जादूगर से पूछो #132

क्या आपके पास सुपर बाउल पूल में अंतिम अंक चुनने के लिए कोई सलाह है?

गुमनाम

मैंने जिन ऑफिस पूल्स को देखा है, वे हर पंक्ति और कॉलम को एक यादृच्छिक अंक देकर तालिकाओं को यादृच्छिक बनाते हैं। हालाँकि, अगर आप वास्तविक अंतिम अंक चुन सकते हैं, तो नीचे दी गई तालिका 1983 से 2003 तक के हर NFL खेल के आधार पर, किसी भी टीम के अंतिम स्कोर के लिए प्रत्येक अंतिम अंक की आवृत्ति दर्शाती है।

प्रति पक्ष एनएफएल टर्मिनल अंक

अंक	आवृत्ति	संभावना
0	1887	17.75%
1	1097	10.32%
2	348	3.27%
3	1382	13.00%
4	1608	15.13%
5	396	3.73%
6	848	7.98%
7	1945	18.30%
8	631	5.94%
9	488	4.59%
कुल	10630	100%

अतः यह तालिका दर्शाती है कि 7 सर्वोत्तम विकल्प है, उसके बाद 0, 4 और 3 हैं।

मैं अभी बैकारेट खेलना सीख रहा हूँ और चूँकि हर खिलाड़ी किसी भी खिलाड़ी और बैंकर पर दांव लगा सकता है और असल में एक-दूसरे के साथ नहीं खेल रहा होता, तो मैं सोच रहा था कि जेम्स बॉन्ड फिल्मों में कौन सा खेल खेला जाता है? उदाहरण के लिए, डॉ. नो में ऐसा लगता है जैसे बॉन्ड एक महिला के खिलाफ है और वह उसके पैसे जीत रहा है? क्या मैं कुछ भूल रहा हूँ या यह कोई अलग खेल है? आपके समय के लिए धन्यवाद।

गुमनाम

सौभाग्य से, मैं जेम्स बॉन्ड का बहुत बड़ा प्रशंसक हूँ और मेरे पास सभी बॉन्ड फ़िल्में डीवीडी पर हैं। मैंने डॉ. नो देखा और ऐसा लग रहा है कि वह चेमिन डे फेर खेल रहे हैं। यह दृश्य फ्रेंच में बोला गया था, जिससे मुझे कोई मदद नहीं मिली। फ़ॉर योर आइज़ ओनली में भी ऐसा ही एक दृश्य है। उस फ़िल्म में ऐसा लगता है कि बॉन्ड बैकारेट खेल रहे हैं, बैंकर की भूमिका निभा रहे हैं, लेकिन खिलाड़ी के अभिनय के बाद वह रुक जाते हैं और एक अन्य पात्र बॉन्ड से कहता है, "संभावनाएँ स्थिर रहने के पक्ष में हैं"। इसका अर्थ यह होगा कि बॉन्ड के पास तीसरा पत्ता लेने की स्वतंत्र इच्छा थी, एक ऐसा विकल्प जो बैकारेट में आपके पास नहीं होता। जहाँ तक मैं अपने जुए के इतिहास को समझता हूँ, बैकारेट का अमेरिकी संस्करण चेमिन डे फेर का एक सरलीकृत संस्करण है, जिसमें ड्रॉ के नियम पूर्व निर्धारित होते हैं। संयोग से, www.casino-info.com के अनुसार, अमेरिकी बैकारेट की उत्पत्ति क्यूबा के हवाना में कैप्री कैसीनो में हुई थी।

टेक्सास होल्ड 'एम के 10-हैंडेड गेम में, और फ्लॉप तीन अलग-अलग रैंक का है, तो क्या संभावना है कि तीन खिलाड़ियों के पास एक सेट हो?

गुमनाम

जो लोग इस शब्दावली से परिचित नहीं हैं, उनके लिए बता दूँ कि प्रत्येक खिलाड़ी को दो कार्ड मिलते हैं और फ्लॉप के तीन कार्ड सभी खिलाड़ियों में बाँट दिए जाते हैं। तो यह पूछने जैसा है कि अगर आपको तीन सामुदायिक कार्ड मिले, सभी अलग-अलग रैंक के, और दस 2-कार्ड वाले हाथ, तो क्या संभावना है कि 2-कार्ड वाले हाथों में से तीन ऐसे जोड़े होंगे जो तीन सामुदायिक कार्डों में से किसी एक से मेल खाते हों।

खिलाड़ी 1 के पास एक सेट होने की प्रायिकता 3* कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (49,2) है। तो खिलाड़ी 2 के पास एक सेट होने की प्रायिकता 2*कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (47,2) है। तो खिलाड़ी 3 के पास एक सेट होने की प्रायिकता कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (45,2) है। हालाँकि, कोई भी तीन खिलाड़ी तीनों सेट जीत सकते हैं, ज़रूरी नहीं कि पहले तीन ही जीतें। 10 में से सेट वाले 3 खिलाड़ियों को चुनने के कॉम्बिन (10,3) तरीके हैं। तो उत्तर है कॉम्बिन (10,3)*(3*कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (49,2))*(2*कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (47,2))*(कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (45,2)) = 0.00000154464 = 64,740 में 1।

फैंटम बोनस का 'सांख्यिकीय' डॉलर मूल्य क्या है? मान लीजिए मैं $100 जमा करता हूँ और मुझे फैंटम बोनस के रूप में $100 और मिलते हैं। अगर मेरा लक्ष्य $100 जीतना है (कुल शेष $300), तो मेरे लिए फैंटम बोनस का अनुमानित मूल्य कितना होगा?

गुमनाम

हाउस एज को नज़रअंदाज़ करते हुए, आपके लक्ष्य तक पहुँचने की संभावना 2/3 है और फैंटम बोनस का अपेक्षित मूल्य $33.33 है। b के फैंटम बोनस, c के भुनाने योग्य चिप्स और g के विजयी लक्ष्य के लिए, आपके लक्ष्य तक पहुँचने की संभावना (c+b)/g है और फैंटम बोनस का अपेक्षित मूल्य ((c+b)/g)*(gb)-c है। सामान्यतः, विजयी लक्ष्य जितना ऊँचा होगा, फैंटम बोनस का अपेक्षित मूल्य उतना ही अधिक होगा।

होल्ड 'एम टूर्नामेंट की शुरुआत बटन के लिए हाई-कार्डिंग से होती है। सबसे बड़ा कार्ड जीतता है, और हुकुम, दिल, ईंट और चिड़ी को हराता है। 10 लोगों की टेबल पर औसतन कौन सा कार्ड जीतेगा? मैंने हर कार्ड को एक संख्यात्मक मान देकर इसे सिम्युलेट करने की कोशिश की है, लेकिन मैं इसे समझ नहीं पा रहा हूँ! धन्यवाद और इसे जारी रखें!

Stephen K. से Atlanta, GA

प्रश्न को सरल बनाने के लिए, मान लीजिए कि पत्तों पर 1 से 52 तक की संख्याएँ अंकित हैं। निम्न तालिका 10वें से 52वें पत्ते के सबसे बड़े पत्ते होने की प्रायिकता दर्शाती है। x के नीचे 9 संख्याएँ चुनने के लिए combin (x-1,9) तरीके हैं और 52 में से कोई भी संख्या चुनने के लिए combin(52,10) तरीके हैं। अतः x के सबसे बड़ी संख्या होने की प्रायिकता को combin(x-1,9)/combin(52,10) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अपेक्षित स्तंभ प्रायिकता और गेंदों की संख्या का गुणनफल है। अपेक्षित स्तंभ का योग हमें दर्शाता है कि औसतन सबसे बड़ी गेंद 48.18 होगी। निकटतम पत्ते तक पूर्णांकित करने पर, सबसे बड़ा अपेक्षित पत्ता हुकुम का बादशाह है।

10 कार्डों में से उच्चतम

उच्चतम कार्ड	संभावना	अपेक्षित
10	0.000000000063	0.000000000632
11	0.000000000632	0.000000006953
12	0.000000003477	0.000000041719
13	0.000000013906	0.000000180784
14	0.000000045196	0.000000632742
15	0.000000126548	0.000001898227
16	0.000000316371	0.000005061939
17	0.000000723134	0.000012293281
18	0.00000153666	0.000027659882
19	0.00000307332	0.000058393084
20	0.000005839308	0.000116786168
21	0.000010616924	0.000222955411
22	0.000018579618	0.000408751587
23	0.00003144243	0.000723175884
24	0.00005165542	0.001239730087
25	0.000082648672	0.002066216811
26	0.000129138551	0.003357602319
27	0.000197506019	0.005332662506
28	0.000296259028	0.008295252787
29	0.000436592252	0.012661175306
30	0.000633058765	0.01899176296
31	0.000904369665	0.028035459607
32	0.001274339073	0.040778850337
33	0.001772993493	0.058508785267
34	0.002437866053	0.082887445794
35	0.003315497832	0.116042424112
36	0.004463170158	0.160674125694
37	0.005950893544	0.220183061136
38	0.007863680755	0.298819868684
39	0.010304133403	0.401861202713
40	0.013395373424	0.535814936951
41	0.017284352805	0.708658464999
42	0.022145577031	0.930114235312
43	0.028185279858	1.211967033891
44	0.035646089232	1.568427926212
45	0.044812226463	2.016550190844
46	0.056015283079	2.576703021634
47	0.069640622206	3.273109243697
48	0.086134453782	4.134453781513
49	0.106011635423	5.194570135747
50	0.129864253394	6.493212669683
51	0.158371040724	8.076923076923
52	0.192307692308	10
कुल	1	48.181818181818

हालाँकि आपने नहीं पूछा, लेकिन माध्यिका पत्ता चिड़ी का इक्का है। सबसे बड़े पत्ते के चिड़ी के इक्के के नीचे आने की संभावना 41.34% है, चिड़ी के इक्के के ठीक नीचे आने की संभावना 10.60% है, और चिड़ी के इक्के से ऊपर आने की संभावना 48.05% है।