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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #312

कोस्टा रिका की स्पोर्ट्स वेबसाइट BookMaker.eu ने सीमा दीवार पर अपने टेलीविज़न संबोधन में ट्रम्प द्वारा दिए गए झूठे बयानों की संख्या पर दांव लगाया। उन्होंने ओवर/अंडर लाइन 3.5 पर रखी। 96% दांव ओवर पर था और उन्हें $276,424 का नुकसान हुआ। उस दांव पर आप कितना उचित दांव लगाते?

गुमनाम

बुकमेकर के अनुसार, वाशिंगटन पोस्ट, जो आम तौर पर राजनीतिक झूठे बयानों की गिनती रखता है, झूठ की संख्या के स्रोत के रूप में इस्तेमाल किया जाएगा। उस स्रोत के अनुसार, ट्रम्प ने 2018 के दौरान औसतन प्रतिदिन 15 झूठे बयान दिए। इस दांव का विश्लेषण करते समय अगला प्रश्न यह है कि ट्रम्प एक दिन में सार्वजनिक बयान देने में कितना समय लगाते हैं? ट्वीट्स, साक्षात्कारों और बिना सोचे-समझे दिए गए बयानों के बीच, मुझे 20 मिनट का अनुमान एक उचित अनुमान लगता है। कम से कम एक अच्छी गोल संख्या तो है। साधारण भागफल से हमें 15/20 = 0.75 झूठे बयान प्रति मिनट, या हर 80 सेकंड में एक, मिलता है।

मीडिया द्वारा शुरू होने से पहले यह अनुमान लगाया गया था कि यह भाषण छह से आठ मिनट तक चलेगा। आइए अंतर को विभाजित करते हुए सात मिनट मान लें। सात मिनट में 0.75 गलत बयानों के साथ, हमें अनुमानित 5.25 गलत बयान मिलते हैं। इसलिए, मैंने ओवर/अंडर को 5.5 पर सेट किया होगा।

वैसे, यदि हम गलत कथनों की औसत संख्या 5.25 मानते हैं, तो तीन या उससे कम गलत कथनों की संभावना 23.17% है, यदि हम मानते हैं कि कुल पॉइसन वितरण के अनुसार वितरित किया गया है, जो मुझे लगता है कि एक उचित धारणा है।

वैसे, अंत में झूठे बयानों की संख्या छह आंकी गई।

यह प्रश्न ट्रम्प एट विजार्ड ऑफ वेगास पर बहुत लंबे थ्रेड में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है, लेकिन इस विशिष्ट विषय पर चर्चा यहां से शुरू होती है।

एकल-शून्य रूलेट में, प्रत्येक संख्या के कम से कम एक बार प्रकट होने के लिए आवश्यक स्पिनों की औसत और मध्यिका संख्या क्या है?

Notnab

माध्य का उत्तर देना ज़्यादा आसान है, इसलिए हम इसी से शुरुआत करेंगे। आइए इसे चरण दर चरण समझते हैं:

  • पहला स्पिन निश्चित रूप से एक नया नंबर होगा।
  • दूसरे प्रक्षेप में एक नई संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता 36/37 होगी। यदि किसी घटना की प्रायिकता p है, तो उसके घटित होने के लिए अपेक्षित प्रयासों की संख्या 1/p है। इस स्थिति में, दूसरी संख्या प्राप्त करने के लिए अपेक्षित प्रयासों की संख्या 37/36 = 1.0278 है।
  • दो संख्याओं के देखे जाने के बाद, अगले स्पिन में नई संख्या आने की संभावना 35/37 है। इस प्रकार, दूसरी संख्या के बाद तीसरी संख्या देखने के लिए अपेक्षित स्पिनों की संख्या 37/35 = 1.0571 है।
  • इस तर्क के अनुसार, प्रत्येक संख्या को देखने के लिए स्पिन की औसत संख्या 1 + 37/36 + 37/35 + 37/34 + ... + 37/2 + 37/1 = 155.458690 है।

माध्यिका कहीं अधिक जटिल है। सटीक उत्तर प्राप्त करने के लिए, यादृच्छिक सिमुलेशन के बजाय, मैट्रिक्स बीजगणित का भरपूर उपयोग करना पड़ता है। मैंने अन्य Ask the Wizard प्रश्नों में इसी तरह की समस्याओं को हल करने के तरीके पर चर्चा की है, इसलिए मैं फिर से विवरण में नहीं जाऊँगा। इसी तरह के एक प्रश्न का उदाहरण लगातार तीन बार 6-6 जोड़ी होल में आने का प्रश्न है, जैसा कि Ask the Wizard #311 में चर्चा की गई है। इतना कहना पर्याप्त है कि 145 चक्करों में प्रत्येक संख्या को देखने की प्रायिकता 0.49161779 है, और 146 चक्करों में 0.501522154 है। इस प्रकार, माध्यिका 146 है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

मान लीजिए आपके पास 12 छह-तरफा पासे हैं। आप उन्हें उछालते हैं और अपनी इच्छानुसार कोई भी पासा अलग रख सकते हैं। फिर आप दूसरे पासे को दोबारा उछालते हैं। दोनों बार एक ही तरह के 12 पासे आने की प्रायिकता क्या है?

गुमनाम

प्रारंभिक रोल पर 58 विभिन्न प्रकार के अनुक्रम होते हैं। मैं प्रत्येक को इस प्रकार पहचानता हूँ कि पहले फलक की संख्या सबसे अधिक होती है, फिर दूसरे फलक के पासों की कुल संख्या, इत्यादि। उदाहरण के लिए, 3,3,3,3,6,6,6,5,5,2 के रोल को 4-3-2-1 के रूप में दर्शाया जाएगा। निम्न तालिका प्रत्येक अनुक्रम के संयोजनों की संख्या, उसे रोल करने की प्रायिकता, दूसरे रोल में एक ही प्रकार के 12 आने की प्रायिकता और दोनों का गुणनफल दर्शाती है। दूसरे रोल पर प्रायिकता के लिए, मैं मानता हूँ कि खिलाड़ी के पास वह पासा है जिसका प्रारंभिक रोल पर सबसे बड़ा योग है। निचला दायाँ कोष्ठ 0.0000037953 की समग्र प्रायिकता दर्शाता है, जो 263,486 में 1 के बराबर है।

12 पासा प्रश्न

अनुक्रम युग्म संभावना
अनुक्रम		 सशर्त
संभावना		 कुल
संभावना
12-0-0-0-0-0 6 0.0000000028 1.0000000000 0.0000000028
11-1-0-0-0-0 360 0.0000001654 0.1666666667 0.0000000276
10-2-0-0-0-0 1,980 0.0000009096 0.0277777778 0.0000000253
10-1-1-0-0-0 7,920 0.0000036384 0.0277777778 0.0000001011
9-3-0-0-0-0 6,600 0.0000030320 0.0046296296 0.0000000140
9-2-1-0-0-0 79,200 0.0000363840 0.0046296296 0.0000001684
9-1-1-1-0-0 79,200 0.0000363840 0.0046296296 0.0000001684
8-4-0-0-0-0 14,850 0.0000068220 0.0007716049 0.0000000053
8-3-1-0-0-0 237,600 0.0001091519 0.0007716049 0.0000000842
8-2-2-0-0-0 178,200 0.0000818639 0.0007716049 0.0000000632
8-2-1-1-0-0 1,069,200 0.0004911837 0.0007716049 0.0000003790
8-1-1-1-1-0 356,400 0.0001637279 0.0007716049 0.0000001263
7-5-0-0-0-0 23,760 0.0000109152 0.0001286008 0.0000000014
7-4-1-0-0-0 475,200 0.0002183039 0.0001286008 0.0000000281
7-3-2-0-0-0 950,400 0.0004366077 0.0001286008 0.0000000561
7-3-1-1-0-0 2,851,200 0.0013098232 0.0001286008 0.0000001684
7-2-2-1-0-0 4,276,800 0.0019647348 0.0001286008 0.0000002527
7-2-1-1-1-0 5,702,400 0.0026196464 0.0001286008 0.0000003369
7-1-1-1-1-1 570,240 0.0002619646 0.0001286008 0.0000000337
6-6-0-0-0-0 13,860 0.0000063672 0.0000214335 0.0000000001
6-5-1-0-0-0 665,280 0.0003056254 0.0000214335 0.0000000066
6-4-2-0-0-0 1,663,200 0.0007640635 0.0000214335 0.0000000164
6-4-1-1-0-0 4,989,600 0.0022921906 0.0000214335 0.0000000491
6-3-3-0-0-0 1,108,800 0.0005093757 0.0000214335 0.0000000109
6-3-2-1-0-0 19,958,400 0.0091687624 0.0000214335 0.0000001965
6-3-1-1-1-0 13,305,600 0.0061125083 0.0000214335 0.0000001310
6-2-2-2-0-0 4,989,600 0.0022921906 0.0000214335 0.0000000491
6-2-2-1-1-0 29,937,600 0.0137531436 0.0000214335 0.0000002948
6-2-1-1-1-1 9,979,200 0.0045843812 0.0000214335 0.0000000983
5-5-2-0-0-0 997,920 0.0004584381 0.0000035722 0.0000000016
5-5-1-1-0-0 2,993,760 0.0013753144 0.0000035722 0.0000000049
5-4-3-0-0-0 3,326,400 0.0015281271 0.0000035722 0.0000000055
5-4-2-1-0-0 29,937,600 0.0137531436 0.0000035722 0.0000000491
5-4-1-1-1-0 19,958,400 0.0091687624 0.0000035722 0.0000000328
5-3-3-1-0-0 19,958,400 0.0091687624 0.0000035722 0.0000000328
5-3-2-2-0-0 29,937,600 0.0137531436 0.0000035722 0.0000000491
5-3-2-1-1-0 119,750,400 0.0550125743 0.0000035722 0.0000001965
5-3-1-1-1-1 19,958,400 0.0091687624 0.0000035722 0.0000000328
5-2-2-2-1- 59,875,200 0.0275062872 0.0000035722 0.0000000983
5-2-2-1-1-1 59,875,200 0.0275062872 0.0000035722 0.0000000983
4-4-4-0-0-0 693,000 0.0003183598 0.0000005954 0.0000000002
4-4-3-1-0-0 24,948,000 0.0114609530 0.0000005954 0.0000000068
4-4-2-2-0-0 18,711,000 0.0085957147 0.0000005954 0.0000000051
4-4-2-1-1-0 74,844,000 0.0343828589 0.0000005954 0.0000000205
4-4-1-1-1-1 12,474,000 0.0057304765 0.0000005954 0.0000000034
4-3-3-2-0-0 49,896,000 0.0229219060 0.0000005954 0.0000000136
4-3-3-1-1-0 99,792,000 0.0458438119 0.0000005954 0.0000000273
4-3-2-2-1-0 299,376,000 0.1375314358 0.0000005954 0.0000000819
4-3-2-1-1-1 199,584,000 0.0916876238 0.0000005954 0.0000000546
4-2-2-2-2-0 37,422,000 0.0171914295 0.0000005954 0.0000000102
4-2-2-2-1-1 149,688,000 0.0687657179 0.0000005954 0.0000000409
3-3-3-3-0-0 5,544,000 0.0025468784 0.0000000992 0.0000000003
3-3-3-2-1-0 133,056,000 0.0611250826 0.0000000992 0.0000000061
3-3-3-1-1-1 44,352,000 0.0203750275 0.0000000992 0.0000000020
3-3-2-2-2-0 99,792,000 0.0458438119 0.0000000992 0.0000000045
3-3-2-2-1-1 299,376,000 0.1375314358 0.0000000992 0.0000000136
3-2-2-2-2-1 149,688,000 0.0687657179 0.0000000992 0.0000000068
2-2-2-2-2-2 7,484,400 0.0034382859 0.0000000165 0.0000000001
कुल 2,176,782,336 1.0000000000 0.0000037953

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