रूले - सामान्य प्रश्न

रूलेट में किसी भी दांव या दांवों के संयोजन में उच्च हाउस एज होता है। आपके जीतने की संभावना जितनी अधिक होगी, आपको इनाम के सापेक्ष उतना ही अधिक जोखिम उठाना होगा। यदि आप ऐसा 10 बार करते हैं, तो लाभ दिखाने की संभावना 46.42% है। 100 बार करने पर यह संभावना घटकर 24.6% हो जाती है।

जैसा मैंने सम-धन वाले दांवों के साथ समझाया था, वैसे ही शुरुआत करें। प्रत्येक दांव बाएँ और दाएँ संख्याओं का योग होना चाहिए। हालाँकि, अपनी दो-स्तंभ वाली रणनीति का पालन करते हुए, हारने पर आपको दाएँ पक्ष में दोगुनी राशि जोड़नी चाहिए।

मैंने इसे अभ्यास मोड में खेला और यह एक वैध नो-ज़ीरो रूलेट व्हील प्रतीत होता है। ऐसा कोई सिस्टम नहीं है जो लंबे समय में इस खेल को हरा सके या हरा सके। आप जितना ज़्यादा खेलेंगे, कुल दांव राशि और कुल जीत का अनुपात उतना ही शून्य के करीब होता जाएगा।

अद्यतन: यह कैसीनो अब बंद हो चुका है।

अगर आप माइक्रोगेमिंग कैसीनो में 11 पर डबल करते हैं और डीलर को ब्लैकजैक मिलता है, तो आप पूरी शर्त हार जाएँगे। यूनिफाइड गेमिंग में, अगर ऊपर वाला कार्ड दस का हो, तो ब्लैकजैक तुरंत पलट दिया जाता है, इसलिए ऐसी स्थिति में डबल करने पर ब्लैकजैक हारने का कोई जोखिम नहीं होता।

रूलेट में दांव के सभी संयोजन समान अपेक्षित रिटर्न देते हैं, यह मानते हुए कि खतरनाक पांच-संख्या संयोजन से बचा जाता है। आप सही हैं कि तीसरे कॉलम में आठ लाल और चार काले हैं। 3 इकाइयां जीतने की संभावना 8/38 है, 1 इकाई 4/38 है, यहां तक कि 10/38 है, और 2 इकाइयां खोना 16/38 है। प्रति इकाई दांव पर अपेक्षित संयुक्त रिटर्न (1/2) * (3 * 8 + 1 * 4 + 0 * 10 + 2 * 16) / 38 = -2/38 है। काले और तीसरे कॉलम पर दांव लगाने पर 3 इकाइयां जीतने की संभावना 4/38 है, 1 इकाई 8/38 है, यहां तक कि 14/38 है, और 2 इकाइयां खोना 12/38 है। अपेक्षित रिटर्न (1/2) * (3 * 4 + 1 * 8 + 0 * 14 + 2 * 12) / 38 = -2/38 है। दोनों संयोजन विभिन्न परिणामों को अलग-अलग महत्व देते हैं, लेकिन उनका औसत एक ही संख्या होता है।

एक बार जब आप n संख्याएँ प्राप्त कर लेते हैं, तो अगले स्पिन पर एक नई संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता (38-n)/38 होती है। यदि किसी घटना की प्रायिकता p है, तो उसके घटित होने से पहले अपेक्षित प्रयासों की संख्या 1/p है। इस प्रकार, यदि आपके पास पहले से ही n संख्याएँ हैं, तो एक नई संख्या प्राप्त करने के लिए अपेक्षित स्पिनों की संख्या 38/(38-n) है। उदाहरण के लिए, एक बार जब आप 20 संख्याएँ प्राप्त कर लेते हैं, तो 21वीं संख्या प्राप्त करने के लिए अपेक्षित स्पिनों की संख्या 38/18=2.11 है। अतः उत्तर प्रत्येक चरण पर अपेक्षित स्पिनों की संख्या का योग है: (38/38)+(38/37)+(38/36)+...+(38/1)=160.66।

(18/38) ¹⁸ =~ 693745 में 1.

मुझे खुशी है कि मैंने सफ़ेद कोट वाले मुख्य व्यक्ति की मदद की। मेरी रूलेट सलाह पृथ्वी पर खेलों तक सीमित है, आपके ग्रह पर रिश्वतखोरी की सलाह दी जाती है।

आपके नंबर के ठीक x बार हिट होने की प्रायिकता combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-x है। निम्न तालिका 0 से 6 तक सभी हिट की संख्या और कुल की प्रायिकता दर्शाती है।

1000 रूलेट दांवों में जीत

संख्या	संभावना
0	0.00000000000262
1	0.00000000007078
2	0.00000000095556
3	0.00000000859146
4	0.00000005787627
5	0.00000031159330
6	0.00000139655555
कुल	0.00000177564555

तो जवाब है 0.00000177564555, या 563175 में 1। मुझे उम्मीद है कि यह किसी इंटरनेट कैसीनो में नहीं हुआ होगा।

आप सोच रहे होंगे कि मैंने ऊपर दिए गए सिक्के उछालने के सवाल में सामान्य सन्निकटन का इस्तेमाल क्यों नहीं किया। ऐसा इसलिए क्योंकि यह बहुत ज़्यादा और बहुत कम संभावनाओं के साथ ठीक से काम नहीं करता।

आपने मेरी रणनीति को काफ़ी अच्छी तरह से समझा। मैंने ज़्यादातर समय न्यूनतम दांव लगाने का इरादा किया था ताकि हाउस एज मुझे परेशान न करे। निर्माता इस उबाऊ रणनीति से खुश नहीं था, इसलिए मैंने सामान्य से ज़्यादा उत्साहित होने का नाटक करने की कोशिश की। मैंने सम राशि के दांव के बजाय एक ही संख्या चुनी क्योंकि मैं अस्थिरता चाहता था। मुझे पता था कि अगर मैं $10,000 के अपने शुरुआती बिंदु के करीब पहुँच गया, तो शायद मैं हार जाऊँगा। इसलिए मैं आगे निकलने के लिए एक बड़ा मौका चाहता था। मैं पूरे समय 23 पर टिका रहा, हालाँकि अंत में मैंने 5 भी जोड़ दिए। मुझे खुशी है कि आपको शो पसंद आया।

नहीं। डीलरों को सिर्फ़ बुनियादी बातें सिखाई जाती हैं, और उन्हें ज़्यादा कुशल नहीं बनाया जाता। दरअसल, अगर डीलर के पास इतना नियंत्रण होता, तो वह आसानी से अपने किसी साथी से गेंद को जहाँ भी गिराने की योजना बनाता, वहाँ दांव लगवा सकता था और आसानी से लाखों कमा सकता था।

किसी एक स्पिन के हारने की संभावना 1-(8/37) = 78.38% है। इसलिए 15 स्पिन हारने की संभावना .7838 ¹⁵ = 2.59% है।

सबसे पहले मैं आपको बता दूँ कि किसी भी खेल का परीक्षण कैसे नहीं करना चाहिए। आपको अपना पूरा खेल रिकॉर्ड नहीं करना चाहिए और जब आप खेल खत्म कर लें, तो किसी भी तरह की गड़बड़ी की जाँच करें, और फिर मुझे शिकायत लिखकर बताएं कि कैसीनो धोखाधड़ी कर रहा है। सही तरीका यह है कि पहले कैसीनो कैसे धोखाधड़ी कर रहा है, इसकी एक परिकल्पना बताएँ, फिर आँकड़े इकट्ठा करें, और अंत में देखें कि क्या आँकड़े आपकी परिकल्पना से मेल खाते हैं। अगर आपको समझ नहीं आ रहा है कि किस तरह की परिकल्पना बतानी है, तो मेरा सुझाव है कि आप बस जीत और हार की संख्या का परीक्षण करें, और फिर हर बार एक ही दांव लगाएँ। अगर आप पहले दो चरणों को ठीक से करते हैं और तीसरे चरण में मदद की ज़रूरत है, तो बेझिझक मुझे लिखें।

आपके उदाहरण में, कैसीनो का होल्ड 75% है। यह खिलाड़ियों द्वारा जीते गए चिप्स के मूल्य और डीलर द्वारा बॉक्स में डाली गई राशि का अनुपात है। हालाँकि ऐतिहासिक औसत मौजूद हैं, लेकिन हाउस एज से होल्ड तक जाने का कोई तरीका नहीं है। होल्ड आंशिक रूप से इस बात पर निर्भर करता है कि खिलाड़ी अपने चिप्स को कितनी देर तक घुमाता रहेगा, और यह जानने का कोई तरीका नहीं है।

तारीफ़ के लिए शुक्रिया। इस तरह के सवालों के लिए एक सूत्र है, जिसे मैं अपनी साइट www.mathproblems.info पर समझाता हूँ, समस्या 116 देखें।

b इकाइयों के बैंकरोल, g इकाइयों के विजयी लक्ष्य, जीतने की प्रायिकता p, और हारने की प्रायिकता q के साथ, आपकी सफलता की प्रायिकता ((q/p) ^b -1)/((q/p) ^b+g -1) है। इस स्थिति में b=20, p=18/37, q=19/37, और g=20, 50, और 100 है। अतः $200 के बैंकरोल के लिए प्रायिकता ((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ⁴⁰ -1) = 0.253252 है।

500 डॉलर के विजयी लक्ष्य के लिए संभावना ((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ⁷⁰ -1) = 0.045293 है।

1,000 डॉलर के विजयी लक्ष्य के लिए संभावना ((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ¹²⁰ -1) = 0.002969 है।

इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता कि पिछली बार क्या स्पिन हुए थे। लगातार तीन बार लाल 23 आने की संभावना (1/38) ³ = 54,872 में 1 में 1 है।

बारह स्पिनों में तीन युग्मों और छह एकलकों की प्रायिकता कॉम्बिन (38,3) × कॉम्बिन (35,6) × कॉम्बिन (12,2) × कॉम्बिन (10,2) × कॉम्बिन (8,2) × तथ्य (6)/38 ¹² = 9.04% है। कुल 20 स्पिनों में से किसी भी 12 स्पिन अवधि में ऐसा होने की प्रायिकता के बारे में पूछने पर गणित थोड़ा उलझ जाता है। इतना कहना ही काफी है कि यह 9% से कहीं ज़्यादा है, मेरे अनुमान से ज़्यादा संभावना है। इसलिए ये मुझे बहुत सामान्य परिणाम लगते हैं।

निर्दिष्ट संख्या पर हाउस एज ठीक 0% होगी।

जीतने की संभावना (18/38) ³ = 10.63% है। हाउस एज 8×0.1063 - 1×0.8937 = 4.34% है, जो बाकी सभी दांवों के 5.26% से कम है (खतरनाक 0,00,1,2,3 संयोजन को छोड़कर, जो 7.89% है)।

अन्य पाठकों की सुविधा के लिए, यूरोप के कई कैसीनो में, अगर आप रूलेट में सम राशि का दांव लगाते हैं और गेंद शून्य पर गिरती है, तो दांव रद्द हो जाता है। अगर अगली बार दांव जीतने का कारण बनता है, तो दांव बिना जीत के वापस कर दिया जाता है। अगर गेंद विपरीत दिशा में गिरती है, तो दांव हार जाता है।

अगर गेंद शून्य पर गिरती है, तो एकल-कैद वाली बाजी का क्या होगा? अगर कैसीनो केवल एकल-कैद की अनुमति देता है, तो वह हार जाएगा। हालाँकि, कुछ कैसीनो दोहरे-कैद की अनुमति देते हैं, और यही होगा। अगर दोहरे-कैद वाली बाजी जीत जाती है, तो वह एकल-कैद वाली बाजी में बदल जाएगी। अगर कैसीनो केवल दोहरे-कैद तक की अनुमति देता है, तो दोहरे-कैद वाली बाजी एक और शून्य पर हार जाएगी। इसी तर्क से, अगर कैसीनो तिहरे-कैद की अनुमति देता है, तो दोहरे-कैद वाली बाजी एक और शून्य पर तिहरे-कैद वाली बाजी बन जाएगी।

ट्रिपल प्रिज़नेशन के तहत हाउस एज 1.370120% है। इससे पहले कि मैं बताऊँ कि मैं इस नतीजे पर कैसे पहुँचा, आइए पहले सिंगल और डबल प्रिज़नेशन पर गौर करें। मान लीजिए पहला दांव लाल पर है।

मान लीजिए Z = शून्य की संभावना = 1/37.
मान लीजिए R = लाल संख्या की प्रायिकता = 18/37.

एकल कारावास

पीआर(पुश) = ZR = 0.0131482834.
पीआर(जीत) = आर = 0.4864864865.
पीआर(नुकसान) = 1-पीआर(पुश)-पीआर(जीत) = 0.5003652301।
अपेक्षित मूल्य = pr(जीत)-pr(हानि) = -0.0138787436.

दोहरा कारावास

अगर पहला स्पिन शून्य आता है, तो खिलाड़ी पुश करेगा, फिर खिलाड़ी ZR को 0 से लेकर अनंत बार दोहरा सकता है, और फिर लाल कार्ड प्राप्त कर सकता है। दूसरे शब्दों में, पुश करने के ये तरीके हैं:

ZR, Z(ZR)R, Z(ZR)(ZR)R, Z(ZR)(ZR)(ZR)R, ...

पीआर(पुश) = 0.013323464
पीआर(जीत) = 18/37 = 0.4864864865.
पीआर(नुकसान) = 1-पीआर(पुश)-पीआर(जीत) = 0.5001900494।
अपेक्षित मूल्य = pr(जीत)-pr(हानि) = -0.0137035629.

तिहरा कारावास

सबसे पहले, आइए प्रायिकता p ₁ ज्ञात करें कि एक एकल कैद वाली शर्त दो और शून्यों के साथ तिगुनी कैद हो जाती है, और फिर अंततः वापस एकल कैद हो जाती है। यह इस प्रकार हो सकता है:

ZZRR, ZZ(RZ)RR, ZZ(RZ)(RZ)RR, ZZ(RZ)(RZ)(RZ)RR, ...

दूसरे शब्दों में, शर्त तिगुनी और दोहरी कैद के बीच अनंत बार तक उछल सकती है।

दूसरा, मान लें कि p ₂ = संभावना है कि एक एकल कैद शर्त कारावास के पहले या दूसरे स्तर तक पहुंचती है और फिर एकल कारावास में वापस आती है।

मान लीजिए p ₂ = ZR + p ₁ = 0.013323464.

खिलाड़ी शून्य से लेकर अनंत बार तक पहले स्तर पर वापस आ सकता है। इसलिए, पुश की संभावना है:

जेडआर + जेड पी ₂ आर + जेड पी ₂ पी ₂ आर + जेड पी ₂ पी ₂ पी ₂ आर + ... =

Z × (1/(1- p ₂ )) × R = 0.013325830.

पीआर(पुश) = 0.013325830.
पीआर(जीत) = 18/37 = 0.4864864865.
पीआर(नुकसान) = 1-पीआर(पुश)-पीआर(जीत) = 0.5001876839।
अपेक्षित मूल्य = pr(जीत)-pr(हानि) = -0.0137011974.

अनंत कारावास

ऐसा नहीं है कि आपने पूछा, माफ़, लेकिन मैंने सुना है कि स्पेन में अनंत कारावास की अनुमति है। मान लीजिए p = धक्का लगने की संभावना। यह कारावास के स्तर x से शुरू होने, स्तरों में और नीचे गिरने, लेकिन अंततः x तक वापस चढ़ने की भी संभावना है।

पी = ZR + ZpR + ZppR + ZpppR + ...

पी ² - पी + जेडआर = 0

द्विघात सूत्र द्वारा p = (1-(1-4*RZ) ^1/2 )/2 = 0.0133258620.

पीआर(पुश) = 0.0133258620.
पीआर(जीत) = 18/37 = 0.4864864865.
पीआर(नुकसान) = 1-पीआर(पुश)-पीआर(जीत) = 0.5001876515।
अपेक्षित मूल्य = pr(जीत)-pr(हानि) = -0.0137011650.

शून्यों ने कारावास की अनदेखी की

अंत में, कुछ कैसिनो में पहले शून्य के बाद शून्य को अनदेखा कर दिया जाता है, जिससे दांव बंध जाता है। वहाँ पुश की संभावना बस (1/37)×(1/2) = 0.0135135135 है।

निम्नलिखित तालिका में सभी चार प्रकार के नियमों का सारांश दिया गया है।

कारावास की संभावना

कैद होना	जीतना	धकेलना	नुकसान	अपेक्षित कीमत
अकेला	0.48648649	0.01314828	0.50036523	-0.01387874
दोहरा	0.48648649	0.01332346	0.50019005	-0.01370356
ट्रिपल	0.48648649	0.01332583	0.50018768	-0.01370120
अनंत	0.48648649	0.01332586	0.50018765	-0.01370117
शून्यों की अनदेखी	0.48648649	0.01351351	0.50000000	-0.01351351

मैं चेस्टरडॉग और वीज़लमैन को उनकी गणितीय मदद के लिए धन्यवाद देना चाहता हूँ। मैं ऊपर दिए गए योग सूत्र के HTML के लिए प्रोफ़ेसर जी. आर्टिको और polarprof.it को भी धन्यवाद देना चाहता हूँ।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

विचार यह है कि पहिया संतुलित होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, यदि आप पहिये पर क्रमागत संख्याओं के एक भाग का औसत निकालें, तो वे औसत संख्या 18.5 के करीब होंगे। मैंने दोहरे शून्य वाले पहिये पर संख्याओं के वितरण को समझाने का एक तरीका सोचा, जो इस प्रकार है।

• 00 को 12:00 बजे की स्थिति पर तथा 0 को 6:00 बजे की स्थिति पर रखें।
• पहिये के शीर्ष पर संख्याएं 13, 1, 00, 27, 10*, 25 हैं। इसे बस याद रखना होगा।
• सभी कम विषम संख्याएं (1 से 17 तक) बाईं ओर हैं और उच्च विषम संख्याएं (19 से 35 तक) दाईं ओर हैं।
• 1 और 13 से शुरू करते हुए, अगला विषम अंक प्राप्त करने के लिए चार स्थान वामावर्त आगे बढ़ें, लेकिन शून्य से आगे न बढ़ें।
• नियम 4 के अपवाद के रूप में, 19 को 17 से वामावर्त दिशा में न रखें, क्योंकि 19 एक उच्च विषम संख्या है और दाईं ओर स्थित है। इसके बजाय, 11 रखें, जो एकमात्र निम्न विषम संख्या है जो नियम 4 में शामिल नहीं है।
• सभी सम संख्याएं पहिये के ठीक सामने, पिछली विषम संख्या से 180 डिग्री पर होती हैं।

मैं एकल-शून्य पहिये पर क्रम समझाने में असमर्थ हूँ। फ़िलहाल, मैं इतना कह सकता हूँ कि अगर आप शून्य को 12:00 की स्थिति में रखें, तो:

• बायीं ओर सभी लाल निम्न संख्याएं और काली उच्च संख्याएं होंगी।
• दाहिनी ओर सभी लाल उच्च संख्याएं और काली निम्न संख्याएं होंगी।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

आप उम्मीद करेंगे कि 1 से 12 तक गेंद कितनी बार गिरेगी, 3000*(12/38) = 947.37 होगी।

आपके परिणामों और अपेक्षाओं के बीच का अंतर 947.37 - 742 = 205.37 है।

विचरण 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20 है।

मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है = sqrt(648.20) = 25.46.

आपके परिणाम 205.37/25.46 = 11.75 मानक विचलन हैं जो अपेक्षाओं से कम हैं।

p मान, या 11.75 मानक विचलन या उससे अधिक से दूर होने की संभावना 28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000 में 1 है।

मुझे यह जानने में दिलचस्पी होगी कि पहिया कहां है।

यह समझना आसान है कि इस प्रणाली का उद्देश्य ज़्यादातर संख्याओं को कवर करना है, इसलिए यह रूलेट खेलने का एक कम जोखिम वाला तरीका है। हर स्पिन पर क्या दांव लगाना है, यहाँ बताया गया है:

• 3, 16, 24, 28, और 33 पर 5 डॉलर प्रति व्यक्ति।
• संख्याओं के इन सेटों में से प्रत्येक पर एक कॉर्नर बेट लगाएं: 2/3/5/6, 7/8/10/11, 14/15/17/18, 19/20/22/23, 26/27/29/30, 31/32/34/35.

ध्यान दें कि इसमें निम्नलिखित नौ संख्याएँ शामिल नहीं हैं: 0, 00, 4, 9, 12, 13, 21, 25, और 36।

निम्नलिखित रिटर्न तालिका सभी संभावित परिणामों की वापसी में संभावना और योगदान को दर्शाती है।

निचले दाएँ सेल में प्रति स्पिन $9.21 का अपेक्षित नुकसान दर्शाया गया है। प्रति स्पिन कुल दांव राशि $175 है। इसके परिणामस्वरूप $9.21/$175 = 5.26% का हाउस एज बनता है, जो डबल-ज़ीरो रूलेट में हाउस एज होता है।

मैं यह भी जोड़ना चाहूँगा कि इस रणनीति या किसी भी रूलेट रणनीति के साथ, आप शायद मुकाबलों में जितना कमाएँगे, उससे ज़्यादा खो देंगे। सामान्य नियम यह है कि कैसीनो आपको मुकाबलों में आपके अपेक्षित नुकसान का लगभग 1/3 हिस्सा वापस देंगे। कैसीनो को यह झाँकने के कई तरीके हैं कि आपका अपेक्षित नुकसान वास्तविकता से ज़्यादा है, लेकिन इस रणनीति को अपनाना उनमें से एक नहीं है।

मैं इस बात से सहमत हूँ कि तीसरे कॉलम के दांव का सशर्त लाभ 33.3% है, यह मानते हुए कि गेंद लाल रंग में गिरती है, और दोनों शून्यों को अनदेखा कर दिया जाता है। हालाँकि, इसी तर्क से, यदि गेंद काले रंग में गिरती है, तो तीसरे कॉलम के दांव के जीतने की संभावना 4/18 = 2/9 है। जीतने की 2/9 संभावना वाली एक शर्त जो 2 से 1 का भुगतान करती है, उसमें 33.33% का हाउस एडवांटेज होगा। तो, इसे अपने तरीके से देखें, तो तीसरे कॉलम के दांव में आधे समय खिलाड़ी का लाभ 33.33% और आधे समय 33.33% का हाउस एज होगा। एक दूसरे को रद्द करने पर, उस दांव में 0% हाउस एज होता है। अंत में, दो शून्यों को मिला दें और कुल खिलाड़ी का लाभ (2/38) * -100% + (36/38) * 0% = -5.26% है।

इसे दूसरे तरीके से देखें, तो निम्न तालिका सभी संभावित परिणामों के घटित होने के तरीकों की संख्या, संभावना, जीती गई इकाइयाँ और रिटर्न में योगदान दर्शाती है। निचले दाएँ कक्ष में -0.105263 इकाइयों का अपेक्षित नुकसान दर्शाया गया है। दांव पर लगाई गई दो इकाइयों से भाग देने पर, यह 5.26% का हाउस एज होता है।

यहां मेरा समाधान (पीडीएफ) है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

हाँ, ऐसा पहिया टीसीएस जॉन हक्सले द्वारा बेचा जाता है। मुझे अभी तक किसी प्लेसमेंट की जानकारी नहीं है।

मानक रूलेट में हाउस एज का सूत्र z/(36+z) है, जहाँ z = शून्यों की संख्या। इस स्थिति में, हाउस एज 4/(36+4) = 4/40 = 1/10 = 10% है।