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2 का वर्गमूल अपरिमेय है इसका प्रमाण

इस हफ़्ते हम सिद्ध करेंगे कि 2 का वर्गमूल अपरिमेय है। लेकिन, इससे पहले कि हम इस पर आएँ, मैं साप्ताहिक तर्क पहेली प्रस्तुत करता हूँ।

तर्क पहेली

एक अरब शेख अपने दो बेटों को दूर के शहर में ऊँटों की दौड़ लगाने के लिए कहता है ताकि देख सके कि उसकी दौलत का वारिस कौन होगा। जिसका ऊँट धीरे चलता है, वही जीतता है। कई दिनों तक यूँ ही भटकने के बाद, दोनों भाई एक बुद्धिमान व्यक्ति से मार्गदर्शन माँगते हैं। सलाह पाकर, वे ऊँटों पर सवार होकर जितनी जल्दी हो सके शहर की ओर दौड़ पड़ते हैं। बुद्धिमान व्यक्ति ने उनसे क्या कहा?

इसका उत्तर समाचार-पत्र के नीचे दिया गया है।

2 का वर्गमूल अपरिमेय है इसका प्रमाण

हम अपने प्रमाण के लिए विरोधाभास विधि का उपयोग करेंगे। इसका अर्थ है कि मैं यह सिद्ध कर दूँगा कि 2 का वर्गमूल परिमेय है, और विकल्प यह होगा कि यह अपरिमेय है।

एक परिमेय संख्या की परिभाषा यह है कि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। मान लीजिए इन्हें p और q कहते हैं। इसका अर्थ है कि एक अपरिमेय संख्या को इस प्रकार व्यक्त नहीं किया जा सकता। विरोधाभास द्वारा हमारे प्रमाण के लिए, मान लीजिए कि का वर्गमूल p q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ भिन्न को उसके न्यूनतम पदों तक घटाया जाता है। तो हमारे पास है:

√2 = पी क्यू

2 = p 2 q 2 (दोनों पक्षों का वर्ग)

6; फ़ॉन्ट-फ़ैमिली: 'ओपन सैंस', सैंस-सेरिफ़; रंग: #313131 !महत्वपूर्ण; ">2q 2 = p 2

इस बिंदु पर, p सम होना चाहिए क्योंकि यदि किसी संख्या का वर्ग सम है, तो वह संख्या स्वयं भी सम होगी। इसी प्रकार, किसी विषम संख्या का वर्ग भी विषम होगा। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि p=2k, जहाँ k कोई पूर्णांक है।

2q 2 = (2k) 2

2q 2 = 4k 2

क्यू 2 = 2k 2

इसी तर्क से, q भी सम होना चाहिए। इसलिए, p और q दोनों सम हैं। हालाँकि, हमने शुरुआत में यह मान लिया था कि p और q अपने न्यूनतम रूप में हैं। फिर भी, यदि वे दोनों सम हैं, तो दोनों को 2 से विभाजित किया जा सकता है।

इस प्रकार, मूल धारणा कि √2 = p q, गलत साबित हुई है। अतः विकल्प यह भी सत्य होना चाहिए कि √2 अपरिमेय है।

तर्क पहेली समाधान

बुद्धिमान व्यक्ति ने कहा, “ऊँट बदलो और दूर के शहर की ओर दौड़ो।”