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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #15

मुझे आपकी साइट बहुत पसंद आई। यह बहुत जानकारीपूर्ण है। अपने विचार साझा करने के लिए धन्यवाद। मैंने क्रेपर्स डिलाइट पर सुझाई गई क्रेप्स के लिए एक सट्टेबाजी रणनीति देखी, जिसे "क्लासिक रिग्रेशन" कहा जाता है। इसमें उन्होंने एक बिंदु स्थापित होने के बाद 6 और 8 लगाने का सुझाव दिया है। फिर उनमें से एक के हिट होने पर उसे कम कर दिया जाए। उन्होंने कहा कि 6 और 8 बनाने के 10 संयुक्त तरीके हैं, लेकिन 7 बनाने के केवल 6 संयुक्त तरीके हैं। यह तर्कसंगत लगता है, लेकिन मैंने देखा है कि आप यह दिखाने में सक्षम हैं कि जो सतह पर तर्कसंगत लगता है, उसका विश्लेषण करने पर वह उतना स्पष्ट नहीं होता। इस रणनीति पर आपके क्या विचार हैं और यदि आप एक हिट के बाद दांव हटा लेते हैं, तो वास्तविक संभावनाएँ क्या होंगी?

Michael

यह पिछले सप्ताह मुझे मिले एक प्रश्न के समान है। हां, यह सच है कि 6 या 8 को रोल करने के दस तरीके हैं, और 7 को रोल करने के छह तरीके हैं। हालांकि, किसी को केवल संभावनाओं को नहीं देखना चाहिए, बल्कि भुगतानों के खिलाफ उनका वजन करना चाहिए। 6 और 8 पर प्लेस बेट 7 से 6 बाधाओं का भुगतान करता है जब उचित बाधाएं 6 से 5 का भुगतान करती हैं। 6 और 8 पर छह यूनिट प्लेस बेट्स बनाकर, और यदि कोई जीतता है तो दूसरे को नीचे ले जाकर, 7 यूनिट जीतने की संभावना 62.5% है और 12 यूनिट खोने की संभावना 37.5% है। यदि खिलाड़ी को 6 और 8 दोनों को कवर करना है, तो प्लेस बेट ही सही रास्ता है। रिटर्न की यह दर खराब नहीं है लेकिन बेहतर हो सकती है। उस खिलाड़ी के लिए जो समग्र हाउस एज को न्यूनतम करने पर प्राथमिकता देता है,
मैं ब्लैकजैक जैसे नकारात्मक खेल में, बिना गिनती के, 45,000 या उससे ज़्यादा हाथों के बाद 0.5% नुकसान के साथ, आगे रहने की फ्लैट बेटिंग (बिना गिनती, बिना प्रगति, आदि) की संभावना कैसे निर्धारित कर सकता हूँ? क्या यह संभव भी है?

Kevin

यह एक ऐसा सामान्य प्रश्न है जो किसी भी प्रारंभिक सांख्यिकी कक्षा में आ सकता है। चूँकि बड़ी संख्या में यादृच्छिक चरों का योग हमेशा एक बेल कर्व के निकट पहुँचता है, इसलिए हम इसका उत्तर पाने के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।

हाउस एज पर मेरे सेक्शन से हमें ब्लैकजैक में मानक विचलन 1.17 मिलता है। अगर आपने सांख्यिकी नहीं पढ़ी है, तो आप इसे नहीं समझ पाएँगे, लेकिन आपके उदाहरण में नुकसान होने की संभावना Z सांख्यिकी होगी: 45000*0.005/(45000 1/2 *1.17) =~ 0.91।

किसी भी बुनियादी सांख्यिकी पुस्तक में एक मानक सामान्य तालिका होनी चाहिए जो 0.8186 का Z आँकड़ा देगी। इसलिए आपके उदाहरण में आगे होने की संभावना लगभग 18% है।
मैं उत्सुक था -- मुझे यकीन है कि मैं हाउस ऑड्स से बेहतर कुछ नहीं पा सकता -- लेकिन मैं एक मामूली जुए के तरीके को आज़माना चाहता था -- "जब आप आगे हों तो खेल छोड़ दें" वाली स्थिति। मान लीजिए मैं $1000 के सम भाव से शुरुआत करता हूँ। कितने प्रतिशत बार मैं $1,200 के साथ खेलूँगा, बजाय $0 के, यह मानते हुए कि मुझे एक या दूसरे भाव पर दांव लगाते ही खेल छोड़ना होगा। बैकारेट में खिलाड़ी पर 100% नीचे दांव लगाने के बजाय 20% ऊपर दांव लगाएँ।

Brian से Denver, Colorado

आपने दो महत्वपूर्ण जानकारी छोड़ दी है: आप कितना दांव लगा रहे हैं और किस खेल में। मैं मान रहा हूँ कि आप बैकारेट में खिलाड़ी के दांव पर एक बार में $1 का सीधा दांव लगा रहे हैं। अगर कोई बराबरी नहीं होती है, तो खिलाड़ी के जीतने की संभावना 49.3212% है।

मान लीजिए a i इस संभावना को दर्शाता है कि अगर खिलाड़ी के पास $i है, तो वह सब कुछ गँवाने से पहले $1,200 तक पहुँच जाएगा। मान लीजिए p किसी भी दिए गए दांव को जीतने की संभावना = 49.3212% है।

ए 0 = 0

a 1 = p*a 2
a 2 = p*a 3 + (1-p)*a 1
a 3 = p*a 4 + (1-p)*a 2

.

a 1197 = p*a 1198 + (1-p)*a 1196
a 1198 = p*a 1199 + (1-p)*a 1197
a 1199 = p*a 1200 + (1-p)*a 1198
एक 1200 = 1

बायीं ओर को दो भागों में विभाजित करें:

p*a 1 + (1-p)*a 1 = p*a 2
p*a 2 + (1-p)*a 2 = p*a 3 + (1-p)*a 1
p*a 3 + (1-p)*a 3 = p*a 4 + (1-p)*a 2
.
.
.
p*a 1197 + (1-p)*a 1197 = p*a 1198 + (1-p)*a 1196
p*a 1198 + (1-p)*a 1198 = p*a 1199 + (1-p)*a 1197
p*a 1199 + (1-p)*a 1199 = p*a 1200 + (1-p)*a 1198

बायीं ओर (1-p) पदों और दायीं ओर p पदों के साथ पुनर्व्यवस्थित करें:

(1-पी)*(ए 1 ) = पी*(ए 2 - ए 1 )
(1-पी)*(ए 2 - ए 1 ) = पी*(ए 3 - ए 2 )
(1-पी)*(ए 3 - ए 2 ) = पी*(ए 4 - ए 3 )
.
.
.
(1-पी)*(ए 1197 - ए 1196 ) = पी*(ए 1198 - ए 1197 )
(1-पी)*(ए 1198 - ए 1197 ) = पी*(ए 1199 - ए 1198 )

अब दोनों पक्षों को 1/p से गुणा करें:

(1-पी)/पी*(ए 1 ) = (ए 2 - ए 1 )
(1-पी)/पी*(ए 2 - ए 1 ) = (ए 3 - ए 2 )
(1-पी)/पी*(ए 3 - ए 2 ) = (ए 4 - ए 3 )
.
.
.
(1-पी)/पी*(ए 1197 - ए 1196 ) = (ए 1198 - ए 1197 )
(1-पी)/पी*(ए 1198 - ए 1197 ) = (ए 1199 - ए 1198 )

अगला दूरबीन योग:

(a 2 - a 1 ) = (1-p)/p*(a 1 )
(a 3 - a 2 ) = ((1-p)/p) 2 *(a 1 )
(a 4 - a 3 ) = ((1-p)/p) 3 *(a 1 )
.
.
.
(a 1199 - a 1198 ) = ((1-p)/p) 1198 *(a 1 )
(a 1200 - a 1199 ) = ((1-p)/p) 1199 *(a 1 )

इसके बाद उपरोक्त समीकरण जोड़ें:

(a 1200 - a 1 ) = a 1 * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )

1 = ए 1 * (1 + ((1-पी)/पी) + ((1-पी)/पी) 2 + ((1-पी)/पी) 3 + ... + ((1-पी)/पी) 1199 )

a 1 = 1 / (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )

ए 1 = ((1-पी)/पी - 1) / (((1-पी)/पी) 1200 - 1)

अब जब हम 1 जानते हैं तो हम 1000 ज्ञात कर सकते हैं:

(a 2 - a 1 ) = (1-p)/p*(a 1 )
(a 3 - a 2 ) = ((1-p)/p) 2 *(a 1 )
(a 4 - a 3 ) = ((1-p)/p) 3 *(a 1 )
.
.
.
(a 999 - a 18 ) = ((1-p)/p) 9998 *(a 1 )
(a 1000 - a 19 ) = ((1-p)/p) 9999 *(a 1 )

उपरोक्त समीकरणों को एक साथ जोड़ें:

(a 1000 - a 1 ) = a 1 * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 999 )
a 1000 = a 1 * (((1-p)/p) 1000 - 1)) / ((1-p)/p - 1))
a 1000 = [ ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1) ] * [ (((1-p)/p) 1000 - 1) / ((1-p)/p - 1) ]
a 1000 = (((1-p)/p) 1000 - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1) =~ 0.004378132.

पर्याप्त समय मिलने पर, भाग्य के किसी भी खेल में खिलाड़ी के लिए संभावनाएं बढ़ जाती हैं और बैंकरोल धीरे-धीरे कम होता जाता है। हालाँकि, अगर आप बड़ी रकम का दांव लगाते हैं तो आपकी संभावनाएं कहीं बेहतर होंगी। विभिन्न दांव आकार इकाइयों पर 100% हारने से पहले 20% जीतने की संभावनाएं निम्नलिखित हैं।

$5: 0.336507
$10: 0.564184
$25: 0.731927
$50: 0.785049
$100: 0.809914

इस प्रकार की समस्या के गणित के बारे में अधिक जानकारी के लिए कृपया मेरी MathProblems.info साइट, समस्या 116 देखें।

बुनियादी रणनीति वाले ब्लैकजैक चार्ट इस सिद्धांत पर क्यों बनाए जाते हैं कि डीलर के पास होल में "10" का कार्ड है। जबकि वास्तव में मेरा मानना है कि "10" कार्ड के कहीं भी होने की संभावना 9-4 है। क्या मैं कुछ भूल रहा हूँ? आपकी वेबसाइट बहुत दिलचस्प है। बहुत-बहुत धन्यवाद।

Eddie से New Orleans, Louisiana

यह मान लेना कि डीलर के पास होल में 10 है, बस एक याददाश्त की तरकीब है, इसका मूल रणनीति के निर्माण के तरीके से कोई लेना-देना नहीं है। मैं यह सुनकर चुप रह जाता हूँ कि एक खिलाड़ी दूसरे से कह रहा है, "तुम हमेशा यह मानकर चलते हो कि डीलर के पास होल में 10 है।" अगर यह सच होता, तो खिलाड़ी को 10 के मुकाबले 19 मारना चाहिए, यह निश्चित रूप से एक अनुचित चाल है।