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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

केनो - अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

मिस्टर विज़ार्ड, आपकी साइट वाकई जानकारीपूर्ण है। यहाँ एक केनो गेम है जहाँ हम HEAD, TAIL या EVEN पर दांव लगा सकते हैं। HEAD का मतलब है पहले चालीस नंबरों में 11 या उससे ज़्यादा नंबर, और TAIL का मतलब है आखिरी चालीस नंबरों में 11 या उससे ज़्यादा नंबर। EVEN का मतलब है पहले चालीस और आखिरी चालीस में क्रमशः 10-10 नंबर। हर बार 20 नंबर निकाले जाते हैं। हर दांव के जीतने की संभावना क्या है? एक और बात, चूँकि आपके अनुसार (कुछ ऑनलाइन कैसीनो के लिए) घर नेगेटिव है, तो क्या इसका मतलब यह है कि कोई खिलाड़ी ब्लैकजैक के खेल में लंबे समय तक लगातार जीत सकता है?

Tony से Malaysia

पहले 40, अंतिम 40, या किसी भी दिए गए 40 में n संख्याओं के आने की प्रायिकता combin(40,n)*combin(40,20-n)/combin(80,20) है। अतः पहले 40 में ठीक 10 (और अंतिम 40 में 10) आने की प्रायिकता combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0.203243 है। एक आधे भाग के दूसरे भाग से अधिक आने की प्रायिकता 1-.203243= 0.796757 है। किसी विशिष्ट आधे भाग के अधिक आने की प्रायिकता इस संख्या का आधा, या 0.398378 है। यदि इस दांव पर सम राशि मिलती है तो हाउस एज 20.32% होगा। यदि सम राशि पर 3 से 1 मिलता है तो उस दांव पर हाउस एज 18.70% होगा। अगर यह 4 से 1 के अनुपात में भुगतान करता है, तो खिलाड़ी को 1.62% की बढ़त मिलेगी। ऑनलाइन ब्लैकजैक में सकारात्मक अपेक्षा के बारे में, खिलाड़ी जितना ज़्यादा खेलेगा, शुद्ध लाभ की संभावना उतनी ही ज़्यादा होगी। वर्तमान में सबसे अच्छा खेल यूनिफाइड गेमिंग का सिंगल डेक है, जिसमें खिलाड़ी की बढ़त 0.16% है। अगर खिलाड़ी एक मिलियन हैंड पर फ्लैट बेट लगाता है, तो भी हारने की संभावना लगभग 8.6% होगी। बॉस मीडिया के सिंगल प्लेयर गेम में, जिसमें खिलाड़ी की बढ़त 0.07% है, एक मिलियन हैंड के बाद हारने की संभावना लगभग 27.5% है।

क्या केवमैन केनो में एक ही नंबर पर खेलने, या हर बार अलग-अलग नंबर पर खेलने, या एक समय में एक नंबर बदलने में कोई फायदा है?

Mike से Mesa, USA

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता.

मैं अक्सर कैसिनो जाता हूँ और मैंने देखा है कि लोग वीडियो केनो क्वार्टर मशीनों पर काफी अच्छा प्रदर्शन करते हैं। क्या आपके पास कोई सुझाव है कि कौन से नंबर खेलें? मैंने देखा है कि कुछ नंबर दूसरों की तुलना में ज़्यादा बार आते हैं।

Karen से Antioch, USA

मुझे शक है कि कुछ संख्याएँ दूसरों की तुलना में ज़्यादा संभावित हैं। मेरी सलाह है कि आप कुछ भी चुन लें, इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता।

प्रिय महोदय, हम उत्साही केनो खिलाड़ी हैं। हमारा सहज विश्वास है कि अगर हम एक ही नंबर वाली दो या दो से ज़्यादा केनो मशीनें खेलें, तो उन नंबरों को पाने की हमारी संभावनाएँ काफ़ी बढ़ जाती हैं। क्या आप हमारे इस सहज ज्ञान की पुष्टि के लिए कुछ आँकड़े बता सकते हैं? धन्यवाद।

Gene & Rosie से Bayside, WI

आप चाहे जितने भी गेम खेलें, आपका कुल अपेक्षित रिटर्न एक जैसा ही रहेगा। बेशक, आप जितनी ज़्यादा मशीनें खेलेंगे, किसी संख्या के हिट होने की संभावना उतनी ही ज़्यादा होगी, लेकिन अगर सभी मशीनें मिस हो जाएँ, तो आप ज़्यादा पैसे गँवाएँगे।

सबसे अधिक और सबसे कम अस्थिर खेल कौन से हैं?

गुमनाम

पै गो पोकर सबसे कम अस्थिर है और औसतन केनो सबसे अधिक अस्थिर है।

क्या केनो मशीन में आरएनजी संख्याएं चुनती है और यदि वे आती हैं तो आप जीत जाते हैं या यह सिर्फ यह निर्धारित करती है कि आप जीतते हैं या हारते हैं और संख्याएं सिर्फ दिखाने के लिए होती हैं?

गुमनाम

नेवादा में, और मुझे लगता है कि संयुक्त राज्य अमेरिका के अन्य प्रमुख जुआ बाज़ारों में भी, गेंदें सचमुच यादृच्छिक होती हैं और परिणाम गेंदों द्वारा निर्धारित होते हैं। हालाँकि, क्लास II स्लॉट्स में, जो कभी-कभी भारतीय कैसीनो में पाए जाते हैं, कुछ भी हो सकता है।

मैंने एक केनो गेम देखा है जिसमें निम्नलिखित साइड बेट्स हैं। इन बेट्स के बारे में खास बात क्या है?

हेड्स - शर्त लगाओ कि ऊपरी आधे भाग में ग्यारह से बीस संख्याएँ आएँ - बराबर पैसा
टेल्स - शर्त लगाओ कि शीर्ष आधे भाग में शून्य से नौ तक संख्याएं आएं - बराबर धन
सम संख्या - शर्त लगाओ कि शीर्ष आधे भाग में ठीक दस संख्याएँ आएँ - 3 से 1 का भुगतान

गुमनाम

बराबरी वाली बाजी जीतने की प्रायिकता कॉम्बिन (40,10)*कॉम्बिन (40,10)/कॉम्बिन (80,20) = 0.203243 है। 3 से 1 के अनुपात में भुगतान करने पर हाउस एज 18.703% है। चित (या पट) वाली बाजी जीतने की प्रायिकता (1-0.20343)/2 = 0.398378 है। सम राशि का भुगतान करने पर हाउस एज 20.324% है।

प्रिय अद्भुत जादूगर, सबसे पहले तो आपकी शानदार साइट के लिए आपका बहुत-बहुत धन्यवाद! मैंने आपकी शानदार साइट पर मौजूद सभी चीज़ों को देखने में घंटों बिताए हैं, और मैं आपकी अमूल्य सलाह के लिए आभारी हूँ, इसलिए धन्यवाद! ऑस्ट्रेलिया में केनो की एक साइड बेट, जिसे "हेड्स एंड टेल्स" कहा जाता है, के बारे में मेरा एक प्रश्न है। बोर्ड को दो हिस्सों में बाँटा गया है, 1 से 40 तक की संख्याएँ हेड्स और 41 से 80 तक की संख्याएँ टेल्स हैं। अगर ज़्यादातर संख्याएँ कम (1 से 40) आती हैं, तो हेड्स जीतता है, और अगर ज़्यादा (41-80) आती हैं, तो टेल्स जीतता है। दोनों बेट्स पर 1-1 का भुगतान होता है। एक और बेट है जिसे "इवन्स" कहा जाता है, जिसमें 10 कम और 10 ज़्यादा होने पर 3-1 का भुगतान होता है। मेरा प्रश्न यह है कि प्रत्येक बेट का हाउस एज क्या है?

गुमनाम

तारीफ़ आपको हर जगह ले जाएगी। n चितों के लिए संयोजनों की संख्या combin (40,n)*combin(40,20-n) है। यह ऊपर की 40 में से n संख्याएँ और नीचे की 40 में से 20-n संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या है। नीचे दी गई तालिका 0 से 20 चित आने की संभावना दर्शाती है।

0 से 20 चित आने की संभावना

सिर युग्म संभावना

0

137846528820

0.000000039

1

5251296336000

0.0000014854

2

88436604204000

0.0000250152

3

876675902544001

0.0002479767

4

5744053569793500

0.0016247638

5

26468598849608400

0.0074869114

6

89077015359259200

0.0251963366

7

224342112756653000

0.0634574402

8

429655207020554000

0.1215323297

9

632136396535987000

0.1788061862

10

718528370729238000

0.2032430317

11

632136396535987000

0.1788061862

12

429655207020554000

0.1215323297

13

224342112756653000

0.0634574402

14

89077015359259200

0.0251963366

15

26468598849608400

0.0074869114

16

5744053569793500

0.0016247638

17

876675902544001

0.0002479767

18

88436604204000

0.0000250152

19

5251296336000

0.0000014854

20

137846528820

0.000000039

कुल

3535316142212170000

1



इससे पता चलता है कि 11 से 20 बार चित आने की संभावना 39.84% है, जबकि हाउस एज 20.32% है। 10 बार ठीक चित आने की संभावना 20.32% है, जबकि हाउस एज 18.70% है।

महोदय, मैंने हाल ही में ऑड्स पर एक किताब में पढ़ा कि केनो में सभी 20 नंबरों पर सही लगने की संभावना एक क्विंटिलियन में एक है। किताब में इसका वर्णन इस प्रकार किया गया है कि यदि प्रति सप्ताह एक ड्रॉ हो और पृथ्वी पर सभी लोग हमेशा टिकट खरीदें, तो विजेता का चयन करने में 50 लाख वर्ष लगेंगे। मेरा प्रश्न यह है कि क्या सभी 20 नंबरों पर सही लगने पर कोई पुरस्कार है, और यदि हाँ, तो क्या कभी किसी ने इसे सही लगाया है? मैंने सुना है कि वेगास के इतिहास में कभी किसी ने केनो नहीं जीता है, क्या यह सच है?

Tim से Greenville, SC

सभी 20 के हिट होने की प्रायिकता, कॉम्बिन (80,20) में 1 है = 3,535,316,142,212,180,000। इसलिए ऑड्स लगभग 3.5 क्विंटिलियन से एक के आसपास हैं। मान लीजिए कि पृथ्वी पर 5 अरब लोग हैं, और वे सभी हफ़्ते में एक बार खेलते हैं, तो औसतन हर 13.56 मिलियन वर्षों में एक विजेता होगा। ज़्यादातर कैसीनो 20 के करीब हिट होने पर समान राशि का भुगतान करते हैं। उदाहरण के लिए, लास वेगास हिल्टन 20 में से 17 या उससे ज़्यादा हिट करने पर $20,000 का भुगतान करता है। मैंने कभी किसी के 20 में से 20 हिट करने के बारे में नहीं सुना, और मुझे बहुत संदेह है कि ऐसा कभी हुआ होगा।

मेरी पत्नी और ससुर कुछ महीने पहले लास वेगास गए थे और उन्होंने पूछा कि केनो गेम कहाँ हैं (केनो स्लॉट मशीनों के अलावा) और उन्हें बताया गया कि ज़्यादातर होटलों में अब केनो नहीं है। क्या यह सच है? और अगर सच है, तो क्या आप जानते हैं कि मिस्टर विज़ार्ड, क्यों?

Bill से Malibu

मैं इससे सहमत नहीं हूँ। मैं एक भी बड़े स्ट्रिप कसीनो के बारे में नहीं सोच सकता जहाँ केनो लाउंज न हो। आमतौर पर केनो के बिना सिर्फ़ वेगास के उपनगरों में स्थित स्थानीय कसीनो ही होते हैं, क्योंकि हममें से ज़्यादातर स्थानीय लोग जानते हैं कि केनो एक बेवकूफ़ी भरा खेल है।

पी.एस. बाद में एक पाठक ने मुझे सही करते हुए लिखा कि लास वेगास में न्यूयॉर्क कैसीनो ने अपना केनो लाउंज हटा दिया है।

केनो खेलने का एक दिलचस्प तरीका है, हालाँकि उस तरह नहीं जैसा राज्य चाहता है। शर्त लगाएँ कि 20 में से कम से कम 11 नंबर तीन पंक्तियों में आएँ; क्षैतिज, लंबवत या दोनों। इस बात पर ज़ोर दें कि पंक्तियाँ 18 हैं। कई बार बेवकूफ़ खेलेगा। इस शर्त का एक प्रकार यह है कि एक पंक्ति खाली रहेगी। मुझे उम्मीद है कि आप इसका इस्तेमाल कर पाएँगे। आपकी साइट बहुत अच्छी और जानकारीपूर्ण है। ध्यान दें कि इसके लिए एक बैंकरोल की ज़रूरत होती है, हालाँकि बहुत ज़्यादा नहीं। आप जो सबसे बड़ा दांव लगाने जा रहे हैं, उसका 10 से 15 गुना काफ़ी है।

Richard M. से Silver Spring, MD

मुझे उम्मीद है आप खुश होंगे, मैंने पूरा दिन इसी पर लगा दिया। सिमुलेशन लिखने और चलाने के बाद मुझे पता चला कि किसी भी 3 पंक्तियों में 11 या उससे ज़्यादा अंक होने की संभावना 86.96% है! इससे दूसरे पक्ष को लड़ने का मौका भी नहीं मिल रहा है। आप 12 अंक तक जा सकते हैं और फिर भी जीतने की संभावना 53.68% या 7.36% का फ़ायदा उठा सकते हैं। हालाँकि, मुझे लगता है कि आपने खाली पंक्ति वाले दांव का ग़लत पक्ष चुना है। कम से कम एक खाली पंक्ति होने की संभावना सिर्फ़ 33.39% है, बेहतर होगा कि आप कोई खाली पंक्ति न होने के दूसरे पक्ष पर दांव लगाएँ। जब मैं यह कर रहा था, तब मैंने कई अन्य संभावनाओं पर भी विचार किया और उन्हें केनो प्रॉप्स के एक नए पृष्ठ पर डाल दिया। यहाँ उस पृष्ठ से इन और अन्य अच्छे सम-धन वाले दांवों की एक सूची दी गई है। अच्छा पक्ष सूचीबद्ध है।

सम मनी केनो प्रॉप्स

प्रोप संभावना
जीत का		 घर
किनारा
किसी भी पंक्ति में 5 या अधिक हिट नहीं होंगे 53.47% 6.94%
एक कॉलम में हिट्स की अधिकतम संख्या ठीक 4 होगी 55.2% 10.4%
प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक चिह्न होना चाहिए 66.61% 33.23%
रिक्त स्तंभों की संख्या 1 नहीं होगी 54.08% 8.15%
ऊपर/नीचे 9 से 11 अंक 56.09% 12.17%
3 पंक्तियों (पंक्तियों और/या स्तंभों) में 12 या अधिक अंक होंगे 53.68% 7.36%

क्या वीडियो केनो में आप कौन से नंबर चुनते हैं, इससे कोई फ़र्क़ पड़ता है? मैं समझता हूँ कि यह किसी भी स्लॉट मशीन की तरह एक RNG चिप है और ये नंबर हमें नियंत्रण का भ्रम देने के लिए हैं। मैंने IGT को लिखने की कोशिश की है, लेकिन उन्होंने कोई जवाब नहीं दिया। शुक्रिया!

Jari से Minnetonka, MN

लाइव केनो की तरह ही इसमें भी आप जो भी चुनें, संभावनाएं एक जैसी ही रहती हैं, लेकिन वे खेल में निकाली जाने वाली गेंदों से स्वतंत्र होती हैं।

मान लीजिए आप मानक 80-स्पॉट कीनो खेल रहे हैं जिसमें 20 ड्रॉप्स हैं, लेकिन ड्रॉप्स "रिप्लेसमेंट के साथ" हैं। यानी, गेंद गिरने के बाद, उसका नंबर दर्ज किया जाता है और उसे वापस हॉपर में डाल दिया जाता है और फिर से निकाला जा सकता है। मान लीजिए आप 4 स्पॉट वाले कार्ड पर निशान लगाते हैं। 0, 1, 2, 3 और 4 अलग-अलग हिट की प्रायिकताएँ क्या हैं?

Eliot से Santa Barbara

यह वास्तव में एक बहुत ही कठिन समस्या है। आपकी चार गेंदों में से किसी एक के, बार-बार निकाले जाने सहित, कितनी बार निकाले जाने की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है। मुश्किल हिस्सा यह निर्धारित करना है कि x अलग-अलग पिक्स चुने जाने की प्रायिकता क्या होगी, बशर्ते कि कोई भी पिक y बार चुनी गई हो। मैंने अपने MathProblems.info पृष्ठ, समस्या 205 पर उत्तर और समाधान दर्शाया है।

समरूप जुड़वाँ के अलावा, मेरे किसी सगे भाई या बहन के साथ जीनों का कितना अनुपात समान होगा?

HotBlonde

1/2.

अगर हम तुलना के लिए केनो का इस्तेमाल करें, तो हर व्यक्ति में 40 जीन होंगे, जिनमें से प्रत्येक एक केनो बॉल द्वारा दर्शाया जाएगा। हालाँकि, प्रत्येक बॉल का एक विशिष्ट नंबर होगा। जब दो लोग, जो आपस में संबंधित नहीं हैं, संभोग करते हैं, तो यह ऐसा है जैसे दोनों ने 80 गेंदों को एक हॉपर में मिला दिया हो, और संभोग से उत्पन्न संतानों के लिए यादृच्छिक रूप से 40 जीन चुन लिए हों।

तो जब आप गर्भवती हुईं, तो आपको हॉपर में आधी गेंदें मिलीं, और बाकी आधी बेकार हो गईं। जब आपके भाई या बहन का गर्भाधान हुआ, तो उन्हें आपके जन्म के समय निकाली गई गेंदों में से आधी मिलीं, और आधी जो नहीं निकाली गईं। तो आप आनुवंशिक रूप से 50% समान हैं। ठीक उसी तरह जैसे कि अगर केनो में 40 नंबर निकाले जाते हैं, तो दो लगातार निकाले गए नंबरों में औसतन 20 गेंदें समान होती हैं।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

क्लियोपेट्रा केनो में भिन्नता क्या है? ?

Romes

हमारे अन्य पाठकों को याद दिला दूँ कि क्लियोपेट्रा केनो पारंपरिक केनो की तरह ही खेला जाता है, सिवाय इसके कि अगर आखिरी गेंद खिलाड़ी की पसंद से मेल खाती है और जीत हासिल होती है, तो खिलाड़ी 2x गुणक के साथ 12 मुफ़्त गेम भी जीतेगा। मुफ़्त गेम से ज़्यादा मुफ़्त गेम नहीं मिलते।

आपने पिक्स की संख्या या पे टेबल नहीं बताई, तो चलिए उदाहरण के तौर पर 3-10-56-180-1000 पिक-8 पे टेबल का इस्तेमाल करते हैं। सबसे पहले, रिटर्न की गणना करते हैं।

केनो में y में से x गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या, 20 में से x गेंदें और 60 में से yx गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या के बराबर है। एक्सेल में, यह combin(20,x)*combin(60,yx) के बराबर है। एक और अनुस्मारक के रूप में, combin(x,y) = x!/(y!*(xy)!)। अंततः x! = 1*2*3*...*x।

अब जब यह समीक्षा पूरी हो गई है, तो उस भुगतान तालिका की वापसी तालिका यहाँ दी गई है। दाएँ कॉलम में जीत का अपेक्षित वर्ग दिखाया गया है, जिसकी हमें बाद में ज़रूरत पड़ेगी।

पिक 8 केनो

आयोजन भुगतान करता है युग्म संभावना वापस करना वापसी^2
0 0 2,558,620,845 0.088266 0.000000 0.000000
1 0 7,724,138,400 0.266464 0.000000 0.000000
2 0 9,512,133,400 0.328146 0.000000 0.000000
3 0 6,226,123,680 0.214786 0.000000 0.000000
4 3 2,362,591,575 0.081504 0.244511 0.733533
5 10 530,546,880 0.018303 0.183026 1.830259
6 56 68,605,200 0.002367 0.132536 7.422014
7 180 4,651,200 0.000160 0.028882 5.198747
8 1000 125,970 0.000004 0.004346 4.345661
कुल 28,987,537,150 1.000000 0.593301 19.530214

अब, औसत बोनस की गणना करते हैं। ऊपर दी गई तालिका से हम देख सकते हैं कि बोनस को छोड़कर, औसत जीत 0.593301 है। बोनस में, खिलाड़ी को 12 दोगुने मुफ़्त स्पिन मिलते हैं। इस प्रकार, बोनस से अपेक्षित जीत 2×12×0.593301 = 14.239212 है।

अब, बोनस जीतने की प्रायिकता की गणना करते हैं। अगर खिलाड़ी चार संख्याएँ पकड़ता है, तो 20वीं गेंद के उन 4 में से एक होने की प्रायिकता 4/20 है। सामान्य तौर पर, अगर खिलाड़ी c पकड़ता है, तो 20वीं गेंद के जीत में योगदान देने की प्रायिकता c/20 है।

बोनस जीतने का सूत्र है: संभावना (कैच 4)*(4/20) + संभावना (कैच 5)*(5/20) + संभावना (कैच 6)*(6/20) + संभावना (कैच 7)*(7/20) + संभावना (कैच 8)*(8/20)। ऊपर दी गई रिटर्न तालिका से हम किसी भी जीत की संभावना जानते हैं। तो, बोनस जीतने की संभावना है:

0.081504*(4/20) + 0.018303*(5/20) + 0.002367*(6/20) + 0.000160*(7/20) + 0.000004*(8/20) = 0.021644.

बोनस जीतने की संभावना और औसत बोनस जीत के साथ, हम बोनस से रिटर्न की गणना 0.021644 × 14.239212 = 0.308198 के रूप में कर सकते हैं।

हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन खेल के लिए कुल रिटर्न, बेस गेम से रिटर्न और बोनस से रिटर्न का योग है, जो 0.593301 + 0.308198 = 0.901498 के बराबर है।

अब, आइए वास्तविक विचरण पर आते हैं। याद दिला दें कि विचरण का एक सामान्य सूत्र है:

var(x + y) = var(x) + var(y) + 2*cov(x,y), जहाँ var प्रसरण को दर्शाता है और cov सहप्रसरण को दर्शाता है। इस खेल के इस मामले में:

कुल विचरण = var(बेस गेम) + var(बोनस) + 2*cov(बेस गेम और बोनस).

विचरण का मूल सूत्र E(x^2) - [E(x)]^2 है। दूसरे शब्दों में, जीत का अपेक्षित वर्ग, अपेक्षित जीत के वर्ग से घटाकर।

तो चलिए, बेस गेम के प्रसरण से शुरुआत करते हैं। याद कीजिए, मैंने पहले कहा था कि हमें पहली तालिका से अपेक्षित जीत का वर्ग चाहिए होगा। उस पहली तालिका के निचले दाएँ कक्ष में अपेक्षित जीत का वर्ग 19.530214 दिखाया गया है। हम पहले से ही जानते हैं कि अपेक्षित जीत 0.593301 है। इस प्रकार, बेस गेम का प्रसरण 19.530214 - 0.593301 2 = 19.178208 है।

अब, बोनस का विचरण (variance) निकालते हैं (यह मानते हुए कि बोनस पहले ही मिल चुका है)। इसके लिए, याद रखें कि:

var(ax) = a 2 x, जहाँ a एक स्थिरांक है।

यह भी याद रखें कि n यादृच्छिक चर x का प्रसरण nx है।

जैसा कि कहा गया है, यदि बोनस गेम में आधार जीत x है, तो पूरे बोनस का प्रसरण 2 2 × 12 × x है। जैसा कि हम ऊपर से जानते हैं, बोनस को छोड़कर, आधार गेम में एक स्पिन का प्रसरण 19.178208 के बराबर है। इसलिए, बोनस का प्रसरण, बशर्ते कि बोनस पहले ही हिट हो चुका हो, 2 2 × 12 × 19.178208 = 920.554000 है।

हालाँकि, हमें पहली गेंद निकाले जाने से पहले बोनस का प्रसरण जानना होगा, जिसमें बोनस के न जीतने की संभावना भी शामिल है। नहीं, हम बोनस के प्रसरण को उसके जीतने की प्रायिकता से गुणा नहीं कर सकते। इसके बजाय, याद रखें कि var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2। आइए इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करें:

ई(x^2) = var(x) + [ई(x)]^2

हम बोनस का माध्य और विचरण जानते हैं, इसलिए बोनस में अपेक्षित जीत का वर्ग 920.554000 + 19.178208 2 = 1123.309169 है।

इसलिए, पहली गेंद निकाले जाने से पहले बोनस से जीत का अपेक्षित वर्ग, प्रायः (बोनस) × E(x^2) = 0.021644 × 1123.309169 = 24.313239 है।

हमने पहले ही गणना कर ली है कि पहली गेंद से पहले बोनस से अपेक्षित जीत 0.308198 है। इसलिए, पहली गेंद से पहले बोनस का कुल विचरण 24.313239 - 0.308198 2 = 24.218253 है।

अगला चरण सहप्रसरण की गणना करना है। आप पूछ सकते हैं, "आधार जीत और बोनस जीत के बीच सहसंबंध क्यों है?" ऐसा इसलिए है क्योंकि बोनस को ट्रिगर करने के लिए खींची गई आखिरी गेंद का जीत में योगदान होना ज़रूरी है। यह मानते हुए कि आखिरी गेंद ने जीत में योगदान दिया है, औसत जीत बढ़ जाती है। याद दिला दें कि बेयस का स्थिति प्रायिकता सूत्र कहता है:

P(A दिया गया B) = P(A और B)/P(B).

अब हम बेस गेम के लिए अपनी रिटर्न तालिका को पुनः तैयार करते हैं, यह देखते हुए कि अंतिम गेंद हिट थी:

अंतिम गेंद पर हिट होने पर 8 केनो चुनें

आयोजन भुगतान करता है युग्म संभावना वापस करना
0 0 - 0.000000 0.000000
1 0 - 0.000000 0.000000
2 0 - 0.000000 0.000000
3 0 - 0.000000 0.000000
4 3 472,518,315 0.753119 2.259358
5 10 132,636,720 0.211402 2.114019
6 56 20,581,560 0.032804 1.837010
7 180 1,627,920 0.002595 0.467036
8 1000 50,388 0.000080 0.080310
कुल 627,414,903 1.000000 6.757734

नीचे के दाहिने सेल से पता चलता है कि यह मानते हुए कि अंतिम गेंद हिट थी, औसत जीत 6.757734 है।

इसके बाद, अपने कॉलेज की सांख्यिकी कक्षा से याद करें कि:

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) .

हमारे मामले में, मान लीजिए x = बेस गेम जीत और y = बोनस जीत। आइए पहले exp(xy) पर काम करें।

Exp(xy) = prob(बोनस जीता)*(औसत बेस गेम जीत, बोनस जीता दिया गया)*औसत(बोनस जीत) + prob(बोनस नहीं जीता)*(औसत बेस गेम जीत, बोनस नहीं जीता दिया गया)*औसत(बोनस जीत, बोनस नहीं जीता दिया गया)। यह कहना आसान है कि औसत(बोनस जीत, बोनस नहीं जीता दिया गया) = 0, इसलिए हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

Exp(xy) = prob(बोनस जीता)*(औसत बेस गेम जीत दिया गया बोनस जीता)*औसत(बोनस जीत) =

0.021644 × 6.757734 × 14.239212 = 2.082719.

हमने पहले ही E(x) और E(y) के लिए हल निकाल लिया है, इसलिए सहप्रसरण है:

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) = 2.082719 - 0.593301 × 0.308198 = 1.899865।

आइए सहप्रसरण के मामले में विचरण के समग्र समीकरण पर वापस जाएं:

कुल विचरण = var(बेस गेम) + var(बोनस) + 2*cov(बेस गेम और बोनस) = 19.178208 + 24.218253 + 2×1.899865 = 47.196191. मानक विचलन इसका वर्गमूल है, जो 6.869948 है।

तो लीजिए, लीजिए। इसमें मुझे घंटों लग गए, तो उम्मीद है आप खुश होंगे।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

सांता फ़े स्टेशन पर, पिक-20 केनो में एक साइड बेट है जिसमें शून्य कैच के लिए 1 के बदले 200 मिलते हैं। ऑड्स क्या हैं?

Michael

थोड़ी रिसर्च करने पर, मुझे पता चला कि यह कोई साइड बेट नहीं है, बल्कि पिक-20 टिकट पर ज़ीरो कैच करने पर मिलने वाला पैसा है। स्टेशन कैसिनो के पिक-20 टिकट का मेरा पूरा विश्लेषण यहाँ दिया गया है।

स्टेशन कैसीनो पिक 20 केनो

पकड़ना भुगतान करता है युग्म संभावना वापस करना
20 50000 1 0.000000 0.000000
19 50000 1,200 0.000000 0.000000
18 50000 336,300 0.000000 0.000000
17 50000 39,010,800 0.000000 0.000001
16 10000 2,362,591,575 0.000000 0.000007
15 8000 84,675,282,048 0.000000 0.000192
14 4000 1,940,475,213,600 0.000001 0.002196
13 1000 29,938,760,438,400 0.000008 0.008468
12 200 322,309,467,844,650 0.000091 0.018234
11 20 2,482,976,641,173,600 0.000702 0.014047
10 10 13,929,498,956,983,900 0.003940 0.039401
9 5 57,559,913,045,388,000 0.016281 0.081407
8 2 176,277,233,701,501,000 0.049862 0.099724
7 1 400,535,252,907,552,000 0.113295 0.113295
6 0 672,327,031,666,248,000 0.190175 0.000000
5 0 824,721,158,843,931,000 0.233281 0.000000
4 0 724,852,581,015,174,000 0.205032 0.000000
3 0 441,432,713,697,822,000 0.124864 0.000000
2 1 175,755,617,490,799,000 0.049714 0.049714
1 2 40,896,043,959,078,000 0.011568 0.023136
0 200 4,191,844,505,805,500 0.001186 0.237141
कुल 3,535,316,142,212,170,000 1.000000 0.686961

निचले दाएं सेल से पता चलता है कि टिकट का कुल रिटर्न 69.70% है, जो लाइव केनो के लिए विशिष्ट है।

0 को पकड़ने के बारे में प्रश्न का उत्तर देने के लिए, संभावना स्तंभ दर्शाता है कि इसकी संभावना 0.001186 है और 1 के लिए 200 की जीत पर, यह रिटर्न की ओर 23.71% रिटर्न देता है।

मान लीजिए एक डिब्बे में 100 गेंदें हैं, जिन पर 1 से 100 तक की संख्या अंकित है। 10 गेंदें बिना प्रतिस्थापन के यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। निकाली गई सबसे छोटी गेंद की माध्य संख्या क्या है?

ThatDonGuy

निम्न तालिका संयोजनों की संख्या, प्रायिकता और सबसे कम गेंद (गेंद और प्रायिकता का गुणनफल) में योगदान दर्शाती है। निचले दाएँ कक्ष में अपेक्षित सबसे कम गेंद 9.1818182 दिखाई गई है।

सबसे कम गेंद

सबसे कम
गेंद		 युग्म संभावना अपेक्षित
लो बॉल
1 1,731,030,945,644 0.100000 0.100000
2 1,573,664,496,040 0.090909 0.181818
3 1,429,144,287,220 0.082560 0.247681
4 1,296,543,270,880 0.074900 0.299600
5 1,174,992,339,235 0.067878 0.339391
6 1,063,677,275,518 0.061448 0.368686
7 961,835,834,245 0.055564 0.388950
8 868,754,947,060 0.050187 0.401497
9 783,768,050,065 0.045278 0.407498
10 706,252,528,630 0.040800 0.407995
11 635,627,275,767 0.036720 0.403915
12 571,350,360,240 0.033006 0.396076
13 512,916,800,670 0.029631 0.385199
14 459,856,441,980 0.026565 0.371917
15 411,731,930,610 0.023785 0.356780
16 368,136,785,016 0.021267 0.340271
17 328,693,558,050 0.018988 0.322801
18 293,052,087,900 0.016929 0.304728
19 260,887,834,350 0.015071 0.286354
20 231,900,297,200 0.013397 0.267933
21 205,811,513,765 0.011890 0.249680
22 182,364,632,450 0.010535 0.231771
23 161,322,559,475 0.009319 0.214347
24 142,466,675,900 0.008230 0.197524
25 125,595,622,175 0.007256 0.181388
26 110,524,147,514 0.006385 0.166007
27 97,082,021,465 0.005608 0.151425
28 85,113,005,120 0.004917 0.137673
29 74,473,879,480 0.004302 0.124766
30 65,033,528,560 0.003757 0.112708
31 56,672,074,888 0.003274 0.101491
32 49,280,065,120 0.002847 0.091100
33 42,757,703,560 0.002470 0.081512
34 37,014,131,440 0.002138 0.072701
35 31,966,749,880 0.001847 0.064634
36 27,540,584,512 0.001591 0.057276
37 23,667,689,815 0.001367 0.050589
38 20,286,591,270 0.001172 0.044534
39 17,341,763,505 0.001002 0.039071
40 14,783,142,660 0.000854 0.034160
41 12,565,671,261 0.000726 0.029762
42 10,648,873,950 0.000615 0.025837
43 8,996,462,475 0.000520 0.022348
44 7,575,968,400 0.000438 0.019257
45 6,358,402,050 0.000367 0.016529
46 5,317,936,260 0.000307 0.014132
47 4,431,613,550 0.000256 0.012032
48 3,679,075,400 0.000213 0.010202
49 3,042,312,350 0.000176 0.008612
50 2,505,433,700 0.000145 0.007237
51 2,054,455,634 0.000119 0.006053
52 1,677,106,640 0.000097 0.005038
53 1,362,649,145 0.000079 0.004172
54 1,101,716,330 0.000064 0.003437
55 886,163,135 0.000051 0.002816
56 708,930,508 0.000041 0.002293
57 563,921,995 0.000033 0.001857
58 445,891,810 0.000026 0.001494
59 350,343,565 0.000020 0.001194
60 273,438,880 0.000016 0.000948
61 211,915,132 0.000012 0.000747
62 163,011,640 0.000009 0.000584
63 124,403,620 0.000007 0.000453
64 94,143,280 0.000005 0.000348
65 70,607,460 0.000004 0.000265
66 52,451,256 0.000003 0.000200
67 38,567,100 0.000002 0.000149
68 28,048,800 0.000002 0.000110
69 20,160,075 0.000001 0.000080
70 14,307,150 0.000001 0.000058
71 10,015,005 0.000001 0.000041
72 6,906,900 0.000000 0.000029
73 4,686,825 0.000000 0.000020
74 3,124,550 0.000000 0.000013
75 2,042,975 0.000000 0.000009
76 1,307,504 0.000000 0.000006
77 817,190 0.000000 0.000004
78 497,420 0.000000 0.000002
79 293,930 0.000000 0.000001
80 167,960 0.000000 0.000001
81 92,378 0.000000 0.000000
82 48,620 0.000000 0.000000
83 24,310 0.000000 0.000000
84 11,440 0.000000 0.000000
85 5,005 0.000000 0.000000
86 2,002 0.000000 0.000000
87 715 0.000000 0.000000
88 220 0.000000 0.000000
89 55 0.000000 0.000000
90 10 0.000000 0.000000
91 1 0.000000 0.000000
कुल 17,310,309,456,440 1.000000 9.181818

इस तरह के प्रश्नों को हल करने का एक आसान तरीका है, जहाँ सबसे छोटी गेंद 1 है। सबसे छोटी गेंद का सूत्र (m+1)/(b+1) है, जहाँ m गेंद का अधिकतम मान है और b गेंदों की संख्या है। इस स्थिति में, m=100 और n=10 है, इसलिए सबसे छोटी गेंद 101/11 = 9.181818 है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।