बिंगो - अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

आप सही कह रहे हैं, बिंगो में मेरी संभावनाओं की तालिका के अनुसार, 12 संख्याओं में से किसी एक व्यक्ति द्वारा बिंगो जीतने की संभावना 0.00199521 है।

सामान्यतः, यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता p है, तो n बार में कम से कम एक बार उसके घटित होने की प्रायिकता 1-(1-p) ⁿ है। इस स्थिति में, कम से कम एक व्यक्ति को बिंगो मिलने की प्रायिकता 1 - 0.00199521 ⁷⁵ = 1 - .9980048 ⁷⁵ = 1 - .8608886 = .1391114 है।

हालाँकि, बिंगो में हम ऊपर दी गई विधि का उपयोग नहीं कर सकते क्योंकि सभी कार्ड गेंदों के एक ही ड्रॉ के विरुद्ध जाते हैं। इसे समझाना मुश्किल है, लेकिन चूँकि कार्ड 15 संभावित संख्याओं वाले पाँच स्तंभों में व्यवस्थित हैं, इसलिए गेंदों की अपेक्षित संख्या परस्पर संबंधित है। आपके प्रश्न का सही उत्तर देने के लिए एक यादृच्छिक सिमुलेशन की आवश्यकता होगी। ऐसा किए बिना, 13.9% एक अच्छा मोटा अनुमान है।

बिंगो (एक पंक्ति में 5) प्राप्त करने की संभावना को समझाना जटिल है, मुख्य रूप से मुक्त वर्ग के कारण। मैंने इसे करने के लिए एक कंप्यूटर का उपयोग किया। चार कोने बहुत आसान है। कार्ड पर x अंक दिए जाने पर, 4 कोनों के होने की संभावना संयोजन (20,x-4)/संयोजन (24,x) है। दूसरे शब्दों में, यह कोनों में 4 अंक और बाकी को कहीं और रखने के तरीकों की संख्या को कार्ड पर कहीं भी सभी x रखने के तरीकों की संख्या से विभाजित किया जाता है। y कॉल के भीतर चार कोनों को प्राप्त करने की संभावना i=4 से y के लिए इस संभावना के गुणनफल का योग है कि दिए गए y कॉल में कार्ड पर x अंक होंगे और संभावना है कि ये x अंक चार कोने बनाएंगे (ऊपर)। y कॉल में x अंक प्राप्त करने की संभावना संयोजन (24,x) * संयोजन (51,yx) / संयोजन (75,y) है

खिलाड़ियों की संख्या के अनुसार किसी को बिंगो मिलने से पहले अपेक्षित कॉल की संख्या निम्नलिखित है।

1 खिलाड़ी: 41.37
10 खिलाड़ी: 25.51
50 खिलाड़ी: 18.28
100 खिलाड़ी: 15.88
200 खिलाड़ी: 13.82
500 खिलाड़ी: 11.56
1000 खिलाड़ी: 10.13

किसी भी दिए गए कार्ड में 54 कॉल्स वाला कवरऑल होने की प्रायिकता कॉम्बिन (51,30)/कॉम्बिन (75,54) = 114456658306760/2103535234151140000 = ~ 18738 में 1 है। 600 कार्ड्स के न जीतने की प्रायिकता (1-1/18738)^600 = ~ 96.79% है। इसलिए 600 खिलाड़ियों में से कम से कम एक के हिट होने की प्रायिकता 3.21% है।

पहले मैं यह स्पष्ट कर दूँ कि यह एक पुराना प्रश्न है जिसे मैंने ठंडे बस्ते में डाल दिया था। बिंगोगाला अपने होम पेज के अनुसार दो वर्षों से कार्यरत है। एक कार्ड के लिए 54 कॉल्स में कवरऑल मिलने की प्रायिकता COMBIN(75-24,54-24)/COMBIN(75,54) = 0.000054 है। 600 में से कम से कम एक कार्ड के 54 कॉल में कवरऑल मिलने की प्रायिकता 1-(1-.000054) ⁶⁰⁰ = 0.032121 है। प्रतिदिन 8 सत्रों के साथ 380 दिनों में विजेताओं की अपेक्षित संख्या 97.65 है। मानक विचलन (380*8*0.032121*(1-0.032121)) ^1/2 = 9.72 है। तो यह (97.58-76)/9.72 = 2.23 मानक विचलन अपेक्षाओं से कम है। एक निष्पक्ष खेल में 76 या उससे कम विजेताओं की संभावना 1.30% होती है। तो इसका कारण या तो खिलाड़ियों की बदकिस्मती हो सकती है, या फिर औसतन 600 से कम खिलाड़ी। शायद शुरुआती दिनों में उन्हें उतने विजेता नहीं मिले होंगे। इसलिए मेरी राय में, ये सबूत बेईमानी के आरोप को सही नहीं ठहराते।

माइक एस., क्या संभावनाएँ हैं? कई रेसट्रैक "क्लास 2" गेमिंग की अनुमति देते हैं, जो लॉटरी या बिंगो आधारित होनी चाहिए। इस नियम के तहत स्लॉट्स की पेशकश करने का तरीका यह है कि पर्दे के पीछे लॉटरी या बिंगो गेम चलता रहे और परिणाम स्लॉट मशीन की जीत के रूप में प्रदर्शित हो। उदाहरण के लिए, अगर लॉटरी गेम में यह तय होता है कि आप अपनी शर्त का 20 गुना जीतेंगे, तो यह स्लॉट मशीन के प्रतीकों को 20 का भुगतान करते हुए दिखाएगा। तो यह एक चतुर भ्रम है।

ओक्लाहोमा और कई अन्य भारतीय कैसिनो में "क्लास 2" स्लॉट होते हैं। परिणाम वास्तव में बिंगो बॉल्स के ड्रॉ से तय होता है। अलग-अलग स्लॉट मशीनों पर खिलाड़ी एक-दूसरे से जुड़े होते हैं, प्रत्येक खिलाड़ी के पास अलग-अलग कार्ड होते हैं, लेकिन नेटवर्क से जुड़े सभी खिलाड़ियों के लिए बॉल्स का ड्रॉ एक जैसा होता है। आमतौर पर एक "गेम एंडिंग पैटर्न" होता है, जिसमें अगर कोई खिलाड़ी इसे पूरा कर लेता है, तो बाकी सभी खिलाड़ियों के लिए बॉल्स ड्रॉ होना बंद हो जाती हैं। हालाँकि, ज़्यादातर निर्माताओं के साथ इन गेम एंडिंग पैटर्न को हासिल करना बहुत मुश्किल होता है, इसलिए प्रतिस्पर्धा का तत्व नगण्य होता है। जब तक गेम एंडिंग पैटर्न हासिल नहीं हो जाता, तब तक एक निश्चित संख्या में बॉल्स निकाली जाती हैं, आपके कार्ड्स अपने आप रंगे जाते हैं, और आपको आपके द्वारा कवर किए गए सबसे ज़्यादा भुगतान वाले पैटर्न के अनुसार भुगतान किया जाता है, और ऐसे सैकड़ों पैटर्न होते हैं। स्लॉट मशीन का वीडियो केवल यह दिखाने के लिए है कि आपने कितना जीता है। अगर अच्छी तरह से किया जाए, और अक्सर ऐसा नहीं होता, तो गेम लगभग वेगास स्लॉट मशीन की तरह ही चलते हैं।

तारीफ़ के लिए शुक्रिया। इसका जवाब इस बात पर निर्भर करता है कि बिंगो साइट जैकपॉट कैसे तय करती है। अगर यह बेचे गए कुल कार्डों का प्रतिशत है, जो आमतौर पर होता है, तो इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ेगा। हालाँकि, अगर विजेता के लिए कोई निश्चित इनाम है, तो बेहतर होगा कि एक बार में एक ही गेम खेलें, वरना आप खुद से ही मुकाबला करेंगे।

हाँ, यह सच है। ओक्लाहोमा जैसे कुछ राज्यों में पारंपरिक "क्लास 3" स्लॉट अवैध हैं। इस कानून से बचने का एक तरीका यह है कि मशीन बेतरतीब ढंग से बिंगो कार्ड और गेंदें चुने। कुछ पैटर्न कुछ जीत के लिए मैप किए जाएँगे और परिणाम खिलाड़ी को स्लॉट मशीन की जीत की तरह दिखाया जाएगा। अगर सही तरीके से किया जाए, और अक्सर ऐसा नहीं होता, तो ये गेम बिल्कुल वेगास जैसे ही होते हैं। अगर मुझे ठीक से याद है, तो मैंने टुल्सा के एक कैसीनो में रील 'एम इन जैसे कुछ लोकप्रिय विलियम्स स्लॉट देखे थे, जिनमें स्क्रीन के कोने में बस एक छोटा सा बिंगो कार्ड था। बाकी मुझे वे एक जैसे ही लगे। मुझे नहीं पता कि ओक्लाहोमा में वे अपने स्लॉट पर कितना रिटर्न सेट करते हैं, इसलिए मैं इस सवाल में आपकी मदद नहीं कर सकता।

दो बिंगो कार्डों में कोई भी संख्या समान न होने की प्रायिकता ( कॉम्बिन (10,5)/कॉम्बिन (15,5)) ⁴ ×(कॉम्बिन (11,4)/कॉम्बिन (15,4)) = 83,414 में 1 है। दो बिंगो कार्डों में सभी 24 संख्याएँ समान होने की प्रायिकता (1/कॉम्बिन (15,5)) ⁴ ×(1/कॉम्बिन (15,4)) = 111,007,923,832,371,000 में 1 है।

अन्य पाठकों की सुविधा के लिए, बिग 3 सभी स्टेशन कैसिनो और फिएस्टा रैंचो में एक बिंगो साइड बेट है। खिलाड़ी को एक टिकट दिया जाता है, चाहे वह कागज़ का हो या इलेक्ट्रॉनिक यूनिट में लोड किया गया हो, जिस पर 75 संभावित बिंगो नंबरों में से तीन यादृच्छिक संख्याएँ होती हैं। यदि उस सत्र में बुलाए गए पहले चार बिंगो नंबरों में खिलाड़ी के तीनों नंबर शामिल हों, तो खिलाड़ी एक प्रगतिशील जैकपॉट जीतेगा। जैकपॉट $1000 से शुरू होता है और किसी के जीतने तक प्रतिदिन $200 बढ़ता रहता है। प्रत्येक सत्र और संपत्ति का एक स्वतंत्र जैकपॉट होता है।

विजयी संयोजनों की संख्या 72 है, क्योंकि तीन गेंदों का मेल होना ज़रूरी है, और चौथी गेंद बाकी 72 गेंदों में से कोई भी हो सकती है। संयोजन (75,4) = 1,215,450 संभावित संयोजन हैं। इस प्रकार, जीतने की प्रायिकता 72/1,215,450 = 0.000059 है। खिलाड़ी $10 में 48 टिकट खरीद सकता है, इसलिए प्रति टिकट की कीमत 10/48 = 0.208333 डॉलर है। ब्रेक-ईवन मीटर, जहाँ हाउस एज शून्य है, (10/48)/(72/1,215,450) = $3,516.93 है।

स्टेशन कैसीनो अपनी जंबो बिंगो वेबसाइट पर बिग 3 जैकपॉट दिखाते हैं। वहाँ आप देखेंगे कि मीटर अक्सर $3517 से ज़्यादा होता है। जब मैंने 30 अगस्त, 2007 को इस प्रश्न का उत्तर दिया था, तब आठ में से दो संपत्तियों में, पैलेस स्टेशन और फिएस्टा रैंचो, खिलाड़ियों के लिए लाभप्रद स्थिति में थे। यह लास वेगास के उन कुछ दांवों में से एक है जहाँ अक्सर खिलाड़ियों को लाभ मिलता है। दुर्भाग्य से, वे आपके द्वारा खरीदे जा सकने वाले कार्डों की संख्या सीमित कर देते हैं, जिससे ज़्यादातर लोगों के लिए, जिनमें मैं भी शामिल हूँ, विशेष यात्रा करने की परेशानी उठाना उचित नहीं है।

कार्ड बेतरतीब ढंग से छपे होते हैं, इसलिए अगर आपने पर्याप्त कार्ड खरीदे हैं, तो आपको बार-बार कार्ड मिलेंगे। इसलिए ऐसी कोई संख्या नहीं है जिससे आपको जीत का भरोसा हो। प्रत्येक कार्ड के जीतने की प्रायिकता 0.00000000243814, यानी 410,148,569 में से 1 है। मान लीजिए कि आप जीतने की प्रायिकता p से संतुष्ट हैं, आपके द्वारा खरीदे गए कार्डों की संख्या n है, और प्रत्येक कार्ड के जीतने की प्रायिकता c है। आइए n के लिए हल करें:

पी = 1-(1-सी) ^एन
1-पी = (1-सी) ^एन
ln(1-p) = n×ln(1-c)
n=ln(1-p)/ln(1-c)

उदाहरण के लिए, जीतने की 90% संभावना के लिए आपको ln(1-.9)/ln(1-0.00000000243814) कार्ड खरीदने होंगे, जो 944,401,974 के बराबर है।

निम्नलिखित तालिका में आधार पुरस्कार का मूल्य प्रति कार्ड एक सेंट का 1/5 भाग दर्शाया गया है।

प्रति कार्ड सांत्वना पुरस्कार का मूल्य 50/n है, जहाँ n प्रतिस्पर्धी कार्डों की संख्या है। उदाहरण के लिए, यदि 1000 प्रतिस्पर्धी कार्ड हों, तो प्रति कार्ड सांत्वना पुरस्कार का मूल्य 5 सेंट होगा।

यह इस बात पर निर्भर करता है कि खेल में कितने पत्ते हैं। यह मानते हुए कि खेल में c पत्ते हैं, कम से कम एक समान पत्तों के सेट की प्रायिकता का एक अच्छा अनुमान 1-e ^{(-c/471,000,000)} है। उदाहरण के लिए, खेल में 10,000 पत्तों के साथ, जो मुझे लगता है कि वेगास बिंगो सत्र के लिए लगभग सही है, कम से कम एक समान पत्तों के सेट की संभावना लगभग 47,000 में 1 है। कम से कम एक समान पत्तों के सेट की 50/50 संभावना के लिए, आपके पास खेल में लगभग 330 मिलियन पत्ते होने चाहिए।

किसी भी खेल में 50 गेंदों के भीतर कवरऑल मिलने की संभावना 212,085 में से 1 है। छह खेलों में से एक में चार जीतने की संभावना 134,882,670,482,530,000,000 में से 1 है। अगर कभी कोई खराबी थी, तो यह एक खराबी लगती है। मुझे लगता है कि कैसीनो के पास जैकपॉट अस्वीकार करने का एक जायज़ कारण है, क्योंकि खेलों ने स्पष्ट रूप से ठीक से प्रदर्शन नहीं किया। हालाँकि, मुझे लगता है कि आपकी जमा राशि लेना चोरी है। मुझे खेल की अखंडता पर भी सवाल उठाना होगा, अगर यह इस तरह से जीत को रोक सकता है। मुझे संदेह है कि ड्रॉ पूरी तरह से यादृच्छिक नहीं हो सकता है।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

मैं भी ऐसी ही परिस्थितियों में रहा हूँ, जहाँ अधिकतर लोग किसी विशेष पत्र का इंतजार कर रहे थे, लेकिन मैंने एक साथ अधिकतम 25 विजेताओं को देखा है।

मैं दिखाता हूँ कि 44 कॉल करने और किसी एक अक्षर (सिर्फ़ G नहीं) से बचने की प्रायिकता 1,517,276 में 1 है। इस प्रायिकता का सूत्र इस प्रकार है: 5*combin(60,44)/combin(75,44) - combin(5,2)*combin(45,44)/combin(75,44)

इसका उत्तर समझाना मुश्किल है। मैं यह कहकर शुरुआत करूँगा कि एक-पत्तों वाले खेल में अपेक्षित कॉलों की संख्या समान होगी। हालाँकि, एक से ज़्यादा पत्तों के साथ एक सहसंबंध प्रभाव होता है।

इसका तुरंत जवाब देना मुश्किल है, लेकिन अगर ज़ोर दिया जाए, तो ऐसा इसलिए है क्योंकि चार कोनों वाले पैटर्न में B और O स्तंभों में गेंदों का जमावड़ा ज़रूरी होता है। छोटे हीरे वाले पैटर्न में B, N और O स्तंभों पर गेंदों का समतल वितरण होने पर हिट होने की संभावना ज़्यादा होती है।

आइए इस खेल को सरल बनाते हैं, जहाँ अनंत संख्या में कार्ड होते हैं और गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं। दोनों खेलों में विजेता बनने के लिए आवश्यक गेंदों की संख्या इस प्रकार है:

• चार कोने: 2.5+2.5+((1/2)*10+(1/2)*(2.5+5)) = 13.75
• छोटा हीरा: =(5/3)+((1/3)*((5/3)+(5/2)+5)+(2/3)*((5/2)+((1/2)*((5/2)+5)+(1/2)*(5+5)))) = 12 + 2/9

इससे पता चलता है कि चारों कोनों तक पहुंचने में 1.53 गेंदें अधिक लगेंगी।

सामान्य बिंगो नियमों के तहत इसे एक साथ चलाने पर, अनंत कार्ड मानते हुए, परिणाम इस प्रकार हैं:

• चार कोने: 12.8289
• हीरा: 11.3645

इस बार 1.46 गेंदों का अंतर है।

मुझे उम्मीद है कि मैंने यह दिखा दिया होगा कि अगर अंक ज़्यादा कॉलम में बाँटे जाएँ, तो पैटर्न जल्दी समझ में आ जाते हैं। इसी वजह से, मुझे लगता है कि सिंगल-बिंगो गेम में आप आमतौर पर देखते हैं कि जीतने वाला बिंगो क्षैतिज होता है।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर चर्चा में पूछा गया है।

सामान्य जीत पैटर्न के लिए एक कार्ड पर आवश्यक अंकों की औसत संख्या इस प्रकार है:

• सिंगल बिंगो — 13.60808351
• डबल बिंगो — 16.37193746
• ट्रिपल बिंगो — 18.02284989
• सिंगल हार्डवे — 15.29273554
• डबल हार्डवे — 18.09327842
• ट्रिपल हार्डवे — 19.79294406
• सिक्स पैक — 14.62449358
• नौ पैक — 18.97212394