केनो - अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

पहले 40, अंतिम 40, या किसी भी दिए गए 40 में n संख्याओं के आने की प्रायिकता combin(40,n)*combin(40,20-n)/combin(80,20) है। अतः पहले 40 में ठीक 10 (और अंतिम 40 में 10) आने की प्रायिकता combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0.203243 है। एक आधे भाग के दूसरे भाग से अधिक आने की प्रायिकता 1-.203243= 0.796757 है। किसी विशिष्ट आधे भाग के अधिक आने की प्रायिकता इस संख्या का आधा, या 0.398378 है। यदि इस दांव पर सम राशि मिलती है तो हाउस एज 20.32% होगा। यदि सम राशि पर 3 से 1 मिलता है तो उस दांव पर हाउस एज 18.70% होगा। अगर यह 4 से 1 के अनुपात में भुगतान करता है, तो खिलाड़ी को 1.62% की बढ़त मिलेगी। ऑनलाइन ब्लैकजैक में सकारात्मक अपेक्षा के बारे में, खिलाड़ी जितना ज़्यादा खेलेगा, शुद्ध लाभ की संभावना उतनी ही ज़्यादा होगी। वर्तमान में सबसे अच्छा खेल यूनिफाइड गेमिंग का सिंगल डेक है, जिसमें खिलाड़ी की बढ़त 0.16% है। अगर खिलाड़ी एक मिलियन हैंड पर फ्लैट बेट लगाता है, तो भी हारने की संभावना लगभग 8.6% होगी। बॉस मीडिया के सिंगल प्लेयर गेम में, जिसमें खिलाड़ी की बढ़त 0.07% है, एक मिलियन हैंड के बाद हारने की संभावना लगभग 27.5% है।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता.

मुझे शक है कि कुछ संख्याएँ दूसरों की तुलना में ज़्यादा संभावित हैं। मेरी सलाह है कि आप कुछ भी चुन लें, इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता।

आप चाहे जितने भी गेम खेलें, आपका कुल अपेक्षित रिटर्न एक जैसा ही रहेगा। बेशक, आप जितनी ज़्यादा मशीनें खेलेंगे, किसी संख्या के हिट होने की संभावना उतनी ही ज़्यादा होगी, लेकिन अगर सभी मशीनें मिस हो जाएँ, तो आप ज़्यादा पैसे गँवाएँगे।

पै गो पोकर सबसे कम अस्थिर है और औसतन केनो सबसे अधिक अस्थिर है।

नेवादा में, और मुझे लगता है कि संयुक्त राज्य अमेरिका के अन्य प्रमुख जुआ बाज़ारों में भी, गेंदें सचमुच यादृच्छिक होती हैं और परिणाम गेंदों द्वारा निर्धारित होते हैं। हालाँकि, क्लास II स्लॉट्स में, जो कभी-कभी भारतीय कैसीनो में पाए जाते हैं, कुछ भी हो सकता है।

बराबरी वाली बाजी जीतने की प्रायिकता कॉम्बिन (40,10)*कॉम्बिन (40,10)/कॉम्बिन (80,20) = 0.203243 है। 3 से 1 के अनुपात में भुगतान करने पर हाउस एज 18.703% है। चित (या पट) वाली बाजी जीतने की प्रायिकता (1-0.20343)/2 = 0.398378 है। सम राशि का भुगतान करने पर हाउस एज 20.324% है।

तारीफ़ आपको हर जगह ले जाएगी। n चितों के लिए संयोजनों की संख्या combin (40,n)*combin(40,20-n) है। यह ऊपर की 40 में से n संख्याएँ और नीचे की 40 में से 20-n संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या है। नीचे दी गई तालिका 0 से 20 चित आने की संभावना दर्शाती है।



इससे पता चलता है कि 11 से 20 बार चित आने की संभावना 39.84% है, जबकि हाउस एज 20.32% है। 10 बार ठीक चित आने की संभावना 20.32% है, जबकि हाउस एज 18.70% है।

सभी 20 के हिट होने की प्रायिकता, कॉम्बिन (80,20) में 1 है = 3,535,316,142,212,180,000। इसलिए ऑड्स लगभग 3.5 क्विंटिलियन से एक के आसपास हैं। मान लीजिए कि पृथ्वी पर 5 अरब लोग हैं, और वे सभी हफ़्ते में एक बार खेलते हैं, तो औसतन हर 13.56 मिलियन वर्षों में एक विजेता होगा। ज़्यादातर कैसीनो 20 के करीब हिट होने पर समान राशि का भुगतान करते हैं। उदाहरण के लिए, लास वेगास हिल्टन 20 में से 17 या उससे ज़्यादा हिट करने पर $20,000 का भुगतान करता है। मैंने कभी किसी के 20 में से 20 हिट करने के बारे में नहीं सुना, और मुझे बहुत संदेह है कि ऐसा कभी हुआ होगा।

मैं इससे सहमत नहीं हूँ। मैं एक भी बड़े स्ट्रिप कसीनो के बारे में नहीं सोच सकता जहाँ केनो लाउंज न हो। आमतौर पर केनो के बिना सिर्फ़ वेगास के उपनगरों में स्थित स्थानीय कसीनो ही होते हैं, क्योंकि हममें से ज़्यादातर स्थानीय लोग जानते हैं कि केनो एक बेवकूफ़ी भरा खेल है।

पी.एस. बाद में एक पाठक ने मुझे सही करते हुए लिखा कि लास वेगास में न्यूयॉर्क कैसीनो ने अपना केनो लाउंज हटा दिया है।

मुझे उम्मीद है आप खुश होंगे, मैंने पूरा दिन इसी पर लगा दिया। सिमुलेशन लिखने और चलाने के बाद मुझे पता चला कि किसी भी 3 पंक्तियों में 11 या उससे ज़्यादा अंक होने की संभावना 86.96% है! इससे दूसरे पक्ष को लड़ने का मौका भी नहीं मिल रहा है। आप 12 अंक तक जा सकते हैं और फिर भी जीतने की संभावना 53.68% या 7.36% का फ़ायदा उठा सकते हैं। हालाँकि, मुझे लगता है कि आपने खाली पंक्ति वाले दांव का ग़लत पक्ष चुना है। कम से कम एक खाली पंक्ति होने की संभावना सिर्फ़ 33.39% है, बेहतर होगा कि आप कोई खाली पंक्ति न होने के दूसरे पक्ष पर दांव लगाएँ। जब मैं यह कर रहा था, तब मैंने कई अन्य संभावनाओं पर भी विचार किया और उन्हें केनो प्रॉप्स के एक नए पृष्ठ पर डाल दिया। यहाँ उस पृष्ठ से इन और अन्य अच्छे सम-धन वाले दांवों की एक सूची दी गई है। अच्छा पक्ष सूचीबद्ध है।

लाइव केनो की तरह ही इसमें भी आप जो भी चुनें, संभावनाएं एक जैसी ही रहती हैं, लेकिन वे खेल में निकाली जाने वाली गेंदों से स्वतंत्र होती हैं।

यह वास्तव में एक बहुत ही कठिन समस्या है। आपकी चार गेंदों में से किसी एक के, बार-बार निकाले जाने सहित, कितनी बार निकाले जाने की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है। मुश्किल हिस्सा यह निर्धारित करना है कि x अलग-अलग पिक्स चुने जाने की प्रायिकता क्या होगी, बशर्ते कि कोई भी पिक y बार चुनी गई हो। मैंने अपने MathProblems.info पृष्ठ, समस्या 205 पर उत्तर और समाधान दर्शाया है।

1/2.

अगर हम तुलना के लिए केनो का इस्तेमाल करें, तो हर व्यक्ति में 40 जीन होंगे, जिनमें से प्रत्येक एक केनो बॉल द्वारा दर्शाया जाएगा। हालाँकि, प्रत्येक बॉल का एक विशिष्ट नंबर होगा। जब दो लोग, जो आपस में संबंधित नहीं हैं, संभोग करते हैं, तो यह ऐसा है जैसे दोनों ने 80 गेंदों को एक हॉपर में मिला दिया हो, और संभोग से उत्पन्न संतानों के लिए यादृच्छिक रूप से 40 जीन चुन लिए हों।

तो जब आप गर्भवती हुईं, तो आपको हॉपर में आधी गेंदें मिलीं, और बाकी आधी बेकार हो गईं। जब आपके भाई या बहन का गर्भाधान हुआ, तो उन्हें आपके जन्म के समय निकाली गई गेंदों में से आधी मिलीं, और आधी जो नहीं निकाली गईं। तो आप आनुवंशिक रूप से 50% समान हैं। ठीक उसी तरह जैसे कि अगर केनो में 40 नंबर निकाले जाते हैं, तो दो लगातार निकाले गए नंबरों में औसतन 20 गेंदें समान होती हैं।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

हमारे अन्य पाठकों को याद दिला दूँ कि क्लियोपेट्रा केनो पारंपरिक केनो की तरह ही खेला जाता है, सिवाय इसके कि अगर आखिरी गेंद खिलाड़ी की पसंद से मेल खाती है और जीत हासिल होती है, तो खिलाड़ी 2x गुणक के साथ 12 मुफ़्त गेम भी जीतेगा। मुफ़्त गेम से ज़्यादा मुफ़्त गेम नहीं मिलते।

आपने पिक्स की संख्या या पे टेबल नहीं बताई, तो चलिए उदाहरण के तौर पर 3-10-56-180-1000 पिक-8 पे टेबल का इस्तेमाल करते हैं। सबसे पहले, रिटर्न की गणना करते हैं।

केनो में y में से x गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या, 20 में से x गेंदें और 60 में से yx गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या के बराबर है। एक्सेल में, यह combin(20,x)*combin(60,yx) के बराबर है। एक और अनुस्मारक के रूप में, combin(x,y) = x!/(y!*(xy)!)। अंततः x! = 1*2*3*...*x।

अब जब यह समीक्षा पूरी हो गई है, तो उस भुगतान तालिका की वापसी तालिका यहाँ दी गई है। दाएँ कॉलम में जीत का अपेक्षित वर्ग दिखाया गया है, जिसकी हमें बाद में ज़रूरत पड़ेगी।

अब, औसत बोनस की गणना करते हैं। ऊपर दी गई तालिका से हम देख सकते हैं कि बोनस को छोड़कर, औसत जीत 0.593301 है। बोनस में, खिलाड़ी को 12 दोगुने मुफ़्त स्पिन मिलते हैं। इस प्रकार, बोनस से अपेक्षित जीत 2×12×0.593301 = 14.239212 है।

अब, बोनस जीतने की प्रायिकता की गणना करते हैं। अगर खिलाड़ी चार संख्याएँ पकड़ता है, तो 20वीं गेंद के उन 4 में से एक होने की प्रायिकता 4/20 है। सामान्य तौर पर, अगर खिलाड़ी c पकड़ता है, तो 20वीं गेंद के जीत में योगदान देने की प्रायिकता c/20 है।

बोनस जीतने का सूत्र है: संभावना (कैच 4)*(4/20) + संभावना (कैच 5)*(5/20) + संभावना (कैच 6)*(6/20) + संभावना (कैच 7)*(7/20) + संभावना (कैच 8)*(8/20)। ऊपर दी गई रिटर्न तालिका से हम किसी भी जीत की संभावना जानते हैं। तो, बोनस जीतने की संभावना है:

0.081504*(4/20) + 0.018303*(5/20) + 0.002367*(6/20) + 0.000160*(7/20) + 0.000004*(8/20) = 0.021644.

बोनस जीतने की संभावना और औसत बोनस जीत के साथ, हम बोनस से रिटर्न की गणना 0.021644 × 14.239212 = 0.308198 के रूप में कर सकते हैं।

हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन खेल के लिए कुल रिटर्न, बेस गेम से रिटर्न और बोनस से रिटर्न का योग है, जो 0.593301 + 0.308198 = 0.901498 के बराबर है।

अब, आइए वास्तविक विचरण पर आते हैं। याद दिला दें कि विचरण का एक सामान्य सूत्र है:

var(x + y) = var(x) + var(y) + 2*cov(x,y), जहाँ var प्रसरण को दर्शाता है और cov सहप्रसरण को दर्शाता है। इस खेल के इस मामले में:

कुल विचरण = var(बेस गेम) + var(बोनस) + 2*cov(बेस गेम और बोनस).

विचरण का मूल सूत्र E(x^2) - [E(x)]^2 है। दूसरे शब्दों में, जीत का अपेक्षित वर्ग, अपेक्षित जीत के वर्ग से घटाकर।

तो चलिए, बेस गेम के प्रसरण से शुरुआत करते हैं। याद कीजिए, मैंने पहले कहा था कि हमें पहली तालिका से अपेक्षित जीत का वर्ग चाहिए होगा। उस पहली तालिका के निचले दाएँ कक्ष में अपेक्षित जीत का वर्ग 19.530214 दिखाया गया है। हम पहले से ही जानते हैं कि अपेक्षित जीत 0.593301 है। इस प्रकार, बेस गेम का प्रसरण 19.530214 - 0.593301 ² = 19.178208 है।

अब, बोनस का विचरण (variance) निकालते हैं (यह मानते हुए कि बोनस पहले ही मिल चुका है)। इसके लिए, याद रखें कि:

var(ax) = a ² x, जहाँ a एक स्थिरांक है।

यह भी याद रखें कि n यादृच्छिक चर x का प्रसरण nx है।

जैसा कि कहा गया है, यदि बोनस गेम में आधार जीत x है, तो पूरे बोनस का प्रसरण 2 ² × 12 × x है। जैसा कि हम ऊपर से जानते हैं, बोनस को छोड़कर, आधार गेम में एक स्पिन का प्रसरण 19.178208 के बराबर है। इसलिए, बोनस का प्रसरण, बशर्ते कि बोनस पहले ही हिट हो चुका हो, 2 ² × 12 × 19.178208 = 920.554000 है।

हालाँकि, हमें पहली गेंद निकाले जाने से पहले बोनस का प्रसरण जानना होगा, जिसमें बोनस के न जीतने की संभावना भी शामिल है। नहीं, हम बोनस के प्रसरण को उसके जीतने की प्रायिकता से गुणा नहीं कर सकते। इसके बजाय, याद रखें कि var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2। आइए इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करें:

ई(x^2) = var(x) + [ई(x)]^2

हम बोनस का माध्य और विचरण जानते हैं, इसलिए बोनस में अपेक्षित जीत का वर्ग 920.554000 + 19.178208 ² = 1123.309169 है।

इसलिए, पहली गेंद निकाले जाने से पहले बोनस से जीत का अपेक्षित वर्ग, प्रायः (बोनस) × E(x^2) = 0.021644 × 1123.309169 = 24.313239 है।

हमने पहले ही गणना कर ली है कि पहली गेंद से पहले बोनस से अपेक्षित जीत 0.308198 है। इसलिए, पहली गेंद से पहले बोनस का कुल विचरण 24.313239 - 0.308198 ² = 24.218253 है।

अगला चरण सहप्रसरण की गणना करना है। आप पूछ सकते हैं, "आधार जीत और बोनस जीत के बीच सहसंबंध क्यों है?" ऐसा इसलिए है क्योंकि बोनस को ट्रिगर करने के लिए खींची गई आखिरी गेंद का जीत में योगदान होना ज़रूरी है। यह मानते हुए कि आखिरी गेंद ने जीत में योगदान दिया है, औसत जीत बढ़ जाती है। याद दिला दें कि बेयस का स्थिति प्रायिकता सूत्र कहता है:

P(A दिया गया B) = P(A और B)/P(B).

अब हम बेस गेम के लिए अपनी रिटर्न तालिका को पुनः तैयार करते हैं, यह देखते हुए कि अंतिम गेंद हिट थी:

नीचे के दाहिने सेल से पता चलता है कि यह मानते हुए कि अंतिम गेंद हिट थी, औसत जीत 6.757734 है।

इसके बाद, अपने कॉलेज की सांख्यिकी कक्षा से याद करें कि:

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) .

हमारे मामले में, मान लीजिए x = बेस गेम जीत और y = बोनस जीत। आइए पहले exp(xy) पर काम करें।

Exp(xy) = prob(बोनस जीता)*(औसत बेस गेम जीत, बोनस जीता दिया गया)*औसत(बोनस जीत) + prob(बोनस नहीं जीता)*(औसत बेस गेम जीत, बोनस नहीं जीता दिया गया)*औसत(बोनस जीत, बोनस नहीं जीता दिया गया)। यह कहना आसान है कि औसत(बोनस जीत, बोनस नहीं जीता दिया गया) = 0, इसलिए हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

Exp(xy) = prob(बोनस जीता)*(औसत बेस गेम जीत दिया गया बोनस जीता)*औसत(बोनस जीत) =

0.021644 × 6.757734 × 14.239212 = 2.082719.

हमने पहले ही E(x) और E(y) के लिए हल निकाल लिया है, इसलिए सहप्रसरण है:

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) = 2.082719 - 0.593301 × 0.308198 = 1.899865।

आइए सहप्रसरण के मामले में विचरण के समग्र समीकरण पर वापस जाएं:

कुल विचरण = var(बेस गेम) + var(बोनस) + 2*cov(बेस गेम और बोनस) = 19.178208 + 24.218253 + 2×1.899865 = 47.196191. मानक विचलन इसका वर्गमूल है, जो 6.869948 है।

तो लीजिए, लीजिए। इसमें मुझे घंटों लग गए, तो उम्मीद है आप खुश होंगे।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

थोड़ी रिसर्च करने पर, मुझे पता चला कि यह कोई साइड बेट नहीं है, बल्कि पिक-20 टिकट पर ज़ीरो कैच करने पर मिलने वाला पैसा है। स्टेशन कैसिनो के पिक-20 टिकट का मेरा पूरा विश्लेषण यहाँ दिया गया है।

निचले दाएं सेल से पता चलता है कि टिकट का कुल रिटर्न 69.70% है, जो लाइव केनो के लिए विशिष्ट है।

0 को पकड़ने के बारे में प्रश्न का उत्तर देने के लिए, संभावना स्तंभ दर्शाता है कि इसकी संभावना 0.001186 है और 1 के लिए 200 की जीत पर, यह रिटर्न की ओर 23.71% रिटर्न देता है।

निम्न तालिका संयोजनों की संख्या, प्रायिकता और सबसे कम गेंद (गेंद और प्रायिकता का गुणनफल) में योगदान दर्शाती है। निचले दाएँ कक्ष में अपेक्षित सबसे कम गेंद 9.1818182 दिखाई गई है।

इस तरह के प्रश्नों को हल करने का एक आसान तरीका है, जहाँ सबसे छोटी गेंद 1 है। सबसे छोटी गेंद का सूत्र (m+1)/(b+1) है, जहाँ m गेंद का अधिकतम मान है और b गेंदों की संख्या है। इस स्थिति में, m=100 और n=10 है, इसलिए सबसे छोटी गेंद 101/11 = 9.181818 है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।