में, दूसरी सबसे बड़ी जीत आपको एक सत्र में मुश्किल से बाहर निकाल सकती है। दूसरे शब्दों में, जब आप रॉयल्स नहीं मार रहे होते हैं तो स्क्यू आपको जीतने से रोकता है। स्क्यू जानने से आपकी संभावनाएँ नहीं बढ़ेंगी, लेकिन यह जानना मानसिक रूप से मददगार है कि क्या उम्मीद करनी है। इसलिए, अगली बार जब आप 9/6 जैक्स में हारें, तो इसका दोष स्क्यू पर डालें।

इस प्रश्न पर सहायता के लिए मैं जेफ बी. को धन्यवाद देता हूं।

बढ़िया खोज! आपने यह नहीं बताया कि आप किस मूल्यवर्ग पर दांव लगा रहे हैं, जो कि महत्वपूर्ण है, इसलिए मैं डॉलर मान रहा हूँ। पाँच सिक्कों की अधिकतम बाजी के लिए, w (जहाँ w<1200) की जीत के लिए आवश्यक डबल्स की संख्या 1+int(log(1200)-log(w))/log(2) है।

नीचे दी गई तालिका प्रत्येक प्रारंभिक हाथ के लिए, डबल-पूर्व जीत, डबल-पूर्व संभावना, आवश्यक डबल्स की संख्या, डबल-पश्चात जीत, और डबल-पश्चात जीत प्राप्त करने की संभावना, जिसमें $250 का बोनस भी शामिल है, दर्शाती है। नीचे दाएँ कक्ष में 115.5% का रिटर्न दिखाया गया है। आपको औसतन हर 297 हाथों में एक जैकपॉट मिलेगा, जिसका औसत जैकपॉट $1,717.46 है।

निम्नलिखित तालिका, प्रत्येक प्रकार के राजसी होने की प्रायिकता, रखे गए पत्तों की संख्या के अनुसार, दर्शाती है, बशर्ते कि कोई राजसी हो। यह दर्शाता है कि 3.4% राजसी एक पत्ता रखने से हैं। शुरुआत में राजसी होने की प्रायिकता 40,391 में 1 है, इसलिए राजसी होने की बिना शर्त प्रायिकता 1,186,106 में 1 है।

डील में combin(52,5)=2,598,960 संभावित संयोजन हैं। मेरे वीडियो पोकर रिटर्न टेबल पर लगभग 20 ट्रिलियन संयोजन होने का कारण यह है कि आपको ड्रॉ पर क्या हो सकता है, इस पर भी विचार करना होगा। यहाँ संयोजनों की संख्या इस आधार पर दी गई है कि खिलाड़ी कितने कार्ड त्यागता है।

इन सभी संयोजनों का लघुत्तम समापवर्त्य 5×combin(47,5)= 7,669,695 है। खिलाड़ी चाहे जितने भी पत्ते त्याग दे, वापसी संयोजनों को इस प्रकार भारित किया जाना चाहिए कि कुल योग 7,669,695 हो। उदाहरण के लिए, यदि खिलाड़ी 3 पत्ते त्याग देता है, तो ड्रॉ में 16,215 संभावित संयोजन होंगे, और उनमें से प्रत्येक को 7,669,695/16,215 = 473 के अनुसार भारित किया जाना चाहिए।

तो वीडियो पोकर में संयोजनों की कुल संख्या 2,598,960 × 7,669,695 = 19,933,230,517,200 है। वीडियो पोकर रिटर्न को स्वयं प्रोग्राम करने के तरीके के बारे में अधिक जानकारी के लिए, कृपया वीडियो पोकर विश्लेषण की कार्यप्रणाली पर मेरा पृष्ठ देखें।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

मेरा सबसे अच्छा अनुमान रॉयल एसेस बोनस पोकर है। मैंने इसे कई साल पहले मेस्काइट में सिर्फ़ एक बार देखा था। इसमें चार इक्कों के लिए 800 मिलते हैं, लेकिन सामान्य जैक के बजाय, इक्कों के एक जोड़े के साथ सबसे कम भुगतान मिलता है। यहाँ रिटर्न टेबल दी गई है।

मानक विचलन 13.58 है! यह 9-6 जैक या बेहतर (4.42) से तीन गुना ज़्यादा है।

हालाँकि, अगर आप मुझे आसानी से मिलने वाले खेलों तक सीमित रखते हैं, तो मेरा नामांकन ट्रिपल डबल बोनस है, जिसका मानक विचलन 9.91 है। यह रही भुगतान तालिका।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

7,281.8 सिक्के। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि अगर आप ठीक उसी मीटर पर सिर्फ़ एक बार खेलते हैं, तो रिटर्न केवल 98.5% होगा। आपको उस समय खेलना चाहिए क्योंकि आप जैकपॉट जीतने तक खेल सकते हैं। यह 2% कैश बैक स्लॉट क्लब जैसा है। 98.5% + 2% = 100.5%।

मैं यह भी कहना चाहूँगा कि अगर आप ठीक 7,281.8 के जैकपॉट पर 4000 सिक्कों वाली जैकपॉट रणनीति खेलना शुरू करते हैं, तो आप 201.18 दांवों का मुनाफ़ा कमा सकते हैं। हालाँकि, अगर आप 7,281.8 के जैकपॉट के लिए रणनीति में बदलाव सीखने में समय लगाते हैं, तो आपका अपेक्षित मुनाफ़ा 234.31 सिक्कों का होगा।

इसी से जुड़ी एक बात पर, मैंने अभी-अभी फ्रैंक नीलैंड की "द सीक्रेट वर्ल्ड ऑफ़ वीडियो पोकर प्रोग्रेसिव्स" पढ़कर समाप्त की है। इस पुस्तक में जटिल प्रोग्रेसिव स्थितियों के लिए कई सूत्र हैं, साथ ही प्रोग्रेसिव हंटर्स की एक टीम चलाने के उनके वर्षों के अनुभव पर आधारित व्यावहारिक सलाह और कहानियाँ भी हैं। मैं इसे एडवांटेज प्रोग्रेसिव वीडियो पोकर खिलाड़ियों के लिए सुझाता हूँ।

इस तरह के स्ट्रीक प्रश्नों के लगभग सटीक उत्तर के लिए हमें मैट्रिक्स बीजगणित का उपयोग करना होगा। मैंने 4 जून, 2010 के अपने कॉलम में एक ऐसे ही, लेकिन आसान प्रश्न का उत्तर दिया था। अगर आपका मैट्रिक्स बीजगणित थोड़ा खराब है, तो मैं पहले उसे देखूँगा।

चरण 1: पहले 5,000 हाथों में 0 से 6+ रॉयल्स की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। मान लीजिए कि रॉयल की प्रायिकता 40,000 में 1 है। 5,000 हाथों में अपेक्षित संख्या 5,000/40,000 = 0.125 है। पॉइसन अनुमान का उपयोग करते हुए, ठीक r रॉयल्स की प्रायिकता e ^-0.125 × 0.125 ^r /r! है। ये प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:

चरण 2: मान लीजिए कि शेष 24,995,000 हाथों के लिए सात अवस्थाएँ हैं। प्रत्येक के लिए, पिछले 5,000 हाथों में 0, 1, 2, 3, 4, या 5 रॉयल्स हो सकते हैं, या खिलाड़ी 5,000 हाथों में पहले ही छह रॉयल्स प्राप्त कर चुका हो, ऐसी स्थिति में सफलता प्राप्त हो जाती है, और उसे वापस नहीं लिया जा सकता। प्रत्येक नए हाथ के साथ, खिलाड़ी की अवस्था में तीन में से एक परिवर्तन हो सकता है:

1. एक स्तर नीचे जाएँ: ऐसा तब होता है जब 5,000 गेम पहले खेला गया हाथ रॉयल था, और अब वह गिर रहा है, और नया हाथ रॉयल नहीं था।
2. उसी स्तर पर बने रहें। ऐसा आमतौर पर तब होता है जब 5,000 गेम पहले खेला गया हाथ रॉयल नहीं था, और नया हाथ भी रॉयल नहीं है। ऐसा तब भी हो सकता है जब 5,000 गेम पहले खेला गया हाथ रॉयल था, लेकिन नया हाथ भी रॉयल है।
3. एक स्तर ऊपर जाएँ। ऐसा तब होगा जब 5,000 गेम पहले खेला गया हाथ शाही नहीं था, और नया हाथ शाही है।

चरण 3: खेले गए अतिरिक्त खेल के लिए राज्य के प्रत्येक परिवर्तन की बाधाओं के लिए संक्रमण मैट्रिक्स विकसित करें।

नया हाथ खेले जाने से पहले पहली पंक्ति लेवल 0 के अनुरूप होगी। अगले हाथ में लेवल 1 तक पहुँचने की संभावना 40,000 में से केवल 1 है। लेवल 0 पर बने रहने की संभावना 39,999/40,000 है।

दूसरी पंक्ति नए हाथ के खेले जाने से पहले लेवल 1 के अनुरूप होगी। अगले हाथ में लेवल 2 पर पहुँचने की संभावना, हाथ के छूटने पर रॉयल न हारने और नए हाथ पर रॉयल मिलने की संभावना का गुणनफल है = (4999/5000) × (1/40000) = 0.0000250। लेवल 0 पर वापस जाने की संभावना, मौजूदा खेल में रॉयल छूटने और रॉयल न मिलने की संभावना का गुणनफल है = (1/5000) × (39999/40000) = 0.0002000। समान रहने की संभावना है pr(कोई रॉयल ड्रॉपिंग नहीं) × pr(कोई नया रॉयल नहीं) + pr(रॉयल ड्रॉपिंग) × pr(नया रॉयल) = (4999/5000)×(39999/40000) + (1/5000)×(1/40000) = 0.9997750.

पंक्ति 2 से 6 की प्रायिकताएँ इस बात पर निर्भर करेंगी कि पिछले 5,000 हाथों के इतिहास में कितने रॉयल मौजूद हैं। जितने ज़्यादा होंगे, नए हाथ के आने पर एक रॉयल के छूटने की संभावना उतनी ही ज़्यादा होगी। मान लीजिए कि r पिछले 5,000 हाथों में रॉयल की संख्या है और p एक नया रॉयल मिलने की प्रायिकता है।

Pr(एक स्तर को बढ़ावा देना) = Pr(कोई रॉयल नहीं छोड़ना) × Pr(नया रॉयल) = (1-(r/5000))× p.

Pr(समान स्तर पर बने रहें) = Pr(कोई रॉयल ड्रॉपिंग नहीं) × Pr(कोई नया रॉयल नहीं) + Pr(रॉयल ड्रॉपिंग) × Pr(नया रॉयल) = (1-(r/5000))× (1-p) + (r/5000)×p.

Pr(एक स्तर घटाएँ) = Pr(शाही हटाना) × Pr(कोई नया शाही नहीं) = (r/5000)× (1-p).

पंक्ति 7, 5,000 हाथों में छह रॉयल्स प्राप्त करने की सफलता की स्थिति को दर्शाती है। एक बार जब आप यह उपलब्धि हासिल कर लेते हैं, तो इसे कभी नहीं छीना जा सकता, इसलिए सफलता की उस स्थिति में बने रहने की संभावना 100% है।

संक्रमण मैट्रिक्स की पंक्तियाँ नए हाथ से पहले के स्तरों के अनुरूप होंगी, जो ऊपरी पंक्ति में स्तर 0 से शुरू होती हैं। स्तंभ नए हाथ के बाद के स्तरों के अनुरूप होंगे, जो बाएँ स्तंभ में स्तर 0 से शुरू होते हैं। मैट्रिक्स में संख्याओं का समूह एक खेल में प्रत्येक पुरानी अवस्था से प्रत्येक नई अवस्था में जाने की संभावनाओं के अनुरूप होगा। आइए इसे T1 = कहते हैं।

यदि हम इस संक्रमण आव्यूह को स्वयं से गुणा करें, तो हमें दो क्रमागत खेलों में अवस्था के प्रत्येक परिवर्तन की प्रायिकताएँ प्राप्त होंगी। आइए इसे दो खेलों में संक्रमण आव्यूह के लिए T2 कहें:

वैसे, एक्सेल में समान आकार के दो मैट्रिसेस को गुणा करने के लिए, पहले उस क्षेत्र का चयन करें जहाँ आप नया मैट्रिक्स रखना चाहते हैं। फिर इस सूत्र का उपयोग करें =MMULT(मैट्रिक्स 1 की श्रेणी, मैट्रिक्स 2 की श्रेणी)। फिर ctrl-shift-enter दबाएँ।

यदि हम T2 को स्वयं से गुणा करें तो हमें चार क्रमागत खेलों में प्रत्येक अवस्था परिवर्तन की प्रायिकताएँ, या T4 प्राप्त होती हैं:

अतः इस दोहरीकरण प्रक्रिया को 24 बार दोहराते रहें जब तक कि हम T-16,777,216 तक न पहुंच जाएं:

अगर हम इसे फिर से दोगुना कर दें, तो हम अपने लक्ष्य T-24,995,500 से आगे निकल जाएँगे। इसलिए अब हमें छोटे संक्रमण आव्यूहों से सावधानीपूर्वक गुणा करना होगा, जिनकी गणना हम पहले ही कर चुके होंगे। आप दो की घातों का उपयोग करके किसी भी संख्या पर पहुँच सकते हैं (द्विआधारी अंकगणित का आनंद!)। इस स्थिति में T-24,995,500 = T-16,777,216 × T-2 ²² × T-2 ²¹ × T-2 ²⁰ × T-2 ¹⁹ × T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 ¹³ × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T-2 ⁵ × T-2 ⁴ × T-2 ³ =

सच कहूँ तो, सरलता और समय की बचत के लिए, आपको उन आखिरी चार गुणाओं की चिंता करने की ज़रूरत नहीं है। ये केवल आखिरी 56 हाथों के लिए हैं, और इस बात की संभावना नगण्य है कि ये 56 हाथ अंतिम परिणाम में कोई फ़र्क़ डालेंगे। मुझे यकीन है कि मेरे कई पूर्णतावादी पाठक, अगर कर पाते तो, मुझे इस बात के लिए फटकार लगाते।

चरण 4: 5,000 हाथों के बाद प्रारंभिक अवस्था को T-24,995,500 से गुणा करें। मान लीजिए कि चरण 1 से S-0, इस प्रकार है:

तो S-0 × T-24,995,500 =

नीचे वाले खाने में दी गई संख्या 25,000,000 हाथों में से कम से कम एक बार 5,000 हाथों में से छह रॉयल्स हासिल करने की संभावना दर्शाती है। यानी 7,336 में से 1 मौका।

इस प्रश्न पर सहायता के लिए मैं क्रिस्टलमैथ को धन्यवाद देता हूं।

उत्तर देने से पहले, मैं सभी को याद दिलाना चाहूंगा कि प्रतिस्थापन के साथ n वस्तुओं में से k को चुनने के तरीकों की संख्या संयोजन (n+k-1,k) = (n+k-1)!/((n-1)!×k!) है।

जैसा कि कहा गया है, यहां सात-कार्ड हाथों के निम्नलिखित प्रकार और प्रत्येक को बनाने के विभिन्न तरीकों की संख्या दी गई है:

• एक सूट के 7 कार्ड: संयोजन(13,7)=1,176.
• एक सूट के 6 कार्ड और दूसरे सूट का 1 कार्ड: COMBIN(13,6)×13 = 22,308.
• एक सूट के 5 कार्ड और दूसरे सूट के 2 कार्ड: COMBIN(13,5)×combin(13,2) = 100,386.
• एक सूट के 5 कार्ड और अन्य दो सूट के 1-1 कार्ड: COMBIN(13,5)×combin(13+2-1,2) = 117,117.
• एक सूट के 4 कार्ड और दूसरे सूट के 3: COMBIN(13,4)×combin(13,3) = 204,490.
• एक सूट के 4 कार्ड, दूसरे सूट के 2 और तीसरे सूट का 1 कार्ड: COMBIN(13,4)×combin(13,2)×13 = 725,010.
• एक सूट के 4 कार्ड और अन्य 3 के एक-एक कार्ड: COMBIN(13,4)×combin(13+3-1,3)×13 = 325,325.
• दो अलग-अलग सूट के 3 कार्ड और तीसरे सूट का एक कार्ड: 13×((COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,3)-1)/2+COMBIN(13,3))) = 533,533.
• एक सूट के 3 कार्ड और दो अन्य सूट के दो-दो कार्ड: COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)/2) = 881,166.
• एक सूट के 3 कार्ड, दूसरे सूट के 2 कार्ड, और अन्य दो सूट के एक-एक कार्ड: COMBIN(13,3)×COMBIN(13,2)×COMBIN(13+2-1,2) = 2,030,028.
• तीन सूट के 2 कार्ड और चौथे सूट का 1 कार्ड: ((COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)×(COMBIN(13,2)+2)/6) = 1,068,080.

इन संयोजनों का योग 6,009,159 है। 52 में से 7 पत्ते चुनने के 133,784,560 तरीकों के संयोजन (52,7) की तुलना में, विश्लेषण किए गए हाथों में 95.5% की कमी है।

इस प्रश्न पर अधिक चर्चा के लिए कृपया विज़ार्ड ऑफ़ वेगास पर मेरा फोरम देखें।

एक जोड़ी के एक तरह के चार में सुधार होने की संभावना 45/COMBIN(47,3) = लगभग 0.002775208 है।

दस में से दस हाथों में ऐसा होने की संभावना (0.002775208) ¹⁰ = लगभग 36,901,531,632,979,700,000,000,000 में 1 है।

यह संभावना तीन स्वतंत्र और यादृच्छिक पावरबॉल टिकट खरीदने और उन तीनों पर जीतने के समान है।

इसका कारण यह है कि यह कोई सामान्य वीडियो पोकर गेम नहीं है, जिसमें प्राकृतिक संभावनाएँ होती हैं, और डेक में बचे हुए पत्तों में से हर पत्ते के निकलने की बराबर संभावना होती है। नहीं, इसे "वीएलटी" या वीडियो लॉटरी टर्मिनल कहते हैं। ऐसे खेलों में, परिणाम पहले से तय होता है, चाहे खिलाड़ी अपनी बाजी कैसे भी लगाए। यह स्क्रैच कार्ड लॉटरी टिकट जैसा है, लेकिन परिणाम खिलाड़ी को वीडियो पोकर गेम की तरह दिखाया जाता है। आप पूछ सकते हैं कि अगर खिलाड़ी के पास सभी पाँच पत्ते होते तो क्या होता। तब कोई जिन्न आकर कुछ पत्ते बदल देता या खिलाड़ी बोनस जीत जाता जिससे उसकी अंतिम जीत 2,500 क्रेडिट तक पहुँच जाती।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

इसके लिए, मैंने अपने सम्मानित सहयोगी गैरी कोहलर से संपर्क किया, जो वीडियो पोकर गणित के विशेषज्ञ हैं। डेक की संख्या के अनुसार, उनके उत्तर इस प्रकार हैं:

पहले रॉयल के लिए, किसी भी सूट में, डील पर तीन रॉयल मिलने की प्रायिकता 4*कॉम्बिन(5,3)*कॉम्बिन(47,2)/कॉम्बिन(52,5) = 0.01663742 है। ड्रॉ पर रॉयल पूरा होने की प्रायिकता 1/कॉम्बिन(47,2) = 0.00092507 है। इसलिए दोनों घटनाओं की प्रायिकता 0.01663742 * 0.00092507 = 0.00001539, या 64,974 में 1 है।

इस तरह से दस हाथों में, किन्हीं दो सूटों में, कोई भी दो रॉयल्स मिलने की प्रायिकता है: कॉम्बिन (10,2) * 0.00001539 ² (1-0.00001539) ⁸ = 0.00000001065810। आपने यह भी बताया है कि दोनों रॉयल्स एक ही सूट के होने चाहिए। दूसरे रॉयल के पहले रॉयल से मेल खाने की प्रायिकता 1/4 है, इसलिए पिछली प्रायिकता को 4 से भाग देने पर 0.00000000266453 प्राप्त होता है, जो 375,301,378 में 1 है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।