जादूगर से पूछो #132

मैंने जिन ऑफिस पूल्स को देखा है, वे हर पंक्ति और कॉलम को एक यादृच्छिक अंक देकर तालिकाओं को यादृच्छिक बनाते हैं। हालाँकि, अगर आप वास्तविक अंतिम अंक चुन सकते हैं, तो नीचे दी गई तालिका 1983 से 2003 तक के हर NFL खेल के आधार पर, किसी भी टीम के अंतिम स्कोर के लिए प्रत्येक अंतिम अंक की आवृत्ति दर्शाती है।

अतः यह तालिका दर्शाती है कि 7 सर्वोत्तम विकल्प है, उसके बाद 0, 4 और 3 हैं।

सौभाग्य से, मैं जेम्स बॉन्ड का बहुत बड़ा प्रशंसक हूँ और मेरे पास सभी बॉन्ड फ़िल्में डीवीडी पर हैं। मैंने डॉ. नो देखा और ऐसा लग रहा है कि वह चेमिन डे फेर खेल रहे हैं। यह दृश्य फ्रेंच में बोला गया था, जिससे मुझे कोई मदद नहीं मिली। फ़ॉर योर आइज़ ओनली में भी ऐसा ही एक दृश्य है। उस फ़िल्म में ऐसा लगता है कि बॉन्ड बैकारेट खेल रहे हैं, बैंकर की भूमिका निभा रहे हैं, लेकिन खिलाड़ी के अभिनय के बाद वह रुक जाते हैं और एक अन्य पात्र बॉन्ड से कहता है, "संभावनाएँ स्थिर रहने के पक्ष में हैं"। इसका अर्थ यह होगा कि बॉन्ड के पास तीसरा पत्ता लेने की स्वतंत्र इच्छा थी, एक ऐसा विकल्प जो बैकारेट में आपके पास नहीं होता। जहाँ तक मैं अपने जुए के इतिहास को समझता हूँ, बैकारेट का अमेरिकी संस्करण चेमिन डे फेर का एक सरलीकृत संस्करण है, जिसमें ड्रॉ के नियम पूर्व निर्धारित होते हैं। संयोग से, www.casino-info.com के अनुसार, अमेरिकी बैकारेट की उत्पत्ति क्यूबा के हवाना में कैप्री कैसीनो में हुई थी।

जो लोग इस शब्दावली से परिचित नहीं हैं, उनके लिए बता दूँ कि प्रत्येक खिलाड़ी को दो कार्ड मिलते हैं और फ्लॉप के तीन कार्ड सभी खिलाड़ियों में बाँट दिए जाते हैं। तो यह पूछने जैसा है कि अगर आपको तीन सामुदायिक कार्ड मिले, सभी अलग-अलग रैंक के, और दस 2-कार्ड वाले हाथ, तो क्या संभावना है कि 2-कार्ड वाले हाथों में से तीन ऐसे जोड़े होंगे जो तीन सामुदायिक कार्डों में से किसी एक से मेल खाते हों।

खिलाड़ी 1 के पास एक सेट होने की प्रायिकता 3* कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (49,2) है। तो खिलाड़ी 2 के पास एक सेट होने की प्रायिकता 2*कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (47,2) है। तो खिलाड़ी 3 के पास एक सेट होने की प्रायिकता कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (45,2) है। हालाँकि, कोई भी तीन खिलाड़ी तीनों सेट जीत सकते हैं, ज़रूरी नहीं कि पहले तीन ही जीतें। 10 में से सेट वाले 3 खिलाड़ियों को चुनने के कॉम्बिन (10,3) तरीके हैं। तो उत्तर है कॉम्बिन (10,3)*(3*कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (49,2))*(2*कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (47,2))*(कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (45,2)) = 0.00000154464 = 64,740 में 1।

हाउस एज को नज़रअंदाज़ करते हुए, आपके लक्ष्य तक पहुँचने की संभावना 2/3 है और फैंटम बोनस का अपेक्षित मूल्य $33.33 है। b के फैंटम बोनस, c के भुनाने योग्य चिप्स और g के विजयी लक्ष्य के लिए, आपके लक्ष्य तक पहुँचने की संभावना (c+b)/g है और फैंटम बोनस का अपेक्षित मूल्य ((c+b)/g)*(gb)-c है। सामान्यतः, विजयी लक्ष्य जितना ऊँचा होगा, फैंटम बोनस का अपेक्षित मूल्य उतना ही अधिक होगा।

प्रश्न को सरल बनाने के लिए, मान लीजिए कि पत्तों पर 1 से 52 तक की संख्याएँ अंकित हैं। निम्न तालिका 10वें से 52वें पत्ते के सबसे बड़े पत्ते होने की प्रायिकता दर्शाती है। x के नीचे 9 संख्याएँ चुनने के लिए combin (x-1,9) तरीके हैं और 52 में से कोई भी संख्या चुनने के लिए combin(52,10) तरीके हैं। अतः x के सबसे बड़ी संख्या होने की प्रायिकता को combin(x-1,9)/combin(52,10) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अपेक्षित स्तंभ प्रायिकता और गेंदों की संख्या का गुणनफल है। अपेक्षित स्तंभ का योग हमें दर्शाता है कि औसतन सबसे बड़ी गेंद 48.18 होगी। निकटतम पत्ते तक पूर्णांकित करने पर, सबसे बड़ा अपेक्षित पत्ता हुकुम का बादशाह है।

हालाँकि आपने नहीं पूछा, लेकिन माध्यिका पत्ता चिड़ी का इक्का है। सबसे बड़े पत्ते के चिड़ी के इक्के के नीचे आने की संभावना 41.34% है, चिड़ी के इक्के के ठीक नीचे आने की संभावना 10.60% है, और चिड़ी के इक्के से ऊपर आने की संभावना 48.05% है।