प्रमाण है कि कोई सबसे बड़ा अभाज्य नहीं है

इस सप्ताह हम गणितीय प्रमाणों की अपनी यात्रा जारी रखेंगे। आज हम एक सामान्य प्रश्न हल करेंगे, यह सिद्ध करते हुए कि कोई सबसे बड़ी अभाज्य संख्या नहीं होती। हमेशा की तरह, मेरा लक्ष्य इन्हें यथासंभव सरल अंग्रेजी में समझाना और कठिन गणितीय संकेतन से बचना है। हालाँकि, उस पर आने से पहले, मैं सामान्य साप्ताहिक तर्क पहेली प्रस्तुत करता हूँ।

तर्क पहेली

आप एक 106 मंज़िला इमारत में हैं। मंज़िलें 0 से 105 तक क्रमांकित हैं (जैसा कि अमेरिका के बाहर दुनिया के ज़्यादातर देशों में मंज़िलें क्रमांकित होती हैं)। आप यह जाँचना चाहते हैं कि आप सबसे ऊँची मंज़िल से ज़मीन पर रखे पंखों के एक बड़े डिब्बे में सुरक्षित रूप से अंडा कैसे गिरा सकते हैं। आप जानते हैं कि छत से गिराया गया अंडा टूट जाएगा और मंज़िल 0 से गिराया गया अंडा बच जाएगा। आपके पास प्रयोग के लिए दो अंडे हैं। सबसे बुरी स्थिति में आपको कम से कम कितने अंडे गिराने होंगे?

उत्तर और समाधान कॉलम के अंत में दिखाई देते हैं।

प्रमाण है कि कोई सबसे बड़ा अभाज्य नहीं है

मैं विरोधाभास से सिद्ध करूँगा कि कोई सबसे बड़ा अभाज्य नहीं होता। दूसरे शब्दों में, मैं इसके विपरीत को असत्य सिद्ध करूँगा – कि एक सबसे बड़ा अभाज्य होता है।

आइए सबसे बड़े अभाज्य संख्या को p _n कहें, जिसका अर्थ है कि यह nवीं अभाज्य संख्या है, आइए सभी अभाज्य संख्याओं को क्रम में इस प्रकार लेबल करें:

पी ₁ = 2, पी ₂ = 3, पी ₃ = 5, पी ₄ = 7, … पी _एन =?

संख्या N पर इस प्रकार विचार करें:

एन = पी ₁ × पी ₂ × पी ₃ × पी ₄ × … × पी _एन +1.

यदि N अभाज्य संख्या है, तो कोई भी छोटी अभाज्य संख्या उसमें समान रूप से विभाजित नहीं होनी चाहिए। हालाँकि, यदि हम p _n तक किसी भी अभाज्य संख्या को उसमें विभाजित करते हैं, तो हमें शेषफल 1 प्राप्त होगा।इसे केवल दो संभावित तरीकों से समझाया जा सकता है:

1. N स्वयं अभाज्य है, जो p _n से बड़ा होना चाहिए।
2. p _n से बड़ा कुछ अभाज्य संख्या है जो N में समान रूप से विभाजित होती है।

किसी भी तरह से, हमने दिखाया है कि p _n से कुछ बड़ा अभाज्य है।

उदाहरण के लिए, एक छोटी अभाज्य संख्या पर गौर करते हैं। मैं देखूँगा कि अगर हम मान लें कि 31 सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है, तो क्या होगा। इस स्थिति में:

एन = 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31 + 1 = 1,805,044,411,171

अभाज्य गुणनखंड कैलकुलेटर का उपयोग करके हम पाते हैं कि 1,805,044,411,171 = 1,061,729 x 1,700,099। इस प्रकार, हमें 31 से बड़ी दो अभाज्य संख्याएँ मिल गई हैं: 1,061,729 और 1,700,099

एक और उदाहरण देते हुए, मान लीजिए 7 सबसे बड़ा अभाज्य है। तब N = 2×3×5×7 + 1 = 211। 211 पर अभाज्य गुणनखंडन परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि 211 अभाज्य है। इस प्रकार, हमें 7 से बड़ा अभाज्य अंक मिला।

चाहे हम किसी भी अभाज्य संख्या को सबसे बड़ा मानें, यह विधि उससे बड़ी संख्या ज्ञात कर लेगी।

तर्क पहेली का उत्तर

14

यहां बताया गया है कि 14 से अधिक बूंदों के बिना उच्चतम सुरक्षित मंजिल की खोज कैसे की जाए।

1. पहला अंडा 14वीं मंज़िल से गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो 1 से 13वीं मंज़िल तक एक-एक करके परीक्षण करें। अगर वह टूट जाए, तो अधिकतम 14 बार गिराना होगा (पहले अंडे से 1 और दूसरे अंडे से 13 बार)। अन्यथा, चरण 2 पर जाएँ।
2. 13 मंज़िल ऊपर जाएँ और पहला अंडा 27वीं मंज़िल से गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो 15वीं से 26वीं मंज़िल तक एक-एक करके गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो अधिकतम 14 बार गिराना होगा (पहले अंडे से 2 और दूसरे अंडे से 12 तक)। अन्यथा, चरण 3 पर जाएँ।
3. 12 मंजिल ऊपर जाएँ और पहला अंडा 39वीं मंजिल से गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो 28वीं से 38वीं मंजिल तक एक-एक करके गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो अधिकतम 14 बार गिराना होगा (पहले अंडे से 3 और दूसरे अंडे से 11 तक)। अन्यथा, चरण 4 पर जाएँ।
4. 11 मंज़िल ऊपर जाएँ और पहला अंडा 50वीं मंज़िल से गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो 40वीं से 49वीं मंज़िल तक एक-एक करके गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो ज़्यादा से ज़्यादा 14 बार गिराना होगा (पहले अंडे से 4 और दूसरे अंडे से 10 तक)। अन्यथा, चरण 5 पर जाएँ।
5. दस मंजिल ऊपर जाएँ और पहला अंडा 60वीं मंजिल से गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो एक-एक करके 51वीं से 59वीं मंजिल तक का परीक्षण करें।अगर यह टूट जाए तो अधिकतम 14 बूँदें गिरेंगी (पहले अंडे के साथ 5 और दूसरे अंडे के साथ 9 तक)। अन्यथा, चरण 6 पर जाएँ।
6. 9 मंज़िल ऊपर जाएँ और पहला अंडा 69वीं मंज़िल से गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो 61वीं से 68वीं मंज़िल तक एक-एक करके परीक्षण करें। अगर वह टूट जाए, तो अधिकतम 14 बार गिराना होगा (पहले अंडे से 6 और दूसरे अंडे से 8 तक)। अन्यथा, चरण 7 पर जाएँ।
7. 8 मंज़िल ऊपर जाएँ और 77वीं मंज़िल से पहला अंडा गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो 70वीं से 76वीं मंज़िल तक एक-एक करके परीक्षण करें। अगर वह टूट जाए, तो अधिकतम 14 बार गिराना होगा (पहले अंडे से 7 और दूसरे अंडे से 7 तक)। अन्यथा, चरण 8 पर जाएँ।
8. 7 मंज़िल ऊपर जाएँ और 84वीं मंज़िल से पहला अंडा गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो 78वीं से 83वीं मंज़िल तक एक-एक करके परीक्षण करें। अगर वह टूट जाए, तो अधिकतम 14 बार गिराना होगा (पहले अंडे से 8 और दूसरे अंडे से 6 तक)। अन्यथा, चरण 9 पर जाएँ।
9. 6 मंज़िल ऊपर जाएँ और पहला अंडा 90वीं मंज़िल से गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो 85वीं से 89वीं मंज़िल तक एक-एक करके गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो अधिकतम 14 बार गिराना होगा (पहले अंडे से 9 और दूसरे अंडे से 5 तक)। अन्यथा, चरण 10 पर जाएँ।
10. पाँच मंज़िल ऊपर जाएँ और पहला अंडा 95वीं मंज़िल से गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो 91वीं से 94वीं मंज़िल तक एक-एक करके गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो अधिकतम 14 बार गिराना होगा (पहले अंडे के साथ 10 और दूसरे के साथ अधिकतम 4)। अन्यथा, चरण 11 पर जाएँ।
11. चार मंजिल ऊपर जाएँ और पहला अंडा 99वीं मंजिल से गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो 96वीं से 98वीं मंजिल तक एक-एक करके गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो अधिकतम 14 अंडे गिराने होंगे (पहले अंडे के साथ 11 और दूसरे अंडे के साथ अधिकतम 3)। अन्यथा, चरण 12 पर जाएँ।
12. तीन मंज़िल ऊपर जाएँ और पहला अंडा 102वीं मंज़िल से गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो एक-एक करके 100वीं और 101वीं मंज़िल पर परीक्षण करें। अगर वह टूट जाए, तो अधिकतम 14 बार गिराना होगा (पहले अंडे से 12 और दूसरे अंडे से 2 तक)। अन्यथा, चरण 13 पर जाएँ।
13. दो मंज़िल ऊपर जाएँ और पहला अंडा 104वीं मंज़िल से गिराएँ। अगर वह टूट जाए, तो मंज़िल 103 पर जाँच करें। अगर वह टूट जाए, तो अधिकतम 14 बूँदें गिरानी होंगी (पहले अंडे के साथ 13 और दूसरे के साथ 1)। अन्यथा, चरण 14 पर जाएँ।
14. एक मंजिल ऊपर जाएँ और 105वीं मंजिल से पहला अंडा गिराएँ। अगर वह टूट जाता है, तो सबसे ऊँची सुरक्षित मंजिल 104 है। अगर वह बच जाता है, तो सबसे ऊँची सुरक्षित मंजिल 105 है।

n-मंजिला इमारत के लिए सामान्य रणनीति पहली बार गिराने के लिए सबसे उपयुक्त मंजिल ढूँढ़ना है। अगर पहला परीक्षण पास हो जाता है, तो आप वहाँ से उतनी ही मंजिलें घटाकर 1 मंजिल ऊपर चढ़ेंगे। अगर दूसरा परीक्षण पास हो जाता है, तो आप पिछली बार की तुलना में एक मंजिल कम ऊपर चढ़ेंगे। इसे दोहराते रहें, परीक्षणों के बीच पिछली वृद्धि से एक मंजिल कम ऊपर चढ़ें। अगर पहले अंडे वाला परीक्षण विफल हो जाता है, तो दूसरे अंडे का उपयोग करके अंतिम दो परीक्षणों के बीच हर मंजिल का व्यवस्थित रूप से परीक्षण करें, उस सीमा में सबसे निचली मंजिल से शुरू करें।

ध्यान दें कि मंजिलों की संख्या में वृद्धि n, n-1, n-2, ... 1 होती है। इन सभी छलांगों का योग n(n+1)/2 है। यहाँ कुंजी n का न्यूनतम संभव पूर्णांक मान ज्ञात करना है जहाँ श्रृंखला का योग भवन में मंजिलों की संख्या के बराबर या उससे अधिक हो।

उदाहरण के लिए, आइए एक 500 मंजिला इमारत (सुरक्षित भूतल को छोड़कर) को देखें, इसका हल निकालें:

एन(एन+1)/2 = 500

एन(एन+1) = 1000

एन ² + एन -1000 = 0

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">पाइथागोरस सूत्र का उपयोग करते हुए:

n = (-1 +/- √4001 )/2 =~ 31.13

हालाँकि, मंजिलों के पूर्णांक मान होते हैं। इसलिए, हम n=32 तक पूर्णांकित करते हैं। इस प्रकार, 500 मंजिलों (या सुरक्षित भूतल को गिनकर 501) के मामले में, हम पहला परीक्षण मंजिल 32 से करते हैं।