जादूगर से पूछो #237

मैंने सुना है कि जर्मन 6/49 लॉटरी में अलग-अलग दिनों में एक ही नंबर चुने गए। इसमें कुछ गड़बड़ लग रही है। क्या संभावना है?

Lotte से Hamburg

यह सच है, लेकिन यह उतना संदिग्ध नहीं है जितना आप सोचते हैं। HC Tijms द्वारा लिखित "अंडरस्टैंडिंग प्रोबेबिलिटी: चांस रूल्स इन एवरीडे लाइफ " के अनुसार, 21 जून, 1995 और 20 दिसंबर, 1986 को द्वि-साप्ताहिक ड्रॉ में संख्याओं का एक ही सेट निकाला गया था। 20 दिसंबर, 1986 का ड्रॉ 3,016वाँ ड्रॉ था। 6/49 लॉटरी में संयोजनों की संख्या combin(49,6) = 13,983,816 है। दूसरे ड्रॉ में संख्याओं के पहले ड्रॉ से मेल न खाने की प्रायिकता (c-1)/c है, जहाँ c संयोजनों की संख्या है, या 13,983,816 है। तीसरे ड्रॉ में संख्याओं का एक अद्वितीय सेट निकलने की प्रायिकता (c-2)/c है। इसलिए, 2 से 3,016वें तक हर ड्रॉ से अद्वितीय संख्याएँ निकलने की प्रायिकता (c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3015)/c = 0.722413 है। इसलिए, समान संख्याओं के कम से कम एक सेट की प्रायिकता 1-0.722413 = 0.277587, या 27.8% है। निम्नलिखित तालिका वर्षों की संख्या के अनुसार, प्रति सप्ताह दो ड्रॉ मानकर, कम से कम एक जोड़ी समान संख्याओं के निकलने की प्रायिकता दर्शाती है।

6/49 लॉटरी में संख्याओं के मिलान की संभावना

साल	संभावना
5	0.009640
10	0.038115
15	0.083800
20	0.144158
25	0.215822
30	0.295459
35	0.379225
40	0.463590
45	0.545437
50	0.622090
55	0.691985
60	0.753800
65	0.807008
70	0.851638
75	0.888086
80	0.917254
85	0.940000
90	0.957334
95	0.970225
100	0.971954

यदि आप सोच रहे हैं, तो बता दूं कि किसी मिलान ड्रॉ के 50% से अधिक होने की संभावना के लिए ड्रॉ की संख्या 4,404 है।

मेरे पास एक पहेली है जिसे मैं पिछले कुछ महीनों से सुलझाने की कोशिश कर रहा हूँ, लेकिन कोई प्रगति नहीं हुई है। अगर समय मिले, तो उम्मीद है कि आप मुझे इसमें शामिल कर पाएँगे, क्योंकि यह मुझे रातों को जगाए रखती है :-)। खैर, "बियॉन्ड काउंटिंग -- एक्ज़िबिट सीएए" की शब्दावली में, "मैजिक नंबर्स" के लिए तीन क्रमों में संख्याएँ और अक्षर दिए गए हैं। इनमें से एक संख्या तो किताब के कवर की शोभा भी बढ़ा रही है, इसलिए मुझे लगता है कि ये कुछ मायने रखती हैं। क्या आपके कोई विचार हैं?

गुमनाम

मैं अक्सर ऐसा नहीं कहता, लेकिन मुझे इसकी कोई जानकारी नहीं है। जैसा कि आपने दूसरे ईमेल में बताया था, वे अमेरिकी मुद्रा के सीरियल नंबर का प्रारूप अपनाते हैं, दो अक्षर, जिनके बीच में दस अंकों की एक संख्या होती है। कॉपीराइट के सम्मान के कारण, मैं यहाँ संख्याओं का उल्लेख नहीं करूँगा।

मान लीजिए कि आप बोनस ड्यूसेस वाइल्ड खेल रहे हैं (या कोई अन्य खेल, जिसमें सही रणनीति दो बांटे गए जोड़ों में से केवल एक जोड़े को पकड़ना और खींचना है), जब आप स्पिन पोकर पर 9 पैटर्न के साथ समान मूल्य के जोड़ों के लिए यह खेल खेल रहे हैं, तो क्या प्रत्येक जोड़े की स्थिति से इस बात में कोई अंतर पड़ता है कि किस जोड़े को पकड़ना चाहिए और यदि हां, तो पकड़ने के लिए सबसे अच्छी और सबसे खराब स्थिति कौन सी है?

Joe से Denver

अन्य पाठकों के लाभ के लिए, कभी-कभी ड्यूसेस वाइल्ड गेम्स में ऑड्स दो जोड़ी की तुलना में एकल जोड़ी को होल्ड करने के पक्ष में होते हैं। यह पूर्ण भुगतान ड्यूसेस वाइल्ड (100.76%) और बोनस ड्यूसेस के किसी भी सामान्य संस्करण में सच है जहां एक फुल हाउस 3 का भुगतान करता है। इसकी सटीक गणना बहुत थकाऊ और समय लेने वाली होगी। हालांकि, यह देखना आसान है कि रीलों 1, 2, 4 और 5 पर, नौ भुगतान लाइनें प्रत्येक स्थिति से तीन बार गुजरती हैं। फिर भी रील 3 पर, शीर्ष और निम्नतम स्थितियों को केवल दो बार और मध्य स्थिति को 5 बार पार किया जाता है। मध्य स्तंभ को शामिल करने वाली जोड़ी को होल्ड करने से आपकी अस्थिरता कम होगी। 20% मामलों में जहां मध्य स्तंभ सिंगलटन है, मैं एक जोड़ी होल्ड करूंगा यदि इसमें कॉलम 1 और 5, या 2 और 4 शामिल हैं, यदि आप कर सकते हैं। अन्यथा, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपके पास कौन सी जोड़ी है।

मैं एक एनएफएल हैंडीकैपिंग प्रतियोगिता में छह लोगों में से एक हूँ। हम सभी को एक प्रमुख इंटरनेट स्पोर्ट्स बुक, जिसकी लाइन 20 सेंट की है, में सीज़न के दौरान 70 गेम चुनने हैं। अन्य प्रतिभागियों में से एक ने सीज़न के अंत में उच्चतम स्कोर पर ओवर/अंडर प्रॉप की पेशकश की। उसकी लाइन 8.5 यूनिट के लाभ की थी। मान लीजिए कि सीज़न अभी शुरू नहीं हुआ है, और प्रतिभागी अनुभवी स्पोर्ट्स बेटर हैं। आप उस लाइन के बारे में क्या सोचते हैं, और आप इसका विश्लेषण कैसे करेंगे?

Rob से Las Vegas, NV

इस तरह के प्रोप के साथ खुद से पूछने वाला बड़ा सवाल यह है कि किसी दिए गए पिक के जीत, हार या पुश में समाप्त होने की संभावना क्या है। एनएफएल पर दांव लगाने वाले मेरे सेक्शन से, हम देख सकते हैं कि 2.8% गेम सीधे लाइन पर आते हैं। इसे सरल रखने के लिए हम केवल 3% मान लेते हैं। मान लीजिए कि शर्त हल हो गई है, तो हम जीत की संभावना को p कहते हैं। पूरी तरह से यादृच्छिक चयनकर्ता के लिए, p स्पष्ट रूप से 50% होगा। केवल अंडरडॉग्स को चुनकर इसमें सुधार करना आसान है। जैसा कि मेरे पहले उल्लेखित पेज से पता चलता है, 25 सीज़न से अधिक फ्लैट अंडरडॉग्स पर दांव लगाने से 51.5% की जीत दर होती। सामान्य तौर पर बाजार के खिलाफ सबसे नरम लाइनों को चुनकर इसमें थोड़ा और सुधार करना भी आसान है।

अतः, यह मानते हुए कि हल किए गए दांवों में से 52% जीतते हैं, समग्र संभावनाएं हैं:

जीत: 50.44%
ड्रा: 3.00%
हानि: 46.56%

बुनियादी आँकड़ों का उपयोग करके, यह देखना आसान है कि -110 पर प्रत्येक पिक की अपेक्षित जीत -0.0078 है। प्रत्येक पिक का मानक विचलन 1.0333 है। 70 पिक पर अपेक्षित जीत -0.5432 है, और मानक विचलन 70 ^1/2 × 1.0333 = 8.6452 है। 8.5 इकाइयों की जीत, अपेक्षा से 9.0432 इकाई अधिक है, या गॉसियन वक्र पर अपेक्षा के दाईं ओर 9.0432/8.6452 = 1.0460 मानक विचलन है। मुझे लगता है कि हम पुश के कारण असतत वितरण के समायोजन को अनदेखा कर सकते हैं, और कुछ गेम जो -110/-110 नहीं हैं, 0.05 इकाइयों के कारक से नीचे एक काफी सुचारू वक्र का परिणाम देंगे।

इसलिए, किसी एक खिलाड़ी के उम्मीद से 1.046 मानक विचलन से अधिक अंक प्राप्त करने की संभावना 14.77% है। यह आँकड़ा गॉसियन वक्र की किसी भी तालिका में, या एक्सेल में सूत्र =1-normsdist(1.046) से प्राप्त किया जा सकता है। सभी छह खिलाड़ियों के 1.046 से कम अंक प्राप्त करने की संभावना (1-0.1477) ⁶ =38.31% है। इस प्रकार, कम से कम एक खिलाड़ी के 1.046 मानक विचलन से ऊपर अंक प्राप्त करने की संभावना 61.69% है। इससे ओवर -110 पर एक ठोस दांव लगता है। मैं दिखाता हूँ कि यह -161 पर उचित है।

निम्नलिखित तालिका p के विभिन्न मानों पर 8.5 से अधिक के जीतने की संभावना दर्शाती है। संभवतः प्रॉप सेट करने वाला व्यक्ति p के लिए 51% के करीब मान मान रहा था।

एनएफएल हैंडीकैपिंग प्रॉप

संभवतः सही चयन	संभवतः जीत पर
50.0%	41.16%
50.5%	46.18%
51.0%	51.33%
51.5%	56.53%
52.0%	61.69%
52.5%	66.72%
53.0%	71.52%