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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #226

मुझे एक ऑनलाइन कैसीनो मिला जिसमें ब्लैकजैक के दो दिलचस्प नियम थे। पहला यह कि 21 का स्कोर करने वाला खिलाड़ी डीलर के ब्लैकजैक के खिलाफ पुश करेगा। दूसरा यह कि ब्लैकजैक टाई होने पर 3 से 2 का भुगतान होता है। इन नियमों का हाउस एज पर क्या प्रभाव पड़ता है?

Mick से Australia

छह डेक के आधार पर, मैं दिखाता हूँ कि अगर कोई खिलाड़ी ब्लैकजैक के खिलाफ 21 का दांव लगाता है, तो हाउस एज 0.37% कम हो जाता है। 3-2 का भुगतान करने वाला ब्लैकजैक टाई हाउस एज को 0.32% कम कर देता है। रणनीति में किसी बदलाव की ज़रूरत नहीं है।

एनबीए पर सट्टेबाजी से संबंधित आपके पृष्ठ के संबंध में मेरा एक अनुवर्ती प्रश्न है। आपने एक अंक के अंतर से जीत की कम संभावना का उल्लेख किया है। क्या यह प्रायिकता के नियमों के अनुसार तर्कसंगत है? basketball-reference.com के अनुसार, टीमों के सर्वश्रेष्ठ खिलाड़ी आमतौर पर 2-पॉइंटर्स के लिए 60% और 3-पॉइंटर्स के लिए 40% शॉट लगाते हैं। इसलिए मुझे लगता है कि कोचों को 3-पॉइंटर की तत्काल जीत (और इस प्रकार जीतने की 40% संभावना) पर ध्यान देना चाहिए, बजाय 2-पॉइंटर से जीतने की 30% संभावना (60% संभावना, उसके बाद ओवरटाइम में जीतने की 50% संभावना) के।

यह इस तथ्य से संतुलित हो सकता है कि अंतिम सेकंड में 2-पॉइंटर के लिए जाने पर आपके फ़ाउल होने और 2 आसान पॉइंट मिलने की संभावना ज़्यादा होती है, लेकिन फिर भी, सर्वश्रेष्ठ फ़ाउल शूटरों की संभावना लगभग 85% होती है, यानी दोनों पॉइंट बनाने की संभावना 72% होती है, और ओवरटाइम में जीतने की संभावना 50% होती है, यानी कुल मिलाकर 36%। इस बारे में आपकी क्या राय है?

Nick K. से Scarsdale, NY

मुझे उम्मीद है आप खुश होंगे। बास्केटबॉल के नियमों और रणनीति के बारे में मेरी जानकारी काफ़ी कम है, इसलिए मैंने इस क्षेत्र में मुझसे ज़्यादा जानकारी रखने वाले कुछ दोस्तों से पूछा, और मुझे दो बार एक ही जवाब नहीं मिला। कुछ जवाब एक-दूसरे के बिल्कुल विपरीत थे। इस चर्चा से मुझे दो सिद्धांत मिले: (1) एनबीए के लिए कुल फ़ील्ड गोल प्रतिशत लगभग 50% है ( स्रोत ), और (2) 2-पॉइंट शॉट के लिए जाने पर शूटर के फ़ाउल होने की संभावना होती है, और फिर भी शॉट लग जाता है। माफ़ कीजिए, मैं इससे बेहतर नहीं कर सकता।

मैं और मेरी पत्नी नियमित रूप से स्लॉट मशीन खेलते हैं, और हमने देखा है कि जब कोई नई स्लॉट मशीन कैसिनो में आती है, तो "अच्छे हिट" या हिट से मिलने वाले भुगतान, या बोनस गेम ज़्यादा बार दिखाई देते हैं। एक बार जब गेम आपको "अपनी ओर खींच लेता है," तो ऐसा लगता है जैसे वह बंद हो गया है, और हिट और बोनस राउंड कम हो गए हैं। क्या कोई कैसिनो कानूनी तौर पर इस बात पर नियंत्रण रख सकता है कि कोई मशीन कितनी हिट करती है या बोनस राउंड में कितनी बार प्रवेश करती है?

Les से Fallbrook, CA

अगर आप यह कह रहे हैं कि कैसीनो आपके बैठे-बैठे गेम खेलते समय गेम के ऑड्स बदल रहा है, तो मैं कहूँगा कि यह सिर्फ़ एक मिथक है। गेम के ऑड्स बदलने के लिए, स्लॉट बनाने वाले को गेम को खोलना होगा और EPROM चिप बदलनी होगी। सर्वर आधारित गेम में, जहाँ यह काम दूर से भी किया जा सकता है, नियमों के अनुसार, कोई भी बदलाव करने से पहले गेम को एक निश्चित समय तक बिना खेले ही खेलना होगा।

अगर आपका मतलब यह है कि कैसीनो नए खिलाड़ियों को आकर्षित करने के लिए पहले कुछ दिनों के लिए स्लॉट मशीन को खुला छोड़ देता है, और फिर EPROM को कम खर्चीले EPROM में बदल देता है, तो मैं भी इससे असहमत हूँ। ऐसा आसानी से किया जा सकता है, और कानूनी तौर पर भी, लेकिन मुझे शक है कि ऐसा है। अपने स्लॉट मशीन सर्वेक्षण में मैंने पाया कि हर कैसीनो अपने स्लॉट को कितना खुला या टाइट रखता है, इसमें काफी हद तक एक जैसा था।

यह जानते हुए कि टीम A प्रति गेम औसतन 1.5 गोल करती है, और टीम B प्रति गेम औसतन 1.2 गोल करती है, क्या संभावना है कि A और B के बीच एक गेम में:

1) A, B से अधिक अंक प्राप्त करेगा
2) B, A से अधिक अंक प्राप्त करेगा
3) खेल बराबरी पर समाप्त हुआ।

क्या प्रदान की गई जानकारी प्रत्येक परिणाम की संभावनाओं की गणना करने के लिए पर्याप्त है?

Dimitar से Sophia, Bulgaria

इसमें इस बात पर ध्यान नहीं दिया गया है कि व्यक्तिगत स्कोर कुछ हद तक नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध होने चाहिए, और प्रत्येक टीम द्वारा दिए गए औसत अंक भी उतने ही महत्वपूर्ण हैं जितने कि औसत अंक। अगर हम मान लें कि खेल में 1.5 और 1.2 अंक अपेक्षित हैं, जिसमें आक्रामक और रक्षात्मक दोनों पहलुओं को ध्यान में रखा गया है, और सहसंबंध कारक को नज़रअंदाज़ कर दें, तो हम आपकी तीनों संभावनाओं का एक अच्छा अनुमान लगा सकते हैं। इस तरह के कई सुपर बाउल प्रॉप्स हैं, लेकिन ये इस पर आधारित हैं कि कौन ज़्यादा टचडाउन, फ़ील्ड गोल, इंटरसेप्शन आदि स्कोर करेगा।

पहला कदम पॉइसन बंटन का उपयोग करके प्रत्येक टीम के लिए गोलों की संख्या की प्रायिकता का अनुमान लगाना है। सामान्य सूत्र यह है कि किसी टीम के g गोल होने की प्रायिकता, जिसका माध्य m है, e -m × m g /g! है। एक्सेल में, आप पॉइसन(g,m,0) सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। निम्न तालिका इस सूत्र का उपयोग करके दोनों टीमों के 0 से 10 गोलों की प्रायिकता दर्शाती है।

प्रत्येक टीम के लिए 0 से 8 गोल की संभावनाएं

लक्ष्य टीम ए टीम बी
0 0.223130 0.301194
1 0.334695 0.361433
2 0.251021 0.216860
3 0.125511 0.086744
4 0.047067 0.026023
5 0.014120 0.006246
6 0.003530 0.001249
7 0.000756 0.000214
8 0.000142 0.000032

अगला चरण काफी सामान्य है, लेकिन आपको प्रत्येक टीम के लिए 0 से 8 अंकों के सभी 81 संभावित संयोजनों का एक मैट्रिक्स बनाना होगा। यह ऊपर दी गई तालिका से टीम A के x अंकों और टीम B के y अंकों की प्रायिकता को गुणा करके किया जाता है। नीचे दी गई तालिका 0-0 से 8-8 तक प्रत्येक अंक संयोजन की प्रायिकता दर्शाती है।

दोनों टीमों के लिए संभाव्यता संयोजन विस्तृत

गोल टीम ए गोल टीम बी
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.067206 0.080647 0.048388 0.019355 0.005807 0.001394 0.000279 0.000048 0.000007
1 0.100808 0.120970 0.072582 0.029033 0.008710 0.00209 0.000418 0.000072 0.000011
2 0.075606 0.090727 0.054436 0.021775 0.006532 0.001568 0.000314 0.000054 0.000008
3 0.037803 0.045364 0.027218 0.010887 0.003266 0.000784 0.000157 0.000027 0.000004
4 0.014176 0.017011 0.010207 0.004083 0.001225 0.000294 0.000059 0.000010 0.000002
5 0.004253 0.005103 0.003062 0.001225 0.000367 0.000088 0.000018 0.000003 0
6 0.001063 0.001276 0.000766 0.000306 0.000092 0.000022 0.000004 0.000001 0
7 0.000228 0.000273 0.000164 0.000066 0.000020 0.000005 0.000001 0 0
8 0.000043 0.000051 0.000031 0.000012 0.000004 0.000001 0 0 0

अगली तालिका प्रत्येक गोल संयोजन के अनुसार विजेता को दर्शाती है, जहां T बराबरी को दर्शाता है।

दोनों टीमों के लिए विजेता संयोजन

गोल टीम ए गोल टीम बी
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 टी बी बी बी बी बी बी बी बी
1 ए टी बी बी बी बी बी बी बी
2 ए ए टी बी बी बी बी बी बी
3 ए ए ए टी बी बी बी बी बी
4 ए ए ए ए टी बी बी बी बी
5 ए ए ए ए ए टी बी बी बी
6 ए ए ए ए ए ए टी बी बी
7 ए ए ए ए ए ए ए टी बी
8 ए ए ए ए ए ए ए ए टी

अंत में, आप एक्सेल में sumif फ़ंक्शन का उपयोग करके दांव के तीनों संभावित परिणामों के लिए संगत कक्ष जोड़ सकते हैं। इस स्थिति में संभावनाएँ इस प्रकार हैं:

A जीतता है = 44.14%
B जीतता है = 30.37%
टाई = 25.48%

स्टैनफोर्ड वोंग द्वारा लिखित शार्प स्पोर्ट्स बेटिंग के परिशिष्ट C में इस तरह के दांवों के लिए जीत/हार/बराबरी की संभावनाएँ दी गई हैं। इस मामले में, उन्होंने 44%, 30% और 25% की संभावनाएँ बताई हैं। अगर किसी को इस तरह की समस्या का कोई सरल सूत्र पता हो, तो मैं सुनने के लिए तैयार हूँ।

अनुवर्ती: मुझे बॉब पी. का एक ईमेल मिला, जो गणित के मामले में मुझे हमेशा सतर्क रखते हैं। उन्होंने जो लिखा, वह यहाँ है।

दो असंबद्ध पॉइसन के बीच अंतर का वितरण देखा। यह एक स्केलम है (मेरे लिए नया)।

वैसे भी, प्रश्न को P(Z=0), P(Z>0) और P(Z<0) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, जहां Z एक स्केलम है जिसके पैरामीटर 1.5 और 1.2 हैं।

यदि आपने अभी तक ऐसा नहीं किया है, तो आपको यह जानकर खुशी होगी

पी(टाई) = पी(जेड=0) = .254817

P(A, B को हराता है) = P(Z>0) = .441465

P(B, A को हराता है) = P(Z<0) = 1 - .254817 - .441465 = .303718

लगभग आपके उत्तरों के समान।

स्केलम के लिए विकिपीडिया प्रविष्टि में बेसेल फ़ंक्शन का ज़िक्र था, जो कैलकुलस में उस बिंदु के बारे में है जहाँ मुझे आगे जाने में डर लगता है। इसलिए, मैं इस मामले में बॉब की बात मानूँगा।

दो पासों को तब तक फेंका जाता है जब तक या तो कुल 12 न आ जाए या दो बार लगातार कुल 7 न आ जाए। इसकी क्या संभावना है कि 12 पहले आए?

गुमनाम

इसका उत्तर और समाधान मेरी सहयोगी साइट mathproblems.info पर समस्या 201 पर पाया जा सकता है।