जादूगर से पूछो #242

मान लीजिए दो फ़ुटबॉल मैच हैं जिनमें मुझे लगता है कि एक खिलाड़ी को फ़ायदा है। मान लीजिए कि दोनों में से किसी एक के जीतने की संभावना 55% है, और मुझे 110 का दांव लगाना है। कौन सा ज़्यादा फ़ायदेमंद है, दोनों मैचों पर सीधा दांव लगाना या एक ही पार्ले के रूप में?

Rob से Las Vegas

अच्छा सवाल है। सीधे शब्दों में कहें तो, प्रति दांव लाभ 0.55×(10/11) - 0.45 = 0.05 है। पार्ले के रूप में, लाभ (0.55) ² ×((21/11) ² -1)-(1-(0.55) ² ) = 10.25% है। इसलिए, ऐसा लगता है कि लाभ को अधिकतम करने के लिए पार्ले ही एकमात्र रास्ता है।

हालाँकि, पार्ले के रूप में विचरण अधिक होता है। यदि आप केली मानदंड का पालन कर रहे हैं, तो आपको पार्ले के लिए अपने बैंकरोल को एक छोटे दांव से सुरक्षित रखना होगा। इस उदाहरण में, यदि दोनों गेम ओवरलैप होते हैं, तो इष्टतम केली स्ट्रेट अप दांव बैंकरोल का 5.48% है, यदि आपका पहला गेम दूसरे गेम पर दांव लगाने से पहले समाप्त हो जाता है, तो 5.50% है, और पार्ले के लिए 3.88% है। दांव को लाभ से गुणा करने पर, हमें स्ट्रेट अप (5.50% लाभ के आधार पर) 0.00275 और पार्ले के लिए 0.00397 प्राप्त होता है। इस प्रकार, पार्ले से अधिक लाभ होता है।

मैंने इस तरह के प्रश्न के सामान्य मामले पर विचार किया, जिसमें 3-टीम और 4-टीम पार्ले और मनी लाइन दांवों पर भी विचार किया गया। सभी दांवों के लिए एक छोटे से लाभ को मानते हुए, एक सामान्य नियम के रूप में, यदि प्रत्येक घटना के जीतने की संभावना 33% से कम है, तो आपको सीधे दांव लगाना चाहिए। यदि प्रत्येक संभावना 33% और 52% के बीच है, तो आपको 2-टीम पार्ले करना चाहिए। यदि प्रत्येक संभावना 52% और 64% के बीच है, तो आपको 3-टीम पार्ले करना चाहिए। यदि प्रत्येक संभावना 64% से अधिक है, तो आपको 4-टीम पार्ले करना चाहिए। यदि आप सीधे दांव लगा रहे हैं, तो आप 2-टीम या 3-टीम पार्ले करने में लगभग समान रूप से बेहतर हैं, यह मानते हुए कि आपके पास शुरुआत में एक फायदा है।

मैं इस बात पर जोर देना चाहूंगा कि यदि आप एक मनोरंजनात्मक जुआरी हैं और हाउस एज के विरुद्ध खेल रहे हैं (कौन सा खेल सट्टेबाज इसे स्वीकार करेगा?), तो सीधे दांव लगाने से हाउस एडवांटेज कम हो जाता है।

लंदन में, बैकारेट में एक रॉयल मैच साइड बेट होता है। अगर बैंकर या खिलाड़ी को पहले दो पत्तों में राजा और रानी मिल जाए तो यह दांव लगता है। क्या आपके पास इस पर कोई ऑड्स है?

गुमनाम

आठ डेक मानकर, हाउस एज 4.5% है। अधिक जानकारी के लिए, बैकारेट साइड बेट्स पर मेरे पेज पर जाएँ।

मैं फोर क्वींस कसीनो में था, जहाँ 10/7 डबल बोनस और 9/6 जैक या उससे बेहतर , दोनों मिलते हैं। मुझे सिर्फ़ 9/6 रणनीति पता थी, इसलिए मैंने वही खेला। बाद में एक और वीडियो पोकर खिलाड़ी ने मुझे डाँटा और कहा कि 10/7 मशीन पर 9/6 रणनीति खेलना मेरे लिए बेहतर होता। मैं इससे सहमत नहीं हूँ। इस पर $5 का दांव लगा है। कौन सही है?

James से Las Vegas

दूसरा वीडियो पोकर खिलाड़ी सही है। यहाँ 9/6 जैक या उससे बेहतर के लिए रिटर्न टेबल दी गई है, जिसमें चार प्रकार के जैक को विभाजित किया गया है, यह मानते हुए कि रणनीति सबसे अच्छी है।

इष्टतम 9/6 रणनीति के साथ 9/6 जैक या बेहतर रिटर्न तालिका

हाथ	भुगतान करता है	युग्म	संभावना	वापस करना
रॉयल फ़्लश	800	493512264	0.000025	0.019807
स्ट्रेट फ्लश	50	2178883296	0.000109	0.005465
चार ए	25	3900253596	0.000196	0.004892
चार 2-4	25	10509511320	0.000527	0.013181
चार 5-के	25	32683402848	0.00164	0.040991
पूरा घर	9	229475482596	0.011512	0.10361
लालिमा	6	219554786160	0.011015	0.066087
सीधा	4	223837565784	0.011229	0.044917
तीन हास्य अभिनेता	3	1484003070324	0.074449	0.223346
दो जोड़ी	2	2576946164148	0.129279	0.258558
जोड़ा	1	4277372890968	0.214585	0.214585
भुगतान न करने वाला हाथ	0	10872274993896	0.545435	0
कुल		19933230517200	1	0.995439

उपरोक्त संभावनाओं का उपयोग करते हुए, लेकिन उन्हें 10/7 डबल बोनस भुगतान तालिका पर लागू करने पर, हमें निम्नलिखित रिटर्न तालिका प्राप्त होती है।

9/6 रणनीति के साथ 10/7 डबल बोनस रिटर्न टेबल

हाथ	भुगतान करता है	युग्म	संभावना	वापस करना
रॉयल फ़्लश	800	493512264	0.000025	0.019807
स्ट्रेट फ्लश	50	2178883296	0.000109	0.005465
चार ए	160	3900253596	0.000196	0.031307
चार 2-4	80	10509511320	0.000527	0.042179
चार 5-के	50	32683402848	0.00164	0.081982
पूरा घर	10	229475482596	0.011512	0.115122
लालिमा	7	219554786160	0.011015	0.077102
सीधा	5	223837565784	0.011229	0.056147
तीन हास्य अभिनेता	3	1484003070324	0.074449	0.223346
दो जोड़ी	1	2576946164148	0.129279	0.129279
जोड़ा	1	4277372890968	0.214585	0.214585
भुगतान न करने वाला हाथ	0	10872274993896	0.545435	0
कुल		19933230517200	1	0.99632

आप देख सकते हैं कि 10/7 मशीन पर 9/6 रणनीति खेलने पर रिटर्न 99.63% है। बेहतर भुगतान तालिका से आपको 0.63% का लाभ होता है, लेकिन त्रुटियों से 0.54% की हानि होती है, यानी कुल लाभ 0.09% होता है।

लास वेगास के एक कार्ड रूम में एक प्रमोशन चल रहा है: चारों सूट में फ्लश बनाने पर आपको $400 मिलेंगे। आपको अपने दोनों होल कार्ड इस्तेमाल करने होंगे, और इसके लिए पाँच घंटे की समय सीमा है। मान लीजिए कि प्रति घंटे 35 सुइयाँ हैं, और घड़ी पहले फ्लश से शुरू होती है, तो पाँच घंटे के भीतर बाकी तीन फ्लश बनाने की संभावना क्या है? धन्यवाद।

Annie

मान लीजिए कि आपका पहला फ्लश हुकुम में है। 35 हाथ प्रति घंटे के हिसाब से, पाँच घंटों में 175 हाथ खेले जा सकते हैं। फिर आपके पास पान, ईंट और चिड़ी में फ्लश बनाने के लिए 175 हाथ होंगे। मैं यह मानकर चल रहा हूँ कि खिलाड़ी कभी भी ऐसा हाथ नहीं मोड़ेगा जिसमें उसके लिए ज़रूरी सूट में से किसी एक में फ्लश मिलने की संभावना हो।

किसी विशिष्ट सूट, मान लीजिए हार्ट, के फ्लश की संभावना, दोनों होल कार्ड्स का उपयोग करके, कॉम्बिनेशन (13,2) × [कॉम्बिनेशन (11,3) × कॉम्बिनेशन (39,2) + कॉम्बिनेशन (11,4) × 39 + कॉम्बिनेशन (11,5)]/(कॉम्बिनेशन (52,2) × कॉम्बिनेशन (50,5)) = 10576566/2809475760=0.003764605 है। अगले 175 हाथों में हार्ट फ्लश छूटने की संभावना (1-0.003764605) ¹⁷⁵ =0.51682599 होगी।

यह कहना गलत होगा कि बाकी तीन सूट न बनने की प्रायिकता pr(हार्ट फ्लश नहीं) + pr(डायमंड सूट नहीं) + pr(क्लब फ्लश नहीं) होगी, क्योंकि आप उनमें से दो न बनने की प्रायिकता को दोगुना कर देंगे। इसलिए आपको pr(हार्ट या डायमंड फ्लश नहीं) + pr(हार्ट या क्लब फ्लश नहीं) + pr(क्लब या डायमंड फ्लश नहीं) को वापस जोड़ना चाहिए। हालाँकि, यह तीनों फ्लश न बनने की प्रायिकता को गलत तरीके से घटा देगा। इसलिए आपको pr(क्लब, डायमंड या हार्ट फ्लश नहीं) को वापस जोड़ना चाहिए।

175 बार हाथ खेलने के बाद भी दो विशिष्ट सूटों में से कोई भी न मिलने की संभावना (1-2×0.003764605) ¹⁷⁵ =0.266442448 है।

175 हाथ चलने पर भी तीनों सूट में से कोई भी सूट न मिलने की संभावना (1-3×0.003764605) ¹⁷⁵ =0.137015266 है।

तो उत्तर है 1-3×0.51682599 + 3×0.266442448 - 0.137015266 = 0.111834108.

मैं इस समस्या में मदद के लिए ड्वेटली का शुक्रिया अदा करना चाहता हूँ। विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे बुलेटिन बोर्ड पर इस पर चर्चा की गई है।

5X ऑड्स देने वाले कैसिनो में, अगर आप $15 के गुणक में दांव लगाते हैं, तो वे आपको 4 या 10 के अंकों पर $75, 5 या 9 के अंकों पर $100, और 6 या 8 के अंकों पर $125 का दांव लगाने की अनुमति देते हैं। यानी 4 और 10 पर 5X, 5 और 9 पर 6.67X, और 6 और 8 पर 8.33X। मैं सोच रहा था कि इस पर हाउस एज क्या है? संभवतः यह आपके पेज पर दिए गए 5X ऑड्स हाउस एज से थोड़ा बेहतर है, जिसमें सभी संख्याओं के लिए सीधे 5X मान लिया गया है।

Zach से New York

5X ऑड्स की तुलना में, यह कुल हाउस एज को 0.326% से घटाकर 0.269% कर देता है। मुझे समझ नहीं आता कि वे 6 और 8 पर अतिरिक्त ऑड्स बेट लगाने की अनुमति क्यों देंगे, क्योंकि $75 पर 5X बेट लगाने पर $90 का भुगतान होगा। हालाँकि, अगर वे ऐसा करते हैं, तो मैं अतिरिक्त ऑड्स का लाभ उठाऊँगा, बशर्ते आप अतिरिक्त जोखिम उठाने में सहज हों।