जादूगर से पूछो #215

मैं 2.7 अरब में 1 वाले आंकड़े से भी असहमत हूँ। जैसा कि आपने कहा, उन्होंने प्रत्येक खिलाड़ी के लिए अलग-अलग प्रायिकताएँ गणना कीं, ठीक उसी स्थिति में जब दोनों खिलाड़ी दोनों होल कार्ड इस्तेमाल करते हैं, और गुणा करते हैं। इस विधि का उपयोग करके मुझे 0.000000000341101, यानी लगभग 2.9 अरब में 1, की प्रायिकता प्राप्त होती है। हो सकता है कि 2.7 अरब में 1 में दोनों खिलाड़ियों की प्रायिकताओं पर पूर्णांकन त्रुटि का संयोजन भी शामिल हो। वे स्पष्ट रूप से प्रायिकता को 2 से गुणा करना भी भूल गए, जिसके कारण मैं बाद में बताऊँगा।

रॉयल फ्लश में चार इक्के हारने के तीन तरीके इस प्रकार हैं।

केस 1: एक खिलाड़ी के पास रॉयल फ्लश के दो कार्ड हैं, दूसरे के पास दो इक्के हैं, तथा बोर्ड पर अन्य दो इक्के, रॉयल फ्लश के अन्य दो कार्ड तथा कोई अन्य कार्ड है।

उदाहरण:

खिलाड़ी 1:
खिलाड़ी 2:
तख़्ता:

ज़्यादातर पोकर रूम में, बैड-बीट जैकपॉट जीतने के लिए, जीतने वाले और हारने वाले दोनों खिलाड़ियों को दोनों होल कार्ड इस्तेमाल करने होते हैं। वीडियो में भी बैड बीट का यही प्रकार था; दरअसल, ये कार्ड बिल्कुल वही थे।

केस 2: एक खिलाड़ी के पास रॉयल फ्लश (टी.के.) के लिए दो कार्ड हैं, दूसरे के पास एक इक्का और एक "रिक्त" कार्ड है, तथा बोर्ड पर अन्य तीन इक्के और रॉयल के लिए अन्य दो कार्ड हैं।

उदाहरण:

खिलाड़ी 1:
खिलाड़ी 2:
तख़्ता:

केस 3: एक खिलाड़ी के पास रॉयल फ्लश (टी.के.) का एक कार्ड और एक खाली कार्ड है, दूसरे के पास दो इक्के हैं, और बोर्ड पर अन्य दो इक्के और रॉयल फ्लश के अन्य तीन कार्ड हैं।

उदाहरण:

खिलाड़ी 1:
खिलाड़ी 2:
तख़्ता:

निम्नलिखित तालिका खिलाड़ियों और बोर्ड दोनों के लिए प्रत्येक मामले में संयोजनों की संख्या दर्शाती है। निचले दाएँ कक्ष में कुल संयोजनों की संख्या 16,896 दिखाई गई है।

हालाँकि, हम दोनों खिलाड़ियों के पत्ते उलट सकते हैं, और फिर भी एक खराब बीट हो सकती है। इसलिए, हमें संयोजनों की संख्या को 2 से गुणा करना चाहिए। इसे समायोजित करने पर, कुल योग्य संयोजन 2 × 8,448 = 16,896 होंगे।

दो-खिलाड़ियों वाले टेक्सास होल्ड 'एम में सभी संयोजनों की कुल संख्या संयोजन (52,2) × संयोजन (50,2) × संयोजन (48,5) = 2,781,381,002,400 है। इसलिए, चार इक्कों के रॉयल फ्लश से हारने की संभावना 8,448/2,781,381,002,400 = 0.0000000060747 है, यानी लगभग 165 मिलियन में 1। सिर्फ़ एक केस में खराब हार की संभावना 439 मिलियन में 1 है। ऑड्स उस वीडियो में बताए गए लंबे समय तक नहीं हैं, इसका सीधा कारण यह है कि दोनों हाथ ओवरलैप होते हैं, जिसमें साझा इक्का होता है। दूसरे शब्दों में, दोनों घटनाएँ सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं।

साइड बेट के लिए यह बुरा नहीं है। मैं दिखा रहा हूँ कि हाउस एज 2.14% है।

p प्रायिकता वाली किसी घटना के संभावित n में से x बार घटित होने की प्रायिकता (n,x) × p ^x × (1-p) ^{(nx) का} संयोजन है। इस स्थिति में, p=4/9, x=4, और n=20 है। यहाँ 20 में से सभी संभावित फ़ील्ड रोल की प्रायिकता दी गई है:

0 से 4 तक का योग लेने पर, संभावना 2.12% है। तो, निष्पक्ष खेल में ऐसा आसानी से हो सकता था।

आपका स्वागत है। अगर सिर्फ़ दो समुद्री डाकू बचे हैं, तो सुझाव देने के लिए चुने गए समुद्री डाकू के पास कोई उम्मीद नहीं है, क्योंकि दूसरा समुद्री डाकू 'नहीं' वोट देगा। जो निकाला जाएगा उसे शून्य मिलेगा, और बाकी सभी को 1000। इसलिए, ड्रॉ से पहले, दो समुद्री डाकुओं के साथ अपेक्षित मूल्य 500 सिक्के हैं।

तीन समुद्री डाकुओं के चरण में, ड्रॉ किए गए समुद्री डाकू को दूसरे समुद्री डाकुओं में से एक को 501 और खुद को 499 देने का सुझाव देना चाहिए। 501 पाने वाला हाँ में वोट देगा, क्योंकि यह ना में वोट देने पर 500 के अपेक्षित मूल्य से अधिक है। ड्रॉ से पहले, जब तीन समुद्री डाकू बचे हों, तो आपके पास 0, 499 या 501 सिक्के पाने का 1/3 मौका होता है, जिसका औसत 333.33 होता है।

चार समुद्री डाकुओं के चरण में, ड्रॉ किए गए समुद्री डाकू को अन्य दो डाकुओं में से किसी एक को 334 और खुद को 332 देने का विकल्प चुनना चाहिए। इससे उसे 334 सिक्के पाने वाले डाकुओं से दो 'हाँ' वोट मिलेंगे, क्योंकि वे 333.33 की बजाय 334 लेना पसंद करेंगे। अपने वोट को मिलाकर, आपके पास 4 में से 3 वोट होंगे। ड्रॉ से पहले, प्रत्येक समुद्री डाकू के लिए अपेक्षित मान 0, 334, 334 और 332 का औसत है, या 1000/4=250।

इसी तर्क से, पाँच समुद्री डाकुओं वाले चरण में, चुने गए समुद्री डाकू को किन्हीं दो समुद्री डाकुओं को 251 और खुद को 498 देने का विकल्प चुनना चाहिए। मूल समस्या के विपरीत, इसमें उलटी गिनती करने की ज़रूरत नहीं है। बस सिक्कों की संख्या को समुद्री डाकुओं की संख्या से भाग दें, जिसमें खुद को शामिल न करें। फिर उनमें से आधे (नीचे की ओर पूर्णांकित करते हुए) उस औसत के साथ एक और सिक्का दें।