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जादूगर से पूछो #159
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उदाहरण के लिए, यदि चार खिलाड़ी हैं (आप स्वयं सहित) तो आपको फॉर्च्यून दांव लगाना चाहिए यदि आपका पै गो पोकर दांव 17 डॉलर या उससे अधिक है, और यदि यह 16 डॉलर या उससे कम है तो नहीं।
टेनिस में संभावनाएँ
| संभावना खेल जीत | संभावना सेट जीत |
| 0.05 | 0.000003 |
| 0.1 | 0.000189 |
| 0.15 | 0.001899 |
| 0.2 | 0.009117 |
| 0.25 | 0.028853 |
| 0.3 | 0.06958 |
| 0.35 | 0.138203 |
| 0.4 | 0.23687 |
| 0.45 | 0.361085 |
| 0.5 | 0.5 |
| 0.55 | 0.638915 |
| 0.6 | 0.76313 |
| 0.65 | 0.861797 |
| 0.7 | 0.93042 |
| 0.75 | 0.971147 |
| 0.8 | 0.990883 |
| 0.85 | 0.998101 |
| 0.9 | 0.999811 |
| 0.95 | 0.999997 |
किसी खेल में जीतने की प्रायिकता p, और हारने की q, का सूत्र है 1*p 6 + 6*p 6 *q + 21*p 6 *q 2 + 56*p 6 *q 3 + 126*p 6 *q 4 + 252*p 7 *q 5 + 504*p 7 *q 6
कई लोगों ने मुझसे मेरे उत्तर को विस्तार से बताने के लिए कहा। इस समाधान के लिए बुनियादी मैट्रिक्स बीजगणित की आवश्यकता है।
x को उत्तर के रूप में परिभाषित करके शुरू करें, या जब तक सिर और पूंछ के बीच असमानता 3 न हो जाए, तब तक फ्लिप की औसत संख्या निर्धारित करें।
मान लीजिए y उस बिंदु से अपेक्षित फ़्लिप की संख्या है जहां एक पक्ष एक फ़्लिप से ऊपर है।
मान लीजिए z उस बिंदु से अपेक्षित फ़्लिप की संख्या है जहां एक पक्ष दो फ़्लिप से ऊपर है।
पहली पलटी के बाद एक पक्ष एक पलटी से बहुमत में आ जाएगा। इसलिए x=1+y.
जब कोई भी पक्ष एक फ़्लिप आगे हो, तो दूसरा फ़्लिप या तो शुरुआती बराबरी की स्थिति में होगा, या एक पक्ष दो फ़्लिप से आगे होगा। दोनों परिणाम समान रूप से संभावित हैं। इसलिए y=1+0.5*x + 0.5*z
जब कोई भी पक्ष दो फ़्लिप आगे हो, तो एक और फ़्लिप के परिणामस्वरूप या तो एक पक्ष एक फ़्लिप से आगे हो जाएगा, या खेल समाप्त हो जाएगा। फिर से, दोनों परिणाम समान रूप से संभावित हैं। इसलिए z=1+0.5*y
अतः हमारे पास तीन समीकरण और तीन अज्ञात हैं:
(1) एक्स= 1+y
(2) वाई = 1+ 0.5x + 0.5z
(3) Z = 1+ 0.5y
इसे हल करने के लिए सबसे पहले अंतिम दो समीकरणों को 2 से गुणा करके दशमलव से छुटकारा पाएं।
(1) एक्स= 1+y
(2) 2Y = 2+ x + z
(3) 2Z = 2+ y
आइए (1) से (2) में x के स्थान पर 1+y प्रतिस्थापित करें।
2Y = 2 + 1 + y + z
(4) y = 3 + z
(3) में y के स्थान पर 3+z का कोई प्रतिस्थापन नहीं
2z = 2 + 3 + z
ज़ेड = 5
अब (4) में z के स्थान पर 5 प्रतिस्थापित करें
(5) y = 3+ 5 = 8
(1) में y = 8 को प्रतिस्थापित न करें
(6) x = 9
भौतिकी मेरा पसंदीदा विषय नहीं है, इसलिए मैंने दो भौतिकी विशेषज्ञों, मेरे पिता और एंड्रयू एन. से यह सवाल पूछा। दोनों इस बात पर सहमत थे कि अगर आर्द्रता ज़्यादा होगी तो गेंद ज़्यादा दूर जाएगी। एंड्रयू एन ने इसकी वजह इस प्रकार बताई।
दिलचस्प सवाल है। मैंने इंटरनेट पर कुछ आँकड़े देखे, और ऐसा लग रहा है कि बाकी सब चीज़ें समान होने पर, गेंद सूखे दिन की तुलना में नम दिन में ज़्यादा दूर जाएगी। दो कारक जो सबसे ज़्यादा प्रासंगिक हैं, वे हैं: 1) वायु घनत्व; और 2) वायु श्यानता।
1) वायु घनत्व
आम धारणा के विपरीत, आर्द्र हवा शुष्क हवा से हल्की होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि पानी के अणु समान स्थान घेरते हैं, लेकिन उनका भार O2/N2 मिश्रण से कम होता है। हल्की हवा के कारण फुटबॉल पर कम उत्प्लावन बल लगता है क्योंकि फुटबॉल कम द्रव्यमान विस्थापित कर रहा होता है। हालाँकि, 20°C और 700 kPa(*) पर शुष्क हवा का घनत्व 8.33 kg/m3 है, और सूचीबद्ध स्रोतों के अनुसार, समान तापमान और दाब पर 42.1% सापेक्ष आर्द्रता के साथ घनत्व 8.32 kg/m3 है, जो लगभग 1% के 1/10वें भाग का अंतर है। इसलिए इससे दूरी पर ज़्यादा असर नहीं पड़ेगा।
(*) - 700 kPa एक उच्च दाब है, लेकिन मुझे यही एकमात्र आँकड़ा मिल सका। हालाँकि, इंजीनियरिंग की दृष्टि से यह सामान्य वायुमंडलीय दाब से बहुत अलग नहीं है, इसलिए मेरा मानना है कि आँकड़ों में सूचीबद्ध गुण सामान्य वायुमंडलीय दाब (101.325 kPa) की स्थिति पर भी लागू होंगे।
2) वायु श्यानता
श्यानता वह बल है जो फ़ुटबॉल पर त्वचा के खिंचाव में योगदान देता है। कम श्यानता, खिंचाव में कम योगदान देगी, जिसके परिणामस्वरूप फ़ुटबॉल की उड़ान लंबी होगी। 20°C और 700 kPa पर शुष्क हवा के लिए, गतिशील श्यानता 18.3 Pa*s है, जबकि 42.1% आर्द्रता वाली हवा के लिए, श्यानता केवल 17.8 Pa*s है। यह लगभग 3% का अंतर है, जो ज़्यादा नहीं है, लेकिन वायु घनत्व के प्रभाव से थोड़ा ज़्यादा महत्वपूर्ण है। हालाँकि, आर्द्र हवा अभी भी फ़ुटबॉल की उड़ान को थोड़ा लंबा करने में योगदान देगी।
यह देखने के लिए कि क्या वास्तविक दुनिया में यह बात सार्थक है, मुझे एक गोल्फ वेबसाइट मिली जिसमें शुष्क और आर्द्र परिस्थितियों में गोल्फबॉल की उड़ान दूरी के बारे में कुछ आंकड़े मौजूद हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, नम हवा में गोल्फ़बॉल ज़्यादा दूर तक जाती है, लेकिन ज़्यादा से ज़्यादा एक या दो गज तक। इसलिए नम हवा के कारण प्रक्षेप्य (गोल्फ़बॉल या फ़ुटबॉल) की उड़ान ज़रूर लंबी होती है, लेकिन इसका असर बहुत कम होता है।
एंड्रयू एन
डेटा निम्न से लिया गया:
wipos.p.lodz.pl/HighTech/example1.html" (20 डिग्री सेल्सियस और 700 kPa पर आर्द्र हवा पर डेटा)। लिंक कोई आश्चर्य नहीं कि काम करता है।
physics.holsoft.nl/physics/ocmain.htm (आर्द्र वायु के गुणों के लिए कैलकुलेटर, लिंक कोई आश्चर्य नहीं कि काम करता है)
विज़ार्ड की टिप्पणी: पहले बिंदु के साथ जोड़ते हुए, बॉयल का नियम कहता है कि समान तापमान पर, गैस का आयतन दाब के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इसलिए समान तापमान और दाब पर गैस का आयतन स्थिर रहेगा, दूसरे शब्दों में, प्रति इकाई क्षेत्रफल पर अणुओं की संख्या समान रहेगी। ऑक्सीजन का परमाणु भार 16, नाइट्रोजन का 14 और हाइड्रोजन का 2 है। इसलिए एक जल अणु (H2O) का परमाणु भार 18 है, जबकि O2 और N2 क्रमशः 32 और 28 के साथ बहुत भारी हैं। इसलिए जब आर्द्रता होती है, तो हल्के जल अणु भारी O2 और N2 अणुओं को दूर धकेल देते हैं, जिससे फुटबॉल को हवा में कम प्रतिरोध का सामना करना पड़ता है।