पोकर - अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

इस स्थिति में फुल हाउस पाने के दो तरीके हैं: (1) एक तरह का तीन कार्ड बनाएँ या (2) जोड़ी में एक और कार्ड बनाएँ और एक और जोड़ी बनाएँ। मैं मान रहा हूँ कि आप तीन सिंगलटन कार्ड हटा देंगे।

सबसे पहले, (1) के अंतर्गत संयोजनों की संख्या ज्ञात करते हैं। 3 रैंक हैं जिनमें केवल 3 सूट बचे हैं (याद रखें कि आपने 3 सिंगलटन हटा दिए हैं) और 9 रैंक हैं जिनमें 4 सूट बचे हैं। इस प्रकार संयोजनों की संख्या 3*combin(3,3)+9*combin(4,3) = 3*1 + 9*4 = 39 है।

अब, आइए (2) के अंतर्गत संयोजनों की संख्या ज्ञात करें। मौजूदा जोड़ी में जोड़ने के लिए 2 सूट बचे हैं। 3 कार्ड शेष रहने पर 3 रैंक से जोड़ी बनाने के लिए (3,2) संयोजन तरीके हैं और 4 कार्ड शेष रहने पर रैंक से जोड़ी बनाने के लिए (4,2) संयोजन तरीके हैं। तो 2 के अंतर्गत कुल संयोजन 2*(3*combin(3,2)+9*combin(4,2)) = 2*(3*3 + 9*6) = 126 हैं। फुल हाउस बनाने के तरीकों की कुल संख्या (1) और (2) के अंतर्गत योग है, या 39+126=165 है। दूसरे ड्रॉ में 3 कार्डों को व्यवस्थित करने के लिए (47,3)=16,215 संयोजन तरीके हैं। फुल हाउस निकालने की संभावना, फुल हाउस निकालने के तरीकों की संख्या को कुल संयोजनों से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, या 165/16,215 = 0.0101758, या लगभग 98 में से 1 होती है।

कॉम्बिन() फ़ंक्शन के बारे में अधिक जानकारी के लिए कृपया पोकर पृष्ठ में संभावनाओं पर मेरा अनुभाग देखें।

नहीं, किसी भी दिए गए हाथ के मिलने की संभावना एक समान होती है, चाहे टेबल पर कितने भी खिलाड़ी हों। एक अनदेखा कार्ड तो अनदेखा ही रहता है, इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता कि वह किसी और खिलाड़ी के पास है या डेक में अभी भी है।

मैं यह मानकर एक अनुमानित उत्तर देने जा रहा हूँ कि प्रत्येक खिलाड़ी को अलग-अलग डेक से एक हाथ दिया गया था। इससे ऑड्स में ज़्यादा बदलाव नहीं आना चाहिए। पोकर में प्रायिकताओं पर मेरे अनुभाग में दिए गए अनुसार, किसी एक खिलाड़ी द्वारा स्ट्रेट फ्लश निकालने की प्रायिकता 36/2,598,960 है। आइए इस प्रायिकता को p कहते हैं। दो खिलाड़ियों द्वारा स्ट्रेट फ्लश निकालने की प्रायिकता (6,2)*p ² *(1-p) ⁴ = .0000000028779 का संयोजन है। दूसरे शब्दों में, ऐसा होने के विरुद्ध ऑड्स 347,477,740 से 1 हैं।

सबसे पहले, मैं यह बता दूँ कि मैं पोकर का विशेषज्ञ नहीं हूँ। यह कोई रहस्य नहीं है कि टेक्सास होल्ड 'एम सबसे लोकप्रिय खेल है। इस खेल में पाँच सामुदायिक कार्ड और प्रत्येक खिलाड़ी के पास केवल दो डाउन कार्ड होते हैं, इसलिए जो व्यक्ति संभावनाओं की गणना करने में कुशल है, उसके पास आगे बढ़ने के लिए ज़्यादा विकल्प होते हैं। हालाँकि, गणित का सबसे अच्छा प्रतिभाशाली व्यक्ति भी एक बुरा पोकर खिलाड़ी बन सकता है यदि वह दूसरे खिलाड़ियों को नहीं समझ पाता या दूसरे खिलाड़ी उसे आसानी से समझ लेते हैं (मुझे लगता है कि मेरे मामले में ये दोनों बातें सही हैं)।

किसी भी रॉयल फ्लश की प्रायिकता संभावित रॉयल्स की संख्या होती है, जो चार (प्रत्येक सूट के लिए एक) होती है, जिसे 52 में से 5 कार्ड चुनने के तरीकों की संख्या से विभाजित किया जाता है, जो कि (52,5) = 2,598,960 है। तो, उत्तर 4/2,598,960 = 0.00000153908, या 649,740 में 1 है।

अनुक्रमिक रॉयल फ्लश की प्रायिकता बराबर है (सूट की संख्या) * (दिशाओं की संख्या) / (52 में से 5 पत्तों के कुल क्रमपरिवर्तन) = 4 * 2 / क्रमपरिवर्तन (52,5) = 8 / 311,875,200 = 8 / संभावित रॉयल्स की संख्या, जो चार (प्रत्येक सूट के लिए एक) है, दिशाओं की संख्या का गुणा, 52 में से 5 पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या से विभाजित, जो क्रमपरिवर्तन (52,5) = 311,875,200 है। तो, उत्तर है 4/311,875,200 = 0.00000002565, या 38,984,400 में 1।

मैंने 52 में से 7 पत्तों को व्यवस्थित करने के सभी कॉम्बिनेशन (52,7) = 133,784,560 तरीकों का परीक्षण करने के लिए C++ में एक प्रोग्राम लिखा। प्रत्येक के लिए, मैंने 7 में से 5 पत्तों को व्यवस्थित करने के सभी कॉम्बिनेशन (7,5) = 21 तरीके बनाए। फिर मैंने इनमें से प्रत्येक हाथ को अंक दिए। 21 तरीकों में से सबसे ज़्यादा अंक सात पत्तों वाले हाथ का मूल्य था। तो, कुल मिलाकर, मुझे 2.8 अरब से ज़्यादा हाथ बनाने थे, और अगर मुझे ठीक से याद है, तो इसमें कंप्यूटर को पूरी रात लग गई।

यहां पांच और सात कार्ड पोकर दोनों के लिए उच्चतम से निम्नतम तक हाथ दिए गए हैं: स्ट्रेट फ्लश, एक तरह के चार, फुल हाउस, फ्लश, स्ट्रेट, एक तरह के तीन, दो जोड़ी, जोड़ी।

अगर आप रिचर्ड मार्कस की "डर्टी पोकर" पढ़ते हैं, तो जब भी आप अजनबियों के साथ खेलते हैं, तो आपको मिलीभगत का डर सताता होगा। हालाँकि, पोकर विशेषज्ञ एशले एडम्स इस सवाल का जवाब इस तरह देते हैं:

मैंने लास वेगास के लगभग हर सार्वजनिक कार्ड रूम और देश भर के 100 से ज़्यादा अन्य स्थानों पर खेला है। निचली सीमाओं पर मुझे कभी भी मिलीभगत का सामना नहीं करना पड़ा। एक बार 20/40 स्टड गेम में, मुझे लगा कि शायद दो खिलाड़ी मिलीभगत कर रहे होंगे। मैंने सुना है कि ज़्यादा दांव वाले खेलों (लगभग 20/40) में भी ऐसा हो सकता है। लेकिन एक आम पर्यटक, जो 1/2 या 2/5 ब्लाइंड नो-लिमिट, या 10/20 या निचली सीमा वाला पोकर खेलता है, उसे शायद ही कभी ऐसा देखने को मिले।

आपके स्नेहपूर्ण शब्दों के लिए धन्यवाद। मैं मानता हूँ कि सात पत्तों वाले स्टड के लिए संख्याओं की गणना करना कठिन है। इसलिए मैं इसे अपने कंप्यूटर पर करता हूँ। मेरा प्रोग्राम सभी संभावित संयोजनों की जाँच करता है और प्रत्येक को अंक देता है। पाई गो पोकर में वाइल्ड स्ट्रेट्स की संख्या 11*(4 ⁴ -4)+10*3*(4 ⁴ -4)=10332 है। 10200 प्राकृतिक स्ट्रेट्स के साथ कुल योग 20532 होता है।

अच्छा सवाल। मैं सालों से गट्स पर एक सेक्शन बनाने की सोच रहा हूँ। मेरा कंप्यूटर प्रोग्राम आधा-अधूरा बना हुआ है। एक समस्या यह है कि गट्स खेलने के इतने सारे तरीके हैं कि एक विश्लेषण केवल कुछ ही खेलों के लिए उपयुक्त होगा। डमी हैंड भी चीजों को और भी जटिल बना देता है। इसी से संबंधित एक बात पर, मैं गट्स के एक अच्छे बदलाव का सुझाव देता हूँ। अगर कोई भी नहीं रुकता है, तो आप फिर से खेलते हैं, सभी के पास बिल्कुल वही कार्ड होते हैं। यह जानते हुए कि बाकी सभी के पास खराब हाथ है, कमज़ोर हाथ वाले खिलाड़ी भी रुक जाते हैं। पहली बार जब मैंने और मेरे दोस्तों ने यह नियम अपनाया, तो दूसरे राउंड में सभी खिलाड़ी खेलने गए।

नहीं, मैंने इसे किसी भी ऑनलाइन कैसीनो में नहीं देखा है। सिर्फ़ अटलांटिक सिटी में ही मैंने इसे देखा है। लगता है यह खेल डोडो पक्षी की राह पर जा रहा है।

हालाँकि इनकी तुलना करना मुश्किल है, मैं कहूँगा कि ब्लैकजैक बेहतर दांव है। बुनियादी रणनीति सीखकर एक अच्छा ब्लैकजैक खिलाड़ी बनना आसान है। एक अच्छा पोकर खिलाड़ी बनना मुश्किल है। कैसीनो पोकर रूम अक्सर बहुत अच्छे खिलाड़ियों से भरे होते हैं, जो बस किसी अनुभवहीन खिलाड़ी को लूटने का इंतज़ार करते हैं। हालाँकि, कुछ लोगों में पोकर खेलने की स्वाभाविक प्रतिभा हो सकती है, इसलिए मेरे जवाब पर थोड़ा संदेह करें।

किसी भी दो विशिष्ट खिलाड़ियों के पास एक तरह के चार होने की संभावना (13 * COMBIN (12,3) * 4 ³ * 9 * COMBIN (41,3) + 13 * 12 * 11 * 4 * 6 * 10 * COMBIN (41,3) + 13 * 12 * 4 * 11 * COMBIN (41,3)) / (COMBIN (52,7) * COMBIN (45,7)) = 0.000003627723 है। 7 में से 2 खिलाड़ियों को चुनने के लिए combin (7,2) = 21 तरीके हैं। 3 या अधिक एक तरह के चार के मामले को छोड़कर संभावना 0.000076182184 होगी।

आइए फ्लश की प्रायिकता को परिभाषित करें, या तो डील पर एक कार्ड मिलने या 4-कार्ड फ्लश ड्रॉ होने की। सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि कोई खिलाड़ी पैट पेयर या 4 फ्लश ड्रॉ होने पर स्ट्रेट ड्रॉ करेगा। डील पर फ्लश मिलने की प्रायिकता (स्ट्रेट/रॉयल फ्लश को छोड़कर) 4*(कॉम्बिनेशन(13,5)-10)/कॉम्बिनेशन(52,5) = 5108/2598960 = 0.0019654 है। 4-कार्ड फ्लश मिलने की प्रायिकता 4*3*कॉम्बिनेशन(13,4)*13/कॉम्बिनेशन(52,5) = 111540/2598960 = 0.0429172 है। ड्रॉ पर फ्लश पूरा होने की प्रायिकता 9/47 है। तो 4-कार्ड फ्लश मिलने और उसे पूरा करने की कुल प्रायिकता 0.0429172*(9/47) = 0.0082182 है। तो फ्लश मिलने की कुल प्रायिकता 0.0019654 + 0.0082182 = 0.0101836 है। 5 में से ठीक 2 खिलाड़ियों को फ्लश मिलने की प्रायिकता combin(5,2)* 0.0101836 ² *(1-00.0101836) ³ = 0.001006 है, यानी लगभग 994 में से 1।

52 में से 7 पत्तों को व्यवस्थित करने के लिए combin(52,7) = 133,784,560 तरीके हैं। एक तरह के चार पत्तों सहित 7 पत्तों के सेट की संख्या 13*combin(48,3) = 224,848 है। 13 एक तरह के 4 पत्तों के लिए रैंक की संख्या है और combin(48,3) उन तरीकों की संख्या है जिनसे आप बचे हुए 48 पत्तों में से 3 पत्ते चुन सकते हैं। इसलिए प्रायिकता 224,848/133,784,560 = 0.0017, या 595 में 1 है।

रॉयल के लिए 4 सूट हैं और बाकी दो पत्तों को व्यवस्थित करने के 47*46/2 = 1081 तरीके हैं। 4*1081 = 4324। बाकी हाथ और भी ज़्यादा उलझे हुए हैं। मुझे 52 में से 7 पत्ते चुनने के लिए 133,784,560 तरीकों से खेलने के लिए कंप्यूटर का इस्तेमाल करना पड़ा। माफ़ कीजिए, मैं कोई किताब भी नहीं सुझा सकता।

जो लोग नियमों से परिचित नहीं हैं, उनके लिए पाँच अप कार्ड हैं। तो सवाल यह है कि क्या संभावना है कि एक ही डेक से बिना प्रतिस्थापन के बांटे गए 5 पत्तों में से कम से कम तीन एक ही सूट के होंगे। 52 में से 5 पत्ते बांटने के लिए combin(52,5)=2598960 तरीके हैं। एक ही सूट के 4 पत्ते बांटने के तरीकों की संख्या 4*combin(13,5)=1144 है। एक सूट के 4 पत्ते बांटने के तरीकों की संख्या 4*combin(13,4)*39=111540 है। एक सूट के 3 पत्ते बांटने के तरीकों की संख्या 4*combin(13,3)*combin(39,2)=847704 है। तो कुल संयोजन 960388 हैं और संभावना 36.95% है।

किसी एक खिलाड़ी द्वारा 7-कार्ड फ्लश प्राप्त करने की संभावना 4*कॉम्बिन(13,7)/कॉम्बिन(52,7) = 19491 में 1 है। 7 में से कम से कम एक खिलाड़ी द्वारा 7-कार्ड फ्लश प्राप्त करने की संभावना लगभग 2785 में 1 है।

रॉयल के लिए चार संभावित सूट हैं। पाँच संभावित लुप्त कार्ड हैं। पाँचवाँ कार्ड 47 अन्य कार्डों में से एक हो सकता है। इसलिए रॉयल में चार कार्ड पाने के 4*5*47=940 तरीके हैं। कुल संयोजन (52,5) = 2,598,960 हैं। इसलिए संभावना 940/2,598,960 = 2,765 में 1 है।

नहीं! बिल्कुल नहीं!

संभावनाएं समान हैं।

हाँ, संभावनाएँ एक जैसी ही हैं। 52 में से सात यादृच्छिक कार्डों के मिलने की संभावना एक जैसी ही होती है, चाहे उन्हें डेक से कैसे भी निकाला जाए या आप उन्हें किसके साथ बाँटें।

(12/52)*(11/51)*(10/50)*(9/49)*(8/48) = 0.00030474, या लगभग 3282 में 1.

स्ट्रेट फ्लश और रॉयल फ्लश को छोड़कर, स्ट्रेट की संभावना 1.02% और फ्लश की 1.04% है। इसलिए फ्लश की संभावना थोड़ी ज़्यादा है।

कुछ कैसीनो A2345 (जिसे "द व्हील" भी कहते हैं) को सबसे कम स्ट्रेट मानते हैं, लेकिन ज़्यादातर इसे दूसरा सबसे ऊँचा स्ट्रेट मानते हैं। मैं ध्यान दिला दूँ कि यह नियम सामान्य है और हमेशा ऐसा नहीं होता।

मुझे शक है कि कैसीनो धोखा देगा, वे ऐसा क्यों करेंगे? ज़्यादा चिंता दूसरे खिलाड़ियों की है। खिलाड़ियों के लिए फ़ोन या इंस्टेंट मैसेंजर पर सांठगांठ करना बहुत आसान होगा। वे असल में ऐसा करते हैं या नहीं, मुझे नहीं पता। ज़्यादा सीमा वाली टेबलों पर शायद इसका ज़्यादा ख़तरा होता है।

मैं दूसरों के फ़ायदे के लिए क्लास 2 मशीन क्या होती है, यह समझाता हूँ। यह एक स्लॉट मशीन है जिसमें बिंगो बॉल्स के ड्रॉ से नतीजा तय होता है। अगर इसे सही तरीके से खेला जाए (और अक्सर ऐसा नहीं होता), तो यह गेम बिल्कुल एक आम स्लॉट मशीन की तरह ही चलेगा। मैं टुल्सा के दो कैसिनो गया हूँ और मुझे वीडियो पोकर के सबसे करीब क्लास 2 स्लॉट नहीं, बल्कि "पुल टैब्स" मिले। पुल टैब्स में खिलाड़ी अपना दांव लगाता है, एक बटन दबाता है, स्क्रीन पर 5 कार्ड दिखाई देते हैं, और अगर आप कुछ भी जीतते हैं तो एक वाउचर गिरता है। आप इसे कैशियर के पास ले जा सकते हैं। हालाँकि 5-कार्ड स्टड हैंड के लिए एक पे टेबल होती है, लेकिन मुझे नहीं लगता कि कार्ड बेतरतीब ढंग से बाँटे जाते हैं। बल्कि यह बस एक दृश्य सामग्री है जो आपको दिखाती है कि आपने कितना जीता।

मैं अक्सर ऐसा नहीं कहता, लेकिन मैंने घंटों कोशिश की, लेकिन इस सवाल का गणित मेरे बस से बाहर था। इसलिए मैंने अपने दोस्त और गणित के प्रोफ़ेसर गैबर मेग्येसी से सलाह ली। किसी भी "सूखे" की समस्या के लिए उनका सूत्र यहाँ दिया गया है।

1. मान लीजिए कि किसी भी दिए गए हाथ को जीतने की संभावना p है।
2. मान लीजिए d सूखे की अवधि है।
3. मान लीजिए कि खेले गए हाथों की संख्या n है।
4. k=dp और x=np सेट करें।
5. यदि k=1 तो a=-1 मान लें, अन्यथा a को इस प्रकार ज्ञात करें कि k=-ln(-a)/(1+a). (a एक ऋणात्मक संख्या है, यदि k>1 तो -1 < a < 0, यदि k < 1 तो a < -1, तथा a की गणना उच्च परिशुद्धता से की जानी चाहिए।) [विज़ार्ड का नोट: इस प्रकार का समाधान एक्सेल में टूल मेनू के अंतर्गत लक्ष्य खोज सुविधा का उपयोग करके आसानी से पाया जा सकता है।]
6. यदि k=1 तो A=2 मान लें, अन्यथा A=(1+a)/(1+ak) मान लें।
7. n हाथों में d लंबाई के सूखे की संभावना लगभग Ae ^{a x} है।

इस विशिष्ट समस्या में p=1/40391, d=200000, n=1000000, k=4.9516, x=24.758, a=-0.0073337, A=1.03007 है। अतः सूखे की संभावना 1.03007*e ^{-0.0073337*24.758} = 0.859042 है। इस प्रकार कम से कम एक बार सूखे की संभावना 1-0.859042 = 0.140958 है।

यहाँ गैबर मेग्येसी का पूरा 5-पृष्ठ का समाधान (पीडीएफ़) है। आपकी मदद के लिए धन्यवाद गैबर।

मैंने दस लाख हाथों के 32,095 सेटों का एक यादृच्छिक सिमुलेशन किया। कम से कम एक बार सूखे की स्थिति वाले लोगों की संख्या 4558 थी, जिसकी प्रायिकता 14.20% थी।

निम्नलिखित तालिका पूर्णतः यादृच्छिक हाथ में 0 से 4 इक्कों की संभावना दर्शाती है।

1 से 4 इक्कों का योगफल लें, तो कम से कम एक इक्का आने की प्रायिकता 0.341158 है। दो या अधिक इक्कों की प्रायिकता 0.041684 है।

कम से कम एक और इक्का होने की संभावना, बशर्ते कि कम से कम एक इक्का हो, को बेयस के प्रमेय के अनुसार इस प्रकार पुनः व्यक्त किया जा सकता है: संभावना (कम से कम एक इक्का दिए जाने पर दो और इक्के) = संभावना (दो या अधिक इक्के)/संभावना (कम से कम एक इक्का) = 0.041684/0.341158 = 0.122185.

बेयस प्रमेय से परिचित लोगों के लिए, यह बताता है कि B दिए जाने पर A की संभावना, A और B की संभावना को B की संभावना से विभाजित करने के बराबर होती है, या Pr(A दिया गया B) = Pr(A और B)/Pr(B)।

अगली तालिका अन्य इक्कों की प्रत्येक संख्या के लिए संयोजन और संभावना को दर्शाती है, बशर्ते कि हुकुम का इक्का डेक से हटा दिया गया हो।

इससे पता चलता है कि कम से कम एक और इक्का आने की संभावना 0.221369 है।

मज़े के लिए, चलिए बेयस प्रमेय का उपयोग करके इसी प्रश्न को हल करते हैं। मान लीजिए कि यादृच्छिक हाथों को तब तक बांटा जाता है जब तक कि एक ऐसा हाथ न मिल जाए जिसमें हुकुम का इक्का हो। कम से कम एक अतिरिक्त इक्के की संभावना, बशर्ते कि हाथ में हुकुम का इक्का हो, को इस प्रकार लिखा जा सकता है: प्रायिकता (यदि हाथ में हुकुम का इक्का है तो कम से कम दो इक्के)। बेयस प्रमेय के अनुसार, यह प्रायिकता (हाथ में हुकुम का इक्का और कम से कम एक और इक्का है) / Pr (हाथ में हुकुम का इक्का है) के बराबर है। हम अंश को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: प्रायिकता (हुकुम के इक्का सहित 2 इक्के) + प्रायिकता (हुकुम के इक्का सहित 3 इक्के) + प्रायिकता (4 इक्के)। पहली तालिका का उपयोग करने पर यह 0.039930×(2/4) + 0.001736×(3/4) + 0.000018 = 0.021285 के बराबर है। हुकुम के इक्के की प्रायिकता 5/52 = 0.096154 है। इसलिए, हुकुम के इक्के दिए जाने पर कम से कम दो इक्के आने की प्रायिकता 0.021285/0.096154 = 0.221369 है।

अतः कम से कम एक इक्का दिए जाने पर दो या अधिक इक्के आने की संभावना 12.22% है, तथा हुकुम का इक्का दिए जाने पर 22.14% है।

सबसे पहले मैंने स्ट्रेट फ्लश को दो प्रकारों में विभाजित किया, एक में चार लगातार सूट वाले कार्ड और दूसरे में पांच। पांच कार्ड के स्ट्रेट फ्लश की संख्या सूट की संख्या * स्पैन की संख्या (सबसे कम कार्ड के रूप में इक्का से 10 तक) = 4*10 = 40 है। चार कार्ड के स्ट्रेट फ्लश में 11 अलग-अलग स्पैन होते हैं (सबसे कम कार्ड के रूप में इक्का से जैक तक)। A234 और JQKA स्ट्रेट फ्लश के मामले में पांचवां कार्ड 47 में से एक हो सकता है (52 में से पहले से हटाए गए 4 कार्ड और पांचवां कार्ड जो 5 कार्ड का स्ट्रेट फ्लश बनाता है, जिनका पहले से ही हिसाब लगाया गया है, को घटाकर)। तो स्पैन A234 या JQKA के 4*2*47=376 स्ट्रेट फ्लश हैं। अन्य नौ में से पांचवें कार्ड के लिए 46 संभावित कार्ड हैं अतः 4-कार्ड स्ट्रेट फ्लश की कुल संख्या 40+376+1656=2072 है।

आपके दयालु शब्दों के लिए धन्यवाद। मैं इस खेल से परिचित हूँ। मान लीजिए कि आपका प्रारंभिक हाथ JJQQK था और आपने दो जैक रखे हैं। ड्रॉ पर एक जैक और दो अन्य कार्ड प्राप्त करने के तरीकों की संख्या 2*combin(45,2) = 1980 है। ड्रॉ पर दो जैक प्राप्त करने के तरीकों की संख्या 45 है। ड्रॉ पर एक तरह का तीन प्राप्त करने के तरीकों की संख्या 10*4+1 = 41 है। इसलिए हाथ को एक तरह के तीन या उससे बेहतर बनाने के तरीकों की संख्या 1980+45+41 = 2066 है। शेष 47 में से 3 कार्ड चुनने के तरीकों की कुल संख्या combin(47,3) = 16215 है। इसलिए हाथ को एक तरह के तीन या उससे बेहतर बनाने की प्रायिकता 2066/16215 = 12.74% है। अगर आपने दो जोड़ी रखीं, तो फुल हाउस में सुधार की संभावना 4/47 = 8.51% है। इसलिए यह मानते हुए कि तीन एक तरह के कार्ड शायद जीतेंगे, मैं इस बात से सहमत हूँ कि सिर्फ़ एक जोड़ी (जो ज़्यादा बड़ी हो) रखना ही बेहतर दांव है।

1/कॉम्बिन(52,4) = 270725 में 1.

जब आपने मुझे इतनी अच्छी तरह से खुश किया, तो मैं कैसे मना कर सकता हूँ? सबसे पहले, 52 में से 7 पत्तों को चुनने के लिए, क्रम की परवाह किए बिना, संयोजन (52,7) = 133,784,560 तरीके हैं। 7 पत्तों वाले स्ट्रेट के लिए 8 संभावित स्पैन हैं (सबसे छोटा पत्ता A से 8 तक हो सकता है)। अगर हमारे पास 7 अलग-अलग रैंक हों, तो सूट को व्यवस्थित करने के 4 ⁷ = 16384 तरीके हैं। ध्यान दें कि इसमें सभी एक ही सूट के पत्ते शामिल हैं, जिससे एक स्ट्रेट फ्लश बनेगा। तो प्रायिकता 8*16,384/133,784,560 = 1020.6952 में 1 है।

मुझसे महीने में लगभग एक बार बैड बीट जैकपॉट के बारे में पूछा जाता है। जब मेरे पास समय होगा, तो मैं अपनी साइट पर इसके बारे में एक सेक्शन जोड़ने की योजना बना रहा हूँ। मुझे इस बात में हिचकिचाहट है कि मुझसे दुनिया के हर पोकर रूम में हर बैड बीट जैकपॉट के बारे में पूछा जाएगा।

मैं आपसे सहमत हूँ। अगर पत्ते अच्छी तरह से फेंटे गए हैं तो कोई बात नहीं। लेकिन अगर पत्ते ठीक से फेंटे नहीं गए हैं, तो मेरा मानना है कि डीलर को एक-एक करके पत्ते बाँटने चाहिए ताकि अलग-अलग खिलाड़ियों के बीच जो भी पत्ते बिखरे हों, वे बिखर जाएँ।

आपके सभी दयालु शब्दों के लिए धन्यवाद। अगर आप स्ट्रेट पर बोनस को 10 से घटाकर 8 कर देते हैं, तो हाउस एज 3.32% से बढ़कर 3.48% हो जाता है।

प्रायिकता 101 से हम जानते हैं कि Pr(A या B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A और B)। अतः Pr(A और B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A या B)। मान लीजिए A को एक इक्का और B को एक ड्यूस मिलता है। Pr(A) = Pr(कम से कम एक इक्का) = 1-Pr(कोई इक्का नहीं) = 1-संयोजन (48,4)/ संयोजन (52,4) = 1-0.7187 = 0.2813। कोई ड्यूस न आने की प्रायिकता स्पष्ट रूप से समान होगी। इसी तर्क से pr(A या B) = Pr(कम से कम एक इक्का या दुक्की) = 1-Pr(न कोई इक्का न दुक्की) = 1-combin(44,4)/combin(52,4) = 1 - 0.501435 = 0.498565। इसलिए, कम से कम एक इक्का और दुक्की आने की प्रायिकता 0.2813 + 0.2813 - 0.498565 = 0.063962 है।

प्रत्येक जोड़ी के लिए चार में से दो सूट व्यवस्थित करने के छह तरीके हैं। फिर सिंगलटन के लिए 44 कार्ड हैं। तो सफल संयोजनों की संख्या 6*6*44 = 1584 है। कुल 2,598,960 संयोजन हैं, इसलिए संभावना 0.0609% है।

हाई टकीला खेलने का अपेक्षित मूल्य 115.904 है, जबकि टकीला पोकर केवल 16 है। इसलिए आप निश्चित रूप से हाई टकीला खेलते हैं।

यदि आपका मतलब 5-कार्ड रॉयल और कोई भी दो अन्य कार्ड से है तो संभावना 4* कॉम्बिन (47,2)/कॉम्बिन (52,7) = 4,324/133,784,560 = 30,940 में 1 है।

मानक वीडियो पोकर के बारे में भी यही कहा जा सकता है, एक बार कार्ड छूट जाने के बाद, वह ड्रॉ पर वापस नहीं आ सकता। इस प्रकार, स्पिन पोकर में अपेक्षित रिटर्न, समान पे टेबल वाले पारंपरिक वीडियो पोकर के समान ही होता है।

4-कार्ड स्ट्रेट फ्लश बनाने के तरीकों की संख्या 4*(9*46 + 2*47) = 2032 है। फुल हाउस बनाने के 3744 तरीके हैं और एक तरह के चार बनाने के 624 तरीके हैं। इसलिए, चार-कार्ड स्ट्रेट फ्लश फुल हाउस और एक तरह के चार के बीच में आना चाहिए।

अगर आपके पास सिर्फ़ कम जोड़ी है, तो हाथ को दो जोड़ी या उससे बेहतर बनाने की संभावना 28.714% है। अगर आपके पास जोड़ी और एक किकर है, तो दो जोड़ी या उससे बेहतर बनाने की संभावना 25.902% है। इसलिए, सिर्फ़ जोड़ी रखने पर दो जोड़ी या उससे बेहतर बनाने की संभावना ज़्यादा होती है। हालाँकि, अगर आप मानते हैं कि जीतने के लिए आपको ज़्यादा दो जोड़ी या उससे बेहतर की ज़रूरत होगी, तो किकर रखने पर ऐसा होने की संभावना ज़्यादा होगी, जो कि ख़ास कार्ड्स और आपके "उच्च" की परिभाषा पर निर्भर करता है।

उस सटीक हाथ को पाने का सिर्फ़ एक ही तरीका है। तो संभावना कॉम्बिन(52,5) में 1 या 2,598,960 में 1 होगी।

मुझे तीन कारण याद आ रहे हैं कि एक सुपरवाइज़र बड़ी जीत के बाद डेक क्यों बदलेगा। पहला यह कि डेक घिस गए थे और उन्हें वैसे भी बदलना ही था। दूसरा यह कि उन्हें चिंता है कि डेक में कोई खामी है। तीसरा यह कि वे "पैसे की बर्बादी" कर रहे हैं और गलत तरीके से सोच रहे हैं कि डेक बदलने से आपकी किस्मत बदल जाएगी। मुझे यकीन है कि तीसरा कारण सबसे ज़्यादा संभावित है।

मेरे पाठकों, जो शायद नहीं जानते, के लिए बता दूँ कि ओमाहा के एक हाथ में नौ पत्ते होते हैं। अगर खिलाड़ी को कोई भी नौ पत्ते इस्तेमाल करने की इजाज़त दी जाए, तो प्रायिकता (13* कॉम्बिन (48,5)-कॉम्बिन (13,2)*44)/कॉम्बिन (52,9) = 0.00605 होगी। हालाँकि, अगर खिलाड़ी को अपने चार होल कार्ड्स में से सिर्फ़ दो का इस्तेमाल करने के लिए मजबूर किया जाए, तो प्रायिकता है

 (13*कॉम्बिन(4,2)*कॉम्बिन(48,2)*कॉम्बिन(2,2)*कॉम्बिन(46,3)-कॉम्बिन(13,2)*कॉम्बिन(4,2)*कॉम्बिन(4,2)*कॉम्बिन(2,2)*कॉम्बिन(2,2)*44)/(कॉम्बिन(52,4)*कॉम्बिन(48,5)) = 0.00288

ध्यान दें कि ये सूत्र एक प्रकार के दो चार प्राप्त करने की संभावना के लिए समायोजित होते हैं।

जैसा कि मैंने कई बार कहा है, जुए की बात करें तो पोकर मेरे सबसे कमज़ोर खेलों में से एक है। इसके लिए मैंने टोनी गुएरेरा की मदद ली, जो जनवरी 2007 में प्रकाशित होने वाली किताब "किलर पोकर बाय द नंबर्स" के लेखक हैं।

टोनी का जवाब दो पन्ने लंबा था। संक्षेप में, एक तकनीक यह है कि दोनों सांठगांठ करने वाले खिलाड़ी एक-दूसरे को री-रेज़ करके एक पॉट बनाएँ, ताकि दूसरे खिलाड़ियों से ज़्यादा पैसे खींचे जा सकें या दूसरे खिलाड़ियों को बाहर किया जा सके। टूर्नामेंट में एक और तकनीक है कि सिर्फ़ एक खिलाड़ी को चिप्स दे दिए जाएँ। अधिक जानकारी के लिए कृपया टोनी का पूरा जवाब देखें।

एक तरह के पाँच की संभावना कम होती है। मैंने पोकर संभावनाओं पर अपने अनुभाग में एक तालिका जोड़ी है जिसमें प्रत्येक हाथ की वाइल्ड रैंक के अनुसार प्रत्येक हाथ की संभावना का विवरण दिया गया है।

मेरा मानना है कि पूछना कोई नियम तोड़ना नहीं है, लेकिन सवाल का जवाब देना तो निश्चित रूप से नियम तोड़ना होगा। मैं आपके मामले में कोई आरोप नहीं लगा रहा, लेकिन आम तौर पर जब कोई जोड़ा घर पर पोकर खेलता है, तो मिलीभगत के नियम अक्सर टूट जाते हैं, जिससे सभी के बीच कड़वाहट पैदा हो जाती है। आम तौर पर एक नियम तोड़ा जाता है जब लड़का अपनी लड़की को पहले ही हार मान चुका होता है, लेकिन उसे सलाह देता है। जब मैं कैलिफ़ोर्निया में रहता था, तो एक जोड़े के साथ स्थिति इतनी खराब हो गई थी कि जब मैंने खेल की मेज़बानी की, तो मैंने नियम बना दिया कि वे दोनों एक ही समय पर गेम रूम में नहीं हो सकते। तो हो सकता है कि मेज़बान को पहले भी पोकर खेल रहे जोड़ों से परेशानी हुई हो और उसने ज़रूरत से ज़्यादा प्रतिक्रिया दी हो।

स्ट्रैडल, जिसे अक्सर "लाइव स्ट्रैडल" कहा जाता है, वह तब होता है जब बिग ब्लाइंड के बाद खिलाड़ी अपने पत्ते देखने से पहले ही रेज कर देता है। उदाहरण के लिए, $3/$6 के खेल में, लार्ज ब्लाइंड $3 होगा, इसलिए स्ट्रैडल $6 होगा। मैंने अपने दोस्त जेसन से इसका कारण पूछा। उसने कहा, "कुछ लोग ऐसा इसलिए करते हैं ताकि "कड़े" खेल में एक्शन को बढ़ावा मिल सके। स्ट्रैडल करने वाले खिलाड़ी के पास बिग ब्लाइंड के एक्शन के बाद रेज करने का विकल्प भी होता है। कार्ड रूम इसे पसंद करते हैं और इसकी अनुमति देते हैं क्योंकि इससे लगभग बड़ा पॉट और इसलिए ज़्यादा रेक सुनिश्चित होता है।"

पोकर में "प्रॉप्स" शब्द के दो प्रयोग हैं। पहला, एक प्रॉप प्लेयर वह होता है जिसे पोकर रूम द्वारा खेलने के लिए प्रति घंटे वेतन दिया जाता है। इसका उद्देश्य प्रत्येक टेबल पर खिलाड़ियों की एक निश्चित न्यूनतम संख्या बनाए रखना है। अधिक जानकारी के लिए poker-babes.com पर इस प्रश्न का विस्तृत उत्तर दिया गया है। दूसरा, एक प्रॉप बेट खिलाड़ियों के बीच, अक्सर फ्लॉप पर लगाया जाने वाला एक अतिरिक्त दांव होता है।

फाइव सूट पोकर में संयोजन

हाथ	युग्म	संभावना	FORMULA
एक तरह के पाँच	13	0.000002	13
स्ट्रेट फ्लश	50	0.000006	5*10
एक तरह के चार	3900	0.000472	13*12* कॉम्बिन (5,4)*5
लालिमा	6385	0.000773	5*(कॉम्बिन(13,5)-10)
पूरा घर	15600	0.001889	13*12*कॉम्बिन(5,3)*कॉम्बिन(5,2)
सीधा	31200	0.003777	10*(5^5-5)
तीन हास्य अभिनेता	214500	0.025969	13*कॉम्बिन(12,2)*कॉम्बिन(5,3)*5^2
दो जोड़ी	429000	0.051938	कॉम्बिन(13,2)*11*कॉम्बिन(5,2)^2*5
जोड़ा	3575000	0.432815	13*कॉम्बिन(12,3)*कॉम्बिन(5,3)*5^3
कुछ नहीं	3984240	0.48236	(कॉम्बिन(13,5)-10)*(5^5-5)
कुल	8259888	1

ध्यान दें कि मैंने फुल हाउस और फ्लश का क्रम उलट दिया है।

धन्यवाद. (4 ⁵ -4)/combin(52,5) = 1020/2598960 = 2,548 में 1.

मुझे उम्मीद है कि आप खुश होंगे, मेरे कंप्यूटर ने ओमाहा में सभी 464 अरब संभावित हाथों को पाँच दिन तक चलाया। यहाँ उच्च और निम्न दोनों हाथों के लिए तालिकाएँ दी गई हैं। अन्य पाठकों के लाभ के लिए, ओमाहा में खिलाड़ी को अपने लिए चार कार्ड और पाँच सामुदायिक कार्ड मिलते हैं। उसे सर्वश्रेष्ठ उच्च और निम्न हाथ बनाने के लिए अपने स्वयं के दो कार्ड और तीन सामुदायिक कार्ड का उपयोग करना होगा। निम्न हाथ के लिए, स्ट्रेट्स और फ्लश खिलाड़ी के विरुद्ध नहीं गिने जाते हैं, और इक्के हमेशा निम्न होते हैं।

ओमाहा हाई हैंड

हाथ	युग्म	संभावना
रॉयल फ़्लश	42807600	0.000092
स्ट्रेट फ्लश	368486160	0.000795
एक तरह के चार	2225270496	0.0048
पूरा घर	29424798576	0.063475
लालिमा	31216782384	0.067341
सीधा	52289648688	0.112799
तीन हास्य अभिनेता	40712657408	0.087825
दो जोड़ी	170775844104	0.368398
जोड़ा	122655542152	0.264593
अन्य सभी	13851662832	0.029881
कुल	463563500400	1

ओमाहा लो हैंड

हाथ	युग्म	संभावना
5 उच्च	7439717760	0.016049
6 उच्च	25832342400	0.055726
7 उच्च	51687563904	0.111501
8 उच्च	76415359104	0.164843
9 उच्च	90496557312	0.195219
10 उच्च	87800751360	0.189404
जे उच्च	68526662400	0.147826
क्यू उच्च	39834609408	0.085931
K उच्च	13835276928	0.029845
जोड़ी या उससे अधिक	1694659824	0.003656
कुल	463563500400	1

इस लिंक पर जाओ ।

आखिरकार, पत्ते ही बोलते हैं। तुम्हें वह हाथ जीतना चाहिए था।

मैं अपने अन्य पाठकों को याद दिला दूँ कि ओमाहा में प्रत्येक खिलाड़ी को चार होल कार्ड मिलते हैं। मैं मान रहा हूँ कि आपके पास एक इक्का, एक ड्यूस और दो अन्य रैंक के कार्ड थे। यहाँ कुछ तरीके और संयोजन दिए गए हैं जिनसे एक खिलाड़ी कम से कम एक इक्का और एक ड्यूस प्राप्त कर सकता है:

1 इक्का और 1 ड्यूस: 3×3×combin(44,2)=8,514
2 इक्के और 1 ड्यूस: कॉम्बिन(3,2)×3×44=396
1 इक्का और 2 ड्यूस: 3×combin(3,2)×44=396
2 इक्के और 2 ड्यूस: कॉम्बिन(3,2)×कॉम्बिन(3,2)=9
3 इक्के और 1 ड्यूस: 3×3=9
1 ड्यूस और 3 ड्यूस: 3×3=9
कुल = 9,321

शेष 48 में से 4 पत्ते चुनने के कुल तरीके (48,4) = 194,580 हैं। इसलिए, किसी प्रतिद्वंद्वी के इक्का और ड्यूस मिलने की प्रायिकता 9,321/194,580 = 4.79% है। हम पाँच विरोधियों में से कम से कम एक खिलाड़ी के इक्का और ड्यूस मिलने की प्रायिकता का अनुमान 1-(1-.0479) ⁵ = 17.83% के रूप में लगा सकते हैं। यह बिल्कुल सही नहीं है, क्योंकि खिलाड़ियों के बीच प्रायिकताएँ स्वतंत्र नहीं होती हैं।

यह एक द्विपद वितरण प्रकार की समस्या है। सामान्य सूत्र यह है कि यदि किसी घटना की प्रायिकता p है, और प्रत्येक परिणाम स्वतंत्र है, तो t परीक्षणों में से ठीक w पर उसके घटित होने की प्रायिकता (t,w)×p ^w ×(1-p) ^{tw के} संयोजन से होती है।

इस स्थिति में, स्ट्रेट फ्लश बनाने के दो तरीके हैं। आपको ईंटों का 8 और ईंटों का 6 या J का एक और पत्ता चाहिए। डेक में बचे 47 पत्तों में से 2 पत्ते निकालने के लिए combin(47,2)=1,081 तरीके हैं। इसलिए, किसी एक हाथ में स्ट्रेट फ्लश मिलने की प्रायिकता 2/1,081 = 0.0018501 है। 10 में से 3 पत्ते निकलने की प्रायिकता combin(10,3)×0.0018501 ³ ×(1-0.0018501) ⁷ = 0.000000750178, या 1,333,017 में 1 है।

अख़बारों में पेशेवर ऑनलाइन पोकर खिलाड़ियों द्वारा जीविकोपार्जन के साधन न होने का दुख जताने की ढेरों कहानियाँ छपी हैं। सच कहूँ तो, आप सोचेंगे कि हर कोई ऑनलाइन पोकर से पैसा कमा रहा है, खिलाड़ी और संचालक दोनों। हालाँकि, इसकी कीमत चुकाने वाले हारने वाले भी होंगे, लेकिन मैंने अभी तक किसी को भी हारने की बात स्वीकार करते नहीं सुना।

तो, चलिए, मैं सबसे पहले बात करता हूँ। मैंने ऑनलाइन पोकर खूब खेला है, आमतौर पर $1-$2 से लेकर $4-$8 तक के संरचित खेल, और मुझे यह जानने के लिए हिसाब रखने की ज़रूरत नहीं है कि मैं कितना आगे हूँ। मुझे यह भी नहीं पता कि मैं रेक को मात देने लायक ताकत रखता भी हूँ या नहीं। मेरी राय में, कई ऑनलाइन पोकर साइट्स बॉट्स और प्रो खिलाड़ियों से भरी हुई हैं, जिन्हें प्लेयर ट्रैकिंग सॉफ़्टवेयर की मदद से मदद मिलती है, जिससे मेरे जैसे मनोरंजक खिलाड़ियों के लिए, मौका पाना मुश्किल हो जाता है।

यदि अमेरिकी सरकार कभी ऑनलाइन पोकर को वैध बनाती है, और मेरा दृढ़ विश्वास है कि ऐसा होना चाहिए, तो मैं आशा करता हूं कि एक ठोस नियामक एजेंसी इसकी निगरानी करेगी और यह सुनिश्चित करेगी कि समान स्तर पर केवल मनुष्य ही खेल सकें।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

सबसे पहले, आइए चिप स्टैक की समीक्षा करें।

अगली तालिका टूर्नामेंट में प्रत्येक अंतिम परिणाम के लिए जीत को दर्शाती है।


यह मानते हुए कि प्रत्येक खिलाड़ी समान कौशल का है, जीतने की संभावना का अनुमान कुल चिप स्टैक के हिस्से के रूप में लगाया जा सकता है। हालाँकि, इसके बाद प्रत्येक स्थिति के लिए यह अधिक जटिल हो जाता है। इस प्रश्न का उत्तर देने में मदद के लिए, मैंने अपना पोकर टूर्नामेंट कैलकुलेटर विकसित किया है।

ऊपर दी गई जानकारी डालने के बाद, आप देखेंगे कि आमिर की अपेक्षित जीत $3,658,046 है। फिर 9वें स्थान के लिए न्यूनतम पुरस्कार $733,224 घटाएँ और आपको अपेक्षित गैर-गारंटीकृत जीत $2,924,822 मिलेगी। प्रत्येक 1% शेयर का मूल्य $29,248.22 है। यह cardplayer.com लेख में बताई गई कीमत है।

वैसे, लेहावोट तीसरे स्थान पर रहे, उन्हें $3,727,023 की पुरस्कार राशि मिली। नौवें स्थान के लिए $733,224 की गारंटीकृत राशि को घटाकर और 100 से भाग देने पर, प्रत्येक 1% शेयर पर $29,938 का लाभ हुआ। प्रति शेयर मूल लागत $29,248 थी, इसलिए प्रत्येक शेयर पर 2.36% का लाभ होता।

इस प्रश्न पर विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर चर्चा की गई है।

पॉकेट जोड़ी की संभावना = 13* कॉम्बिन (4,2)/कॉम्बिन (52,2) = 5.88%.
AK की संभावना = 4 ² /combin(52,2)= 1.21%.
दोनों में से किसी एक की संभावना = 5.88% + 1.21% = 7.09%.
दोनों में से किसी के न मिलने की संभावना = 100% -7.09% = 92.91%.
161 हाथों में से एक बार प्राप्त होने की संभावना = 161*0.9291 ¹⁶⁰ *0.0709 ¹ = 11,268 में 1.

इस प्रश्न पर विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर चर्चा की गई है।

आइए सबसे पहले यह पूछें कि चार खिलाड़ियों के खेल में सभी चार खिलाड़ियों के पास कोई इक्का-बादशाह होने की क्या संभावना है?

उस प्रश्न का उत्तर होगा (4*4/combin(52,2)) * (3*3/combin(50,2)) * (2*2/combin(48,2)) * (1/combin(46,2)) = 3,292,354,406 में 1.

हालाँकि, यह संभव है कि इनमें से कुछ इक्के/बादशाह के हाथ सूट वाले हों। सटीक रूप से कहें तो, इनमें से किसी के भी सूट न होने की संभावना 9/24 है। इसलिए संभावना को घटाकर 8,779,611,750 में 1 कर दें।

हालाँकि, यह दस खिलाड़ियों का खेल है, और चार खिलाड़ियों के संयोजन (10,4) = 210 सेटों में से कोई भी सेट बिना सूट वाले इक्के-बादशाह वाला चार हो सकता है। इसलिए, इस संभावना को 210 से गुणा करें और उत्तर 41,807,675 में 1 होगा।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

यह मानते हुए कि दोनों हाथ अंत तक चलते हैं, मैं दिखाता हूँ कि सबसे अच्छा प्रतिस्पर्धी हाथ 5-6 सूट का है। यदि सूट इक्कों के जोड़े में नहीं दर्शाया गया है, तो संभावित परिणाम ये हैं:

• जीत: 22.87%
• टाई: 0.37%
• हानि: 76.76%

यदि सूट को इक्कों की जोड़ी में दर्शाया गया है (फ्लश की संभावना कम हो जाती है), तो संभावित परिणाम हैं:

• जीत: 21.71%
• टाई: 0.46%
• हानि: 77.83%

कुल मिलाकर, संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:

• जीत: 22.290%
• टाई: 0.415%
• हानि: 77.295%

यह टेबल पर खिलाड़ियों की संख्या पर निर्भर करता है। जितने ज़्यादा खिलाड़ी होंगे, उतना ही बेहतर होगा, क्योंकि ज़्यादा खिलाड़ियों के साथ आपके हारने की संभावना ज़्यादा होगी। नीचे दी गई तालिका टेबल पर मौजूद कुल खिलाड़ियों (जिसमें आप भी शामिल हैं) के हिसाब से चारों जोड़ियों में से प्रत्येक के हारने की संभावना दर्शाती है। यह मानकर चला जाता है कि कोई भी फ़ोल्ड नहीं करेगा। यह स्पष्ट रूप से एक अवास्तविक धारणा है, इसलिए मैं इन संभावनाओं को ऊपरी सीमा मानूँगा।

औसत जीत की गणना आसानी से $100 × (1/6) + $75 × (1/6) + $50 × (1/2) = $62.50 के रूप में की जा सकती है। इसके अलावा, अगली तालिका चार पॉकेट जोड़ियों में से प्रत्येक का अपेक्षित मूल्य दर्शाती है, जब भी वे बनते हैं, यह मानते हुए कि कोई अन्य खिलाड़ी फ़ोल्ड नहीं करता है।

अगली तालिका प्रत्येक खेले गए हाथ पर इस प्रमोशन का मूल्य दर्शाती है। यह ऊपर दी गई तालिका और आवश्यक होल्ड कार्ड मिलने की संभावना का गुणनफल है, जो 6/1326 = 0.90% है।

अगली तालिका प्रति घंटे खेले गए इस प्रमोशन का मूल्य दर्शाती है, यह मानते हुए कि प्रति घंटे 30 हाथ की दर है। यह भी मान लें कि कोई भी कभी भी फ़ोल्ड नहीं करता, इसलिए मैं इसे प्रति घंटे के मूल्य की ऊपरी सीमा मानूँगा।

टेक्सास होल्ड 'एम के दस खिलाड़ियों वाले खेल में, यह मानते हुए कि कोई भी कभी फ़ोल्ड नहीं करता, हाई हैंड के स्ट्रेट या रॉयल फ्लश होने की संभावना 350.14 में 1 है। तीन में से तीन हैंड में ऐसा होने की संभावना 42,926,491 में 1 है।

हालाँकि, हो सकता है कि वह टेबल घंटों से चल रही हो। शायद ज़्यादा व्यावहारिक सवाल यह है कि पूरे दिन में कम से कम एक बार ऐसा होने की क्या संभावना है। पूरे 24 घंटे का खेल और प्रति घंटे 24 हाथ मानकर, इस सवाल का जवाब 59,621 में से 1 होगा।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।