जादूगर से पूछो #311

यदि आप एक कैन में 355 मिलीलीटर रखना चाहते हैं, तो सतह क्षेत्र को न्यूनतम करने के लिए आयाम क्या होने चाहिए?

गुमनाम

अच्छा सवाल! मैं बस यही सोच रहा था जब मैंने एक गेमिंग शो में कुछ पतले सोडा कैन देखे, जिनमें मानक आकार के अनुसार 355 मिलीलीटर की मात्रा थी। दोनों ही बातें सही नहीं हो सकतीं (और मुझे शर्ली मत कहिएगा)। [स्पॉइलर] आइए:
r = कैन की त्रिज्या
h = कैन की ऊँचाई
v = कैन का आयतन
s= कैन का सतही क्षेत्रफल

हम सरल ज्यामिति से जानते हैं कि सतह क्षेत्र = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h.

इसी प्रकार, हम यह भी जानते हैं कि आयतन pi*r^2*h है, जो हमें 355 के बराबर दिया गया है।

तो, 355=pi*r^2*h.

आइये इसे पुनः व्यवस्थित करें:

(1) h = 355/(pi*r^2)

हम जानते हैं:

(2) एस = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h.

आइए समीकरण (1) में h के लिए हमारे व्यंजक को (2) में प्रतिस्थापित करके इसे केवल एक चर के फ़ंक्शन पर ले जाएं:

s = 2*pi*r^2 + + 2*pi*r*(355/(pi*r^2))) = 2*pi*r^2 + 710/r.

आइए, s का व्युत्पन्न लें और इसे शून्य के बराबर रखें, ताकि इष्टतम r का हल निकाला जा सके।

डीएस/डीआर = 4*पीआई*आर - 710/(आर^2 ) = 0

4*π*r = 710/(r^2)

दोनों पक्षों को r^2 से गुणा करने पर:

4*π*r^3 = 710

आर^3 = 177.5/π.

आर = (177.5/पीआई)^(1/3) = 3.837215248।

उस मान को समीकरण (1) में डालें और h = 7.674430496 प्राप्त करें।[/spoiler]

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

अभी-अभी VFW में पोकर नाइट से लौटा हूँ। लगातार तीन बार 6-6 होल में मिला! ऐसा पहले कभी नहीं हुआ था। एक ही शाम में लगातार तीन बार एक ही रैंक का पॉकेट पेयर मिलने की संभावना क्या है? आप मान सकते हैं कि एक शाम में कुल 120 राउंड होते हैं।

AZDuffman

उत्तर और समाधान निम्नलिखित स्पॉयलर टैग में दिखाई देते हैं।

[बिगाड़ने वाला]

किसी भी समय आप चार संभावित स्थितियों में हो सकते हैं:

स्थिति 1: पहला हाथ या कोई भी हाथ जहां अंतिम हाथ पॉकेट जोड़ी नहीं था।
स्थिति 2: अंतिम हाथ पॉकेट पेयर था।
स्थिति 3: अंतिम दो हाथ एक ही पॉकेट जोड़ी थे।
स्थिति 4: एक पंक्ति में तीन समान पॉकेट जोड़े पहले ही प्राप्त किए जा चुके हैं।

यदि आप अवस्था 1 में हैं, तो आप 3/51 की संभावना के साथ अवस्था 2 में पहुँच सकते हैं। अन्यथा, आप अवस्था 1 में ही रहेंगे।

यदि आप अवस्था 2 में हैं, तो आप (4/52)×(3/51) की प्रायिकता के साथ अवस्था 3 में आगे बढ़ सकते हैं। अन्यथा, आप अवस्था 1 में वापस चले जाएँगे।

यदि आप अवस्था 3 में हैं, तो आप (4/52)×(3/51) की प्रायिकता के साथ अवस्था 4 में आगे बढ़ सकते हैं। अन्यथा, आप अवस्था 1 में वापस चले जाएँगे।

यदि आप राज्य 4 में हैं, तो आप वहीं रहें।

जैसा कि कहा गया है, आप अपना संक्रमण मैट्रिक्स, T, इस प्रकार बना सकते हैं:

0.941176	0.058824	0.000000	0.000000
0.941176	0.054299	0.004525	0.000000
0.941176	0.054299	0.000000	0.004525
0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

कुल 120 हाथ खेले गए हैं, इसलिए T^120 ज्ञात कीजिए।

0.941044	0.058549	0.000265	0.000141
0.941025	0.058548	0.000265	0.000162
0.936786	0.058284	0.000264	0.004666
0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

ऊपरी दाहिना कोष्ठ हमें यह संभावना दिखाता है कि स्थिति 1 से शुरू करने पर हम तीन-हाथ अनुक्रम में 120 प्रारंभिक हाथों के बाद स्थिति 4 में पहुंच जाएंगे, जो कि 0.000141471 है।

उस संख्या का व्युत्क्रम लें, तो संभावना 7068.605131 में 1 है।

[/spoiler]

वीडियो पोकर पुल-टैब मशीन की अपनी व्याख्या में, आप उदाहरण देते हैं: "भले ही खेल पाँच पत्तों वाले ड्रॉ वीडियो पोकर जैसा दिखता हो, फिर भी आपका परिणाम पूर्वनिर्धारित होता है। उदाहरण के लिए, अगर आपको डील में रॉयल फ्लश मिलता है और आप उसे फेंक देते हैं, तो आपको ड्रॉ में एक और रॉयल फ्लश मिलेगा।" मेरा प्रश्न यह है कि क्या होगा यदि आप ऐसे पत्ते फेंक दें जो पूर्वनिर्धारित परिणाम को असंभव बना दें (जैसे ड्यूसेस वाइल्ड में पूर्वनिर्धारित 4-ड्यूसेस के लिए ड्यूस या डबल बोनस गेम में 4 इक्कों के लिए इक्का?) शायद इस प्रकार के खेल उपलब्ध नहीं हैं, लेकिन केवल वे, जैसे जैक्स या बेटर, जहाँ ऐसी कोई स्थिति संभव नहीं है?

गुमनाम

मैंने सुना है कि एक परी आती है और ड्रॉ पर आपके हाथ को बदलकर वह कार्ड बदल देती है जो पहले से तय था। उदाहरण के लिए, अगर आपको डील में दो ड्यूस मिलना तय था और ड्रॉ के बाद चार ड्यूस हो जाते हैं, तो अगर आप ड्यूस फेंक देते हैं, तो आपको ड्रॉ पर स्वाभाविक रूप से बाकी दो कार्ड मिल जाएँगे, और फिर परी दो जंक कार्ड बदलकर उन दो ड्यूस से बदल देगी जिन्हें आपने फेंक दिया था।

मुझे लगता है कि मेरे जानने वाले ज़्यादातर जुआ विशेषज्ञ किसी खेल की अस्थिरता को मानक विचलन के बजाय विचरण के रूप में जानना पसंद करते हैं। बेशक, पहला विचलन दूसरे विचलन का वर्ग मात्र है। हालाँकि, मैं मानक विचलन को प्राथमिकता देता हूँ क्योंकि यह दांव और जीत/हार के समान इकाइयों में होता है। शायद वे बड़ी अस्थिरता को उजागर करने के लिए एक बड़ी संख्या पसंद करते हैं? आपका क्या विचार है - क्या जुआरी "विचरण" का उपयोग करना पसंद करते हैं और यदि हाँ, तो क्यों?

Gary J. Koehler

मैं मानता हूँ कि आप किसी खेल के मानक विचलन से ज़्यादा उसके विचरण के बारे में सुनते हैं, जो मुझे हमेशा थोड़ा परेशान करता है। मुझे लगता है कि जुआरियों को खेल की अस्थिरता की परवाह इसलिए करनी चाहिए क्योंकि वे जीत या हार को खेल के एक सत्र की संभावना से जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, ब्लैकजैक के 200 हाथों के बाद 1% की बुरी हार क्या होगी? इसका उत्तर देने के लिए, आप ब्लैकजैक के मानक विचलन का उपयोग करेंगे, जो नियमों के आधार पर लगभग 1.15 होता है।

इस प्रश्न का विशिष्ट उत्तर है 1.15 × 200^0.5 × -2.32635 (जो गॉसियन वक्र पर 1% बिंदु है) = अपेक्षा से -37.83 इकाई कम। यह न भूलें कि हाउस एज के कारण आप कुछ नुकसान की उम्मीद कर सकते हैं। अगर हम हाउस एज 0.3% मानते हैं, तो 200 हाथों के बाद आप 0.003*200 = 0.6 हाथ खोने की उम्मीद कर सकते हैं। इसलिए 1% खराब नुकसान 0.6 + 37.83 = 38.43 हाथ होगा।

मिल्वौकी के इस कैसीनो में, जिसकी शुरुआत एक बिंगो हॉल के रूप में हुई थी, इस हफ़्ते एक ही गेम में रिकॉर्ड 290 बिंगो हुए। पैटर्न अक्षर I का था, या तो ऊपर और नीचे (ऊपर और नीचे तीन-तीन और सभी N) या फिर बग़ल में (बीच में तीन-तीन B और O)। पहली G बॉल के लिए 43 कॉल लगे, जिसके परिणामस्वरूप बड़े पैमाने पर विजेता हुए। प्रत्येक व्यक्ति को $25 मिले।

इसके बारे में एक लेख यहाँ है: बिंगो! पोटावाटोमी में एकल गेम में विजेताओं की संख्या का रिकॉर्ड स्थापित।

मेरा प्रश्न यह है कि किसी विशेष अक्षर के किसी भी नंबर को कॉल किए बिना 43 कॉल करने की संभावना क्या है?

PlayYourCardsRight

मैं भी ऐसी ही परिस्थितियों में रहा हूँ, जहाँ अधिकतर लोग किसी विशेष पत्र का इंतजार कर रहे थे, लेकिन मैंने एक साथ अधिकतम 25 विजेताओं को देखा है।

मैं दिखाता हूँ कि 44 कॉल करने और किसी एक अक्षर (सिर्फ़ G नहीं) से बचने की प्रायिकता 1,517,276 में 1 है। इस प्रायिकता का सूत्र इस प्रकार है: 5*combin(60,44)/combin(75,44) - combin(5,2)*combin(45,44)/combin(75,44)

मैं खेल सट्टेबाजी में बाधाओं को अमेरिकी और यूरोपीय तरीकों के बीच कैसे परिवर्तित कर सकता हूं?

Teddys

आइए हम संभावनाओं को अमेरिकी तरीके से और संभावनाओं को यूरोपीय तरीके से व्यक्त करें।

अमेरिकी से यूरोपीय बनने के लिए:

यदि a>0, तो e=1+(a/100).
यदि a<0, तो e=(a-100)/a.

यूरोपीय से अमेरिकी बनने के लिए:

यदि e>=2, तो a=100×(e-1).
यदि e<2, तो a=100/(1-e).