क्रेप्स - संभावना

इसे 3-4-5X ऑड्स कहते हैं, और अब यह काफी आम हो गया है। नीचे दी गई तालिका में पास और ऑड्स को मिलाकर, पूरे ऑड्स के साथ, सभी संभावित परिणाम दिखाए गए हैं।

प्रति पास लाइन बेट का मानक विचलन 4.915632 है।

प्रति शूटर रोल की औसत संख्या 8.525510 है। ठीक 2 से 200 रोल की संभावना के लिए, कृपया मेरा क्रेप्स सर्वाइवल प्रायिकता पृष्ठ देखें।

स्थापित किए गए 100 अंकों में से, औसतन 41.67 अंक 6 या 8 पर, 33.33 अंक 5 या 9 पर तथा 25.00 अंक 4 या 10 पर होंगे। आप औसतन 18.94 अंक 6 या 8 पर, 13.33 अंक 5 या 9 पर तथा 8.33 अंक 4 या 10 पर बनने की उम्मीद कर सकते हैं।

खैर, गलती तो कोई भी कर सकता है, लेकिन क्रेप्स का गणितीय विश्लेषण करना आसान है, इसलिए मुझे पूरा विश्वास है कि क्रेप्स पर मेरी जीत की संभावनाएँ सही हैं। हाँ, किसी न किसी रूप में जुआ खेलना मेरा पूर्णकालिक स्व-नियोजित पेशा है। पिछले कुछ सालों में मैं अटलांटिक सिटी कई बार गया हूँ, लेकिन दो महीने पहले मैं लास वेगास चला गया। इसलिए, मुझे डर है कि अब मैं अटलांटिक सिटी को अपनी उपस्थिति से ज़्यादा शोभा नहीं दे पाऊँगा। जब भी संभव हो, मैं यादृच्छिक सिमुलेशन के बजाय संयोजनात्मक दृष्टिकोण को प्राथमिकता देता हूँ। किसी भी तरह से, मैं विज़ुअल C++ के साथ अपना खुद का सॉफ़्टवेयर चलाता हूँ। यादृच्छिक संख्याओं के लिए मैं मेर्सन ट्विस्टर का उपयोग करता हूँ।

आपके स्नेहपूर्ण शब्दों के लिए धन्यवाद। ये रहे मेरे उत्तर।

1. अगर हम हाउस एज को हर अनसुलझे दांव (टाई को छोड़कर) पर अपेक्षित नुकसान के रूप में परिभाषित करें, तो डोंट पास पर हाउस एज 1.40% होगी, जो पास लाइन बेट पर 1.41% से थोड़ा ही कम है। अगर खिलाड़ी डोंट पास पक्ष पर ज़्यादा पैसा दांव पर लगा सकता है, जो कि असली कैसीनो में होता है, लेकिन इंटरनेट कैसीनो में नहीं, तो संयुक्त हाउस एज डोंट पास पक्ष के पक्ष में उतना ही ज़्यादा होगा जितना ज़्यादा ऑड्स की अनुमति होगी।

2. मान लीजिए कि खिलाड़ी कम आउट रोल के दौरान अपने ऑड्स को चालू रखता है, तो अगर खिलाड़ी ऑड्स के साथ कम बेट्स भी जोड़ता है, तो कुल हाउस एज में कोई बदलाव नहीं आता। हालाँकि, अगर खिलाड़ी ऑड्स को बंद रखता है, जो कि डिफ़ॉल्ट नियम है, तो कम बेट्स जोड़ने से कुल हाउस एज वास्तव में थोड़ा बढ़ जाएगा।

आपका स्वागत है, आपके स्नेहपूर्ण शब्दों के लिए धन्यवाद। बिना 7 के n बार पासा फेंकने और फिर 7 आने की प्रायिकता (5/6) ⁿ *(1/6) है। अगली बार बिना सात के n पासा फेंकने की प्रायिकता (5/6) ⁿ होगी। अतः बिना सात के कम से कम चार बार पासा फेंकने की प्रायिकता (5/6) ⁴ =625/1296=0.4823 होगी।

पास/आओ बेट के संभावित परिणाम और उनसे संबंधित संभावनाएं निम्नलिखित हैं:

• कम आउट रोल पर खिलाड़ी की जीत: 22.22%
• खिलाड़ी कम आउट रोल पर हारता है: 11.11%
• खिलाड़ी एक अंक पर जीतता है: 27.07%
• खिलाड़ी एक अंक पर हारता है: 39.60%

अतः खिलाड़ी 3.7 रोल में से लगभग 1 अंक पर जीतेगा।

यह एक अच्छा सवाल है। ज़ाहिर है, भीड़ के साथ खेलना ज़्यादा मज़ेदार होता है, बजाय इसके कि उसके ख़िलाफ़ खेला जाए। सवाल यह है कि भीड़ पास लाइन को क्यों पसंद करती है? शायद यह सिर्फ़ एक परंपरा है। हो सकता है कि जब लोगों ने निजी खेलों में क्रेप्स खेलना शुरू किया था, तब पास न करना एक विकल्प ही नहीं था।

अच्छा सवाल है। आइए इसे $100 के दांव के बजाय इकाइयों में सोचें। आप हमेशा पास या कम पर दांव लगाएँगे। किसी भी दिए गए रोल पर 4 पर पुराने पास या कम दांव की संभावना 3/9 है। यह संभावना है कि पुराने रोल को देखने पर आपको 7 से पहले 4 मिलेगा। इसी तरह 5 पर दांव लगाने की संभावना 4/10 और 6 पर 5/11 है। तो औसत समग्र दांव 1+pr(4)+pr(5)+pr(6)+pr(8)+pr(9)+pr(10) = 1+3/9 + 4/10 + 5/11 + 5/11 + 4/10 + 3/9 = 3.3758 इकाइयाँ हैं। यह औसत शुरुआत में सही नहीं होगा, जब आप खेल में प्रवेश कर रहे होंगे। यह केवल तभी लागू होगा जब सभी अंक संख्याएँ और 7 कम से कम एक बार पहले ही आ चुके हों।

हार्ड 4 बेट जीतने की संभावना 1/9 है। इसलिए लगातार चार बार जीतने की संभावना (1/9) ⁴ = 6561 में 1 है।

अच्छा सवाल। जो लोग सवाल नहीं समझ पा रहे हैं, उनके लिए बता दूँ कि जब तक अन्यथा न पूछा जाए, कम आउट रोल पर कम आउट बेट्स के ऑड्स सक्रिय नहीं होते। इसलिए अगर खिलाड़ी कम आउट रोल पर सात रोल करता है, तो कोई भी कम बेट हार जाएगा और कम बेट्स के ऑड्स वापस कर दिए जाएँगे। इसी तरह, अगर कम बेट पर खिलाड़ी का पॉइंट कम आउट रोल पर रोल किया जाता है, तो कम बेट जीत जाएगा, लेकिन ऑड्स पुश हो जाएँगे। इसका जवाब इस बात पर निर्भर करता है कि हम हाउस एज को कैसे परिभाषित करते हैं। अगर हम इसे कुल बेट्स में अपेक्षित नुकसान के रूप में परिभाषित करते हैं, तो ऑड्स को बंद करने से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ेगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि खिलाड़ी अभी भी ऑड्स पर बेट लगा रहा है और अगर इसे पुश के रूप में वापस किया जाता है, तब भी इसे बेट ही माना जाएगा। हालाँकि, अगर आप हाउस एज को हल किए गए बेट्स में अपेक्षित नुकसान के रूप में परिभाषित करते हैं, तो कम आउट रोल पर ऑड्स को बंद करने से वास्तव में हाउस एज बढ़ जाती है। मैंने इस प्रभाव को निर्धारित करने के लिए एक कंप्यूटर सिमुलेशन लिखा है। मान लीजिए कि खिलाड़ी पाँच गुना ऑड्स लेता है, तो कम आउट रोल पर ऑड्स को बंद करने से कुल हल किए गए दांवों में नुकसान का अनुपात 0.326% से बढ़कर 0.377% हो जाता है, यानी 0.051% की वृद्धि। इसलिए, अगर आप हल किए गए दांवों पर अपना रिटर्न अधिकतम करना चाहते हैं, तो कम आउट रोल पर ऑड्स को चालू ही रहने दें।

मैं आपको यकीन दिलाता हूँ कि यह बस एक संयोग है। क्रेप्स में सटीक हाउस एज 7/495 है, जो परिभाषा के अनुसार एक परिमेय संख्या होनी चाहिए। वास्तव में, मैं तर्क दूँगा कि सभी कैसीनो खेलों में हाउस एज एक परिमेय संख्या होनी चाहिए क्योंकि सभी खेलों में संभावित परिणामों की संख्या सीमित होती है, जिसके परिणामस्वरूप एक पूर्ण भिन्न का हाउस एज बनता है। 2 एक पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए परिभाषा के अनुसार 2 का वर्गमूल अपरिमेय होना चाहिए। इसलिए दोनों संख्याएँ बराबर नहीं हो सकतीं। विशेष रूप से, $100 की पास लाइन बेट पर हाउस एज $1.41414141 होगा... 2 का वर्गमूल 1.4142135623731 है...

तारीफ़ के लिए शुक्रिया। मैं मैच प्ले लेने की सलाह देता हूँ। मुझे यकीन है कि स्लॉट प्ले में $100 का खेल खास तौर पर चुनी गई मशीनों पर हुआ होगा। अनुभवजन्य साक्ष्यों के आधार पर, मेरा मानना है कि ये मुफ़्त प्ले स्लॉट बेहद कंजूस हैं, और लगभग 25% वापस देने के लिए तैयार हैं। उस मैच प्ले की कीमत लगभग 48 सेंट प्रति डॉलर है। मैं क्रेप्स में "डोंट पास" पर दांव लगाने की सलाह देता हूँ। मैं ब्लैकजैक की बजाय इसे इसलिए पसंद करता हूँ क्योंकि ब्लैकजैक में जीतने की संभावना कम होती है, जिससे मैच प्ले का मूल्य कम हो जाता है। अधिक जानकारी के लिए कृपया मेरा 30 अक्टूबर 2001 का कॉलम देखें।

अच्छा सवाल। उनके गणित की पुष्टि के लिए, मैंने 12 पर 3 से 1 के अनुपात वाले फ़ील्ड बेट के आधार पर निम्नलिखित तालिका बनाई है। नीचे दाएँ सेल में $22 के बेट पर 25 सेंट का अपेक्षित नुकसान दिखाया गया है। इसलिए हाउस एज वास्तव में .25/22 = 1.136% है।

समग्र हाउस एज प्रत्येक व्यक्तिगत दांव की हाउस एज से कम प्रतीत होने का कारण यह है कि प्लेस बेट्स पर हाउस एज को आम तौर पर प्रति दांव समाधान पर अपेक्षित खिलाड़ी हानि के रूप में मापा जाता है।

हालाँकि, इस मामले में खिलाड़ी केवल एक रोल के लिए ही प्लेस बेट्स को बनाए रखता है। इससे प्लेस बेट्स पर हाउस एज 5 और 9 पर 4.00% से घटकर 1.11% और 6 और 8 पर 1.52% से घटकर 0.46% हो जाता है।

आप शुद्धतावादियों के लिए जो सोचते हैं कि मैं दांव के समाधान के अनुसार (या टाई को अनदेखा करते हुए) स्थान दांव पर घर की बढ़त को मापने में असंगत हूं, तो मैं आपको मेरे क्रेप्स परिशिष्ट 2 पर जाने के लिए आमंत्रित करता हूं जहां सभी क्रेप्स दांव प्रति रोल (टाई सहित) मापा जाता है।

सबसे पहले, यदि किसी घटना की संभावना p है तो उसके घटित होने के लिए अपेक्षित प्रयासों की संख्या 1/p है। आइए x को प्रति निशानेबाज के रोल की अपेक्षित संख्या कहें। किसी भी राउंड के एक रोल (2, 3, 7, 11, या 12 के साथ) में समाप्त होने की संभावना 1/3 है। यदि खिलाड़ी कम आउट रोल पर 4 या 10 रोल करता है तो अतिरिक्त रोल की अपेक्षित संख्या 4 है, क्योंकि 4 या 7 रोल करने की संभावना (6+3)/36 = 1/4 है। इसी तरह यदि खिलाड़ी कम आउट रोल पर 5 या 9 रोल करता है तो अतिरिक्त रोल की अपेक्षित संख्या 3.6 है और 6 या 8 के लिए 36/11 है। यह मानते हुए कि एक बिंदु फेंका गया था, इसके 4 या 10 होने की संभावना 3/12 है, 5 या 9 4/12 है, और 6 या 8 5/12 है। तो प्रति राउंड अपेक्षित थ्रो की संख्या 1+(2/3)*((3/12)*4 + (4/12)*3.6 + (5/12)*(36/11)) = 3.375758 है। इसके बाद, खिलाड़ी द्वारा सेवन आउट करने की प्रायिकता (2/3)*((3/12)*(2/3) + (4/12)*(3/5) + (5/12)*(6/11)) = 0.39596 है। खिलाड़ी द्वारा सेवन आउट न करने की प्रायिकता 1 - 0.39596 = 0.60404 है। तो...

x = 3.375758 + 0.60404*x
0.39596*x = 3.375758
x = 8.52551

अभी भी ऐसे वीडियो पोकर गेम हैं जो सही रणनीति के साथ 100% से ज़्यादा का भुगतान करते हैं। मैंने लास वेगास के फिएस्टा रैंचो और स्लॉट्स-ए-फन में एक ब्लैकजैक गेम भी देखा है जिसमें बुनियादी रणनीति का फ़ायदा था। जैसा कि मैं अपने स्पोर्ट्स बेटिंग सेक्शन में तर्क देता हूँ, पॉइंट स्प्रेड के मुक़ाबले घर पर NFL अंडरडॉग्स पर दांव लगाने से भी ऐतिहासिक फ़ायदा हुआ है। तो क्रेप्स में 100x ऑड्स अभी भी सबसे अच्छे दांवों में से एक है, लेकिन सबसे अच्छा नहीं। हाँ, 0.014% का मतलब है कि हर $100 के दांव पर आपको औसतन 1.4 सेंट का नुकसान होता है।

मैं मानता हूँ कि यह डीलरों का एक बहुत ही गलत फैसला और खराब सलाह है। एक बार 6 या 8 पॉइंट रोल हो जाने पर, डोंट पास या डोंट कम बेट पर खिलाड़ी की बढ़त (6/11)*1 + (5/11)*-1 = 1/11 = 9.09% होती है। "कोई कार्रवाई नहीं" करना, इसे 1.36% हाउस एज वाली बेट के लिए बदलने के समान है। इसलिए इस फैसले से खिलाड़ी को 10.45% का नुकसान होता है। जो भी डीलर इसे बढ़ावा दे रहे हैं, मैं उन्हें धिक्कारता हूँ।

निम्न तालिका दर्शाती है कि हाउस एज 5.56% है।

कम दांव

कुल	युग्म	संभावना	भुगतान करता है	वापस करना
कठिन 6,8	2	0.055556	2	0.111111
सॉफ्ट 6,8	8	0.222222	1	0.222222
7	6	0.166667	1	0.166667
अन्य सभी	20	0.555556	-1	-0.555556
कुल	36	1		-0.055556

जितने कम सेवेन होंगे, पास लाइन बेट के पक्ष में ऑड्स उतने ही ज़्यादा होंगे। निम्नलिखित तालिका सेवेन के प्रतिशत के अनुसार हाउस एज को दर्शाती है, यह मानते हुए कि अन्य सभी संख्याओं की प्रायिकता उचित प्रायिकता के समानुपाती है।

क्रेप्स में हाउस एज सात संभावनाओं के अनुसार

सात संभावना	पास हाउस एज	हाउस एज से आगे न बढ़ें
15.000%	-0.666%	3.499%
15.333%	-0.202%	3.024%
15.667%	0.237%	2.574%
16.000%	0.652%	2.148%
16.333%	1.044%	1.744%
16.667%	1.414%	1.364%
17.000%	1.762%	1.005%
17.333%	2.089%	0.667%
17.667%	2.395%	0.349%
18.000%	2.682%	0.051%
18.333%	2.949%	-0.227%

मुझे क्रेप्स दांवों के संयोजनों के बारे में बहुत सारे प्रश्न मिलते हैं। आमतौर पर मैं उनका उत्तर नहीं देता, लेकिन जब आप मुझे "महान और शक्तिशाली जादूगर" कहकर संबोधित करते हैं, तो आपको उत्तर मिलने की संभावना बहुत बढ़ जाती है। आपकी गलती यह है कि दोनों दांव हमेशा हल नहीं होते। जब आप 6 या 8 में से कोई एक जीतते हैं, तो आप दूसरा दांव कम कर देते हैं, जिससे अपेक्षित नुकसान कम हो जाता है क्योंकि आप कम दांव लगा रहे होते हैं। तो आपका गणित सही है, लेकिन आप सेब और संतरे की तुलना कर रहे हैं।

आप सही कह रहे हैं, क्रेप्स में सिर्फ़ पासे ही नतीजा तय नहीं कर सकते। पासों की जगह ताश के पत्तों का इस्तेमाल करने के कई तरीके हैं और फिर भी ऑड्स बिल्कुल एक जैसे ही रहते हैं। एक तरीका है दो अलग-अलग डेक इस्तेमाल करना, जिससे कार्ड निकालने का कोई असर नहीं पड़ता। दूसरा तरीका है 7 पत्तों का डेक, जिसमें 1 से 6 तक की संख्याएँ हों, और एक सातवाँ "डबल" कार्ड हो। पहला निकाला गया पत्ता कभी भी डबल कार्ड नहीं हो सकता। अगर ऐसा है, तो उसे वापस डाल दिया जाता है और यही प्रक्रिया शुरू से दोहराई जाती है। अगर डबल कार्ड दूसरी बार निकाला जाता है, तो उसे पहले निकाले गए अंक के रूप में गिना जाता है। कैसीनो चाहे इसे कैसे भी करे, मैंने कभी ऐसे किसी मामले का ठोस सबूत नहीं देखा जहाँ ऑड्स दो पासों के इस्तेमाल से अलग हों। इसलिए मुझे लगता है कि आप नियमों से कुछ छूट दे रहे हैं।

हाँ, एक कहानी टेप पर थी जिसमें UNLV के कुछ फ्रैट लड़के एक उच्च-स्तरीय टेलीविज़न खरीदने के लिए $1,000 को $5,000 में बदलने की कोशिश कर रहे थे। उन्होंने इस लक्ष्य को जल्दी से हासिल करने के सर्वोत्तम तरीकों पर मेरी सलाह ली। मैं गोल्डन नगेट के खेलों तक ही सीमित था। नगेट में क्रेप्स में 10 गुना ऑड्स होते हैं, जिससे मुझे लगा कि लक्ष्य हासिल करने का अवसर मिलता है। मेरी रणनीति थी कि हर कम आउट रोल पर न्यूनतम (बैंकरोल/11, (5000-बैंकरोल)/21) पर दांव लगाऊँ, जो सुविधाजनक राउंडिंग के अधीन है, और अधिकतम ऑड्स ले लूँ। इस तरह हम 4 या 10 की जीत के बाद कभी भी $5,000 से ऊपर नहीं जाएँगे, हमारे पास हमेशा पूरे ऑड्स लेने के लिए पर्याप्त राशि होगी, और अगर हमारे पास $5,000 तक पहुँचने के लिए पर्याप्त राशि नहीं होगी, तो हम अधिकतम राशि का जोखिम उठाएँगे।

पहले दांव के लिए, इस फॉर्मूले के अनुसार पास लाइन पर $90.91 का दांव लगाना होता, लेकिन मैंने इसे $100 तक बढ़ा दिया। फिर एक पॉइंट आया, शायद 6 या 8। दूसरे रोल पर शूटर सात अंक पर आउट हो गया। यानी पूरा ग्रैंड दो रोल में ही हार गया। ज़ाहिर है, यह टीवी पर ज़्यादा मनोरंजक नहीं रहा और यह कहानी कभी प्रसारित नहीं हुई।

मुझे लगता है कि दो सवाल पूछे जा सकते हैं: (1) मैंने उन्हें पास पर दांव लगाने को क्यों कहा, न कि पास न होने पर, और (2) मैंने अपनी जेब से अतिरिक्त डॉलर जोड़कर, लाइन पर $91 और ऑड्स पर $910 का दांव क्यों नहीं लगाया। पहले सवाल का जवाब देने के लिए, मुझे लगता है कि जल्दी बड़ी जीत हासिल करने के लिए पास लाइन बेहतर है। हालाँकि कुल मिलाकर पास न होने पर हाउस एज कम है, मुझे लगा कि $5,000 के लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए अधिक रोल करने होंगे, जिससे हाउस एज पर अधिक पैसा खर्च होगा। दूसरे सवाल का जवाब देने के लिए, 9x ऑड्स और 10x ऑड्स के बीच बहुत अंतर नहीं है और मुझे लगा कि कम से कम शुरुआत में, केवल ब्लैक चिप्स पर दांव लगाना टेलीविजन पर बेहतर लगेगा।

जैसा कि मेरे ब्लैकजैक सेक्शन में दिखाया गया है, ब्लैकजैक में 2 से 1 का मान 2.27% है और 3 कार्ड पर डबलिंग का मान 0.23% है। बाकी नियम मानक लगते हैं। कुल मिलाकर, ब्लैकजैक गेम में हाउस एज में खिलाड़ी को 2.1% का लाभ होता है। क्रेप्स में 4 या 10 पर जीतने की संभावना (6/36) × (3/9) = 5.56% है। हर बार ऐसा होने पर आपको एक अतिरिक्त यूनिट मिलती है, इसलिए इसका मान 5.56% है। आम तौर पर कम बेट पर हाउस एज 1.41% होता है, इसलिए कुल मिलाकर इस नियम के तहत खिलाड़ी की बढ़त 4.15% है। इसलिए मैं मानता हूँ कि क्रेप्स खेलने के लिए बेहतर खेल था।

मुझे नहीं पता था कि क्रैपलेस क्रेप्स में बाय बेट भी होती है। नीचे दी गई तालिका प्लेस और बाय बेट्स के हाउस एज को दर्शाती है, यह मानते हुए कि जीत की राशि को राउंडिंग नहीं किया गया है। आपके उदाहरण में, 2 या 12 पर $30 की बाय बेट के लिए जीत 6*$30-$1=$179 होगी। इसलिए अपेक्षित रिटर्न [(1/7)*$179 + (6/7)*-$30] / $30 = -0.0048 है, इसलिए हम बहुत करीब हैं।

क्रैपलेस क्रेप्स में दांव लगाएं और खरीदेंक्रैपलेस क्रेप्स में दांव लगाएं और खरीदें

शर्त	भुगतान करता है	संभवतः जीत	हाउस एज
स्थान 2, 12	11 से 2	0.142857	0.071429
स्थान 3,11	11 से 4	0.25	0.0625
2, 12 खरीदें (कमीशन केवल जीत पर)	119 से 20	0.142857	0.007143
3,11 खरीदें (कमीशन केवल जीत पर)	59 से 20	0.25	0.0125
2, 12 खरीदें (कमीशन हमेशा)	119 से 21	0.142857	0.047619
3,11 खरीदें (कमीशन हमेशा)	59 से 21	0.25	0.047619

डीलरों को इस तरह सीमित करना बहुत कड़ा है। $2 के दांव पर हाउस एज 29.02% तक बढ़ जाता है, और $5 के दांव पर यह 41.94% हो जाता है।

फ़ायर बेट के मेरे विश्लेषण से हम देख सकते हैं कि एक शूटर के सभी छह अंक बनाने की संभावना 0.000162435 है। इसलिए, प्रति शूटर प्रमोशन का मूल्य $4,000 × 0.000162435 = 0.649739 है।

अगला सवाल यह है कि प्रति शूटर अपेक्षित नुकसान कितना है। पास लाइन बेट पर हाउस एज 7/495 = 1.414141% है। मुश्किल यह है कि एक शूटर औसतन कितने पास लाइन बेट लगाएगा।

शूटर चार संभावित स्थितियों में हो सकता है। आइए प्रत्येक को उस शूटर के लिए भविष्य के पास लाइन दांव की अपेक्षित संख्या के रूप में परिभाषित करें।

• A = बाहर आओ रोल
• B = 4 या 10 का अंक बना
• C = 5 या 9 का बिंदु बना
• D = 6 या 8 का बिंदु बना

यहां प्रत्येक अवस्था से अगली अवस्था की ओर ले जाने वाली संभावना को दर्शाने वाले समीकरण दिए गए हैं।

ए = 1 + (12/36)*ए + (6/36)*बी + (8/36)*सी + (10/36)*डी
बी = (1/3)*ए
सी = (2/5)*ए
डी = (5/11)*ए

थोड़ा सा बीजगणित करने पर A = 2.525510 प्राप्त होता है, जो प्रति शूटर द्वारा लगाए गए पास लाइन दांवों की संख्या है।

इसलिए, प्रति $5 शूटर की अपेक्षित हानि $5*2.525510*0.0141414 = 0.178571 है।

शूटर द्वारा अपेक्षित दांव राशि $5*2.525510=$12.627551 है।

अंत में, अपेक्षित रिटर्न, अपेक्षित जीत को अपेक्षित दांव से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: (0.649739-0.178571)/12.627551 = 3.73127%। इसलिए हाउस एज -3.73% है।

हाँ, प्रत्येक डबल की प्रायिकता 1/36 है। हालाँकि, आपको इसकी तुलना हारने वाले संयोजन की प्रायिकता से करनी होगी। हार्ड फोर के लिए, 8 हारने वाले रोल हैं (1-6, 2-5, 3-4 और 1-3 में से प्रत्येक दो), इसलिए जीतने की प्रायिकता 1/9 है। हार्ड सिक्स के लिए, दस हारने वाले रोल हैं (1-6, 2-5, 3-4, 1-5 और 2-4 में से प्रत्येक दो), इसलिए जीतने की प्रायिकता 1/11 है। हार्ड सिक्स ज़्यादा भुगतान करता है क्योंकि जीतने की प्रायिकता कम होती है।

क्रैपलेस क्रेप्स भी ये दो दांव लगाता है। 2 आने का एक तरीका है और 7 आने के छह तरीके हैं, इसलिए 2 पर प्लेस बेट जीतने की संभावना 1/7 है। यही संभावना 12 के लिए भी है। जैसा कि बैकारेट प्रश्न में बताया गया है, अगर किसी चीज़ की संभावना p है, तो उचित ऑड्स (1/p)-1 से 1 हैं। इस स्थिति में उचित ऑड्स 6 से 1 होंगे। हाउस एज को (ta)/(t+1) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ t वास्तविक ऑड्स है और a वास्तविक ऑड्स है। क्रैपलेस क्रेप्स में 2 और 12 पर प्लेस बेट 11 से 2 का भुगतान करता है। इस सूत्र का उपयोग करते हुए, 2 और 12 पर हाउस एज (6-5.5)/(6+1) = 0.5/7 = 7.14% है।

क्रैपलेस क्रैप्स में 3 और 11 का भुगतान 11 से 4 होता है। उसी सूत्र का उपयोग करते हुए, t=3, और a=2.75, इसलिए हाउस एज 0.25/4 = 6.25% है।

अगर हम हाउस एज (जो क्रेप्स में सही तरीके से खेलने पर बहुत कम होती है) को नज़रअंदाज़ कर दें, तो $1,000 हारने के बजाय $500 जीतने की संभावना 2/3 है। 5 में से 4 सत्रों में जीतने की संभावना 5×(2/3) ⁴ ×(1/3) = 32.9% होगी।

7 आने की प्रायिकता 1/6 है, और 12 आने की प्रायिकता 1/36 है। 7 आने की प्रायिकता, बशर्ते कि 7 या 12 आए, (1/6)/((1/6)+(1/36)) = 6/7 है। इसलिए, पहली छह बार 6 या 12 आने पर हर बार 6 आने की प्रायिकता (6/7) ⁶ = 39.66% है।

यदि आप प्रश्न को इस प्रकार बदलें कि 12 से पहले पाँच 6 आने की प्रायिकता क्या है, तो उत्तर (6/7) ⁵ = 46.27% है। चार बार आने पर यह (6/7) ⁴ = 53.98% है। इसलिए 12 से पहले 7 की कोई भी संख्या 50/50 नहीं है। यदि आप एक अच्छा दांव लगाना चाहते हैं, तो मेरा सुझाव है कि आप 12 से पहले चार 7 या पाँच 7 से पहले 12 लाएँ।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

इस बिंदु पर आने वाले रोल पर तीन संभावित परिणाम हैं।

1. सात बाहर.
2. पहले से बताए गए बिंदु को दोहराना (4 से 9)।
3. आउट रोल पर 10 रोल करना, और फिर उसे बनाना।

हमें केवल दूसरी और तीसरी संभावनाओं का परिमाणन करना है। निशानेबाज़ अंततः एक अंक बनाएगा, और फिर अंततः सात अंक बनाएगा। अंक स्थापित होने और फिर बनाए जाने की प्रायिकता 4 से 9 है:

(3/24)×(3/9) + (4/24)×(4/10) + (5/24)×(5/11) + (5/24)×(5/11) + (4/24)×(4/10) = 0.364394.

10 अंक स्थापित करने और फिर उसे बनाने की संभावना (3/24)*(1/3) = 0.041667 है।

मान लीजिए कि सात आउट होने से पहले 10 अंक बनाने की प्रायिकता p है। अगर खिलाड़ी कोई और अंक बनाता है, तो वह ठीक वहीं वापस आ जाता है जहाँ से उसने शुरुआत की थी। तो...

पी = 0.364394 × पी + 0.041667
पी × (1-0.364394) = 0.041667
पी = 0.041667/(1-0.364394)
पी = 0.065554

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

यह देखते हुए कि एक बिंदु स्थापित है, शूटर द्वारा बिंदु बनाने की संभावना pr(बिंदु 4 या 10 है) ×pr(4 या 10 बनाना) + pr(बिंदु 5 या 9 है) × pr(5 या 9 बनाना) + pr(बिंदु 6 या 8 है) ×pr(6 या 8 बनाना) = (6/24) × (3/9) + (8/24) × (4/10) + (10/24) × (5/11) = 201/495 = 0.406061.

यदि किसी घटना की प्रायिकता p है, तो विफलता से पहले उसके घटित होने की अपेक्षित संख्या p/(1-p) है। अतः, प्रति निशानेबाज़ अपेक्षित अंक 0.406061/(1-0.406061) = 0.683673 हैं।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

यह प्रश्न TwoPlusTwo.com पर पूछा गया था और BruceZ ने इसका सही उत्तर दिया था। निम्नलिखित समाधान BruceZ के समाधान जैसा ही है, जो इसके लिए पूरी तरह से श्रेय के पात्र हैं। यह एक कठिन उत्तर है, इसलिए ध्यान दें।

1. सबसे पहले, कुल दो प्राप्त करने के लिए अपेक्षित रोल की संख्या पर विचार करें। दो की संभावना 1/36 है, इसलिए पहले 2 प्राप्त करने के लिए औसतन 36 रोल लगेंगे।

2. इसके बाद, दो और तीन दोनों प्राप्त करने के लिए पासों की अपेक्षित संख्या पर विचार करें। हम पहले से ही जानते हैं कि दो प्राप्त करने के लिए औसतन 36 पासे फेंकने होंगे। यदि दो का इंतज़ार करते हुए तीन प्राप्त हो जाता है, तो 3 के लिए अतिरिक्त पासों की आवश्यकता नहीं होगी। हालाँकि, यदि ऐसा नहीं होता है, तो तीन प्राप्त करने के लिए पासों को और अधिक बार फेंकना होगा।

   तीन आने की प्रायिकता 1/18 है, इसलिए अगर दो पहले आए तो तीन आने के लिए औसतन 18 अतिरिक्त रोल लगेंगे। यह देखते हुए कि दो आने का एक तरीका है और तीन आने के दो तरीके हैं, दो आने की प्रायिकता 1/(1+2) = 1/3 है।

   तो, 1/3 संभावना है कि हमें तीन पाने के लिए अतिरिक्त 18 रोल की ज़रूरत पड़ेगी। इस प्रकार, दो और तीन दोनों पाने के लिए अपेक्षित रोल की संख्या 36+(1/3)×18 = 42 है।

3. इसके बाद, विचार करें कि चार आने के लिए आपको कितनी बार और पासे फेंकने होंगे। जब तक आप दो और तीन फेंकते हैं, अगर आपको चार नहीं मिला है, तो आपको एक आने के लिए औसतन 12 बार और पासे फेंकने होंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि चार आने की संभावना 1/12 है।

   दो और तीन प्राप्त करने से पहले चार प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? सबसे पहले, आइए प्रायिकता के एक सामान्य नियम की समीक्षा करें जब A और B परस्पर अनन्य न हों:

   पीआर(ए या बी) = पीआर(ए) + पीआर(बी) - पीआर(ए और बी)

   आप pr(A और B) घटाते हैं क्योंकि वह आकस्मिकता pr(A) + pr(B) में दोगुनी गिनी जाती है। इसलिए,

   pr(2 या 3 से पहले 4) = pr(2 से पहले 4) + pr(3 से पहले 4) - pr(2 और 3 से पहले 4) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0.85.

   दो और तीन तक पहुँचने के दौरान चार न आने की संभावना 1.0 - 0.85 = 0.15 है। इसलिए, अतिरिक्त 12 रोल की आवश्यकता पड़ने की संभावना 15% है। इस प्रकार, दो, तीन और चार आने के लिए अपेक्षित रोल की संख्या 42 + 0.15*12 = 43.8 है।

4. इसके बाद, विचार करें कि पाँच आने के लिए आपको कितनी बार और पासे फेंकने होंगे। जब तक आप दो से चार तक पासे फेंकते हैं, अगर आपको अभी तक पाँच नहीं मिला है, तो आपको एक पासा पाने के लिए औसतन 9 बार और पासे फेंकने होंगे, क्योंकि पाँच आने की संभावना 4/36 = 1/9 है।

   दो, तीन या चार तक पहुँचने से पहले पाँच आने की संभावना क्या है? सामान्य नियम यह है:

   pr (A या B या C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A और B) - pr(A और C) - pr(B और C) + pr(A और B और C)

   तो, pr(2 या 3 या 4 से पहले 5) = pr(2 से पहले 5)+pr(3 से पहले 5)+pr(4 से पहले 5)-pr(2 और 3 से पहले 5)-pr(2 और 4 से पहले 5)-pr(3 और 4 से पहले 5)+pr(2, 3 और 4 से पहले 5) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90। दो से चार तक पहुँचने के दौरान चार न आने की प्रायिकता 1 - 83/90 = 7/90 है। इसलिए, अतिरिक्त 7.2 रोल की आवश्यकता होने की 7.78% संभावना है। इस प्रकार, दो, तीन, चार और पाँच पाने के लिए रोल की अपेक्षित संख्या 43.8 + (7/90)*9 = 44.5 है।

5. छह से बारह तक के योग के लिए इसी तर्क का पालन करें। अगली संख्या आने से पहले उसकी प्रायिकता ज्ञात करने के लिए आवश्यक गणनाओं की संख्या, क्योंकि पिछली संख्या हर बार लगभग दोगुनी हो जाती है। बारह तक पहुँचने तक, आपको 1,023 गणनाएँ करनी होंगी।

   यहाँ pr(A या B या C या ... या Z) के लिए सामान्य नियम दिया गया है

   pr(A या B या C या ... या Z) =
   पीआर(ए) + पीआर(बी) + ... + पीआर(जेड)
   - pr (A और B) - pr(A और C) - ... - pr(Y और Z) दो घटनाओं के प्रत्येक संयोजन की संभावना घटाएँ
   + pr (A और B और C) + pr(A और B और D) + ... + pr(X और Y और Z) तीन घटनाओं के प्रत्येक संयोजन की संभावना जोड़ें
   - pr (A और B और C और D) - pr(A और B और C और E) - ... - pr(W और X और Y और Z) चार घटनाओं के प्रत्येक संयोजन की संभावना घटाएँ

   फिर दोहराते रहें, याद रखें कि विषम संख्या वाली घटनाओं के लिए प्रायिकताएँ जोड़ें और सम संख्या वाली घटनाओं के लिए प्रायिकताएँ घटाएँ। संभावित घटनाओं की बड़ी संख्या के लिए यह स्पष्ट रूप से थकाऊ हो जाता है, जिसके लिए व्यावहारिक रूप से स्प्रेडशीट या कंप्यूटर प्रोग्राम की आवश्यकता होती है।

निम्न तालिका रास्ते में प्रत्येक चरण के लिए अपेक्षित संख्या दर्शाती है। उदाहरण के लिए, दो प्राप्त करने के लिए 36, दो और तीन प्राप्त करने के लिए 42। निचले दाएँ कक्ष में सभी 11 योग प्राप्त करने के लिए अपेक्षित रोल की संख्या 61.217385 दर्शाई गई है।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

61 रोल में सातों की अपेक्षित संख्या 61×(1/6) = 10.17 है। आपके पास 14 थे। ठीक 14 सातों की संभावना 7.96% है और 14 या उससे अधिक की संभावना 12.77% है। तो, इसमें कुछ भी असामान्य नहीं है। मैंने हर रोल पर काई-स्क्वेयर परीक्षण भी किया। मुझे पता है कि इतने छोटे नमूने पर काई-स्क्वेयर परीक्षण करना बहुत सुरक्षित नहीं है, इसलिए परिणामों को संदेह की दृष्टि से देखें। परिणाम ये रहे:

नीचे दाएँ कक्ष में 8.70 का काई-स्क्वेयर्ड आँकड़ा दिखाया गया है। दस डिग्री स्वतंत्रता के साथ इतने ऊँचे या उससे भी ऊँचे आँकड़ों की प्रायिकता 56.09% है। ये परिणाम बेल कर्व के शिखर के करीब थे, इसलिए कैसीनो काई-स्क्वेयर्ड यादृच्छिकता परीक्षण आसानी से पास कर लेता है।

उत्तर 219.149467 है।

मैं इसे हल करने के दो तरीके सोच सकता हूँ। पहला है मार्कोव श्रृंखला। नीचे दी गई तालिका 128 संभावित अवस्थाओं में से किसी भी अवस्था से अपेक्षित रोल्स को दर्शाती है।

संक्षेप में, किसी भी दी गई स्थिति से अपेक्षित रोल, बिंदु बनने या खो जाने तक अपेक्षित रोल (5.063636) के बराबर होता है, साथ ही खिलाड़ी के आगे की स्थिति में आगे बढ़ने पर अपेक्षित रोल की संख्या, जिसे स्थिति में आगे न बढ़ने की संभावना से विभाजित किया जाता है।

दूसरी विधि में इंटीग्रल कैलकुलस का इस्तेमाल किया जाता है। सबसे पहले, प्रत्येक संभावित परिणाम के लिए अपेक्षित रोल की गणना करें। फिर, प्रत्येक घटना की प्रायिकता और औसत रोल का डॉट गुणनफल लेकर, पास लाइन बेट को हल करने के लिए औसत रोल प्राप्त करें, जो निचले दाएँ कोने में 3.375758 = 557/165 दर्शाया गया है।

वहां से हम किसी भी दिए गए अंक की जीत के बीच अपेक्षित रोल प्राप्त कर सकते हैं:

• 4 अंक जीतने के बीच रोल = (3/36) * (3/9) * 5 * (557/165) = 6684/55 = लगभग 121.527273।
• 5 अंक जीतने के बीच रोल = (4/36) * (4/10) * 4.6 * (557/165) = 1671/21 = लगभग 75.954545.
• 6 अंक के बीच रोल जीतने = (5/36) * (5/11) * (47/11) * (557/165) = 6684/125 = लगभग 53.472.

10, 9 और 8 अंक वाले विजेता के लिए अपेक्षित रोल क्रमशः 4, 5 और 6 के समान ही हैं।

मान लीजिए कि बिंदु-4 विजेता के असतत आधार पर घटित होने के बजाय, यह 6684/55 के माध्य वाले घातांकीय वितरण का अनुसरण करता है। ऐसे यादृच्छिक चर के x इकाई समय तक बिना घटित हुए रहने की प्रायिकता exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684) है।

इसकी संभावना कि यह x इकाई समय के भीतर, कम से कम एक बार, 1-exp(-55x/6684) घटित हुआ है।

यदि हम सभी छह बिंदुओं को सतत चर के रूप में दर्शाते हैं, तो सभी छह के x इकाई समय के भीतर घटित होने की संभावना (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2 है।

छः घटनाओं में से कम से कम एक घटना के x इकाई समय के भीतर न घटित होने की संभावना 1 - (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2 है।

हम उपरोक्त को 0 से अनन्त तक एकीकृत करके सभी छह घटनाओं के घटित होने का अपेक्षित समय प्राप्त कर सकते हैं।

इस इंटीग्रल कैलकुलेटर का उपयोग करने पर उत्तर मिलता है 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = लगभग 219.1494672902.

यह क्यों काम करता है, यह समझाना कठिन है, इसलिए कृपया इस भाग को विश्वास पर लें।

इस भयानक नियम से हाउस एज 1.41% से बढ़कर 33.26% हो जाएगा।

सबसे पहले, आइए तालिका में एक कॉलम जोड़ें, जिसमें प्रत्येक कुल की अपेक्षित संख्या दर्शाई जाए, यह मानते हुए कि यह पूरी तरह से यादृच्छिक रोल है।

आपने मुझसे यह नहीं पूछा कि डेटा का विश्लेषण कैसे किया जाए, इसलिए मैं इसे कुछ अलग तरीकों से करूंगा।

एक काई-स्क्वेयर्ड परीक्षण का काई-स्क्वेयर्ड आँकड़ा 21.43009 है, जिसमें 10 डिग्री स्वतंत्रता है। इस तरह के विषम या अधिक विषम डेटा की संभावना 1.83% है।

केवल आंतरिक संख्याओं को देखें, जिन्हें आपने लक्ष्य बताया था, तो प्राप्त कुल योग 12,802 था, जबकि अपेक्षित योग 25,227 × (2/3) = 12613.5 होगा। आंतरिक संख्याओं की यह अधिकता अपेक्षा से 2.52 मानक विचलन अधिक है। ऐसी अधिक संख्या या उससे अधिक की संभावना 0.59% है।

मैं सात की कमी को देखे बिना नहीं रह सका। 25,227 बार लुढ़कने पर, अपेक्षित सात 25,227 × (1/6) = 4204.5 हैं। निशानेबाज़ के पास 3,963 थे। यह अपेक्षा से 4.08 मानक विचलन दूर है। ऐसी कमी की संभावना 0.0000225 है, यानी 44,392 में से एक।

हालाँकि, मुझे कहना होगा कि ऐतिहासिक आँकड़ों को देखकर उसमें कुछ गड़बड़ ढूँढ़ना आमतौर पर आसान होता है। फिर भी, सात से बचना पासा प्रभावित करने वालों का एक अंतर्निहित लक्ष्य होता है।

यह जांचने का वैज्ञानिक तरीका कि क्या निशानेबाज पासे को प्रभावित कर सकता है, डेटा एकत्र करने से पहले लक्ष्य बता देना है।