जादूगर से पूछो #243

अन्य पाठकों के लिए, नोवा स्कोटिया स्पोर्ट्स लॉटरी नेवादा के किसी कैसीनो में होने वाले ऑफ-द-बोर्ड परलेज़ की तरह है, जिसमें संभावनाएँ और भी कम होती हैं। किसी दिए गए चुनाव के लिए अपेक्षित रिटर्न पाने के लिए, यादृच्छिक चयनकर्ता को प्रत्येक परिणाम के भुगतान के व्युत्क्रम का योग लेना होगा। फिर, उस योग का व्युत्क्रम लेना होगा।

उदाहरण के लिए, 9 नवम्बर 2009 के सोमवार रात्रि फुटबॉल खेल में उनके पास निम्नलिखित विकल्प हैं:

स्टीलर्स 3.5 या उससे अधिक अंकों से जीतते हैं: 1 के लिए 1.9 का भुगतान
ब्रोंकोस 3.5 या उससे अधिक अंकों से जीतता है: 1 के लिए 3.25 का भुगतान करता है
जीत का अंतर 3 या उससे कम: 1 के लिए 3.65

व्युत्क्रमों का योग (1/1.9) + (1/3.25) + (1/3.65) = 1.107981 है। इस संख्या का व्युत्क्रम 1/1.107981 = 0.902543 है। इसलिए, अपेक्षित प्रतिफल 90.25 है। पार्ले के लिए, सभी पिक्स के प्रतिफल का गुणनफल लें।

मैंने कई इवेंट देखे, और प्रत्येक इवेंट पर रिटर्न 75.4% से 90.3% (ऊपर दिए गए उदाहरण से) के बीच रहा। औसत 82.6% था। उस औसत के आधार पर, पिक्स की संख्या के अनुसार अपेक्षित रिटर्न इस प्रकार है:

2: 68.2%
3: 56.3%
4: 46.5%
5: 38.4%
6: 31.7%

मान लीजिए प्रति घंटे 60 हाथ होते हैं, और टेबल पर कुल चार खिलाड़ी होते हैं। तो, 90 मिनट में यह 1.5×60×4=360 हाथ होंगे। एक स्ट्रेट फ्लश की संभावना 4×9/ कॉम्बिनेशन (52,5) = 36/2,598,960 = 0.000013852 है। 360 हाथों में ठीक दो स्ट्रेट फ्लश की संभावना कॉम्बिनेशन (360,2)* 0.000013852 ² ×(1-0.000013852) ³⁵⁸ = 81,055 में 1 है। इससे भी अजीबोगरीब चीजें हुई हैं।

आपको ब्लैकजैक पर 32 से 21 तक का भुगतान मिल रहा है। यह अतिरिक्त 1/42, यानी 2.38% है। छह डेक वाले खेल में, ब्लैकजैक जीतने की संभावना 4.53% है। तो, यह 2.38% × 4.53% = 0.11% के बराबर है, जो बुरा नहीं है। हालाँकि, मुझे लगता है कि यह कोई बहुत बढ़िया तरकीब नहीं है।

अगर हम प्रति घंटे 70 हाथ, 0.64% का हाउस एज और $5 का दांव मान लें, तो शुल्क से पहले खेलने की लागत $5 × 70 × 0.0064 = $2.24 होगी। इसकी तुलना में $20 का शुल्क काफी ज़्यादा है। मान लीजिए कि आप प्रति घंटे $350 का दांव लगाएँगे, तो $22.24/$350 = 6.35% के हाउस एज के लिए कुल अपेक्षित नुकसान $22.24 होगा (ओह!)।

मैं अपने अन्य पाठकों को याद दिला दूँ कि ओमाहा में प्रत्येक खिलाड़ी को चार होल कार्ड मिलते हैं। मैं मान रहा हूँ कि आपके पास एक इक्का, एक ड्यूस और दो अन्य रैंक के कार्ड थे। यहाँ कुछ तरीके और संयोजन दिए गए हैं जिनसे एक खिलाड़ी कम से कम एक इक्का और एक ड्यूस प्राप्त कर सकता है:

1 इक्का और 1 ड्यूस: 3×3×combin(44,2)=8,514
2 इक्के और 1 ड्यूस: कॉम्बिन(3,2)×3×44=396
1 इक्का और 2 ड्यूस: 3×combin(3,2)×44=396
2 इक्के और 2 ड्यूस: कॉम्बिन(3,2)×कॉम्बिन(3,2)=9
3 इक्के और 1 ड्यूस: 3×3=9
1 ड्यूस और 3 ड्यूस: 3×3=9
कुल = 9,321

शेष 48 में से 4 पत्ते चुनने के कुल तरीके (48,4) = 194,580 हैं। इसलिए, किसी प्रतिद्वंद्वी के इक्का और ड्यूस मिलने की प्रायिकता 9,321/194,580 = 4.79% है। हम पाँच विरोधियों में से कम से कम एक खिलाड़ी के इक्का और ड्यूस मिलने की प्रायिकता का अनुमान 1-(1-.0479) ⁵ = 17.83% के रूप में लगा सकते हैं। यह बिल्कुल सही नहीं है, क्योंकि खिलाड़ियों के बीच प्रायिकताएँ स्वतंत्र नहीं होती हैं।