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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

संभावना - अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

मुझे याद है कि मैंने पढ़ा था कि अगर एक कमरे में बीस लोग हों, तो उनमें से दो का जन्मदिन एक ही होने की संभावना 50/50 से भी कम होती है। क्या यह सच है?

Ginny से Seattle, Washington

20 अलग-अलग लोगों के अलग-अलग जन्मदिन होने की संभावना (लीप डे को छोड़कर) (364/365)*(363/365)*(362/365)*...*(346/365) = 58.8562% है। इसलिए कम से कम एक जन्मदिन के मेल की संभावना 41.1438% है। इसके अलावा, किसी भी जन्मदिन के मेल की संभावना 50% से ज़्यादा होने के लिए 23 लोगों की न्यूनतम संख्या ज़रूरी है।
अगर आपके पास 30 लोग हैं, जिनका जन्म एक ही 365-दिन वाले कैलेंडर वर्ष में हुआ है, तो क्या संभावना है कि उनमें से किन्हीं दो का जन्मदिन एक ही दिन हो? कृपया अपने उत्तर में सूत्र स्पष्ट करें।

Scott से Madison, Indiana

30 लोगों को एक पंक्ति में खड़े मान लीजिए। दूसरे व्यक्ति के पहले व्यक्ति से मेल न खाने की संभावना 364/365 है। फिर, यह मानते हुए कि वे मेल नहीं खाते, अगले व्यक्ति के पहले दो लोगों में से किसी से भी मेल न खाने की संभावना 363/365 है। फिर एक-एक करके आगे बढ़ते रहें। कुल मिलाकर, दो लोगों के मेल न खाने की संभावना (364/365)*(363/365)*...*(346/365) = 29.3684% है। अक्सर पूछा जाता है कि किसी व्यक्ति के मेल खाने की संभावना कम से कम 50% होने के लिए आपको कम से कम कितने लोगों की आवश्यकता होगी। इसका उत्तर है कि 23 लोगों के साथ, कम से कम एक व्यक्ति के मेल खाने की संभावना 50.7297% है।
एक परीक्षा में 75 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न के 4 संभावित उत्तर हैं, जिनमें से केवल 1 सही है। परीक्षा में उत्तीर्णता अंक 50% है। प्रत्येक उत्तर का अनुमान लगाकर परीक्षा में उत्तीर्ण होने की क्या संभावना है?

Wendy से London

635,241 में 1.
सामाजिक सुरक्षा वेबसाइट पर विभिन्न आयु वर्ग के लोगों की जीवन प्रत्याशा की गणना और सारांश डेटा के साथ किया गया है। हालाँकि, मैं दो लोगों की जीवन प्रत्याशा जानना चाहता हूँ। मान लीजिए मेरे दो लोग हैं: एक तीस वर्षीय पुरुष (मैं) और एक अट्ठाईस वर्षीय महिला (मेरी प्रेमिका)। चार्ट के अनुसार, मैं और 46.89 वर्ष जीवित रहूँगा और वह 53.22 वर्ष। लेकिन, हम दोनों के मरने में कितना समय लगेगा? मैं इसकी गणना कैसे करूँ?

zachisbest

सबसे पहले, आपके द्वारा लिंक की गई अवधि जीवन तालिका के बजाय, कोहोर्ट जीवन तालिकाओं का उपयोग करना उचित होगा। मैंने ऑनलाइन कोहोर्ट जीवन तालिकाएँ खोजने की कोशिश की, लेकिन असफल रहा। हालाँकि, हम अभी भी दी गई तालिका का उपयोग कर सकते हैं। यह आपके जीवन काल को थोड़ा कम करके आँक सकता है, क्योंकि यह भविष्य में जीवन प्रत्याशा में होने वाली वृद्धि को ध्यान में नहीं रखता है।

आपके प्रश्न का उत्तर देने में आपकी और 28 वर्षीय महिला की मृत्यु के प्रत्येक वर्ष के संयोजन की प्रायिकता का एक बड़ा मैट्रिक्स बनाना शामिल था। अगर मैं विस्तार से नहीं बता पाया तो माफ़ करना। मुख्य बात यह है कि मैं यह दर्शाता हूँ कि आप में से पहले व्यक्ति की मृत्यु 41.8 वर्षों में होगी, और बाद वाले की मृत्यु 57.3 वर्षों में होगी। दोनों आँकड़ों को नीचे की ओर पूर्णांकित किया गया है; दूसरे शब्दों में, आपको आंशिक वर्षों का श्रेय नहीं मिलेगा।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

i^i क्या है?

गुमनाम

मैं आपको स्वयं इसका समाधान करने का अवसर दिए बिना इसका उत्तर बताना नहीं चाहता।

सबसे पहले, यहाँ एक संकेत दिया गया है जो आपकी मदद कर सकता है। अगर आपको यह समीकरण पहले से नहीं पता है, तो आप इसे हल नहीं कर पाएँगे।

वरना, मैं मानता हूँ कि मैं बुरा हूँ। बस मुझे इसका हल बता दो।

संकेत में समीकरण के बारे में चर्चा के लिए, कृपया विज़ार्ड ऑफ़ वेगास पर मेरे मंच पर जाएँ।
मैंने सुना है कि यूनाइटेड किंगडम में एक महिला ने अपने पहले और दूसरे बच्चे को प्रिंस जॉर्ज और प्रिंसेस केट के जन्म की तारीखों पर ही जन्म दिया था। इसकी संभावना कितनी है?

गुमनाम

इसका उत्तर देने के लिए मुझे कुछ मोटे अनुमान लगाने होंगे।

याद दिला दें कि प्रिंस जॉर्ज का जन्म 22 जुलाई, 2013 को और प्रिंसेस चार्लोट का जन्म 2 मई, 2015 को हुआ था। यानी 649 दिनों का अंतर। अगर हम नौ महीने की गर्भावस्था को ध्यान में रखें, तो जॉर्ज के जन्म और चार्लोट के गर्भधारण के बीच 379 दिन का अंतर होता है।

व्यक्तिगत अवलोकन के आधार पर, मान लीजिए कि भाई-बहनों के बीच औसत समय तीन वर्ष है। इसका मतलब है कि अगले बच्चे के जन्म और गर्भधारण के बीच 825 दिन का अंतर होगा। घातांकीय वितरण का उपयोग करते हुए, मुझे ठीक 379 दिनों के अंतर की प्रायिकता 0.0442% मिलती है।

इसके बाद, मान लीजिए कि 20 से 39 वर्ष की आयु की कोई भी महिला संभावित उम्मीदवार है। विकिपीडिया के अनुसार, इस आयु वर्ग में यूनाइटेड किंगडम की जनसंख्या 16,924,000 है। आइए इसे दो से भाग दें ताकि यूके में प्रजनन आयु की 8,462,000 महिलाओं के लिए पुरुषों को हटा दिया जाए।

यूनाइटेड किंगडम में प्रजनन दर, जो प्रजनन आयु की प्रत्येक महिला द्वारा जन्म लेने वाले बच्चों की औसत संख्या है, 1.92 है। पॉइसन वितरण का उपयोग करते हुए, मुझे पता चला कि दो या अधिक बच्चों की संभावना 69.83% है। इसलिए, यूके में प्रजनन आयु की उन महिलाओं की संख्या जिनके दो या अधिक बच्चे होंगे, 8,462,000 × 69.83% = 5,909,015 है।

चूंकि महिलाएं आमतौर पर 40 की बजाय 20 वर्ष की आयु में बच्चे पैदा करती हैं, इसलिए मोटे तौर पर हम यह कह सकते हैं कि पहले बच्चे के जन्म के समय मां की आयु 20 से 37 वर्ष के बीच समान रूप से वितरित होगी। इसलिए, प्रिंस जॉर्ज के जन्मदिन पर ब्रिटेन में अपने पहले बच्चे को जन्म देने वाली महिलाओं की संख्या 5,909,015/(17×365) = 952.32 है।

हम पहले ही यह स्थापित कर चुके हैं कि पहले और दूसरे बच्चे के बीच 379 दिनों के सटीक आयु अंतर की संभावना 0.0442% है। इस प्रकार, उन महिलाओं की अपेक्षित संख्या, जिनका दूसरा बच्चा ठीक उसी दिन हुआ जिस दिन राजकुमारी शार्लोट का जन्म हुआ था, और जिनका पहला बच्चा ठीक उसी दिन हुआ था जिस दिन राजकुमार जॉर्ज का जन्म हुआ था, 952.32 × 0.000442 = 0.421 है।

चरघातांकी वितरण का उपयोग करते हुए, 0.421 का माध्य दिए जाने पर, कम से कम एक महिला के अपने पहले और दूसरे बच्चे को प्रिंस जॉर्ज और प्रिंसेस चार्लोट के जन्म के ठीक उसी दिन जन्म देने की संभावना 34.36% है।

वैसे, मुझे लगता है कि संयुक्त राज्य अमेरिका में भी ऐसी ही संभावना 86.32% है।
योग को 1 के बराबर करने के लिए 0 से 1 तक एक समान वितरण से आपको ड्रॉ की औसत संख्या कितनी चाहिए होगी?

गुमनाम

उत्तर:

[स्पॉइलर] उत्तर है e = 2.7182818....[/स्पॉइलर]

समाधान:

यहाँ समाधान है.


योग 1 से अधिक होने के लिए 0 और 1 के बीच समान वितरण से निकाली गई यादृच्छिक संख्याओं की अपेक्षित संख्या क्या है?

गुमनाम

उत्तर:
e=2.718281828...
समाधान:
यहाँ समाधान है।

दो खिलाड़ियों, सैम और डैन, के पास पाँच-पाँच सिक्के हैं। दोनों को अपने हाथ में एक से पाँच सिक्के रखने का चुनाव करना होगा। साथ ही, प्रत्येक को खेले गए सिक्कों की संख्या भी बतानी होगी। अगर दोनों समान संख्या में सिक्के चुनते हैं, तो सैम जीत जाएगा और खेले गए सभी सिक्के ले लेगा। अगर दोनों अलग-अलग संख्या में सिक्के चुनते हैं, तो डैन खेले गए सभी सिक्के ले लेगा। यह मानते हुए कि दोनों खिलाड़ी पूर्ण तर्कशास्त्री हैं, डैन के लिए सर्वोत्तम रणनीति क्या है?

ThatDonGuy

डैन को अपनी रणनीति इस प्रकार बनानी चाहिए:

  • एक सिक्का चुनने की संभावना = 77/548.
  • एक सिक्का चुनने की संभावना = 107/548.
  • एक सिक्का चुनने की संभावना = 117/548.
  • एक सिक्का चुनने की संभावना = 122/548.
  • एक सिक्का चुनने की संभावना = 125/548.

इस रणनीति के साथ, डैन हर बार 3.640510949 सिक्के जीतने की उम्मीद कर सकता है, चाहे सैम कितने भी सिक्के उठाए।

इसका समाधान मेरी गणित समस्या साइट, समस्या 230 पर पाया जा सकता है।

इससे संबंधित एक प्रश्न, जिसके कारण यह प्रश्न उठा, विज़ार्ड ऑफ़ वेगास पर मेरे फोरम में पाया जा सकता है।