जादूगर से पूछो #120

निम्नलिखित तालिका पूर्णतः यादृच्छिक हाथ में 0 से 4 इक्कों की संभावना दर्शाती है।

1 से 4 इक्कों का योगफल लें, तो कम से कम एक इक्का आने की प्रायिकता 0.341158 है। दो या अधिक इक्कों की प्रायिकता 0.041684 है।

कम से कम एक और इक्का होने की संभावना, बशर्ते कि कम से कम एक इक्का हो, को बेयस के प्रमेय के अनुसार इस प्रकार पुनः व्यक्त किया जा सकता है: संभावना (कम से कम एक इक्का दिए जाने पर दो और इक्के) = संभावना (दो या अधिक इक्के)/संभावना (कम से कम एक इक्का) = 0.041684/0.341158 = 0.122185.

बेयस प्रमेय से परिचित लोगों के लिए, यह बताता है कि B दिए जाने पर A की संभावना, A और B की संभावना को B की संभावना से विभाजित करने के बराबर होती है, या Pr(A दिया गया B) = Pr(A और B)/Pr(B)।

अगली तालिका अन्य इक्कों की प्रत्येक संख्या के लिए संयोजन और संभावना को दर्शाती है, बशर्ते कि हुकुम का इक्का डेक से हटा दिया गया हो।

इससे पता चलता है कि कम से कम एक और इक्का आने की संभावना 0.221369 है।

मज़े के लिए, चलिए बेयस प्रमेय का उपयोग करके इसी प्रश्न को हल करते हैं। मान लीजिए कि यादृच्छिक हाथों को तब तक बांटा जाता है जब तक कि एक ऐसा हाथ न मिल जाए जिसमें हुकुम का इक्का हो। कम से कम एक अतिरिक्त इक्के की संभावना, बशर्ते कि हाथ में हुकुम का इक्का हो, को इस प्रकार लिखा जा सकता है: प्रायिकता (यदि हाथ में हुकुम का इक्का है तो कम से कम दो इक्के)। बेयस प्रमेय के अनुसार, यह प्रायिकता (हाथ में हुकुम का इक्का और कम से कम एक और इक्का है) / Pr (हाथ में हुकुम का इक्का है) के बराबर है। हम अंश को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: प्रायिकता (हुकुम के इक्का सहित 2 इक्के) + प्रायिकता (हुकुम के इक्का सहित 3 इक्के) + प्रायिकता (4 इक्के)। पहली तालिका का उपयोग करने पर यह 0.039930×(2/4) + 0.001736×(3/4) + 0.000018 = 0.021285 के बराबर है। हुकुम के इक्के की प्रायिकता 5/52 = 0.096154 है। इसलिए, हुकुम के इक्के दिए जाने पर कम से कम दो इक्के आने की प्रायिकता 0.021285/0.096154 = 0.221369 है।

अतः कम से कम एक इक्का दिए जाने पर दो या अधिक इक्के आने की संभावना 12.22% है, तथा हुकुम का इक्का दिए जाने पर 22.14% है।

आइए एक और सरल स्थिति पर विचार करें। मान लीजिए महिला A कहती है, "मेरे दो बच्चे हैं और कम से कम एक लड़का है।" महिला B कहती है, "मेरे दो बच्चे हैं और बड़े बच्चे का नाम जॉन है।" हम मान सकते हैं कि जॉन नाम की कोई भी लड़की नहीं है और कोई भी महिला एक से ज़्यादा बच्चों का एक ही नाम नहीं रखती। सशर्त प्रायिकता का उपयोग करते हुए, महिला A के दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता pr(दोनों लड़के)/pr(कम से कम एक लड़का) = pr(दोनों लड़के)/(1-pr(दोनों लड़कियाँ)) = (1/4)/(1-(1/4)) = (1/4)/(3/4) = 1/3 है। हालाँकि, महिला B के छोटे बच्चे के लड़का होने, या दोनों बच्चों के लड़के होने की प्रायिकता ? है, क्योंकि बड़े बच्चे का नाम जॉन रखने से हमें छोटे बच्चे के बारे में कुछ नहीं पता चलता।

एक और उदाहरण लेते हैं, मान लीजिए आप जिफ़ी ल्यूब जाते हैं और वे एक ही कीमत पर दो सौदे पेश करते हैं। सौदा A यह है कि वे चार पुर्ज़ों की जाँच करेंगे और केवल पहला खराब पुर्ज़ा ही बदलेंगे। सौदा B यह है कि वे केवल एक समस्या की जाँच करेंगे और अगर कोई समस्या पाई जाती है तो उसे ठीक कर देंगे। क्या आप सौदा A नहीं लेना चाहेंगे? आपकी कार अपेक्षित खराब पुर्ज़ों की समान संख्या के साथ आई थी, लेकिन सौदा A के तहत समस्या मिलने की संभावना ज़्यादा है, और इस प्रकार आप उस योजना के तहत अपेक्षित खराब पुर्ज़ों की एक छोटी संख्या के साथ वापस जाएँगे। इसी तरह, किसी भी इक्के की जाँच में संभवतः केवल इक्का ही निकलेगा, जबकि हुकुम के इक्के की जाँच में अन्य तीन सूटों की जाँच नहीं की जाती, जिससे उनके इक्के होने की संभावना ज़्यादा रहती है।

चेहरा नीचे। हाथ के अंत तक अन्य खिलाड़ियों के कार्ड देखने की अनुमति नहीं होने से खिलाड़ी को कम जानकारी मिलती है, जो कार्ड काउंटरों के खिलाफ काम करता है।

कैसीनो अपने सट्टेबाजों को उनकी शर्त के अनुसार एक समूह में बाँटना पसंद करते हैं। इसका एक कारण यह है कि उच्च सीमा वाली टेबलों पर कम खिलाड़ी होते हैं, इसलिए बड़े सट्टेबाजों को प्रति घंटे ज़्यादा दांव मिलते हैं। दूसरा कारण यह है कि खिलाड़ियों को समान दांव लगाने वाले अन्य खिलाड़ियों के आसपास रहना पसंद होता है। अगर कोई खिलाड़ी $5 वाली टेबल पर $1000 का दांव लगाना चाहता है, तो इससे उस टेबल पर बैठे अन्य $5 खिलाड़ी घबरा सकते हैं या असहज महसूस कर सकते हैं। तीसरा कारण यह है कि यह धोखाधड़ी से बचाव का एक उपाय है।

जैसा कि मैंने सैकड़ों बार कहा है, "लंबी दौड़" में कब प्रवेश करना है, इसका कोई जादुई आंकड़ा नहीं है। हालाँकि, आपके परिणाम जितने प्रभावशाली होंगे, आपको उतने ही कम हाथों की आवश्यकता होगी ताकि यह साबित हो सके कि वे केवल यादृच्छिक नहीं हैं। आपके मामले में, 2391 खेलों में से 54.5% या उससे बेहतर परिणाम मिलने की संभावना लगभग 2,00,000 में से केवल 1 है। इसलिए मैं कहूँगा कि इस रिकॉर्ड को बहुत गंभीरता से लिया जाना चाहिए। मैं इस संख्या तक कैसे पहुँचा, यहाँ बताया गया है:

अपेक्षित जीत = 2391/2 = 1195.5
वास्तविक जीत उम्मीद से अधिक = 107.5
मानक विचलन = sqrt(2391*(1/2)*(1/2)) = 24.45
अपेक्षाओं से मानक विचलन = (107.5 + 0.5)/24.45 = 4.4174
4.4174 मानक विचलन या अधिक की संभावना = normdist(-4.4174) = 0.000005 = 200,000 में 1

हाँ। मैंने कभी नहीं सुना कि किसी खिलाड़ी को इसका इस्तेमाल करने से मना कर दिया गया हो।

एक ही सूट के 2 और जूते मिलने की प्रायिकता 39*combin(11,2)/combin(50,3) = 0.109439 है। एक ही सूट के 3 और जूते मिलने की प्रायिकता combin(11,3)/combin(50,3) = 0.008418 है। इसलिए, एक ही सूट के कम से कम 2 और जूते मिलने की प्रायिकता 0.117857 है।