जादूगर से पूछो #257

क्या आप कृपया, अपने दृष्टिबाधित जुआरियों के लिए, एक सुलभ ब्लैकजैक रणनीति चार्ट बना सकते हैं? दुर्भाग्य से, स्क्रीन रीडर (ऐसे प्रोग्राम जो टेक्स्ट को स्पीच के रूप में पढ़ते हैं) चार्ट को ठीक से नहीं पढ़ पाते। इसके बजाय, क्या आप एक चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका लिख सकते हैं? एक सुलभ चार्ट की बहुत सराहना की जाएगी!

JordanN

यह कभी मत कहिए कि मैं दृष्टिबाधित ~~लोगों~~ का मित्र नहीं हूँ। यहाँ मेरी जादूगर की सरल रणनीति सरल पाठ के रूप में है। यह कोई मानक बुनियादी रणनीति नहीं है, जो ज़्यादा शक्तिशाली है, लेकिन इसे शब्दों में बयां करना थोड़ा मुश्किल होगा।

हमेशा:

8 या उससे कम जोर से मारो।
हार्ड 17 या उससे अधिक पर खड़े रहें।
सॉफ्ट 15 या उससे कम पर हिट करें।
नरम 19 या अधिक पर खड़े हो जाओ.
10 या 11 के साथ, यदि आपके पास डीलर के अप कार्ड से अधिक है तो दोगुना करें (डीलर के इक्के को 11 अंक मानें), अन्यथा हिट करें।
10 के विरुद्ध 16 समर्पण।
आठ और इक्के को विभाजित करें।

यदि खिलाड़ी का हाथ उपरोक्त "हमेशा" नियमों में से किसी एक के अनुरूप नहीं है, और डीलर के पास 2 से 6 तक का विकल्प है, तो निम्न प्रकार से खेलें:

9 पर डबल.
हार्ड 12 से 16 पर खड़े हो जाइये।
डबल सॉफ्ट 16 से 18.
2, 3, 6, 7 और 9 को विभाजित करें।

यदि खिलाड़ी का हाथ उपरोक्त "हमेशा" नियमों में से किसी एक के अनुरूप नहीं है, तथा डीलर के पास 7 से A है, तो हिट करें।

पाठ रूप में पूर्ण बुनियादी रणनीति के लिए, कृपया मेरी 4-डेक से 8-डेक बुनियादी रणनीति देखें।

54 पत्तों वाली दो गड्डियाँ (दो जोकर सहित) एक साथ मिलाई जाती हैं। एक खिलाड़ी को उनमें से आधी गड्डियाँ दी जाती हैं। क्या प्रायिकता है कि खिलाड़ी को चारों लाल तीन मिलें?

Doc

चार लाल तीन और 104 अन्य कार्ड हैं। चारों लाल तीन पाने का केवल एक ही तरीका है। संयोजन (104,50) = 1.46691 × 10 ²⁸ तरीके हैं जिनसे खिलाड़ी अन्य 104 कार्डों में से 50 प्राप्त कर सकता है। संयोजनों की कुल संख्या संयोजन (108,54) = 2.48578 × 10 ³⁰ है। संयोजन (104,50)/संयोजन (108,54) = 0.059012।

अगर आपको इतनी बड़ी संख्याओं से निपटना पसंद नहीं है, तो यहाँ एक वैकल्पिक उपाय है। चारों लाल तीन पत्तों को 1 से 4 तक संख्या दें। खिलाड़ी के पास पहला लाल तीन पत्ता होने की प्रायिकता 54/108 है। अब पहले तीन पत्तों को हटा दें। खिलाड़ी के पास दूसरा लाल तीन पत्ता होने की प्रायिकता 53/107 है, क्योंकि खिलाड़ी के पास 53 पत्ते बचे हैं, और शेष 107 पत्ते हैं। इसी तरह, खिलाड़ी के पास तीसरा लाल तीन पत्ता होने की प्रायिकता 52/106 है, और चौथा लाल तीन पत्ता होने की प्रायिकता 51/105 है। (54/108) × (53/107) × (52/106) × (51/105) = 0.059012।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

किस वीडियो पोकर गेम में सबसे अधिक भिन्नता है?

rudeboyoi

मेरा सबसे अच्छा अनुमान रॉयल एसेस बोनस पोकर है। मैंने इसे कई साल पहले मेस्काइट में सिर्फ़ एक बार देखा था। इसमें चार इक्कों के लिए 800 मिलते हैं, लेकिन सामान्य जैक के बजाय, इक्कों के एक जोड़े के साथ सबसे कम भुगतान मिलता है। यहाँ रिटर्न टेबल दी गई है।

रॉयल एसेस बोनस पोकर

हाथ	भुगतान करता है	युग्म	संभावना	वापस करना
रॉयल फ़्लश	800	490,090,668	0.000025	0.019669
स्ट्रेट फ्लश	100	2,417,714,292	0.000121	0.012129
चार इक्के	800	4,936,967,256	0.000248	0.198140
चार 2-4	80	10,579,511,880	0.000531	0.042460
चार 5-के	50	31,662,193,440	0.001588	0.079421
पूरा घर	10	213,464,864,880	0.010709	0.107090
लालिमा	5	280,594,323,000	0.014077	0.070384
सीधा	4	276,071,121,072	0.013850	0.055399
तीन हास्य अभिनेता	3	1,470,711,394,284	0.073782	0.221346
दो जोड़ी	1	2,398,705,865,028	0.120337	0.120337
इक्कों की जोड़ी	1	1,307,753,371,584	0.065607	0.065607
कुछ नहीं	0	13,935,843,099,816	0.699126	0.000000
कुल		19,933,230,517,200	1.000000	0.991982

मानक विचलन 13.58 है! यह 9-6 जैक या बेहतर (4.42) से तीन गुना ज़्यादा है।

हालाँकि, अगर आप मुझे आसानी से मिलने वाले खेलों तक सीमित रखते हैं, तो मेरा नामांकन ट्रिपल डबल बोनस है, जिसका मानक विचलन 9.91 है। यह रही भुगतान तालिका।

ट्रिपल डबल बोनस पोकर

हाथ	भुगतान करता है	युग्म	संभावना	वापस करना
रॉयल फ़्लश	800	439,463,508	0.000022	0.017637
स्ट्रेट फ्लश	50	2,348,724,720	0.000118	0.005891
4 इक्के + 2-4	800	1,402,364,496	0.000070	0.056282
4 2-4 + ए-4	400	3,440,009,028	0.000173	0.069031
4 इक्के + 5-के	160	2,952,442,272	0.000148	0.023699
4 2-4 + 5-के	80	6,376,626,780	0.000320	0.025592
4 5-के	50	31,673,324,076	0.001589	0.079449
पूरा घर	9	206,321,656,284	0.010351	0.093156
लालिमा	7	311,320,443,672	0.015618	0.109327
सीधा	4	252,218,322,636	0.012653	0.050613
एक तरह के 3	2	1,468,173,074,448	0.073655	0.147309
दो जोड़ी	1	2,390,581,734,264	0.119929	0.119929
जैक या बेहतर	1	3,944,045,609,748	0.197863	0.197863
कुछ नहीं	0	11,311,936,721,268	0.567491	0.000000
कुल		19,933,230,517,200	1.000000	0.995778

पाँच नाविक एक जहाज़ दुर्घटना में बच जाते हैं। सबसे पहले वे नारियल इकट्ठा करते हैं और उन्हें एक बड़े सामुदायिक ढेर में जमा करते हैं। वे बाद में उन्हें बराबर-बराबर बाँटना चाहते थे, लेकिन नारियल इकट्ठा करने की कड़ी मेहनत के बाद वे बहुत थक जाते हैं। इसलिए वे रात को सो जाते हैं और सुबह ढेर को बाँटने का इरादा रखते हैं।

हालाँकि, नाविक एक-दूसरे पर भरोसा नहीं करते। आधी रात को उनमें से एक अपना हिस्सा लेने के लिए उठता है। वह ढेर को पाँच बराबर हिस्सों में बाँट देता है, एक नारियल बच जाता है। वह अपना हिस्सा ज़मीन में गाड़ देता है, बाकी चार ढेरों को मिलाकर एक नया सामूहिक ढेर बना देता है, और बचा हुआ नारियल एक बंदर को दे देता है।

1:00 बजे, 2:00 बजे, 3:00 बजे, तथा 4:00 बजे अन्य चार नाविक भी ठीक यही काम करते हैं।

सुबह कोई भी अपने किए की बात नहीं मानता, और वे मूल योजना के अनुसार ढेर को बराबर-बराबर बाँट लेते हैं। फिर एक नारियल बचता है, जो वे बंदर को दे देते हैं।

मूल ढेर में नारियलों की न्यूनतम संभावित संख्या क्या है?

David Filmer से MA (Cantab)

"उत्तर के लिए 100 लाइन नीचे स्क्रॉल करें।

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मूल ढेर में 15,621 नारियल थे। मेरे समाधान के लिए 100 पंक्तियाँ और नीचे स्क्रॉल करें।

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198
199
200

मान लीजिए कि मूल ढेर में नारियलों की संख्या c है और अंतिम विभाजन के बाद प्रत्येक नाविक के लिए अंतिम हिस्सा f है।

नाविक 1 द्वारा अपना हिस्सा लेने और बंदर को अपना नारियल देने के बाद (4/5)×(c-1) = (4c-1)/5 शेष बचेगा।

नाविक 2 द्वारा अपना हिस्सा लेने और बंदर को अपना नारियल देने के बाद (4/5)×(((4c-1)/5)-1) = (16c-36)/25 शेष बचेगा।

नाविक 3 द्वारा अपना हिस्सा लेने और बंदर को अपना नारियल देने के बाद (4/5)×(((16c-36)/25)-1) = (64c-244)/125 शेष बचेगा।

नाविक 4 द्वारा अपना हिस्सा लेने और बंदर को अपना नारियल देने के बाद (4/5)×(((64c-244)/125)-1) = (256c-1476)/625 शेष बचेगा।

नाविक 5 द्वारा अपना हिस्सा लेने और बंदर को अपना नारियल देने के बाद (4/5)×(((256c-1476)/625)-1) = (1024c-8404)/3125 शेष बचेगा।

सुबह तक शेष ढेर में से प्रत्येक नाविक का हिस्सा f = (1/5)×(((1024c-8404)/3125)-1) = (1024c-11529)/15625 शेष रह जाएगा।

तो, सवाल यह है कि c का सबसे छोटा मान क्या है जिससे f=(1024×c-11529)/15625 एक पूर्णांक हो। आइए c को f के पदों में व्यक्त करें।

(1024×सी-11529)/15625 = एफ
1024सी - 11529 = 15625×एफ
1024सी = 15625एफ+11529
सी = (15625एफ+11529)/1024
सी = 11+((15625×f+265)/1024)
सी = 11+15×f+(265×(f+1))/1024

तो, वह सबसे छोटा f क्या है जिसके लिए 265×(f+1)/1024 एक पूर्णांक हो? 265 और 1024 का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, इसलिए f+1 स्वयं 1024 से विभाज्य होगा। f+1 का सबसे छोटा संभावित मान 1024 है, इसलिए f=1023 है।

इस प्रकार, c = (15625×1023+11529)/1024 = 15,621.

प्रत्येक व्यक्ति और प्रत्येक बंदर को कितने नारियल मिले, यह इस प्रकार है:

नारियल की समस्या

नाविक	नारियल
1	4147
2	3522
3	3022
4	2622
5	2302
बंदर	6
कुल	15621

डेविड फिल्मर, जिन्होंने मुझे यह प्रश्न चुनौती दी थी, पहले से ही इसका उत्तर जानते थे। दरअसल, उन्होंने मुझसे 5 नाविकों वाले सामान्य मामले का सूत्र पूछा था, लेकिन मुझे 5 नाविकों वाले विशिष्ट मामले में ही काफी परेशानी हुई। डेविड बताते हैं कि सामान्य मामले का उत्तर c = s ^s+1 - s + 1 है।

मैं इसका प्रमाण पाठक पर छोड़ता हूं।

समस्या के वैकल्पिक समाधान के लिए कुछ लिंक यहां दिए गए हैं: