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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #124

मैं 19 नवंबर, 2004 के कॉलम में मोंटी हॉल के प्रश्न के आपके उत्तर से असहमत हूँ। यह मानते हुए कि कार दरवाज़े एक के पीछे है, वास्तव में चार संभावनाएँ इस प्रकार हैं, जहाँ पुरस्कार दरवाज़े एक के पीछे है।

  • खिलाड़ी दरवाज़ा 1 चुनता है --> दिखाया गया 2 --> 3 पर स्विच करता है, हार जाता है
  • खिलाड़ी दरवाज़ा 1 चुनता है --> दिखाया गया 3 --> 2 पर स्विच करता है, हार जाता है
  • खिलाड़ी दरवाज़ा 2 चुनता है --> दिखाया गया 3 --> 1 पर स्विच करता है, जीतता है
  • खिलाड़ी दरवाज़ा 3 चुनता है --> दिखाया गया 2 --> 1 पर स्विच करता है, जीतता है

जैसा कि आप देख सकते हैं, चाहे आप स्विच करें या नहीं, जीतने की संभावना 50% है। इसके अलावा, यह सामान्य समझ के बिल्कुल विपरीत है कि स्विच करना बेहतर होगा।

गुमनाम

आपकी गलती यह मान लेना है कि इनमें से प्रत्येक घटना की संभावना 25% है। प्रत्येक घटना की सही संभावना नीचे दी गई है।
  • खिलाड़ी दरवाज़ा 1 चुनता है (1/3) * दिखाया गया 2 (1/2) = खिलाड़ी हारता है (1/6)
  • खिलाड़ी दरवाज़ा 1 चुनता है (1/3) * दिखाया गया 3 (1/2) = खिलाड़ी हारता है (1/6)
  • खिलाड़ी दरवाज़ा 2 चुनता है (1/3) * दिखाया गया 3 (1/1) = खिलाड़ी जीतता है (1/3)
  • खिलाड़ी दरवाज़ा 3 चुनता है (1/3) * दिखाया गया 2 (1/1) = खिलाड़ी जीतता है (1/3)

इसलिए हारने वाली घटनाओं की कुल संभावना 2*(1/6) = 1/3 है और जीतने वाली घटनाओं की कुल संभावना 2*(1/3)=2/3 है।

चार ड्यूस प्राप्त किए बिना ड्यूस वाइल्ड के 14,000 हाथ खेलने की संभावना क्या है?

गुमनाम

मेरे ड्यूस वाइल्ड सेक्शन से हम देख सकते हैं कि किसी एक हाथ में चार ड्यूस आने की प्रायिकता 0.000204 है। इसलिए किसी एक हाथ में चार ड्यूस न आने की प्रायिकता 1-0.000204 = 0.999796 है। 14000 हाथों में चार ड्यूस न आने की प्रायिकता 0.999796 14000 = 5.75% है।
मैं और मेरी दोस्त जुआ खेलने गए थे और सुबह बोनस वीडियो पोकर पर उसे रॉयल फ्लश मिला। उसी दिन बाद में उसे एक और रॉयल फ्लश मिला, लेकिन मशीनों की उसी कतार में। मैं सोच रहा था कि एक ही दिन में दो रॉयल फ्लश मिलने की क्या संभावना है?

गुमनाम

यह कोई असामान्य बात नहीं है। कभी-कभी वेगास के कैसिनो में एक प्रमोशन होता है जिसमें 24 घंटे की अवधि में दूसरी रॉयल हिट पर दोगुना भुगतान मिलता है। मान लीजिए कि आप 8 घंटे तक 400 हैंड प्रति घंटे की गति से, या कुल 3200 हैंड की गति से खेलते हैं। एक हैंड के रॉयल फ्लश होने की प्रायिकता 0.00002476 है। 3200 हैंड में शून्य रॉयल मिलने की प्रायिकता (1-0.00002476) 3200 = 0.923825 है। एक रॉयल मिलने की प्रायिकता 3200*0.923825*(1-0.923825) 3199 = 0.073198 है। इसलिए दो या अधिक मिलने की प्रायिकता 1-0.923825 - 0.073198 = 0.002977, या लगभग 336 में 1 है।
क्या वीडियो पोकर मशीनें, जो आपको बताती हैं कि क्या रखना है, सर्वोत्तम रणनीति अपनाती हैं? अगर ऐसा है, तो क्या यह अनिवार्य नहीं है कि मशीन अंततः पैसा गँवाएगी?

गुमनाम

मैंने ज़्यादातर मशीनें देखी हैं जो आपको बताती हैं कि क्या रखना है, और सही रणनीति अपनाती हैं, लेकिन भुगतान तालिका जितनी बेहतर होगी, मशीन द्वारा शुरुआत में सलाह देने की संभावना उतनी ही कम होगी। और मैंने कभी ऐसी मशीन नहीं देखी जो सकारात्मक अपेक्षा के साथ आपको बताए कि कौन से कार्ड रखने हैं।

जहाँ तक सलाह की सटीकता की बात है - माइक्रोगेमिंग इंटरनेट कैसीनो सर्वोत्तम वीडियो पोकर रणनीति का पालन करते हैं। हालाँकि, मैंने डेलावेयर के एक रेसट्रैक पर कुछ मशीनें खेली हैं जो खिलाड़ी को सलाह देती थीं कि कौन से कार्ड रखने हैं, और यह सलाह स्पष्ट रूप से गलत थी।

क्या क्रेप्स में 0.014% (आपके चार्ट से लिया गया) का संयुक्त हाउस एज, डोंट पास और 100x ऑड्स लगाने पर, किसी भी कैसीनो गेम का सबसे कम हाउस एज है? और, क्या 0.014% कैसीनो एज का मतलब यह है कि आपके द्वारा लगाए गए प्रत्येक $100 पर आपको 1.4 सेंट का नुकसान होगा?

गुमनाम

अभी भी ऐसे वीडियो पोकर गेम हैं जो सही रणनीति के साथ 100% से ज़्यादा का भुगतान करते हैं। मैंने लास वेगास के फिएस्टा रैंचो और स्लॉट्स-ए-फन में एक ब्लैकजैक गेम भी देखा है जिसमें बुनियादी रणनीति का फ़ायदा था। जैसा कि मैं अपने स्पोर्ट्स बेटिंग सेक्शन में तर्क देता हूँ, पॉइंट स्प्रेड के मुक़ाबले घर पर NFL अंडरडॉग्स पर दांव लगाने से भी ऐतिहासिक फ़ायदा हुआ है। तो क्रेप्स में 100x ऑड्स अभी भी सबसे अच्छे दांवों में से एक है, लेकिन सबसे अच्छा नहीं। हाँ, 0.014% का मतलब है कि हर $100 के दांव पर आपको औसतन 1.4 सेंट का नुकसान होता है।
टेक्सास होल्डम में दो खिलाड़ियों के पास अलग-अलग चार-एक-तरह के पत्ते होने की क्या संभावना है?

गुमनाम

दो खिलाड़ियों के बीच कुल 9 पत्ते होते हैं। इनमें दो चार एक तरह के और एक सिंगलटन होना चाहिए। इसके लिए संयोजनों की संख्या combin(13,2)*44 = 3432 है। 52 में से 9 पत्ते चुनने के तरीकों की कुल संख्या combin(52,9) = 3,679,075,400 है। इसलिए, आपके पास सही पत्ते होने की संभावना, लेकिन ज़रूरी नहीं कि सही क्रम में, 3432/3,679,075,400 = 1,071,992 में 1 है।

हालाँकि, सिर्फ़ इसलिए कि पत्ते AAAABBBBC हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि दोनों खिलाड़ियों के पास अलग-अलग चार-तरफ़ा पत्ते होंगे। उन्हें 5-पत्ते वाले हाथ और दो 2-पत्ते वाले हाथों में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 9!/(5!*2!*2!) = 756 है। ये 9 पत्ते नीचे दिए गए तरीकों से गिर सकते हैं।

चार तरह के बैड बीट संयोजन

36

खिलाड़ी 1

खिलाड़ी 2

फ्लॉप

दर्पण पैटर्न

प्रति पैटर्न संयोजन

कुल संयोजन

आ

बी बी

एएबीबीसी

2

72

आ

अब

एबीबीबीसी

4

48

192

आ

आ

बीबीबीबीसी

2

6

12

आ

एसी

एबीबीबीबी

4

12

48

आ

ईसा पूर्व

एएबीबीबी

4

24

96

अब

अब

एएबीबीसी

1

144

144

अब

एसी

एएबीबीबी

4

48

192

इनमें से केवल पहले और पाँचवें समूह में ही दोनों खिलाड़ियों के पास एक ही तरह के अलग-अलग चार कार्ड होते हैं। इसलिए, AAAABBBBC कार्डों के सेट से दो अलग-अलग एक ही तरह के चार कार्ड आने की प्रायिकता 168/756 = 22.22% है।

तो आपके प्रश्न का उत्तर है (3432/3,679,075,400)*(168/756) = 4,823,963 में 1। व्यावहारिक रूप से, पार्टी पोकर में चार आठों के हारने वाले हाथ पर भी बैड बीट जैकपॉट होता है। चूँकि दो चार एक प्रकार के होते हैं, इसलिए दोनों के आठ या उससे अधिक होने की प्रायिकता कॉम्बिनेशन (7,2)/कॉम्बिनेशन (13,2) = 21/78 = 26.92% है। इसलिए, दो खिलाड़ियों में से किसी एक हाथ के इस बैड बीट जैकपॉट में आने की प्रायिकता 17,917,577 में 1 है।

हम सभी ब्लैकजैक टेबल पर रहे हैं जहाँ ऐसा लगता है कि डीलर हार ही नहीं सकता। मान लीजिए कि आप पत्ते नहीं गिन सकते और डीलर लगातार 3, 4 या 5 हाथ जीत रहा है, तो क्या गिनती के बारे में कोई अनुमान लगाया जा सकता है या यह सब बस बेतरतीब है? क्या आप उठकर चले जाते हैं (और/या अपना दांव कम कर देते हैं) और इस सिद्धांत पर दूसरी टेबल पर चले जाते हैं कि गिनती आपके खिलाफ है और इसीलिए आप हार रहे हैं। या, क्या आप बस यह मान लेते हैं कि अतीत का अगले हाथ पर कोई प्रभाव नहीं है और आगे बढ़ते रहते हैं। जादूगर क्या करेगा? मुझे पता है कि अनुमानों का इससे कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन, खासकर ब्लैकजैक में, क्या कोई गणितीय निष्कर्ष है जो इस तथ्य से भविष्य के बारे में निकाला जा सकता है कि डीलर बहुत लंबे समय से जीत रहा है (या हार रहा है)।

गुमनाम

दरअसल, अगर डीलर जीत रहा है, तो इसकी थोड़ी संभावना है कि ऐसा इसलिए हो क्योंकि बहुत सारे छोटे पत्ते निकल आए हैं, जिसका मतलब है कि डेक में बड़े पत्ते ज़्यादा हैं, और ऐसी स्थिति में अगली बार संभावना आपके पक्ष में होगी। लेकिन यह बहुत मामूली असर है और आपको इस पर भरोसा नहीं करना चाहिए। मुझे लगता है कि ऐसी स्थितियों में आपकी किस्मत खराब रही है और टेबल बदलने से कोई फायदा नहीं होगा। कहीं कोई परफेक्शनिस्ट मुझे सही न कर दे, इसलिए मैं कहूँगा कि ब्लैकजैक के हाथों को शफल करने का आपस में थोड़ा नकारात्मक संबंध होता है। अगर आपने रूलेट या क्रेप्स के बारे में पूछा होता, तो मैं कहता कि अतीत से कोई फ़र्क नहीं पड़ता। अगर लगातार शफलर का इस्तेमाल किया जाता, तो ब्लैकजैक के बारे में भी यही कहा जाता। हालाँकि, मैं यह बिल्कुल नहीं कह सकता कि ब्लैकजैक के हाथ उस कारण से स्वतंत्र हैं जो मैंने अभी बताया है।