TED-Ed की मेंढक पहेली का उत्तर गलत है

TED-Ed एक बहुत अच्छा YouTube चैनल है। मुझे इसकी एक बात पसंद है कि ये अक्सर गणित और तर्क संबंधी पहेलियाँ हल करते हैं। हालाँकि, इस न्यूज़लेटर में मैं उनकी "मेंढक पहेली" के गलत उत्तर के लिए उन्हें फटकार लगा रहा हूँ।

आगे बढ़ने से पहले, मेरा सुझाव है कि आप वीडियो देखें, यहां लिंक दिया गया है:

यदि आपने वीडियो नहीं देखा है, तो यहां दी गई जानकारी है:

1. आप एक विशाल वर्षावन में फंसे हुए हैं और आपने एक जहरीला मशरूम खा लिया है।
2. अपनी जान बचाने के लिए आपको मेंढक की एक विशेष प्रजाति द्वारा उत्सर्जित विषनाशक की आवश्यकता होती है।
3. दुर्भाग्यवश, इस प्रजाति की केवल मादा ही विषनाशक दवा उत्पन्न करती है।
4. नर और मादा बराबर संख्या में दिखाई देते हैं और एक जैसे दिखते हैं।
5. नर की आवाज विशिष्ट होती है।
6. बाईं ओर, आपको एक पेड़ के तने पर एक मेंढक दिखाई देगा।
7. इससे पहले कि आप पेड़ के तने पर बैठे मेंढक तक पहुंचें, आपको विपरीत दिशा से आती हुई टर्राहट सुनाई देती है।
8. खुले मैदान में आपको दो मेंढक दिखाई देते हैं, लेकिन आप यह नहीं बता सकते कि आवाज किसने की।
9. आपको ऐसा महसूस होता है कि आप होश खो रहे हैं और आपके पास केवल एक ही दिशा में जाने का समय है।
10. सभी मेंढक नम्र होते हैं और यदि उनके पास जाया जाए तो उन्हें आसानी से चाटा जा सकता है।

सवाल यह है कि आपको किस तरफ़ जाना चाहिए? दूसरे शब्दों में, हर दिशा में बचने की संभावना क्या है?

यह पहेली स्पष्ट रूप से उस क्लासिक लड़का-लड़की पहेली का ही नया रूप है। आइए मेंढक पहेली को एक पल के लिए किनारे रखें और लड़का-लड़की पहेली को ठीक से पूछें। उस पहेली में हमें दिया गया है:

1. लड़के और लड़कियां समान संख्या में दिखाई देते हैं और किसी भी भाई-बहन से स्वतंत्र होते हैं (दूसरे शब्दों में, हम समान जुड़वाँ बच्चों को नजरअंदाज कर सकते हैं)।
2. दो बच्चों वाली एक महिला से पूछा गया कि “क्या आपके पास कम से कम एक लड़का है?” उसने उत्तर दिया “हाँ।””

सवाल यह है कि क्या संभावना है कि उसे भी लड़की होगी?

इसका अक्सर दिया जाने वाला गलत उत्तर है "1/2"। तर्क यह है कि "दूसरे बच्चे" के लड़का या लड़की होने की संभावना 50/50 है। भ्रांति यह है कि कोई "दूसरा बच्चा" होता ही नहीं।

इसे हल करने का सही तरीका बेयस के सशर्त प्रायिकता प्रमेय से है। सामान्यतः, यह बताता है कि दी गई जानकारी B के लिए कथन A के सत्य होने की प्रायिकता, दोनों के सत्य होने के अनुपात को B के सत्य होने की प्रायिकता से विभाजित करके प्राप्त की जाती है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

पीआर(ए | बी) = पीआर(ए और बी) / पीआर(बी)।

लड़का-लड़की पहेली में:

A = माँ को एक लड़की है

B = कम से कम एक लड़का

इसे Pr(लड़का और लड़की) / Pr(कम से कम एक लड़का) के रूप में हल किया जा सकता है।

सामान्यतः, दो बच्चों वाले परिवारों के लिए संभावनाएं इस प्रकार हैं:

लड़का और लड़की = 50%

लड़का और लड़का = 25%

लड़की और लड़की = 25%

लड़का-लड़की पहेली का उत्तर 50%/(50% + 25%) = 50%/75% = 2/3 है।

2/3 संभावना को समझाने का एक अन्य सामान्य तरीका निम्नलिखित तालिका है।

बच्चा 1	बच्चा 2
	पुरुष	महिला
पुरुष	नहीं	हाँ
महिला	हाँ

मादा/मादा कोशिका को काला कर दिया गया है क्योंकि यह असंभव है। "हाँ" कम से कम एक मादा होने का संकेत देता है। आप देख सकते हैं कि तीन संभावनाओं में से दो में मादा है। इस प्रकार, कम से कम एक मादा होने की संभावना 2/3 है।

अब मेंढक पहेली पर वापस आते हैं। वीडियो में जिस तरह से उन्होंने उत्तर निकाला है, उसके आधार पर वे स्पष्ट रूप से नर मेंढकों के टर्राने वाले हिस्से का इस्तेमाल यह जानने के लिए करते हैं कि मैदान में कम से कम एक मेंढक नर है। हालाँकि, जिस तरह से उत्तर, टर्राने वाले हिस्से का इस्तेमाल किया गया है, वह 2/3 के अलावा किसी और उत्तर की ओर ले जाता है।

सही उत्तर पाने के लिए, हमें यह जानना होगा कि किसी खास नर मेंढक के टर्राने की संभावना कितनी है। तर्क के लिए, मान लेते हैं कि यह 10% है। यह भी मान लेते हैं कि अगर आपको खुले मैदान से टर्राने की आवाज़ सुनाई देती है, तो आपको पता नहीं चलता कि यह एक मेंढक की है या दो की।

आइए सबसे पहले इस संभावना की जाँच करें कि लट्ठे पर बैठा मेंढक मादा है। इस संभावना का व्यंजक है:

Pr(महिला | कोई क्रोक नहीं) =

Pr(मादा और कोई क्रोक नहीं)/Pr(कोई क्रोक नहीं) =

Pr(महिला और कोई क्रोक नहीं)/(Pr(महिला और कोई क्रोक नहीं) + Pr(महिला और कोई क्रोक नहीं)) =

(0.5 * 1)/(0.5 * 1 + 0.5 * 0.9) = 0.5/(0.5 + 0.45) = 0.5/0.95 = 10/19 =~ 52.63%.

अब, आइए सबसे पहले इस संभावना की जाँच करें कि मैदान में एक महिला है। इस संभावना का व्यंजक है:

Pr(महिला | क्रोक) =

6; फ़ॉन्ट-फ़ैमिली: 'ओपन सेन्स', सेन्स-सेरिफ़; रंग: #313131 !महत्वपूर्ण; ">Pr(महिला और क्रोक)/Pr(क्रोक) =Pr(महिला और क्रोक)/(Pr(महिला और क्रोकिंग पुरुष) + Pr(गैर-क्रोकिंग पुरुष और क्रोकिंग पुरुष) + Pr(क्रोकिंग दो पुरुष)) =

आइये प्रत्येक संभावना को अलग से देखें:

Pr(मादा और टर्राने वाला): एक मादा और एक टर्राने वाला नर मेंढक होना चाहिए। इसकी प्रायिकता 2 * 0.5 * 0.5 * 0.1 = 1/20 = 0.05 है। 2 का कारण यह है कि मादा मेंढक चुनने के दो तरीके हैं।

Pr(मादा और टर्राने वाला नर) = ऊपर जैसा ही, क्योंकि टर्राने की आवाज केवल नर से ही आ सकती है।

Pr(बिना टर्राए नर और टर्राने वाला नर) = 2 * 0.5 * 0.5 * 0.9 * 0.1 = 0.045। 2 का कारण यह है कि टर्राने वाले नर को चुनने के दो तरीके हैं।

Pr(दो टर्राते नर) = 0.5 * 0.5 * 0.1 * 0.1 = 0.0025

समाशोधन में एक महिला होने की समग्र संभावना 0.05 / (0.05 + 0.045 + 0.0025) = 0.05/0.0975 = 20/39 =~ 51.28% है।

संक्षेप में, दोनों तरीकों से बचने की संभावना है:

लॉग पर मेंढक चाटना = 52.63%

समाशोधन में दोनों मेंढकों को चाटना = 51.28%.

इस प्रकार, आपको लॉग पर मेंढक को चाटना चाहिए।

आइए सामान्य स्थिति पर गौर करें जहाँ किसी विशिष्ट नर की टर्राहट सुनने की संभावना c है। बचने की संभावनाएँ हैं:

लॉग पर मेंढक चाटना = 1/(2-c)

समाशोधन में दोनों मेंढकों को चाटना = 2/(4-c)

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">c>0 के किसी भी मान के लिए, संभावनाएँ लॉग पर मेंढक को चाटने के पक्ष में होंगी। हम जानते हैं कि c>0 है, क्योंकि हमने एक टर्राहट सुनी थी।

इस प्रकार, आपको लॉग पर मेंढक को चाटना चाहिए!