दोहरीकरण घन

डबलिंग क्यूब किसी खेल में दांव बढ़ाने का एक तरीका है। उन पाठकों के लिए जो खेल में डबलिंग क्यूब का इस्तेमाल करना नहीं जानते, मैं नीचे इसके नियम समझा रहा हूँ।

1. 1. 2 की घातों वाला एक दोहरीकरण घन है, जो इस प्रकार है - 2, 4, 8, 16, 32, 64.
2. 2. क्यूब "बीच में" शुरू होता है, यानी कोई भी खिलाड़ी डबल देने का विकल्प चुन सकता है। अगर क्यूब बीच में है, तो इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता कि कौन सी साइड ऊपर है। अगर क्यूब बीच में है, तो उसका मान 1 माना जाता है।
3. 3. जब क्यूब मध्य में हो या किसी विशेष खिलाड़ी के स्वामित्व में हो, तो उसके पास अपनी बारी की शुरुआत में डबल देने का विकल्प होता है।
4. 4. अगर कोई खिलाड़ी दोगुना करना चाहता है, तो उसे "क्या हम दोगुना करें?" या ऐसा ही कुछ कहकर अपनी बात कहनी चाहिए। उसे अपने प्रतिद्वंद्वी के सामने भी पासा रखना चाहिए। अगर यह पहला दोहरा है, तो उसे 2 का मुँह ऊपर करके रखना चाहिए। अन्यथा, उसे पहले वाले मान को दोगुना करके रखना चाहिए।
5. 5. प्रतिद्वंद्वी के पास दो विकल्प हैं: या तो क्यूब पर दिखाए गए खेल के दोगुने दांव को स्वीकार कर ले, या चुनौती देने से पहले क्यूब पर अंकित मूल्य को गँवा दे। अगर क्यूब बीच में था और गँवाने का प्रावधान है, तो हारने वाले खिलाड़ी को खेल पर मूल दांव चुकाना होगा।
6. 6. यदि डबल स्वीकार कर लिया जाता है, तो जिस खिलाड़ी को चुनौती दी गई थी, वह अब क्यूब का मालिक बन जाता है और केवल वही इसे दोगुना कर सकता है।

उदाहरण के लिए, दो खिलाड़ी एक खेल पर $1 का दांव लगाते हैं। खिलाड़ी A, दोगुना दांव लगाने की पेशकश करता है, जिसे खिलाड़ी B स्वीकार कर लेता है। अब पासे पर 2 दिखाई देता है। बाद में, खिलाड़ी B, दोगुना दांव लगाता है और खिलाड़ी A मना कर देता है। खिलाड़ी A को खिलाड़ी B को $2 देने होंगे।

मेरे अनुभव में, मैंने डबलिंग क्यूब का इस्तेमाल सिर्फ़ बैकगैमौन में ही देखा है। हालाँकि, इसका इस्तेमाल किसी भी दो-खिलाड़ी वाले खेल में किया जा सकता है जहाँ कई बार बारी होती है। इसका इस्तेमाल रेसिंग में भी किया जा सकता है, जैसे घुड़दौड़ में, बशर्ते फ़ैसले तुरंत लिए जाएँ।

मैंने हाल ही में इस बारे में खूब सोचा और विश्लेषण किया कि कब डबल करना है। गणित को आसान बनाने के लिए, मैंने मान लिया कि जीतने की संभावना लगातार बदलती रहती है, जैसे किसी दौड़ में होती है। यह बैकगैमौन से बिल्कुल अलग है, जहाँ जीतने की संभावना हर पासे के साथ काफी बदल सकती है।

काफी गणित के बाद, जिसमें मैं नहीं जाऊँगा, मुझे लगता है कि अगर किसी खिलाड़ी की जीतने की संभावना 65% या उससे ज़्यादा है, तो उसे शुरुआती डबल बनाना चाहिए। अगर दूसरे खिलाड़ी की जीतने की संभावना 35% या उससे ज़्यादा है, तो उसे स्वीकार कर लेना चाहिए।

शुरुआती डबल के बाद, अगर क्यूब वाले खिलाड़ी की जीतने की संभावना 80% या उससे ज़्यादा है, तो उसे डबल करना चाहिए। इसी तरह, अगर उसके प्रतिद्वंद्वी की जीतने की संभावना 20% या उससे ज़्यादा है, तो उसे स्वीकार करना चाहिए।

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">यदि दो परफेक्ट खिलाड़ी खेलें तो आप क्या होने की उम्मीद कर सकते हैं? मान लें कि दोनों खिलाड़ी पहले अपनी अपेक्षित जीत को अधिकतम करने की कोशिश करते हैं और बाद में जोखिम लेने से बचते हैं। आप कभी भी डबल को स्वीकार होते नहीं देखेंगे। यह एक प्रतियोगिता बन जाएगी कि कौन पहले जीतने की 65% संभावना रखता है, जिस समय वह डबल करने की पेशकश करेगा और प्रतिद्वंद्वी जोखिम से बचने के कारण मना कर देगा।

तो फिर बैकगैमौन में इतनी ज़्यादा दोहरीकरण की प्रथा क्यों देखी जाती है? दरअसल, जीतने की संभावना लगातार नहीं बदलती, बल्कि पासे की भूमिका के अनुसार अलग-अलग छलांगों में बदलती रहती है।

हालाँकि मेरी निरंतर धारणा बैकगैमौन पर लागू नहीं होती, मुझे लगता है कि मेरा विश्लेषण बैकगैमौन के उद्देश्यों के लिए सही है। वास्तव में, यह सम्मानित विशेषज्ञों और मेरे अपने बैकगैमौन न्यू जर्सी सॉफ़्टवेयर से काफी हद तक मेल खाता है।

15 अगस्त, 2024 पहेली प्रश्न

चार लोगों को रात में एक पुल पार करना है। पुल की हालत बहुत खराब है। एक समय में ज़्यादा से ज़्यादा दो लोग पुल पर हो सकते हैं। इसके अलावा, पुल पर लगे बोर्ड भी गायब हैं, इसलिए पार करने के लिए टॉर्च की ज़रूरत होती है। टॉर्च फेंकना मना है। अगर दो लोग एक साथ पुल पार करते हैं, तो उन्हें धीमी गति वाले व्यक्ति की गति से चलना होगा। चारों लोगों को पुल पार करने में क्रमशः 1, 2, 5 और 10 मिनट लगते हैं। वे सभी 17 मिनट में पुल कैसे पार कर सकते हैं?

15 अगस्त, 2024 पहेली का उत्तर

1. 1. एक मिनट और दो मिनट वाले लोग पार करते हैं (2 मिनट का समय लगता है)।
2. 2. एक मिनट में व्यक्ति वापस पार करता है (इसमें 3 मिनट लगते हैं)।
3. 3. पांच मिनट और दस मिनट वाले लोग पार करते हैं (13 मिनट लगते हैं)।
4. 4. दो मिनट में व्यक्ति वापस पार कर जाता है (15 मिनट लगते हैं)।
5. 5. एक मिनट और दो मिनट वाले लोग सीमा पार कर जाते हैं (17 मिनट खर्च हो जाते हैं)।

यह कार्य दो मिनट वाले व्यक्ति को चरण 2 पर तथा एक मिनट वाले व्यक्ति को चरण 4 पर भेजकर भी एक ही समय में किया जा सकता है।

22 अगस्त, 2024 पहेली प्रश्न

एक दुष्ट वार्डन अपनी जेल से दस कैदियों को इकट्ठा करता है। वह उन्हें समझाता है कि 24 घंटे में वह उन्हें ऊँचाई के क्रम में पंक्तिबद्ध कर देगा, सबसे लंबे कैदी को बाईं ओर से शुरू करते हुए। हर कैदी का मुँह दाईं ओर होगा (ताकि वह सभी छोटे कैदियों को देख सके)। फिर वह हर कैदी को एक काली या सफ़ेद टोपी पहनाएगा, इस बात का ध्यान रखते हुए कि कैदी अपनी टोपी का रंग न देख पाएँ। इस कदम के बाद, हर कैदी केवल छोटे कैदियों की टोपियाँ ही देख पाएगा।

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">फिर, सबसे लंबे कैदी के साथ बाईं ओर से शुरू करते हुए, वह प्रत्येक कैदी से उसकी टोपी का रंग पूछेगा। इस तरह के जवाब, "काला" या "सफेद", केवल अनुमत संचार हैं। किसी भी खांसी, थपथपाने या संवाद करने के अन्य प्रयासों के परिणामस्वरूप सभी दस कैदियों की तत्काल और दर्दनाक मौत हो जाएगी। यदि 9 या अधिक सही हैं, तो उन सभी को तुरंत रिहा कर दिया जाएगा। अन्यथा, यदि 8 या उससे कम सही हैं, तो उन सभी को तुरंत मार दिया जाएगा।

फिर कैदियों को रणनीति पर चर्चा के लिए 24 घंटे का समय दिया जाता है। सभी को रिहा करने का एक तरीका है। उनकी रणनीति क्या होनी चाहिए?