जादूगर से पूछो #244

जहाँ तक पहले प्रश्न का प्रश्न है, खिलाड़ी के बैंकिंग करते समय भी टेबल सीमा लागू होती है। किसी भी दांव की अनुमति देना एक अच्छा व्यवसाय प्रतीत होता है, क्योंकि कैसीनो को बड़ी राशि का 5% प्राप्त होगा। मैंने तीन अलग-अलग कैसीनो में इस बारे में पूछा। मुझे जो बताया गया, वह मेरे प्रश्न के क्रम में है:

कैसीनो 1: गेमिंग कंट्रोल बोर्ड को अधिकतम दांव में वृद्धि को मंजूरी देने की आवश्यकता है, जो वे अल्प सूचना पर नहीं कर सकते।

कैसीनो 2: गेमिंग कंट्रोल बोर्ड का इससे कोई लेना-देना नहीं है। इसके बजाय, कैसीनो के उपाध्यक्ष को अधिकतम दांव में किसी भी बढ़ोतरी को अधिकृत करना होता है, और यह आमतौर पर केवल जाने-माने अच्छे ग्राहकों के लिए ही किया जाता है।

कैसीनो 3: कैसीनो को किसी टेबल पर अधिकतम दांव बढ़ाने के लिए गेमिंग कंट्रोल बोर्ड की मंज़ूरी की ज़रूरत नहीं होती। मेरे सूत्र ने किसी कैसीनो द्वारा प्लेयर बैंकिंग के मामले में असीमित दांव लगाने की अनुमति के बारे में नहीं सुना था और उन्होंने आगे कहा कि, वैचारिक रूप से, कैसीनो का कोई जोखिम नहीं है, इसलिए इसे रोकने का कोई कारण नहीं होगा।

मैं यह भी कहना चाहूँगा कि पै गो खेलने के अपने कई घंटों में, मैंने कभी भी ऐसी स्थिति नहीं देखी। आमतौर पर, खिलाड़ी दूसरे खिलाड़ियों के खिलाफ दांव लगाना पसंद नहीं करते, और अधिकतम सीमा इतनी ज़्यादा होती है कि खिलाड़ी शायद ही कभी उनसे टकराते हैं, चाहे कोई भी दांव लगा रहा हो। हालाँकि, अगर यह स्थिति अक्सर होती है, तो मुझे लगता है कि कैसीनो अपनी नीति पर पुनर्विचार करेंगे और असीमित दांव लगाने की अनुमति देंगे।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

n = आपके बैगों की संख्या
b = बैगों की कुल संख्या

जैसे-जैसे कुल बैगों की संख्या बढ़ती जाएगी, उत्तर b×n/(n+1) के करीब होता जाएगा। एक बड़े विमान के लिए, इससे आपको एक अच्छा अनुमान मिल जाएगा। हालाँकि, यदि आप सटीक होना चाहते हैं, तो उत्तर है

[b× कॉम्बिन (b,n)-(कॉम्बिन(i,n) के i=n से b-1 तक का योग)]/कॉम्बिन(b,n)

उदाहरण के लिए, यदि कुल 10 बैग हैं, और उनमें से चार आपके हैं, तो अपेक्षित प्रतीक्षा समय =

[10×कॉम्बिन(10,4)-कॉम्बिन(4,4)-कॉम्बिन(5,4)-कॉम्बिन(6,4)-कॉम्बिन(7,4)-कॉम्बिन(8,4)-कॉम्बिन(9,4)]/कॉम्बिन(10,4) = 8.8 बैग।

समाधान:

b बैगों में से n बैग निकालने के तरीकों की संख्या combin(b,n) है। इसलिए, आपके सभी बैग पहले x बैगों में ही निकलने की प्रायिकता combin(x,n)/combin(b,n) है। x>=n+1 के लिए, आपके आखिरी बैग के निकलने वाले x ^वें बैग होने की प्रायिकता (combin(x,n)-combin(x-1,n))/combin(b,n) है। x=n के लिए यह 1/combin(b,n) है।

अतः अपेक्षित प्रतीक्षा समय और कुल प्रतीक्षा समय का अनुपात है:

n×कॉम्बिन(n,n)/कॉम्बिन(b,n) +
(n+1)×(combin(n+1,n)-combin(n,n))/combin(b,n) +
(n+2)×(combin(n+2,n)-combin(n+1,n))/combin(b,n) +
.
.
.
+
(बी-1)×(कॉम्बिन(बी-1,एन)-कॉम्बिन(बी-2,एन))/कॉम्बिन(बी,एन) +
b×(combin(b,n)-combin(b-1,n))/combin(b,n)

दूरबीनी योग लेते हुए, इसे सरलीकृत किया जा सकता है:

[बी×कॉम्बिन(बी,एन)-कॉम्बिन(बी-1,एन)-कॉम्बिन(बी-2,एन)-...-कॉम्बिन(एन,एन)]/कॉम्बिन(बी,एन)

बाद में एक पाठक ने लिखा कि उत्तर को n×(b+1)/(n+1) तक सरल किया जा सकता है। इसे आगमन द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो एक वैध विधि है, लेकिन इससे मैं हमेशा भावनात्मक रूप से असंतुष्ट रहता हूँ।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।