डांडा - बुनियादी रणनीति (विशिष्ट हाथ)

जिम, आपके दयालु शब्दों के लिए धन्यवाद। हाँ, आप अभी भी आठों को विभाजित करना चाहते हैं, भले ही देर से आत्मसमर्पण का प्रस्ताव दिया गया हो। भले ही आप विभाजन के बाद दोगुना न कर सकें, फिर भी आपको आत्मसमर्पण करने से इनकार कर देना चाहिए। दो-डेक वाले खेल के आधार पर, जहाँ आप विभाजन के बाद दोगुना नहीं कर सकते, 10 के विरुद्ध 8 को विभाजित करने का अपेक्षित मान -0.480673 है, जो आत्मसमर्पण करने पर प्राप्त -0.5 से बेहतर है।

"दुनिया के सबसे उदार ब्लैकजैक नियम" होने के उनके दावे के विपरीत, सड़क के उस पार हॉर्सशू या गोल्डन गेट पर बेहतर सिंगल-डेक गेम उपलब्ध हैं। लास वेगास क्लब के छह डेक ही खिलाड़ी के खिलाफ काम करते हैं। उनके मार्की के झांसे में आकर बुरा मत मानिए, मैं भी अपने बचपन में नियमों में बदलाव के असर से अनजान होने के बावजूद उनके झांसे में आ गया था।

अपडेट: इस सवाल के बाद, लास वेगास क्लब ने अपने तथाकथित "दुनिया के सबसे उदार ब्लैकजैक नियमों" के तहत ब्लैकजैक पर 6 से 5 का भुगतान करने के अपने नियम बदल दिए। 6 से 5 का भुगतान इसे एक वैध ब्लैकजैक खेल भी नहीं बनाता। आप किसी भी साधारण 3-2 गेम में ज़्यादा बेहतर हैं, जो कहीं और आसानी से मिल जाते हैं।

सिंगल डेक ब्लैकजैक के नियम आमतौर पर सख्त होते हैं। कार्ड उल्टे बाँटे जाते हैं। डबलिंग आमतौर पर 9 से 11 या 10 से 11 तक सीमित होती है। डीलर सॉफ्ट 17 पर हिट करेगा और स्प्लिट के बाद डबल करने की अनुमति शायद नहीं होगी। अगर ब्लैकजैक में 3 से 2 से कम भुगतान मिलता है, तो इसे न खेलें, जो आमतौर पर सिंगल-डेक गेम्स में होता है।

आप हमेशा मेरी विज़ार्ड ऑफ़ वेगास साइट पर वेगास में अपेक्षाकृत वर्तमान ब्लैकजैक नियमों को देख सकते हैं।

जिसने भी आपको दो 8 के स्कोर को सरेंडर करने के लिए कहा था, उसने आपको गलत सलाह दी थी, यह मानते हुए कि अमेरिकी खिलाड़ी देर से सरेंडर करते हैं । यह समझाने के लिए कि आपको 10 के खिलाफ 8 को क्यों विभाजित करना चाहिए, मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 9 बी की जांच करें। यह किसी भी दिए गए खेल के लिए किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए अपेक्षित रिटर्न दिखाता है। तालिका से पता चलता है कि डबल डेक में 10 के खिलाफ 8 को विभाजित करने पर -0.4706 की अपेक्षित वापसी होती है, अगर विभाजन के बाद इसे दोगुना करने की अनुमति दी जाती है। दूसरे शब्दों में, आप औसतन शुरुआती दांव का 47.06% खोने की उम्मीद कर सकते हैं। यह उस 50% से कम है जो आप आत्मसमर्पण करके खो देंगे। यदि विभाजन के बाद इसे दोगुना करने की अनुमति नहीं है, तो रिटर्न की दर -0.4801 है, जो फिर से -0.5 से अधिक है। 9 या इक्के के खिलाफ 8 को विभाजित करने पर और भी अधिक रिटर्न मिलता है।

ब्लैकजैक में सरल उत्तर कम ही मिलते हैं। आपको हर उस चीज़ पर विचार करना होगा जो हो सकती है और हर परिणाम को उसकी संभावना के आधार पर तौलना होगा। सबसे अच्छा खेल वह है जिसमें सबसे ज़्यादा अपेक्षित रिटर्न हो। मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 9b के अनुसार, डबल डेक गेम में इक्के के खिलाफ सॉफ्ट 18 मारने पर अपेक्षित रिटर्न -0.1004 है और स्टैंडिंग का अपेक्षित रिटर्न -0.1005 है। इसलिए हिट करना थोड़ा बेहतर है। इक्के के खिलाफ 11 भी एक बहुत ही सीमांत खेल है। यह वास्तव में सिंगल और डबल डेक दोनों में संरचना पर निर्भर करता है, दूसरे शब्दों में, यह इस बात पर निर्भर करता है कि किन दो कार्डों का कुल योग 11 है, यह निर्धारित करता है कि हाथ कैसे खेलना है। हालाँकि, यदि आप संरचना-निर्भर बुनियादी रणनीति अपवादों को याद नहीं रखना चाहते हैं, तो आपको सिंगल और डबल डेक में इक्के के खिलाफ 11 पर डबल करना चाहिए और चार या अधिक डेक के साथ हिट करना चाहिए।

बीमा लेने के निर्णय को देखने का यह एक और तरीका है। सम राशि लेने पर अपेक्षित प्रतिफल स्पष्ट रूप से 1.0 इकाई का दांव है। सरलता के लिए मान लेते हैं कि आपके पास ताश के पत्तों का एक अनंत डेक है। डीलर के पास ब्लैकजैक होने की प्रायिकता 4/13 है और अन्यथा 9/13 है। यदि डीलर को ब्लैकजैक मिलता है, तो आप दांव लगाते हैं। यदि नहीं, तो आप 1.5 इकाई जीतते हैं। बीमा न लेने का अपेक्षित मान (4/13)*0 + (9/13)*(1.5) = 13.5/13 = 1.0384615 है, जो 1.0 से अधिक है। इस प्रकार, बीमा या सम राशि को अस्वीकार करना और हाथ खेलना बेहतर दांव है। सीमित संख्या में डेक वाले वास्तविक खेल में, संभावनाएँ और भी बेहतर होती हैं क्योंकि एक 10 पहले ही डेक (आपके हाथ में) से बाहर हो चुका होता है, जिससे डीलर के पास ब्लैकजैक होने की संभावना कम हो जाती है।

"तुम अपनी बाजी को सुरक्षित नहीं रखोगे।" - जुए की दस आज्ञाएँ (#7)

यह एक बुरा दांव होगा। उदाहरण के लिए, मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 9B में डीलर के 7 कार्ड के विरुद्ध 10 और 6 कार्ड खेलने पर दोनों तरह से रिटर्न दिखाया गया है। हिट करने पर दांव का 39.6% अपेक्षित नुकसान होता है। हालाँकि, स्टैंडिंग पर 47.89% अपेक्षित नुकसान होता है। मैं कोई आसान व्याख्या नहीं दे सकता कि हिट करना बेहतर क्यों है। आपको हर उस चीज़ पर विचार करना होगा जो हो सकती है, उसकी संभावना के आधार पर उसका मूल्यांकन करना होगा, और योग निकालना होगा। कुल मिलाकर, हिट करना दो बुरे दांवों में से बेहतर है।

तारीफ़ के लिए शुक्रिया। आपको परिशिष्ट छह का इस्तेमाल सिर्फ़ तभी करना चाहिए जब यूनिफ़ाइड गेमिंग ब्लैकजैक गेम में डीलर दस दिखा रहा हो। यूनिफ़ाइड गेमिंग की बुनियादी रणनीति में कोई अपवाद नहीं है जब डीलर इक्का दिखा रहा हो।

कृपया रम्मी पर मेरा पेज देखें, जो कोस्टा रिका में लोकप्रिय ब्लैकजैक प्रकार है।

मेरी सभी सिंगल-डेक ब्लैकजैक रणनीतियों में यही सही दांव है। इसकी वजह यह है कि तीसरा सात मिलने की संभावना केवल 2/49 है, यानी लगभग 4.08%। इसकी तुलना डबल डेक में 6/101 = 5.94% की संभावना से करें। डीलर के 20 को हराने की कम उम्मीद के साथ, बेहतर है कि आप हिट करें, या हो सके तो सरेंडर कर दें। हाँ, यह 10 के मुकाबले 14 हिट करने की मेरी सलाह को रद्द कर देता है।

मुझे भी यह मुहावरा पसंद नहीं है। ज़्यादा से ज़्यादा यह एक मेमोरी डिवाइस है जो लोगों को याद रखने में मदद करती है कि अगर डीलर के पास 7 से 10 का कार्ड दिख रहा हो, तो उन्हें मुश्किल हाथ पर ही दांव लगाना चाहिए। ऐसा कोई आसान नियम नहीं है जो हर परिस्थिति में काम करे।

परिशिष्ट 1 अनंत डेक पर आधारित है। आपके द्वारा बताए गए दोनों हाथ सीमा रेखा वाले हैं और डेक की संख्या इस बात को प्रभावित करती है कि कौन सा खेल बेहतर है। उदाहरण के लिए, 4 के विरुद्ध A-4, 26 डेक के साथ दोगुना और 27 डेक के साथ हिट करने के पक्ष में है। 5 के विरुद्ध A-2 भी 8 और अनंत डेक के बीच कहीं पार करता है।

इस तरह के सवालों के जवाब देने के लिए मैंने अपने ब्लैकजैक परिशिष्ट 9A-9H बनाने में बहुत मेहनत की है। उदाहरण के लिए, छह-डेक वाले खेल में, जहाँ डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा है, आप ब्लैकजैक परिशिष्ट 9G का इस्तेमाल करेंगे। वहाँ आप देख सकते हैं कि डीलर के 6 के मुकाबले दो 10 पर खड़े होने पर अपेक्षित रिटर्न 0.702826 है। इस स्थिति में स्प्लिटिंग पर अपेक्षित रिटर्न 0.622165 है। इसलिए, खिलाड़ी स्प्लिटिंग के बजाय खड़े होकर अतिरिक्त 8.07% जीतने की उम्मीद कर सकता है। ब्लैकजैक टेबल पर दूसरे खिलाड़ी क्या कहते या करते हैं, इस पर ज़्यादा ध्यान न दें।

हालाँकि यह एक करीबी खेल है, लेकिन खड़े रहना तीसरा सबसे खराब विकल्प है। मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 9G का उपयोग करके हम निम्नलिखित अपेक्षित रिटर्न पा सकते हैं:

• स्टैंड -.536853
• हिट -.535361
• विभाजित -.474733
• डबल -1.07022

विभाजित करना सबसे अच्छा निर्णय है क्योंकि इससे हाथ का कुल नुकसान सबसे कम होता है। दोगुना करने और विभाजित करने पर अपेक्षित रिटर्न उस हाथ के शुरुआती दांव के सापेक्ष कुल रिटर्न पर आधारित होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपका शुरुआती दांव $100 का था, और आपने आठों को विभाजित कर दिया, तो कुल अपेक्षित नुकसान, सभी बातों को ध्यान में रखते हुए, $47.47 है, जो कि $53.69 के अपेक्षित नुकसान से कम है।

हाँ, जब तक आपको दहाई मिलती रहे, आपको बाँटते रहना चाहिए। एक हाथ खेलकर हार जाना किसी भी बात को गलत साबित नहीं करता। सही मायने में सबसे अच्छा खेल जानने के लिए लाखों हाथ दोनों तरफ़ से खेले जाने चाहिए और परिणामों को सारणीबद्ध किया जाना चाहिए।

ध्यान रखें कि अधिकांश कैसीनो आपको ऐसा करने नहीं देंगे। हालांकि यदि आप कर सकते हैं तो आपको केवल 6 पर ही दोगुना करना चाहिए। यह सच है चाहे डीलर सॉफ्ट 17 पर हो या नहीं। यदि डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा है तो 5 के खिलाफ अपेक्षित रिटर्न हिट करके .162849 और दोगुना करके .148228 है, इसलिए हिट करना बेहतर खेल है। 6 के खिलाफ अपेक्षित रिटर्न हिट करके .189020 और दोगुना करके .196249 है। इसलिए दोगुना करना बेहतर खेल है। आप इन नंबरों को मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 9e में स्वयं देख सकते हैं। आपके दूसरे प्रश्न के बारे में, हाँ 4-डेक गेम में खिलाड़ी को 4 के खिलाफ 10,2 हिट करना चाहिए, लेकिन केवल तब जब डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा हो। इस अपवाद का पालन करने से आपको हर 113396 हाथों में ज़्यादा यूनिट जीतने में मदद मिलेगी, या हाउस एज को 0.000882% कम करने में मदद मिलेगी। मेरी राय में, इस अपवाद को याद रखने की जहमत उठाने लायक नहीं है।

यह एक दिलचस्प स्थिति है। हालाँकि आपको सिंगल डेक में 10 के मुकाबले 15 के साथ 5/6 बार सरेंडर करना चाहिए, फिर भी हमेशा सरेंडर करने से बेहतर है कि हमेशा हिट किया जाए। 15 बनाने के लिए हर तरह से हिट करने पर अपेक्षित रिटर्न इस प्रकार है।

10+5

-.501091

9+6

-.509827

8+7

-.474794

10+5 बनाने के 4 तरीके हैं और बाकी दो में से प्रत्येक के लिए केवल 1। इसलिए, एक ही डेक में 10 के मुकाबले 15 हिट करने पर कुल अपेक्षित रिटर्न (4/6)*-.501091 + (1/6)*-.509827 + (1/6)*-.474794 = -.498164 है। दूसरे शब्दों में, 10, 5 और 9, 6 को सरेंडर करने की संभावना बहुत कम है, लेकिन 8, 7 हिट करने की संभावना बहुत बड़े अंतर से है। 8, 7 का बेहतर अपेक्षित रिटर्न इसलिए है क्योंकि सभी 5 और 6 अभी भी डेक में हैं, जिसके परिणामस्वरूप कुल 20 या 21 प्राप्त करने की संभावना अधिक है।

हाँ, आप ऐसी परिस्थितियों में डबल या स्प्लिट कर सकते हैं। अधिकतम सीमा शुरुआती दांव पर लागू होती है। अगर सीमा $200 है, तो आप $200 के कई दांव भी खेल सकते हैं।

हाँ! अच्छा सवाल है, मुझे भी यह नहीं पता था। डेक जितने कम और पत्तों की संख्या जितनी ज़्यादा होगी, यह बात उतनी ही ज़्यादा सच होगी। 8 डेक और सिर्फ़ 3 पत्तों के हिट होने की सबसे ज़्यादा संभावना वाली स्थिति का परीक्षण करने के लिए, मैंने अपने कॉम्बिनेटरियल प्रोग्राम के ज़रिए हर संभव स्थिति को चलाया। नीचे दी गई तालिका में परिणाम दिखाए गए हैं।

नीचे की पंक्ति में दाईं ओर की दो संख्याएँ दर्शाती हैं कि हिटिंग के लिए कुल अपेक्षित मान -0.540355 है और स्टैंडिंग के लिए -0.540293 है। इसलिए स्टैंडिंग थोड़ा बेहतर खेल है। इस नियम का पालन करने पर हर 1117910 हाथों में एक अतिरिक्त यूनिट मिलेगी। इस सलाह से खिलाड़ी को एक यूनिट बचाने में लगभग 5 साल लग गए, जब उसने हफ़्ते में 40 घंटे ब्लैकजैक खेला।

हाँ, मैंने दो पत्तों वाली सूची में कुछ बदलाव किए हैं। मैंने 9+3 बनाम 3 हटा दिया और 10+2 बनाम 6 जोड़ दिया। एक ही डेक वाले खेल में, जहाँ डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा होता है और खिलाड़ी के पास डीलर 6 के मुकाबले 10+2 होता है, हिट करने का अपेक्षित मान -0.159436 होता है और स्टैंडिंग के लिए -0.160379 होता है। इसलिए हिट करने पर आप औसतन कम हारते हैं। मुझे बुनियादी रणनीति के बारे में सटीक जवाब देने से नफरत है क्योंकि पत्तों के कई तरीके हो सकते हैं। डीलर के 6 के साथ बस्ट होने की संभावना ज़्यादा होती है। हालाँकि, जैसा कि आपने कहा, डीलर के 5 की तुलना में 6 के साथ 17 मिलने की संभावना ज़्यादा होती है। 17 एक अच्छा हाथ नहीं है और खिलाड़ी को हिट करने और उसे हराने की कोशिश करने के लिए प्रेरित करता है।

सरलता के लिए, मान लीजिए कि अगर आप हिट करते हैं तो जीतने की संभावना 70% और हारने की संभावना 30% है। हिट होने का अपेक्षित मान 0.3*1 + 0.7*-1 = -0.4 होगा। यह आत्मसमर्पण करने पर अपेक्षित मान -0.5 से अधिक है।

मुझसे इस बारे में कई बार सवाल पूछे गए हैं और मैं अब भी यही मानता हूँ कि कुल दांव हारने के बावजूद, इक्कों को विभाजित करने का विकल्प यूरोपीय नो-पीक नियम को मात देता है, इसलिए विभाजित करना बेहतर विकल्प है। एक डेक के आधार पर, प्रत्येक हाथ का अपेक्षित मूल्य (डीलर ब्लैकजैक की संभावना को ध्यान में रखते हुए) हिटिंग के लिए -0.532849 और विभाजित करने के लिए -0.223277 है। इसलिए विभाजित करना एक इकाई के लगभग 31% से बेहतर है। विभाजित करना 4-डेक गेम के लिए भी बेहतर है, जिसे किसी भी माइक्रोगेमिंग खिलाड़ी को नहीं खेलना चाहिए क्योंकि समान नियमों वाला एक-डेक गेम उपलब्ध है।

मुझे स्प्लिटिंग पेयर्स को सही करने में सालों लग गए। गैंबलिंग टूल्स की सिंडी ने बहुत मदद की। पीटर ग्रिफिन ने "द थ्योरी ऑफ़ ब्लैकजैक" के अध्याय 11 में भी इस विषय पर चर्चा की है। मान लीजिए कि मैं डीलर 2 के खिलाफ आठों को विभाजित करने का अपेक्षित मूल्य निर्धारित करना चाहता हूँ। चार हाथों तक पुनः विभाजित करने की अनुमति है। मैंने यह कैसे किया, यह इस प्रकार है।

1. जूते से एक 2 और दो 8 निकालें।
2. इस संभावना का निर्धारण करें कि खिलाड़ी को किसी भी हाथ में तीसरा आठ नहीं मिलेगा।
3. 8 को छोड़कर सभी रैंक देखें, उस कार्ड को डेक से घटाएँ, उस कार्ड और 8 के साथ एक हाथ खेलें, अपेक्षित मान ज्ञात करें, और उसे 2 से गुणा करें। प्रत्येक रैंक के लिए उस रैंक की प्रायिकता ज्ञात करें, यह देखते हुए कि अन्य 8 की प्रायिकता शून्य है। प्रत्येक रैंक पर प्रायिकता और अपेक्षित मान का डॉट गुणनफल निकालें।
4. इस डॉट उत्पाद को चरण 2 की संभावना से गुणा करें।
5. इस संभावना का निर्धारण करें कि खिलाड़ी 3 हाथों में पुनः विभाजित होगा।
6. डेक से एक और 8 निकालें।
7. चरण 3 को दोहराएँ लेकिन 2 के बजाय 3 से गुणा करें।
8. चरण 7 के डॉट उत्पाद को चरण 5 की प्रायिकता से गुणा करें।
9. इस संभावना का निर्धारण करें कि खिलाड़ी 4 हाथों में पुनः विभाजित होगा।
10. जूते से दो और 8 निकालो।
11. चरण 3 को दोहराएँ, लेकिन 2 के बजाय 4 से गुणा करें, और इस बार तीसरे कार्ड के रूप में 8 प्राप्त करने पर विचार करें, जो उस स्थिति के अनुरूप हो जहाँ खिलाड़ी को पुनः विभाजन रोकने के लिए मजबूर होना पड़े।
12. चरण 11 के डॉट उत्पाद को चरण 9 की प्रायिकता से गुणा करें।
13. चरण 4, 8 और 12 से मान जोड़ें.

इन सबमें सबसे मुश्किल हिस्सा है चरण 3. मेरे पास एक बहुत ही भद्दा सबरूटीन है जो लंबे-लंबे सूत्रों से भरा है जिन्हें मैं प्रायिकता वृक्षों का उपयोग करके निर्धारित करता हूँ। यह तब और भी भद्दा हो जाता है जब डीलर के पास 10 या इक्का होता है।

आप सही कह रहे हैं कि सामान्यतः सॉफ्ट 17 का कार्ड डीलर के पक्ष में होता है। हालाँकि, यह एक सामान्य बात है और हर स्थिति में सही नहीं है। जब आपके पास 18 से 21 का एक मज़बूत हाथ हो, तो आप चाहेंगे कि डीलर सॉफ्ट 17 पर ही खड़ा रहे। लेकिन अगर आपके पास 17 से कम का एक कमज़ोर हाथ हो, तो आप चाहेंगे कि डीलर सॉफ्ट 17 पर ही खड़ा रहे। रणनीति में अंतर का एक उदाहरण यह है कि जब डीलर सॉफ्ट 17 पर हो, तो आपको 6 के सामने सॉफ्ट 19 को डबल करना चाहिए, और अगर डीलर सॉफ्ट 17 पर हो, तो आपको स्टैंड करना चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि डबल होने पर खराब कार्ड निकलने की अच्छी संभावना होती है, जिसके परिणामस्वरूप 16 या उससे कम अंक मिलते हैं। जब डीलर सॉफ्ट 17 पर हो, तो वह ज़्यादा बार बस्ट होता है, जिससे इस उदाहरण में डबल करना थोड़ा सुरक्षित हो जाता है।

तारीफ़ के लिए शुक्रिया। आपके सवाल का जवाब देने के लिए डीलर आपसे बस यही पूछेगा कि आप क्या करना चाहते हैं। आमतौर पर ब्लैकजैक में सभी फैसले दिखने चाहिए, हालाँकि, यह एकमात्र अपवाद है जिसके बारे में मैं सोच सकता हूँ। हालाँकि, अगर आप अपनी बारी आने पर पूछे जाने से बचना चाहते हैं, तो बस अपनी तर्जनी उंगली उठाकर बताएँ कि आपको एक कार्ड चाहिए। ज़्यादातर डीलर इसका मतलब समझते हैं। संयोग से, मुझे कल ही पता चला कि बुल्गारिया में अगर आप डबल करना चाहते हैं, तो आप अपनी अतिरिक्त बाज़ी मूल बाज़ी के पीछे लगाते हैं, और अगर आप स्प्लिट करना चाहते हैं, तो आप उसे मूल बाज़ी के बगल में लगाते हैं।

एक अन्य पाठक ने लिखा कि उत्तरी डकोटा में दोहरीकरण और विभाजन के लिए बुल्गारियाई नियम का पालन करना राज्य का कानून है।

अगर खिलाड़ी के पास अपनी बाजी दोगुनी करके खड़े रहने का विकल्प होता, तो यह पारंपरिक डबल से बेहतर होता। इसलिए इन मामलों में कार्ड लेना खिलाड़ी के हाथ के लिए नुकसानदेह होता है, लेकिन दोगुनी रकम पाने के लिए यह फायदेमंद होता है।

हाँ, मूल रणनीति यह मानती है कि डीलर के पास होल में दस नहीं है। यहाँ तक कि यूरोप में भी, जहाँ डीलर चेक नहीं करता, हिट/स्टैंड रणनीति अभी भी वही है क्योंकि अगर डीलर के पास ब्लैकजैक है, तो खिलाड़ी के पास वैसे भी कोई उम्मीद नहीं होती। जब डीलर के पास इक्का हो, यह मानते हुए कि ब्लैकजैक नहीं है, तो 17 या उससे ज़्यादा बनाने की संभावना 83.3% होती है जब डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा होता है। इसलिए स्टैंडिंग कोई बहुत सीमांत खेल भी नहीं है, संभावनाएँ निश्चित रूप से हिटिंग के पक्ष में हैं।

नहीं। जब तक आप केवल मूल दांव ही हारते हैं, आपको यह मानकर खेलना चाहिए कि डीलर के पास ब्लैकजैक नहीं है। अगर डीलर के पास ब्लैकजैक है, तो आप उसके बारे में कुछ नहीं कर सकते।

अरे! जुआ जोखिम उठाने के बारे में है। सफल जुआरी हर बार जीतने की अपनी संभावना को अधिकतम करने की कोशिश नहीं करता, बल्कि अपने कुल लाभ को अधिकतम करने के लिए जोखिम उठाता है। जुए में और जीवन में, कभी-कभी दीर्घकालिक लाभ के लिए अल्पकालिक जोखिम उठाना पड़ता है। इसलिए वर्तमान के बारे में कम और भविष्य के बारे में ज़्यादा सोचें।

ब्लैकजैक स्विच में खिलाड़ी को ज़्यादा आक्रामक तरीके से हिट करना चाहिए क्योंकि डीलर के 22 का स्कोर पुश होता है। नियमित ब्लैकजैक में खड़े रहने का ज़्यादातर फ़ायदा डीलर के बस्ट होने पर ही पता चलता है। ब्लैकजैक स्विच में, इनमें से कई जीत पुश में बदल जाती हैं, जिससे हिट करना तुलनात्मक रूप से बेहतर खेल बन जाता है।

मुझे पूरा यकीन है कि इसका जवाब पहले ही दिया जा चुका है, लेकिन यह एक अच्छा सवाल है, इसलिए मैं इसे फिर से लूँगा। यहाँ कुछ सीमांत दांव दिए गए हैं, जैसा कि कार्ड काउंटिंग इंडेक्स शून्य के बराबर होने से स्पष्ट होता है। यह सूची कई डेक के लिए है जहाँ डीलर सॉफ्ट 17 पर होता है और स्प्लिट की अनुमति के बाद डबल हो जाता है। सबसे अच्छा दांव पहले और दूसरा दांव दूसरे स्थान पर सूचीबद्ध है।

• 9 बनाम 2 (हिट/डबल)
• 12 बनाम 4 (स्टैंड/हिट)
• 12 बनाम 6 (स्टैंड/हिट)
• 16 बनाम 10 (हिट/स्टैंड)
• सॉफ्ट 13 बनाम 5 (डबल/हिट)
• सॉफ्ट 15 बनाम 4 (डबल/हिट)
• 3,3 बनाम 2 (विभाजन/हिट)

नहीं, एक बार दांव लग जाने के बाद, जब तक हाथ न निकल जाए, तब तक आप अपने चिप्स को कभी नहीं छूते। आत्मसमर्पण का संकेत यह है कि आप अपनी तर्जनी उंगली से ब्लैकजैक टेबल पर, अपनी शर्त के ठीक पीछे, बाएँ से दाएँ, एक रेखा खींचने का नाटक करें। मुझे यह तब तक पता भी नहीं था जब तक कि यूरोप के एक दोस्त ने हाल ही में टेबल पर ऐसा ही नहीं किया। बस "आत्मसमर्पण" कहना भी उतना ही अच्छा है।

इसकी वजह यह है कि अगर डीलर को 22 मिलता है और आपके पास 21 या उससे कम है, तो हाथ आगे बढ़ता है। यह डीलर के पक्ष में काम करता है और दोगुना या विभाजित करके टेबल पर ज़्यादा पैसा लगाने से रोकता है।

यह एक बहुत ही खराब खेल होगा। उदाहरण के लिए, अगर आपने ब्लैकजैक में 5 के मुकाबले डबल किया (छह डेक में डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा है), तो मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 9I के अनुसार, आपका अपेक्षित लाभ 0.622362 होगा। इसलिए, एक समान राशि वाले खेल में भी, यह एक त्रुटि होगी जिसकी कीमत दांव के लगभग 38% के बराबर होगी।

वोंग एक डीलर 4 के विरुद्ध 12 खिलाड़ियों का ज़िक्र कर रहे हैं और पीटर ग्रिफिन द्वारा लिखित "द थ्योरी ऑफ़ ब्लैकजैक" , पृष्ठ 176 का हवाला दे रहे हैं। हाँ, वह सही कह रहे हैं। सात डेक वाले खेल में, हिटिंग द्वारा अपेक्षित मान -0.210820 और स्टैंडिंग -0.211106 है, इसलिए हिटिंग ज़्यादा है। हालाँकि, आठ डेक के साथ, हिटिंग -0.2111161 और स्टैंडिंग -0.211100 है, इसलिए स्टैंडिंग ज़्यादा है। यह इतना सीमांत खेल है कि डेक की संख्या सात और आठ के बीच अंतर करती है। यहाँ एक और भी बेहतर उदाहरण है। A-4 बनाम 4 के साथ, आपको 26 डेक तक डबल करना चाहिए, लेकिन 27 या उससे अधिक डेक के साथ हिट करना चाहिए।

मुझे ऐसा कोई हाथ नहीं मिला जहाँ अतिरिक्त 0.1% रणनीति में बदलाव का कारण बने। छह डेक और सॉफ्ट 17 पर खड़े डीलर के आधार पर, मुझे जो सबसे करीबी मामला मिला, वह A,4 बनाम डीलर 4 का था। उस हाथ में डबलिंग करने पर खिलाड़ी को हिटिंग की तुलना में अपेक्षित मूल्य में लगभग 0.3% का नुकसान होता है। इसलिए अगर आपको 0.3% या उससे ज़्यादा मिलता है, तो उस हाथ को दोगुना कर दें। मैंने जिन अन्य सीमांत हाथों की जाँच की, उनमें खिलाड़ी को डबल या स्प्लिट करने में कम से कम 1% का नुकसान होता है, और मैंने ब्लैकजैक में इतना ज़्यादा कैश बैक कभी नहीं देखा।

यह सच है कि आम तौर पर आपको तीन या उससे ज़्यादा पत्तों के साथ 16 बनाम 10 पर खड़ा होना चाहिए। इसलिए अगर मेरा चार्ट कैसीनो द्वारा सरेंडर विकल्प दिए जाने पर आधारित होता, तो आप सही होते। हालाँकि, यह धारणा नहीं बनती। अगर मैंने कुंजी को Rs (अगर अनुमति हो तो सरेंडर, वरना स्टैंड) में बदल दिया, तो इसका मतलब होगा कि अगर सरेंडर की अनुमति नहीं है, तो खिलाड़ी को 10 के मुकाबले 2 पत्तों वाले 16 पर खड़ा होना चाहिए।

इसकी वजह यह है कि खिलाड़ी का अगला पत्ता इक्का हो सकता है, लेकिन डीलर का नहीं। मैंने उस परिशिष्ट के स्पष्टीकरण में बताया था कि मैं पहले से ही मान लेता हूँ कि डीलर के पास ब्लैकजैक नहीं है। यही वजह है कि उस स्थिति में खिलाड़ी को थोड़ी बढ़त मिल जाती है, जब डीलर झाँककर पुष्टि करता है कि उसके पास ब्लैकजैक नहीं है।

सच कहूँ तो यह एक पुराना सवाल है, लेकिन मुझे क्रिस एफ. से बेहतर जवाब मिला। उन्होंने सही कहा कि इसका कारण यह है कि जब बुनियादी रणनीति चार्ट बनाए जाते हैं, तो वे मान लेते हैं कि खिलाड़ी के पहले दो पत्ते और डीलर का अप कार्ड डेक से पहले ही हटा दिए गए हैं। इसका एक अच्छा उदाहरण यह है कि सिंगल डेक में सही दांव 10 के मुकाबले 7,7 पर खड़ा होना है, क्योंकि डेक में से आधे सेव पहले ही खत्म हो चुके हैं, और डीलर के 20 को हराने के लिए आपको 3 पत्तों की ज़रूरत होती है।

10 के विरुद्ध 16 के मामले में, खिलाड़ी का हाथ या तो 10 और 6 या 9 और 7 से बना होता है। किसी भी स्थिति में, हिट करने पर खिलाड़ी को बस्ट करने वाले दो कार्ड हटा दिए गए हैं। इसलिए डेक में छोटे कार्ड थोड़े ज़्यादा हैं जो खिलाड़ी को बस्ट नहीं करेंगे, जिससे खिलाड़ी को हिट करने का प्रोत्साहन मिलेगा। हालाँकि यह सच है, मुझे संदेह था क्योंकि अनंत डेक वाले खेल में हिट होने की संभावना अभी भी अनुकूल होती है। हालाँकि, कुछ इंटरनेट कैसीनो को छोड़कर, अनंत डेक केवल एक कल्पना मात्र है। मैं जानना चाहता था कि 8-डेक वाले खेल में सबसे अच्छा दांव क्या होगा यदि डीलर बिना एक भी पत्ता बाँटे बस इतना कहे, "आपके पास 16 है और मेरे पास 10 है, लेकिन मेरे पास ब्लैकजैक नहीं है।" gamblingtools.net (यह साइट अब मौजूद नहीं है) पर ब्लैकजैक विश्लेषक का उपयोग करते हुए, मैंने आठ डेक दर्ज किए और फिर सावधानीपूर्वक डेक से प्रत्येक कार्ड का एक-एक कार्ड निकाला, केवल एक छक्का और दो दहाई को छोड़कर। फिर मैंने डीलर को 10 और खुद को 10 और 6 दिए। तो खिलाड़ी यह हाथ एक तटस्थ डेक के खिलाफ खेल रहा था जिसमें A-9 के 31-31 कार्ड और 124 दहाई थे। अपेक्षित मान इस प्रकार हैं:

हालाँकि अपेक्षित मान संख्याएँ समान हैं, एप्लेट बेहतर खेल के रूप में खड़े होने को हाइलाइट करता है, संभवतः इसलिए क्योंकि यह चार दशमलव स्थानों से ऊपर है। अगर मैं निम्नलिखित को हटा दूँ: A,2,3,4,5,6,8,10,10,10, 9,7 बनाम 10 का अनुकरण करने के लिए, तो भी यही स्थिति है, क्योंकि खिलाड़ी बिल्कुल उसी तटस्थ जूते के विरुद्ध खेल रहा है।

यह दिखाता है कि आठ डेक वाले खेल में सिर्फ़ तीन कार्ड होने पर भी रिमूवल का प्रभाव कितना शक्तिशाली होता है। मूल प्रश्न पर वापस आते हुए, खिलाड़ी के दो कार्ड और डीलर के अप कार्ड को गिनने के बाद, ज़ीरो काउंट पूरी तरह से तटस्थ डेक को दर्शाता है। इसलिए जैसा कि मैंने अभी दिखाया, तटस्थ डेक में जाने पर ऑड्स स्टैंडिंग के पक्ष में होते हैं। अनंत डेक में हिटिंग सही होने का कारण यह है कि रिमूवल का कोई प्रभाव नहीं होता है। यदि आप गलती से तटस्थ शू में 16 बनाम 10 हिट कर देते हैं, और आपको कम कार्ड मिलता है, तो डीलर के पास होल में 10 प्राप्त करने का बेहतर मौका होगा। यह तथ्य 8 डेक वाले खेल में स्टैंडिंग के लिए उच्च अपेक्षित मूल्य में परिलक्षित होता है, लेकिन अनंत डेक में इससे कोई फर्क नहीं पड़ेगा। रिकॉर्ड के लिए, अनंत डेक वाले खेल में अपेक्षित मूल्य इस प्रकार हैं:

स्टैनफोर्ड वोंग ने अपनी पुस्तक बेसिक ब्लैकजैक में ऐसी ही एक बुनियादी रणनीति बताई है, तालिका 46 देखें। उन्होंने यह भी बताया कि 1995 में वेगास के बॉर्बन स्ट्रीट कैसीनो में एक प्रमोशन चल रहा था जिसमें डीलर हर 50 मिनट में पाँच हाथों के लिए अपने दोनों पत्ते खोल देता था। वोंग के अनुसार, इस दौरान खिलाड़ी का लाभ लगभग 10% था।

यह एक अच्छा सवाल है। व्यक्तिगत रूप से, मैं पहले से खेले गए दांवों के आधार पर, खासकर दूसरे हाथ में, सीमा रेखा वाले दांवों का अनुमान लगाता हूँ। अगर मजबूर किया जाए, तो मैं कहूँगा कि अपवादों का इस्तेमाल करना केवल मूल रणनीति से बेहतर है। हालाँकि, मूल रणनीति के अपवाद केवल शुरुआती हाथ पर ही बनाए गए थे, इसलिए वे विभाजन के लिए पूरी तरह सटीक नहीं हैं, क्योंकि डेक की संरचना थोड़ी अलग होगी।

हां, मेरे मूल रणनीति चार्ट पहले दो कार्डों के आधार पर सर्वश्रेष्ठ चाल के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। यह मूल रणनीति विकसित करने का सामान्य तरीका है। इस दृष्टिकोण का एक लाभ यह है कि प्रत्येक चाल के अपेक्षित मूल्यों की सटीक गणना की जा सकती है और अन्य स्रोतों से तुलना की जा सकती है। हालाँकि, आप एक वैध बिंदु लाते हैं। इसलिए मैंने ब्लैकजैक अटैक के लेखक डॉन श्लेसिंगर से पूछा कि क्या कोई ऐसा ज्ञात खेल है जहाँ प्रारंभिक हाथ पर सर्वश्रेष्ठ चाल ब्लैकजैक के समग्र खेल के अपेक्षित मूल्य को अधिकतम करने के लिए सर्वश्रेष्ठ चाल से अलग है। उन्होंने उत्तर दिया कि एक डबल-डेक गेम में, डीलर के इक्के के खिलाफ एक सॉफ्ट 18, जहां डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा होता है, ऐसा ही एक खेल था। जैसा कि मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 9 में दिखाया गया है कि खड़े होने का अपेक्षित मूल्य -0.100502 है और हिट होने का -0.100359 है। निम्नलिखित तालिका उन सभी तरीकों को दर्शाती है जिनसे यह हाथ ऊपर आ सकता है।

स्तंभ शीर्षकों की व्याख्या

खिलाड़ी कार्ड: खिलाड़ी के हाथ में कार्ड
सशर्त संभावना: यह देखते हुए कि खिलाड़ी के पास डीलर ऐस के विरुद्ध सॉफ्ट 18 है, दिए गए हाथ की संरचना की संभावना।
हिट EV: हिटिंग द्वारा अपेक्षित मूल्य
स्टैंड ईवी:स्टैंडिंग द्वारा अपेक्षित मूल्य
हिट रिटर्न: संभाव्यता और हिट अपेक्षित मान का गुणनफल
स्टैंड रिटर्न: संभाव्यता और स्टैंड अपेक्षित मूल्य का गुणनफल

निचली पंक्ति के दाएँ दो कक्ष दर्शाते हैं कि कुल मिलाकर हिटिंग का अपेक्षित मान -0.105807 है और स्टैंडिंग का -0.102375 है। इसलिए, तालिका स्टैंडिंग के पक्ष में ऑड्स 0.00343 दर्शाती है।

इन परिणामों की पुष्टि के लिए, मैंने संबंधित नियमों के तहत दो सिमुलेशन चलाए, एक सिमुलेशन हिटिंग का और दूसरा इस खेल में स्टैंडिंग का। मैंने केवल उन्हीं हाथों को गिना जहाँ खेल के दौरान किसी भी समय डीलर ऐस के विरुद्ध सॉफ्ट 18 हुआ हो। ये रहे मेरे परिणाम।

तो, सिमुलेशन से पता चलता है कि इस हाथ के आने की सभी संभावित परिस्थितियों में खड़े रहने की संभावना 0.0025 है। इस प्रकार, सभी हाथों को खेलने के व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, सबसे अच्छा विकल्प खड़े रहना है, जो मेरे मूल रणनीति चार्ट के विपरीत है।

आपके दयालु शब्दों के लिए धन्यवाद। मान लीजिए कि छह डेक हैं (इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि डीलर हिट करता है या सॉफ्ट 17 पर खड़ा है)। मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 9 में इक्के के विरुद्ध 6+4 का अपेक्षित मान +0.081336 और 10 के विरुद्ध 6+4 का अपेक्षित मान +0.026796 दर्शाया गया है। अपेक्षित मान धनात्मक होने का कारण यह है कि मेरी अपेक्षित मान तालिकाएँ यह मानती हैं कि डीलर पहले ही ब्लैकजैक की तलाश कर चुका है और उसने पुष्टि कर ली है कि उसके पास इक्का नहीं है। इस बीच, खिलाड़ी अभी भी 21 के लिए इक्का निकाल सकता है। दूसरे शब्दों में, खिलाड़ी अपने अगले कार्ड पर 21 बना सकता है और डीलर मानकर नहीं बना सकता। अगर मेरे पास यूरोपीय नो-पीक नियम के तहत ऐसी तालिका होती, तो अपेक्षित मान वास्तव में ऋणात्मक होते।

मैंने यह पहले भी कहा है, लेकिन मैं डीलरों का जितना भी सम्मान करता हूँ, वे उतनी ही गलत सलाह और गलत जानकारी देते हैं। पाँच या छह के बदले चार को विभाजित करना एक आम खेल है जहाँ खिलाड़ी और डीलर दोनों ही विभाजन की गलत तरीके से निंदा करते हैं। कभी-कभी आप लोगों को यह झूठ बोलते हुए सुनते हैं कि आपको "F से शुरू होने वाली किसी भी चीज़" को, दूसरे शब्दों में, चौकों, पाँचों और चेहरों को, कभी भी विभाजित नहीं करना चाहिए। यह पाँचों और चेहरों के बारे में सही है, लेकिन खिलाड़ी को पाँच या छह के बदले चार को विभाजित करना ही चाहिए, अगर विभाजन के बाद डबल की अनुमति हो। अन्यथा, खिलाड़ी को हिट करना चाहिए, सिवाय सिंगल डेक के, अगर अनुमति हो तो उसे डबल करना चाहिए। मेरा ब्लैकजैक परिशिष्ट 9 एक छह-डेक गेम में दिखाता है जहाँ डीलर सॉफ्ट 17 हिट करता है, 6 के मुकाबले 4,4 के निम्नलिखित अपेक्षित मान हैं।

स्टैंड: -0.114085
हिट: + 0.113365
डबल: + 0.092929
विभाजन: +0.207228 (विभाजन के बाद दोगुना होने की अनुमति)
विभाजन: + 0.056954 (विभाजन के बाद दोगुना करने की अनुमति नहीं है)

आपके स्नेहपूर्ण शब्दों के लिए धन्यवाद। अगर मैं बेसिक स्ट्रैटेजी (गिनती के बजाय) खेल रहा हूँ, तो अगर मेरे हाथ में पहले से ही चार या पाँच हैं, तो मैं स्टैंड पर खड़ा हो जाता हूँ। अगर यह आमने-सामने का खेल है, और दूसरे खिलाड़ी हैं, तो मैं टेबल को देखता हूँ और अपने विवेक का इस्तेमाल करता हूँ।

नियमित ब्लैकजैक में, खिलाड़ी को डीलर के दस या इक्का होने पर आठ के कार्ड बाँटने चाहिए। हालाँकि, अगर डीलर गलती से अपने दोनों कार्ड पलट देता है और कुल दस या ग्यारह दिखाता है, तो खिलाड़ी को दस के खिलाफ हिट करना चाहिए और ग्यारह के खिलाफ खड़ा होना चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब डीलर के पास दस या इक्का होता है, तब तक आपकी बारी आने तक आपको पता चल जाता है कि डीलर के पास ब्लैकजैक नहीं है, क्योंकि उसने यह सुनिश्चित करने के लिए होल कार्ड पर नज़र डाली है। इसलिए आप अपना हाथ ज़्यादा आक्रामक तरीके से खेल सकते हैं। लेकिन जब डीलर के दोनों कार्ड दस या ग्यारह दिखाने के लिए सामने आ जाते हैं, तो डीलर निश्चित रूप से दस के लिए एक इक्का, या ग्यारह के लिए दस, कुल मिलाकर 21 निकाल सकता है, इसलिए उस स्थिति में आपको ज़्यादा सावधानी से आगे बढ़ना चाहिए।

मुझे लगता है कि आप कार्ड हटाने को डीलर के अप कार्ड से भ्रमित कर रहे हैं। नीचे दी गई तालिका डीलर द्वारा ब्लैकजैक की जाँच करने से पहले, डीलर के अप कार्ड के आधार पर खिलाड़ी का अपेक्षित मूल्य दर्शाती है, यह मानते हुए कि डीलर सॉफ्ट 17 और अनंत डेक पर खड़ा है।

तो यह बिल्कुल सच है कि अगर आप डीलर के लिए कोई अप कार्ड चुन सकते हैं, तो वह छः होना चाहिए। छक्का डीलर के लिए तो बुरा है ही, साथ ही खिलाड़ी के लिए भी बुरा है। कुल मिलाकर, अगर आप शू से एक पत्ता निकाल सकते हैं, तो आपको पाँच चुनना चाहिए।

धन्यवाद। लगभग हर कैसीनो गिफ्ट शॉप में बुनियादी रणनीति कार्ड मिलते हैं, लेकिन किसी कारण से वे यह नहीं बताते कि कब सरेंडर करना है। सरेंडर करने के ज़्यादा मौके नहीं होते, लेकिन ऐसी स्थितियाँ अक्सर आती रहती हैं, इसलिए मुझे लगता है कि इन्हें याद रखना ज़रूरी है। छह-डेक वाले गेम में, अगर डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा है, तो सरेंडर का मान 0.07% होता है, और अगर वह उसे हिट करता है, तो 0.09%।

मेरा ब्लैकजैक परिशिष्ट 9 इसी तरह के सवालों के लिए बनाया गया था। 6 डेक मानते हुए, मेरी तालिका 8+2 बनाम 7 को दोगुना करने का अपेक्षित मान 0.396342 दिखाती है। 8+3 बनाम 10 को दोगुना करने का अपेक्षित मान 0.176919 है। तो आप सही कह रहे हैं, 10 बनाम 7 ज़्यादा बेहतर हाथ है।

उदार वेगास स्ट्रिप नियमों (छह डेक, डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा है, विभाजन के बाद डबल की अनुमति है, देर से आत्मसमर्पण की अनुमति है, इक्के को फिर से विभाजित करने की अनुमति है) को मानते हुए, शुरुआती दो कार्डों को दोगुना करने पर प्रत्येक संभावित परिणाम की संभावनाएँ निम्नलिखित हैं। इसमें विभाजन के बाद डबलिंग शामिल नहीं है।

मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 14 से पता चलता है कि अगर आपका पहला पत्ता छह है, तो आपका अपेक्षित मूल्य पहले से ही लगभग -21% है। उदाहरण के लिए, अगर उसने $100 का दांव लगाया है, तो हाथ और दांव बेचने का उचित मूल्य लगभग $79 होगा। हो सकता है कि आप उसकी शिकायत का फायदा उठाकर उसके हाथ को डॉलर पर उचित 79 सेंट से कम में खरीदने की पेशकश करें। मैं आपको ज़्यादा फ़ायदा उठाए बिना, बढ़त दिलाने के लिए डॉलर पर 75 सेंट का सुझाव दूँगा।

मेरी फ्लैशिंग ब्लैकजैक डीलर रणनीति बताती है कि ऐसी किसी भी स्थिति में क्या करना चाहिए जहाँ डीलर गलती से अपना होल कार्ड दिखा दे। हालाँकि, ज़्यादातर खिलाड़ियों को यह याद नहीं होता, मेरे जैसे ज़्यादातर खिलाड़ियों को। ऐसे मामलों में जहाँ डीलर के दो पत्तों का कुल योग नौ या उससे कम हो, आप बुनियादी रणनीति अपना सकते हैं, यह मानते हुए कि डीलर का अप कार्ड उसके दोनों पत्तों का योग है। इस सामान्य नियम का पालन करते हुए, तीनों खिलाड़ियों ने सही खेला। डीलर की कही बात के विपरीत, खिलाड़ी को डीलर की इस तरह की गलतियों से प्राप्त किसी भी जानकारी का उपयोग करने का पूरा अधिकार है। मैं न केवल डीलर की टिप्पणी को नज़रअंदाज़ करता, बल्कि खेलता भी रहता, इस उम्मीद में कि वह फिर से ऐसा करेगा।

आपका स्वागत है। उन पाठकों के लिए जो प्रश्न को नहीं समझ पा रहे हैं, "चार्ली" एक नियम है जिसमें खिलाड़ी बिना बस्ट हुए, कुछ निश्चित संख्या में, आमतौर पर पाँच से सात, कार्ड्स पर हिट करने पर स्वतः ही जीत जाता है। नीचे दी गई तालिका, तीन या अधिक कार्ड्स के लिए, मूल रणनीति दर्शाती है यदि खिलाड़ी ऐसे स्वतः विजेता से एक या दो कार्ड दूर है।

मुझे उम्मीद है कि आप खुश होंगे, मैंने इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए एक नया पृष्ठ जोड़ा है। कृपया मेरा ब्लैकजैक परिशिष्ट 19 देखें।

इसकी वजह यह है कि मेरी ब्लैकजैक की बुनियादी रणनीति 8 या उससे कम डेक पर आधारित है, और फ्लैशिंग डीलर की रणनीति अनंत डेक पर आधारित है। अनंत-डेक वाले ब्लैकजैक गेम में भी आपको A2 बनाम 5 ही मिलना चाहिए। अनंत-डेक की धारणा ब्लैकजैक का विश्लेषण करने का एक आलसी तरीका है। मैंने इस रास्ते को इसलिए चुना क्योंकि मुझे लगता है कि यह अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला पेज नहीं है, और इसमें गलतियों की लागत बहुत कम है, हर 202,000 यूनिट के दांव पर सिर्फ़ एक यूनिट।

कारण यह है कि मेरी तालिका यह मानती है कि आगे वाला खिलाड़ी, अगर हो सके तो, बार-बार विभाजन करता रहेगा। इससे एकल 10 का मान कम हो जाता है, क्योंकि मुझे लगता है कि आगे वाला खिलाड़ी, अगर हो सके तो, बार-बार वही गलतियाँ करता रहेगा। मैंने अभी उस पृष्ठ पर यह शर्त जोड़ी है।

ये टेबल यह मानकर चलते हैं कि डीलर के पास ब्लैकजैक नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब तक खिलाड़ी की बारी आती है, डीलर ब्लैकजैक की तलाश में पहले ही निकल चुका होता है। सही डबल और स्प्लिट निर्णय सशर्त अपेक्षित मूल्य पर आधारित होने चाहिए, बशर्ते डीलर के पास ब्लैकजैक न हो। अन्यथा, खिलाड़ी दहाई या इक्के के सामने डबल या स्प्लिट करने में बहुत ज़्यादा हिचकिचाएगा। संभावनाओं और अपेक्षित मूल्यों के डॉट गुणनफल को जोड़ने पर गलत परिणाम मिलेगा, क्योंकि डीलर ब्लैकजैक के लिए कोई नुकसान नहीं दर्शाया गया है।

पूरे खेल में हाउस एज पाने के लिए, आपको डीलर के पास ब्लैकजैक होने पर अपेक्षित नुकसान को घटाना चाहिए। छह डेक के साथ, डीलर के ब्लैकजैक की प्रायिकता दहाई की संख्या, इक्कों की संख्या के गुणनफल को दो पत्तों के संयोजनों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, जो (6×16)×(6×4)/combin(312,2) = 0.047489 होती है। हालाँकि, खिलाड़ी तभी हारेगा जब उसके पास ब्लैकजैक न हो। एक खिलाड़ी के ब्लैकजैक जीतने की प्रायिकता, बशर्ते कि डीलर के पास पहले से ही एक हो, (6×16-1)×(6×4-1)/combin(310,2) = 0.045621 है। इसलिए, डीलर के ब्लैकजैक से खिलाड़ी के हारने की प्रायिकता 0.047489 × (1-0.045621) = 0.045323 है। आपको ऊपर दिए गए डॉट गुणनफल से यह संख्या घटानी चाहिए: 0.04518876 - 0.045323 = -0.00615144। इस प्रकार, परिशिष्ट में दिए गए नियमों के अनुसार हाउस एज 0.62% है।

मैं आपका दर्द समझ सकता हूँ। आप कल्पना कर सकते हैं कि स्पेनिश 21 में यह कितना बुरा हो सकता है, जहाँ 3 के मुकाबले 14 मारने जैसे दांव लगाने पड़ते हैं। जब तक यह सिर्फ़ दिखावे तक सीमित है, मैं इसे छोड़ दूँगा। अगर यह शब्दों तक पहुँचता है, तो मैं कुछ ऐसा कहूँगा, "यहाँ और भी बहुत सी टेबल हैं।" आप इस तरह के भोले-भाले लोगों को संभावनाएँ समझाकर किसी भी तरह से मना नहीं सकते। कोई भी मान्यता जितनी बेतुकी होती है, उतनी ही दृढ़ता से उस पर विश्वास किया जाता है।

आमतौर पर इस बात की कोई ठोस व्याख्या नहीं होती कि एक चाल दूसरे से बेहतर क्यों है। यह जानने के लिए कि सही चाल क्या है, या तो खिलाड़ी और डीलर दोनों के लिए, बाकी पत्तों के गिरने के हर संभावित तरीके पर विचार करना होगा, या फिर हाथ को हज़ारों बार, यहाँ तक कि बहुत सीमांत हाथों के लिए लाखों बार खेलना होगा। आपको सबसे ज़्यादा अपेक्षित मूल्य वाला निर्णय ही लेना चाहिए। केवल बीमा लेने से इनकार करना ही आसानी से समझाया जा सकता है।

मान लीजिए कि छह डेक हैं, डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा है, और खिलाड़ी चार हाथों तक फिर से विभाजित कर सकता है। प्रत्येक बुनियादी रणनीति परिवर्तन का प्रभाव हाथ के होने की संभावना और उसके होने पर सही खेल न खेलने की कीमत पर पड़ता है। मेरा ब्लैकजैक परिशिष्ट 9 प्रत्येक हाथ की संभावना और प्रत्येक खेल के अपेक्षित मूल्य, दोनों को दर्शाता है। यह मानते हुए कि खिलाड़ी विभाजित करने के बजाय हिट करना चुनता है, खेल के अपेक्षित मूल्य पर प्रभाव इस प्रकार है:

संभावना(8,8 बनाम A)×(EV(हिट)-EV(विभाजन)) + संभावना(8,8 बनाम 9)×(EV(हिट)-EV(विभाजन)) + संभावना(8,8 बनाम 10)×(EV(हिट)-EV(विभाजन))
= 0.0003036 × (-0.513551 -(-0.364371)) + 0.0004404 × (-0.505707 -(-0.38995)) + 0.0016249 × (0.535361 -(-0. 475385))
= -0.019%.

इसलिए डीलर के 9, 10 या ऐस के खिलाफ 8, 8 मारने पर हाउस एज 0.019% बढ़ जाती है, यानी हर 5,300 हाथों में लगभग एक दांव। अगर खिलाड़ी हिट करने के बजाय सरेंडर कर देता है, तो प्रभाव 0.013% तक गिर जाता है। इसलिए, यह कोई बड़ी गलती नहीं है। तुलना के लिए, डीलर के ऐस के खिलाफ ब्लैकजैक में "इवन मनी" लेने पर छह-डेक वाले खेल में हाउस एज 0.014% बढ़ जाती है। अगर खिलाड़ी हर ब्लैकजैक और 20 (एक आम गलती) का बीमा करता है, तो त्रुटि लागत बढ़कर 0.149% हो जाती है!

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

मेरा ब्लैकजैक परिशिष्ट 9 इस तरह के सवालों के जवाब देने के लिए उपयोगी है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि छह डेक हैं और डीलर सॉफ्ट 17 पर पहुँचता है, तो डीलर 5 के खिलाफ ब्लैकजैक पर दोगुना होने का अपेक्षित मूल्य 0.622136 है और 6 के खिलाफ 0.667063 है। दोनों 1.2 से बहुत कम हैं, और आधे से ज़्यादा दांव की लागत है। भले ही ब्लैकजैक केवल सम राशि का भुगतान करता हो, जैसा कि दुर्भाग्य से आजकल कभी-कभी होता है, आपको ब्लैकजैक पर खड़े रहना चाहिए। एकमात्र खेल जहाँ आपको ब्लैकजैक पर खड़े नहीं रहना चाहिए, वह है ट्रिपल अप 21 , जहाँ खिलाड़ी को डीलर 6 के खिलाफ ब्लैकजैक पर तिगुना होना चाहिए।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

हाँ! आइए निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें:

6 डेक
डीलर ने सॉफ्ट 17 मारा
खिलाड़ी के पास A,6 है
डीलर 2 दिखाता है

मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 9 के अनुसार, प्रत्येक खेल का अपेक्षित मूल्य निम्नलिखित है:

स्टैंड -0.152739
हिट -0.000274
डबल -0.004882

तो, हिटिंग वह दांव है जिसके परिणामस्वरूप उस हाथ के लिए औसतन सबसे कम धनराशि का नुकसान होता है। यदि खिलाड़ी डबल करता है, तो उस त्रुटि का अपेक्षित मान -0.004882 - (-0.000274) = -0.004608 होगा। मेरे ब्लैकजैक हाउस एज कैलकुलेटर के अनुसार, उन नियमों के तहत हाउस एज - आत्मसमर्पण, स्प्लिट के बाद डबल और इक्के को फिर से विभाजित करने पर - 0.48% है। आमतौर पर, इनमें से कुछ विकल्पों की अनुमति नहीं होती है, जिससे हाउस एज बढ़ जाती है। इसलिए, जब तक डीलर 6-डेक गेम में सॉफ्ट 17 हिट करता है, तब तक 2 के मुकाबले सॉफ्ट 17 को दोगुना करने की लागत एक अतिरिक्त हाथ पर समान राशि दांव पर लगाने की लागत से कम होती है।

आप अपनी यही बात किसी भी ऐसे खेल में कह सकते हैं जिसमें रेजिंग शामिल हो। उदाहरण के लिए, थ्री कार्ड पोकर में, अगर आप हर हाथ में अपेक्षित नुकसान को कम करना चाहते हैं, तो सबसे अच्छी रणनीति Q64 या उससे बेहतर पर रेज करना है, जैसा कि मैंने अपने थ्री कार्ड पोकर पेज पर बताया है। हालाँकि, अगर आपका लक्ष्य हर कुल दांव पर अपेक्षित नुकसान को कम करना है, तो सबसे अच्छी रणनीति Q62 या उससे बेहतर पर रेज करना है।

इससे यह सवाल उठता है कि मेरे जैसे जुआ लेखक कुल दांव की राशि के बजाय, मूल दांव पर अपेक्षित नुकसान को कम करने पर रणनीति क्यों बनाते हैं? मेरा जवाब है कि यह मुख्यतः परंपरा से बाहर है। ब्लैकजैक की मूल रणनीति इसी तरह बनाई गई थी, और सभी ने आदत और सरलता के कारण इस पद्धति को बरकरार रखा है। अगर किसी मनोरंजक खिलाड़ी का लक्ष्य एक निश्चित समयावधि में नुकसान को कम करना है, तो उसे पारंपरिक रणनीतियाँ अपनानी चाहिए जो प्रति हाथ अपेक्षित नुकसान को कम करती हैं। अगर खिलाड़ी का लक्ष्य कुल दांवों में $x से अधिक के नुकसान को कम करना है, तो उसे बताए गए मामूली रूप से खराब डबल्स और रेज करने चाहिए। मुझे लगता है कि ज़्यादातर खिलाड़ी समय-आधारित लक्ष्य रखते हैं, और पारंपरिक रणनीतियों को प्राथमिकता देते हैं।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

मुझे लगता है कि ब्लैकजैक खिलाड़ियों द्वारा गलत तरीके से खेले जाने की सबसे ज़्यादा संभावना 5 या 6 के विरुद्ध 4, 4 का विभाजन करना है, जब विभाजन के बाद डबल की अनुमति हो। छह-डेक वाले खेल में ऐसा होने की संभावना 1135 में 1 है। मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 9 के अनुसार, यह मानते हुए कि खिलाड़ी विभाजन के बजाय हिट करता है, अपेक्षित मूल्य में लागत 5 के विरुद्ध 2.83% और 6 के विरुद्ध 4.38% है। कुल मिलाकर, जब खिलाड़ी आदतन हर बार यह गलती करता है, तो खेल का हाउस एज 0.0032% बढ़ जाता है। इसलिए, यह कोई बहुत महंगी गलती नहीं है, क्योंकि ऐसा बहुत कम होता है। हालाँकि, मुझे नहीं लगता कि मैंने कभी किसी अन्य खिलाड़ी को इस स्थिति में सही ढंग से विभाजित करते देखा है। जब मैं ऐसा करता हूँ, तो डीलर और अन्य खिलाड़ी आमतौर पर आँखें घुमा लेते हैं। एक बार मैंने एक अन्य खिलाड़ी को डीलर से गलत तरीके से यह कहते सुना, मानो मैं वहाँ मौजूद ही न हो, "आपको F से शुरू होने वाले किसी भी हाथ को कभी भी विभाजित नहीं करना चाहिए।"

अगर सवाल यह होता कि खेल की आवृत्ति और गलती की कीमत, दोनों को ध्यान में रखते हुए, सबसे महंगी गलती क्या है, तो मैं केवल अनुमान ही लगा सकता हूँ। वह अनुमान यह होगा कि #1 गलती सॉफ्ट डबलिंग नहीं है जब आपको ऐसा करना चाहिए। मैं शायद ही कभी मनोरंजन के लिए खिलाड़ियों को सॉफ्ट 17 जैसे हाथ को 6 के मुकाबले डबल करते हुए देखता हूँ। नीचे दी गई तालिका चार आम गलतियों के परिणामस्वरूप हाउस एज में वृद्धि दर्शाती है। यह तालिका मानती है कि खिलाड़ी हमेशा ऐसी स्थिति आने पर गलती करता है, बजाय इसके कि वह दूसरा सबसे अच्छा विकल्प चुनता है। 2 या 3 के मुकाबले 12 पर खड़े होने के लिए मैंने 6,6 वाले खिलाड़ी को शामिल नहीं किया।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

सबसे पहले, यह दोहराना ज़रूरी है कि 16 बनाम 10, हिट और स्टैंड के बीच एक बेहद सीमा रेखा वाला हाथ है। अगर आपको सरेंडर करने की अनुमति है, तो यह बुनियादी रणनीति वाले खिलाड़ी के लिए हिट या स्टैंड से कहीं बेहतर है। अन्यथा, औसतन हिट करना थोड़ा बेहतर है। आठ-डेक के जूते से सिर्फ़ एक छोटा पत्ता निकालने से ही स्टैंड के पक्ष में संभावनाएँ बदल जाएँगी, क्योंकि एक छोटा पत्ता कम होने पर ज़्यादा बड़े पत्ते बच जाते हैं, जिससे हिट करना ज़्यादा खतरनाक हो जाता है। इसीलिए मैं कहता हूँ कि अगर आपके 16 में तीन या उससे ज़्यादा पत्ते हैं, तो आपको स्टैंड कर लेना चाहिए, क्योंकि 3-कार्ड वाले 16 में आमतौर पर जूते से कम से कम दो छोटे पत्ते निकल जाते हैं।

दूसरा, शफल के बाद पहले हाथ में, अगर मूल रणनीति और कार्ड गिनने की रणनीति में हाथ खेलने के तरीके को लेकर मतभेद हैं, तो मूल रणनीति ही मान्य होती है। मूल रणनीति को ध्यान से इस तरह बनाया गया है कि देखे गए विशिष्ट कार्डों के आधार पर डेक की सटीक संरचना पर विचार किया जा सके। सूचकांक मानों की तालिका एक अधिक स्पष्ट उपकरण है जो पूरे शू में लागू होता है।

इस विशेष मामले में, कार्ड काउंटर या तो हिट कर सकता है या खड़ा रह सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वह सही गिनती को कैसे पूर्णांकित करता है। यदि वह नीचे की ओर पूर्णांकित करता है, तो सही गिनती -1 होगी, जिससे वह हिट करेगा। यदि वह ऊपर की ओर, या निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करता है, तो सही गिनती 0 होगी, जिससे वह खड़ा रहेगा। जहाँ तक मैं इस बात का ज़िक्र कर रहा हूँ, डॉन श्लेसिंगर द्वारा रचित ब्लैकजैक अटैक के अनुसार, पूर्णांकन के लिए पसंदीदा पद्धति "फ़्लोरिंग" या नीचे की ओर पूर्णांकन है, इस मामले में -1 तक, जिससे खिलाड़ी सही ढंग से हिट करता है।

एक और समान स्थिति 15 बनाम 10 की है। 83% मामलों में (10+5 या 8+7 के साथ, लेकिन 9+6 के साथ नहीं), इसका परिणाम यह होता है कि फेरबदल के बाद पहले हाथ में -1 की चलती गिनती होती है, और आत्मसमर्पण करने के लिए सूचकांक संख्या 0 होती है। नीचे की ओर पूर्णांकित करने से खिलाड़ी गलत हिट कर सकता है, जबकि आत्मसमर्पण करना बेहतर होता है।

सार यह है कि कार्डों को फेरबदल करने के बाद, जब दूसरे खिलाड़ियों के पास कोई और कार्ड न हो, तो पहले निर्णय के लिए कार्ड काउंटर को बुनियादी रणनीति अपनानी चाहिए। उसके बाद, इंडेक्स नंबरों का इस्तेमाल फिर से शुरू करें।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।