जादूगर से पूछो #251

नेवादा गेमिंग कंट्रोल बोर्ड की 2009 की राजस्व रिपोर्ट से पता चलता है कि "21" की जीत वास्तव में $1,008,525,000 थी। इसमें संभवतः ब्लैकजैक के विभिन्न प्रकार भी शामिल हैं। गेमिंग सलाहकार बिल ज़ेंडर के अनुसार, मेरे 20 फ़रवरी, 2010 के "आस्क द विज़ार्ड" कॉलम के अनुसार, ब्लैकजैक में गलतियों की लागत लगभग 0.83% है।

अब सवाल यह है कि त्रुटियों के बिना हाउस एज क्या होगा? मैं मानता हूँ कि यह थोड़ा अटपटा है, लेकिन अप्रैल 2010 के करंट ब्लैकजैक न्यूज़लेटर में हाउस एज कॉलम का औसत 0.78% है। इसलिए, त्रुटियों सहित ब्लैकजैक में कुल हाउस एज 0.78% + 0.83% = 1.61% है। त्रुटियों के कारण होने वाला हिस्सा 0.83%/1.61% = 51.55% है। इसलिए नेवादा में 2009 में ब्लैकजैक त्रुटियों से होने वाले लाभ का अनुमान मोटे तौर पर 1,008,525,000 × 0.5155 = $519 मिलियन लगाया जा सकता है।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

निम्नलिखित तालिका, प्रत्येक प्रकार के राजसी होने की प्रायिकता, रखे गए पत्तों की संख्या के अनुसार, दर्शाती है, बशर्ते कि कोई राजसी हो। यह दर्शाता है कि 3.4% राजसी एक पत्ता रखने से हैं। शुरुआत में राजसी होने की प्रायिकता 40,391 में 1 है, इसलिए राजसी होने की बिना शर्त प्रायिकता 1,186,106 में 1 है।

सूत्र है V = P × [(1-(1+i) ^-n )]/(i/(1+i)), जहाँ:

V = वार्षिकी का मूल्य
P = व्यक्तिगत भुगतान राशि
i = ब्याज दर
n = भुगतानों की संख्या

मान लीजिए जैकपॉट $15 मिलियन का था। i = 4.66% और n = 25 का उपयोग करते हुए, मुद्रास्फीति के साथ उचित भुगतान $982,525 होगा। आपको वास्तव में 15 मिलियन/25 = $600,000 मिलेंगे। वास्तविक भुगतान/उचित भुगतान = 61.07%।

ऐसा नहीं है कि आपने पूछा, लेकिन यदि भुगतान प्रत्येक वर्ष के अंत में किया जाता है तो सूत्र V = P × [(1-(1+i) ^-n )]/i है।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

मान लीजिए t बनाए गए कछुओं की संख्या है, और x बेचे गए कछुओं की संख्या है।

पीआर(x<=t)=0.9
pr(x-14.29<=t-14.29)=0.9
pr((x-14.29)/3.5)<=(t-14.29)/3.5))=0.9

असमानता का बायाँ भाग एक मानक सामान्य वितरण (माध्य 0, मानक विचलन 1) का अनुसरण करता है। इस अगले चरण को स्वीकार करने के लिए एक प्रारंभिक सांख्यिकी पाठ्यक्रम, या कुछ विश्वास की आवश्यकता होती है।

(t-14.29)/3.5 = normsinv(0.9) यह एक्सेल फ़ंक्शन है।
(टी-14.29)/3.5 = 1.282
टी-14.29 = 4.4870
टी = 18.77

कछुए की मूर्ति का 0.77 खरीदने की संभावना किसी में नहीं है, इसलिए मैं इसे 19 तक पूर्णांकित करूँगा। द्विपद वितरण के अनुसार, 18 या उससे कम बेचने की संभावना 88.35% है, और 19 या उससे कम बेचने की संभावना 92.74% है। यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फ़ोरम में उठाया गया था और इस पर चर्चा हुई थी।

अगर वह खिलाड़ी पर दांव लगाता है तो गणित ज़्यादा आसानी से हल हो जाता है। मैं अपनी mathproblems.info साइट पर रूलेट में इसी तरह की एक समस्या हल करता हूँ, समस्या संख्या 116। सम राशि के दांवों के लिए, सामान्य सूत्र ((q/p) ^b -1)/((q/p) ^g -1) है, जहाँ:

b = इकाइयों में प्रारंभिक बैंकरोल.
g = इकाइयों में बैंकरोल लक्ष्य.
p = किसी भी शर्त को जीतने की संभावना, बराबरी की गिनती नहीं।
q = किसी भी शर्त के हारने की संभावना, टाई की गिनती नहीं।

यहाँ खिलाड़ी $12 मिलियन, यानी $200,000 की 60 इकाइयों से शुरुआत करता है, और तब तक खेलता रहेगा जब तक कि वह 120 इकाइयों तक नहीं पहुँच जाता या बस्ट नहीं हो जाता। इसलिए खिलाड़ी के दांव के मामले में समीकरण के मान इस प्रकार हैं:

बी = 60
जी = 120
पी = 0.493175
क्यू = 0.506825

तो उत्तर है ((0.506825/0.493175) ⁶⁰ -1)/(( 0.506825/0.493175) ¹²⁰ -1) = 16.27%.

बैंकर बेट पर यह 5% कमीशन के कारण कहीं अधिक जटिल है। इससे खिलाड़ी के अपने लक्ष्य से आगे निकल जाने की पूरी संभावना हो जाती है। अगर हम यह नियम जोड़ दें कि अगर जीतने वाली बेट से खिलाड़ी अपना लक्ष्य हासिल कर लेता है, तो वह केवल उतना ही दांव लगा सकता है जितना $12 मिलियन तक पहुँचने के लिए ज़रूरी हो, तो मेरा अनुमान है कि उसकी सफलता की संभावना 21.66% होगी।

बैंकरोल को दोगुना करने की संभावना के लिए एक सरल सूत्र 1/[1+(q/p) ^{b] है।}

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।