दो लिफाफों का विरोधाभास -- 19/9/2019

मुझे अच्छे विरोधाभास पसंद हैं और लिफ़ाफ़ा विरोधाभास मेरे पसंदीदा विरोधाभासों में से एक है। इसे शब्दों में व्यक्त करने के कई तरीके हैं। मुझे गेम शो पसंद हैं, इसलिए मैं इसे उसी रूप में कहना पसंद करता हूँ। तो, यह विरोधाभास है:

आप एक गेम शो में हैं जहाँ होस्ट आपको दो सीलबंद लिफ़ाफ़े देता है और आपसे एक चुनने को कहता है, जो आप चुन लेते हैं। बिना लिफ़ाफ़े खोले, होस्ट आपको बताता है कि एक लिफ़ाफ़े में दूसरे लिफ़ाफ़े से दुगुना पैसा है। फिर वह आपको दूसरा लिफ़ाफ़ा लेने का विकल्प देता है।

बदलाव के फ़ैसले पर विचार करते हुए, आप तर्क देते हैं कि दूसरे लिफ़ाफ़े में आपके द्वारा चुने गए लिफ़ाफ़े से आधी या दोगुनी राशि है। 50% संभावना है कि आपने कम या ज़्यादा वाला लिफ़ाफ़ा चुना हो। मान लीजिए कि आपके चुने हुए लिफ़ाफ़े में x राशि है। आप गणना करते हैं कि दूसरे लिफ़ाफ़े का अपेक्षित मूल्य x के आधे और x के दोगुने का औसत है। गणितीय शब्दों में, दूसरे लिफ़ाफ़े का अपेक्षित मूल्य (1/2)*2x + (1/2)*(x/2) = x + x/4 = 1.25 x के बराबर है।

इससे स्विच करना एक अच्छा विकल्प लगता है। हालाँकि, अगर मौका मिले तो आप यही तर्क वापस स्विच करने के लिए भी इस्तेमाल कर सकते हैं। अगर असीमित स्विचिंग की अनुमति होती, तो आप अनंत बार आगे-पीछे स्विच करते रहते। ज़ाहिर है, इस प्रक्रिया में आपको कुछ भी हासिल नहीं हो रहा है। तो, सवाल यह है कि इस तर्क में क्या खामी है कि दूसरे लिफ़ाफ़े का अपेक्षित मान आपके द्वारा चुने गए लिफ़ाफ़े का 1.25 गुना है?

इस प्रश्न का कोई सरल उत्तर नहीं है। उन्नत गणितीय पत्रिकाओं में इस पर लंबे-लंबे लेख लिखे गए हैं। मैंने व्यक्तिगत रूप से अन्य गणितज्ञों के साथ इस विषय पर घंटों बहस की है। सभी इस बात से सहमत हैं कि 1.25x वाला तर्क त्रुटिपूर्ण है, लेकिन इस बात पर नहीं कि इसे त्रुटिपूर्ण क्यों समझा जाए, खासकर सरल अंग्रेजी में।

मेरी राय में, अपेक्षित मान तर्क में त्रुटि को समझाने का सबसे आसान तरीका यह है कि 2 और 0.5 गुणक पहले लिफ़ाफ़े में x के समान मान पर लागू होते हैं। एक बात के लिए, इससे पता चलता है कि दूसरे लिफ़ाफ़े में राशि या तो 2x है या 0.5x । 2x और 0.5x का अनुपात 4 है । समस्या स्वयं बताती है कि बड़ी राशि छोटी राशि की दोगुनी है, न कि चार गुना। इसलिए, यह सही नहीं हो सकता।

फिर भी, यह तर्क मुझे संतुष्ट नहीं करता। यह अपेक्षित मान के तर्क को गलत साबित कर सकता है, लेकिन अपेक्षित मान का तर्क कहाँ गलत है? मैं इसे इस तरह समझाना पसंद करता हूँ कि अपेक्षित मान का सूत्र काम नहीं करता क्योंकि यह मानता है कि x एक निश्चित राशि है। ऐसा नहीं है, यह यादृच्छिक है। गुणक x की राशि से 100% सहसंबद्ध है। इससे अपेक्षित मान का तर्क बेमानी हो जाता है।

इस समस्या पर विचार करने का एक ज़्यादा सरल तरीका यह है कि स्विचिंग में प्राप्त या खोई हुई राशि पर विचार किया जाए। यह राशि दो लिफ़ाफ़ों के बीच का अंतर है। उदाहरण के लिए, यदि दोनों लिफ़ाफ़ों में y और 2y हैं, तो स्विचिंग से y का लाभ या हानि होगी। दूसरे शब्दों में, स्विचिंग से प्राप्त लाभ *y + 0.5*-y = 0 है।

फिर भी, मैं इस स्पष्टीकरण से पूरी तरह संतुष्ट नहीं हूँ। मैं इसे पढ़कर रात को सो तो सकता हूँ, लेकिन मुझे नहीं पता कि कोई आम आदमी मेरी बात समझ पाएगा या नहीं। शायद नहीं भी समझ पाएगा।

अगर यह न्यूज़लेटर उतना अच्छा नहीं लगा तो माफ़ कीजिएगा। अगर आपको इस विषय में रुचि है, तो यह समय-समय पर मेरे विज़ार्ड ऑफ़ वेगास फ़ोरम में आता रहता है। इसके बारे में दो मुख्य सूत्र इस प्रकार हैं:

com/forum/questions-and-answers/math/21457-two-envelopes-problem-at-mathproblems-info/" style="color:#a5341f;">दो लिफाफे की समस्या MATHPROBLEMS.INFO पर

पुराना लेकिन अच्छा ... मोंटे हॉल पर भिन्नता ...

द्वारा लिखित: Michael Shackleford