जादूगर से पूछो #15

यह पिछले सप्ताह मुझे मिले एक प्रश्न के समान है। हां, यह सच है कि 6 या 8 को रोल करने के दस तरीके हैं, और 7 को रोल करने के छह तरीके हैं। हालांकि, किसी को केवल संभावनाओं को नहीं देखना चाहिए, बल्कि भुगतानों के खिलाफ उनका वजन करना चाहिए। 6 और 8 पर प्लेस बेट 7 से 6 बाधाओं का भुगतान करता है जब उचित बाधाएं 6 से 5 का भुगतान करती हैं। 6 और 8 पर छह यूनिट प्लेस बेट्स बनाकर, और यदि कोई जीतता है तो दूसरे को नीचे ले जाकर, 7 यूनिट जीतने की संभावना 62.5% है और 12 यूनिट खोने की संभावना 37.5% है। यदि खिलाड़ी को 6 और 8 दोनों को कवर करना है, तो प्लेस बेट ही सही रास्ता है। रिटर्न की यह दर खराब नहीं है लेकिन बेहतर हो सकती है। उस खिलाड़ी के लिए जो समग्र हाउस एज को न्यूनतम करने पर प्राथमिकता देता है,

यह एक ऐसा सामान्य प्रश्न है जो किसी भी प्रारंभिक सांख्यिकी कक्षा में आ सकता है। चूँकि बड़ी संख्या में यादृच्छिक चरों का योग हमेशा एक बेल कर्व के निकट पहुँचता है, इसलिए हम इसका उत्तर पाने के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।

हाउस एज पर मेरे सेक्शन से हमें ब्लैकजैक में मानक विचलन 1.17 मिलता है। अगर आपने सांख्यिकी नहीं पढ़ी है, तो आप इसे नहीं समझ पाएँगे, लेकिन आपके उदाहरण में नुकसान होने की संभावना Z सांख्यिकी होगी: 45000*0.005/(45000 ^1/2 *1.17) =~ 0.91।

किसी भी बुनियादी सांख्यिकी पुस्तक में एक मानक सामान्य तालिका होनी चाहिए जो 0.8186 का Z आँकड़ा देगी। इसलिए आपके उदाहरण में आगे होने की संभावना लगभग 18% है।

आपने दो महत्वपूर्ण जानकारी छोड़ दी है: आप कितना दांव लगा रहे हैं और किस खेल में। मैं मान रहा हूँ कि आप बैकारेट में खिलाड़ी के दांव पर एक बार में $1 का सीधा दांव लगा रहे हैं। अगर कोई बराबरी नहीं होती है, तो खिलाड़ी के जीतने की संभावना 49.3212% है।

मान लीजिए a _i इस संभावना को दर्शाता है कि अगर खिलाड़ी के पास $i है, तो वह सब कुछ गँवाने से पहले $1,200 तक पहुँच जाएगा। मान लीजिए p किसी भी दिए गए दांव को जीतने की संभावना = 49.3212% है।

ए ₀ = 0

a ₁ = p*a ₂
a ₂ = p*a ₃ + (1-p)*a ₁
a ₃ = p*a ₄ + (1-p)*a ₂

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a ₁₁₉₇ = p*a ₁₁₉₈ + (1-p)*a ₁₁₉₆
a ₁₁₉₈ = p*a ₁₁₉₉ + (1-p)*a ₁₁₉₇
a ₁₁₉₉ = p*a ₁₂₀₀ + (1-p)*a ₁₁₉₈
एक ₁₂₀₀ = 1

बायीं ओर को दो भागों में विभाजित करें:

p*a ₁ + (1-p)*a ₁ = p*a ₂
p*a ₂ + (1-p)*a ₂ = p*a ₃ + (1-p)*a ₁
p*a ₃ + (1-p)*a ₃ = p*a ₄ + (1-p)*a ₂
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p*a ₁₁₉₇ + (1-p)*a ₁₁₉₇ = p*a ₁₁₉₈ + (1-p)*a ₁₁₉₆
p*a ₁₁₉₈ + (1-p)*a ₁₁₉₈ = p*a ₁₁₉₉ + (1-p)*a ₁₁₉₇
p*a ₁₁₉₉ + (1-p)*a ₁₁₉₉ = p*a ₁₂₀₀ + (1-p)*a ₁₁₉₈

बायीं ओर (1-p) पदों और दायीं ओर p पदों के साथ पुनर्व्यवस्थित करें:

(1-पी)*(ए ₁ ) = पी*(ए ₂ - ए ₁ )
(1-पी)*(ए ₂ - ए ₁ ) = पी*(ए ₃ - ए ₂ )
(1-पी)*(ए ₃ - ए ₂ ) = पी*(ए ₄ - ए ₃ )
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(1-पी)*(ए ₁₁₉₇ - ए ₁₁₉₆ ) = पी*(ए ₁₁₉₈ - ए ₁₁₉₇ )
(1-पी)*(ए ₁₁₉₈ - ए ₁₁₉₇ ) = पी*(ए ₁₁₉₉ - ए ₁₁₉₈ )

अब दोनों पक्षों को 1/p से गुणा करें:

(1-पी)/पी*(ए ₁ ) = (ए ₂ - ए ₁ )
(1-पी)/पी*(ए ₂ - ए ₁ ) = (ए ₃ - ए ₂ )
(1-पी)/पी*(ए ₃ - ए ₂ ) = (ए ₄ - ए ₃ )
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(1-पी)/पी*(ए ₁₁₉₇ - ए ₁₁₉₆ ) = (ए ₁₁₉₈ - ए ₁₁₉₇ )
(1-पी)/पी*(ए ₁₁₉₈ - ए ₁₁₉₇ ) = (ए ₁₁₉₉ - ए ₁₁₉₈ )

अगला दूरबीन योग:

(a ₂ - a ₁ ) = (1-p)/p*(a ₁ )
(a ₃ - a ₂ ) = ((1-p)/p) ² *(a ₁ )
(a ₄ - a ₃ ) = ((1-p)/p) ³ *(a ₁ )
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(a ₁₁₉₉ - a ₁₁₉₈ ) = ((1-p)/p) ¹¹⁹⁸ *(a ₁ )
(a ₁₂₀₀ - a ₁₁₉₉ ) = ((1-p)/p) ¹¹⁹⁹ *(a ₁ )

इसके बाद उपरोक्त समीकरण जोड़ें:

(a ₁₂₀₀ - a ₁ ) = a ₁ * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) ² + ((1-p)/p) ³ + ... + ((1-p)/p) ¹¹⁹⁹ )

1 = ए ₁ * (1 + ((1-पी)/पी) + ((1-पी)/पी) ² + ((1-पी)/पी) ³ + ... + ((1-पी)/पी) ¹¹⁹⁹ )

a ₁ = 1 / (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) ² + ((1-p)/p) ³ + ... + ((1-p)/p) ¹¹⁹⁹ )

ए ₁ = ((1-पी)/पी - 1) / (((1-पी)/पी) ¹²⁰⁰ - 1)

अब जब हम ₁ जानते हैं तो हम ₁₀₀₀ ज्ञात कर सकते हैं:

(a ₂ - a ₁ ) = (1-p)/p*(a ₁ )
(a ₃ - a ₂ ) = ((1-p)/p) ² *(a ₁ )
(a ₄ - a ₃ ) = ((1-p)/p) ³ *(a ₁ )
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(a ₉₉₉ - a ₁₈ ) = ((1-p)/p) ⁹⁹⁹⁸ *(a ₁ )
(a ₁₀₀₀ - a ₁₉ ) = ((1-p)/p) ⁹⁹⁹⁹ *(a ₁ )

उपरोक्त समीकरणों को एक साथ जोड़ें:

(a ₁₀₀₀ - a ₁ ) = a ₁ * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) ² + ((1-p)/p) ³ + ... + ((1-p)/p) ⁹⁹⁹ )
a ₁₀₀₀ = a ₁ * (((1-p)/p) ¹⁰⁰⁰ - 1)) / ((1-p)/p - 1))
a ₁₀₀₀ = [ ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) ¹²⁰⁰ - 1) ] * [ (((1-p)/p) ¹⁰⁰⁰ - 1) / ((1-p)/p - 1) ]
a ₁₀₀₀ = (((1-p)/p) ¹⁰⁰⁰ - 1) / (((1-p)/p) ¹²⁰⁰ - 1) =~ 0.004378132.

पर्याप्त समय मिलने पर, भाग्य के किसी भी खेल में खिलाड़ी के लिए संभावनाएं बढ़ जाती हैं और बैंकरोल धीरे-धीरे कम होता जाता है। हालाँकि, अगर आप बड़ी रकम का दांव लगाते हैं तो आपकी संभावनाएं कहीं बेहतर होंगी। विभिन्न दांव आकार इकाइयों पर 100% हारने से पहले 20% जीतने की संभावनाएं निम्नलिखित हैं।

$5: 0.336507
$10: 0.564184
$25: 0.731927
$50: 0.785049
$100: 0.809914

इस प्रकार की समस्या के गणित के बारे में अधिक जानकारी के लिए कृपया मेरी MathProblems.info साइट, समस्या 116 देखें।

यह मान लेना कि डीलर के पास होल में 10 है, बस एक याददाश्त की तरकीब है, इसका मूल रणनीति के निर्माण के तरीके से कोई लेना-देना नहीं है। मैं यह सुनकर चुप रह जाता हूँ कि एक खिलाड़ी दूसरे से कह रहा है, "तुम हमेशा यह मानकर चलते हो कि डीलर के पास होल में 10 है।" अगर यह सच होता, तो खिलाड़ी को 10 के मुकाबले 19 मारना चाहिए, यह निश्चित रूप से एक अनुचित चाल है।