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जादूगर से पूछो #243

नोवा स्कोटिया लॉटरी द्वारा प्रस्तावित प्रोलाइन पार्ले दांव की संभावनाएं क्या हैं?

गुमनाम

अन्य पाठकों के लिए, नोवा स्कोटिया स्पोर्ट्स लॉटरी नेवादा के किसी कैसीनो में होने वाले ऑफ-द-बोर्ड परलेज़ की तरह है, जिसमें संभावनाएँ और भी कम होती हैं। किसी दिए गए चुनाव के लिए अपेक्षित रिटर्न पाने के लिए, यादृच्छिक चयनकर्ता को प्रत्येक परिणाम के भुगतान के व्युत्क्रम का योग लेना होगा। फिर, उस योग का व्युत्क्रम लेना होगा।

उदाहरण के लिए, 9 नवम्बर 2009 के सोमवार रात्रि फुटबॉल खेल में उनके पास निम्नलिखित विकल्प हैं:

स्टीलर्स 3.5 या उससे अधिक अंकों से जीतते हैं: 1 के लिए 1.9 का भुगतान
ब्रोंकोस 3.5 या उससे अधिक अंकों से जीतता है: 1 के लिए 3.25 का भुगतान करता है
जीत का अंतर 3 या उससे कम: 1 के लिए 3.65

व्युत्क्रमों का योग (1/1.9) + (1/3.25) + (1/3.65) = 1.107981 है। इस संख्या का व्युत्क्रम 1/1.107981 = 0.902543 है। इसलिए, अपेक्षित प्रतिफल 90.25 है। पार्ले के लिए, सभी पिक्स के प्रतिफल का गुणनफल लें।

मैंने कई इवेंट देखे, और प्रत्येक इवेंट पर रिटर्न 75.4% से 90.3% (ऊपर दिए गए उदाहरण से) के बीच रहा। औसत 82.6% था। उस औसत के आधार पर, पिक्स की संख्या के अनुसार अपेक्षित रिटर्न इस प्रकार है:

2: 68.2%
3: 56.3%
4: 46.5%
5: 38.4%
6: 31.7%

मैं उत्तरी कैलिफ़ोर्निया के कैश क्रीक कसीनो में लेट इट राइड खेल रहा था। मुझसे दो सीट दूर बैठी एक महिला ने स्ट्रेट फ्लश मारा। बोनस बेट का भुगतान $2000 था। जब वह एक घंटे बाद चली गई, तो मेरी गर्लफ्रेंड मेरे बगल में खेलने के लिए बैठ गई। 30 मिनट के अंदर, उसने भी स्ट्रेट फ्लश मारा। यानी, डेढ़ घंटे के अंदर एक ही टेबल पर दो स्ट्रेट फ्लश बाँटे गए। क्या आप ऐसा होने की संभावना की गणना कर सकते हैं?

Lawrence से San Francisco

मान लीजिए प्रति घंटे 60 हाथ होते हैं, और टेबल पर कुल चार खिलाड़ी होते हैं। तो, 90 मिनट में यह 1.5×60×4=360 हाथ होंगे। एक स्ट्रेट फ्लश की संभावना 4×9/ कॉम्बिनेशन (52,5) = 36/2,598,960 = 0.000013852 है। 360 हाथों में ठीक दो स्ट्रेट फ्लश की संभावना कॉम्बिनेशन (360,2)* 0.000013852 2 ×(1-0.000013852) 358 = 81,055 में 1 है। इससे भी अजीबोगरीब चीजें हुई हैं।
अटलांटिक सिटी के बोर्गाटा में, $10.50 के ब्लैकजैक पर $16 मिलते हैं, क्योंकि उनके पास आपको देने के लिए क्वार्टर नहीं होते और अगर आपको क्वार्टर देना होता है, तो वे हमेशा अगले 50 सेंट तक राउंड अप करते हैं। इस राशि पर दांव लगाने से ऑड्स पर क्या असर पड़ता है?

Keith

आपको ब्लैकजैक पर 32 से 21 तक का भुगतान मिल रहा है। यह अतिरिक्त 1/42, यानी 2.38% है। छह डेक वाले खेल में, ब्लैकजैक जीतने की संभावना 4.53% है। तो, यह 2.38% × 4.53% = 0.11% के बराबर है, जो बुरा नहीं है। हालाँकि, मुझे लगता है कि यह कोई बहुत बढ़िया तरकीब नहीं है।
एक स्थानीय कसीनो में एक "विशेष" ब्लैकजैक टेबल है जिस पर कोई भी एक घंटे के खेल के लिए $20 में टेबल पहले से आरक्षित करा सकता है। मानक ब्लैकजैक नियमों के अनुसार, टेबल की न्यूनतम कीमत $5 है, सिवाय इसके कि घर सॉफ्ट 17 पर पहुँच जाए। वापसी न होने वाले आरक्षण शुल्क को ध्यान में रखते हुए, यह कितना घटिया खेल है?

Jim G. से Bradley, IL

अगर हम प्रति घंटे 70 हाथ, 0.64% का हाउस एज और $5 का दांव मान लें, तो शुल्क से पहले खेलने की लागत $5 × 70 × 0.0064 = $2.24 होगी। इसकी तुलना में $20 का शुल्क काफी ज़्यादा है। मान लीजिए कि आप प्रति घंटे $350 का दांव लगाएँगे, तो $22.24/$350 = 6.35% के हाउस एज के लिए कुल अपेक्षित नुकसान $22.24 होगा (ओह!)।
मैं अक्सर ओमाहा हाई/लो का 6-हैंडेड गेम खेलता हूँ। मुझे यह सोचकर आश्चर्य हुआ कि क्या संभावना है कि टेबल पर किसी और के पास इक्का और ड्यूस दोनों हों, जबकि मेरे पास भी इक्का और ड्यूस दोनों हैं। अगर आप इस संभावना का अनुमान लगा सकें, तो बहुत अच्छा होगा। इस बेहतरीन साइट के लिए धन्यवाद; मैंने अपने जुआ खेलने वाले दोस्तों को कई बार इसकी सिफ़ारिश की है।

David I. से Akron, OH

मैं अपने अन्य पाठकों को याद दिला दूँ कि ओमाहा में प्रत्येक खिलाड़ी को चार होल कार्ड मिलते हैं। मैं मान रहा हूँ कि आपके पास एक इक्का, एक ड्यूस और दो अन्य रैंक के कार्ड थे। यहाँ कुछ तरीके और संयोजन दिए गए हैं जिनसे एक खिलाड़ी कम से कम एक इक्का और एक ड्यूस प्राप्त कर सकता है:

1 इक्का और 1 ड्यूस: 3×3×combin(44,2)=8,514
2 इक्के और 1 ड्यूस: कॉम्बिन(3,2)×3×44=396
1 इक्का और 2 ड्यूस: 3×combin(3,2)×44=396
2 इक्के और 2 ड्यूस: कॉम्बिन(3,2)×कॉम्बिन(3,2)=9
3 इक्के और 1 ड्यूस: 3×3=9
1 ड्यूस और 3 ड्यूस: 3×3=9
कुल = 9,321

शेष 48 में से 4 पत्ते चुनने के कुल तरीके (48,4) = 194,580 हैं। इसलिए, किसी प्रतिद्वंद्वी के इक्का और ड्यूस मिलने की प्रायिकता 9,321/194,580 = 4.79% है। हम पाँच विरोधियों में से कम से कम एक खिलाड़ी के इक्का और ड्यूस मिलने की प्रायिकता का अनुमान 1-(1-.0479) 5 = 17.83% के रूप में लगा सकते हैं। यह बिल्कुल सही नहीं है, क्योंकि खिलाड़ियों के बीच प्रायिकताएँ स्वतंत्र नहीं होती हैं।