नया एनएफएल डेटा

इस हफ़्ते, मैं 2022 सीज़न के लिए कुछ आम NFL दांवों पर अपना विश्लेषण अपडेट कर रहा हूँ। अगर आपको यह विषय पसंद नहीं आया, तो इस हफ़्ते की नई पहेली के लिए अंत तक ज़रूर जाएँ।

मैंने हाल ही में 2015 से 2022 सीज़न के लिए NFL प्राप्त किया है। मेरी वेबसाइट और पुस्तक में पहले केवल 2017 सीज़न ही उपलब्ध था। 1,889 खेलों का विश्लेषण करने के बाद, मैं निम्नलिखित विश्लेषण प्रस्तुत करता हूँ। अपेक्षित मूल्य पर टिप्पणियाँ 10 जीतने के लिए 11 दांव लगाने पर आधारित हैं।

घरेलू बनाम मेहमान टीम बनाम स्प्रेड

अध्ययन अवधि में, घरेलू टीम ने 880 खेलों में स्प्रेड को मात दी, मेहमान टीम ने 953 में, और 56 खेलों में खेल बिल्कुल स्प्रेड पर गिरा। निपटाए गए दांवों में से, घरेलू टीम ने 48.0% और मेहमान टीम ने 52.0% जीते। फ्लैट सट्टेबाजी से घरेलू टीमों को 8.3% और मेहमान टीमों को 0.7% का नुकसान होता।

यह अंतर थोड़ा चौंकाने वाला था। इसलिए, मैंने थोड़ी खोजबीन की। मुझे पता चला कि घरेलू टीम ने औसतन केवल 1.64 अंक ज़्यादा बनाए। मैंने कई बार सुना है कि "सामान्य नियम" यह है कि घरेलू मैदान का फ़ायदा 3 अंकों के बराबर होता है। मेरा अनुमान है कि सट्टा लगाने वाले लोग घरेलू मैदान के फ़ायदे को ज़्यादा महत्व दे रहे हैं, जिससे मूल्य दूसरी तरफ़ बढ़ रहा है।

अंडरडॉग बनाम पसंदीदा बनाम स्प्रेड

जिन आठ सीज़न का अध्ययन किया गया उनमें नॉन-ज़ीरो पॉइंट स्प्रेड के साथ, अंडरडॉग ने 898 बार स्प्रेड को मात दी, फेवरिट ने 879 बार कवर किया और खेल 56 बार स्प्रेड पर ही गिरा। पुश को छोड़कर, अंडरडॉग ने 50.5% बार जीत हासिल की और फेवरिट ने 49.5% बार कवर किया। यानी अंडरडॉग को 3.5% और फेवरिट को 5.6% का नुकसान हुआ।

मैं हमेशा से ही अंडरडॉग्स पर दांव लगाने का समर्थक रहा हूँ। यह बात आज भी सच है, लेकिन 1% का अंतर मेरी उम्मीद से कम है।

ओवर बनाम अंडर कुल के विरुद्ध।

आठ सीज़न में, 963 खेलों में अंडर 963 बार जीता, ओवर 909 बार और लाइन 17 बार बिल्कुल सही रही। अंडर 51.4% दांवों में जीता। अंडर पर अपेक्षित नुकसान 1.8% और ओवर पर 7.3% था।

धन पंक्ति

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">मनी लाइन दांव के लिए मैंने दोनों पक्षों को देखा जब अंडरडॉग ने कम से कम बराबर पैसे का भुगतान किया। इसलिए, -115/-105 जैसी मनी लाइन की गणना नहीं की गई। सभी दांव एक इकाई थे, चाहे अंडरडॉग या पसंदीदा पर दांव लगाया गया हो। जैसा कि कहा गया है, कुल मिलाकर नुकसान अंडरडॉग पर 0.9% और पसंदीदा पर 5.6% था।

19 सितंबर, 2024 पहेली प्रश्न

एक दुष्ट वार्डन 100 कैदियों को इकट्ठा करता है और प्रत्येक को 1 से 100 तक एक विशिष्ट संख्या देता है।

दूसरे कमरे में 100 नंबर वाले डिब्बे हैं। वार्डन 1 से 100 नंबर वाले कागज़ के टुकड़े लेता है और उन्हें बेतरतीब ढंग से हर डिब्बे में एक टुकड़ा रखता है।

अगले दिन, कैदियों को एक-एक करके बक्सों वाले कमरे में जाने दिया जाएगा। प्रत्येक कैदी 50 बक्से खोल सकता है। अगर किसी कैदी को अपना नंबर मिल जाता है (उदाहरण के लिए, कैदी 23 को 23 नंबर वाला बक्सा मिल जाता है), तो वह "सफल" माना जाएगा और अगर उसे 50वें खुलने से पहले वह मिल जाता है, तो वह जल्दी निकल सकता है। निकास द्वार प्रवेश द्वार से अलग एक अलग दरवाजे से होता है।

यदि सभी 100 कैदी सफल हो जाते हैं, तो उन्हें रिहा कर दिया जाएगा। हालाँकि, यदि एक या अधिक असफल होते हैं, तो उन्हें तुरंत मौत की सज़ा दी जाएगी।

कैदियों को रणनीति बनाने के लिए एक दिन साथ रहने की अनुमति है। एक बार जब पहला कैदी बॉक्स रूम में प्रवेश कर जाता है, तो आगे कोई बातचीत नहीं होती। बातचीत के उदाहरणों में कागज़ों को इधर-उधर करना और ढक्कन खुले छोड़ना शामिल है, लेकिन यह इन्हीं तक सीमित नहीं है। अगर किसी भी तरह की बातचीत का पता चलता है, तो सभी कैदियों को तुरंत और दर्दनाक तरीके से मौत की सज़ा दी जाएगी।

कौन सी रणनीति उनके मुक्त होने की संभावना को अधिकतम करेगी और वह संभावना क्या है?

19 सितंबर, 2024 पहेली का उत्तर

मैं मानता हूँ कि मैंने यह पहेली विज़ार्ड कॉलम #369 में पूछी थी। हालाँकि, मैं अपने उत्तर से संतुष्ट नहीं हूँ। मैं यहाँ एक सरल व्याख्या देने का प्रयास करूँगा।

सबसे पहले, यह समझें कि 100 बॉक्स में कुछ संख्या में बंद लूप होंगे। बंद लूप क्या है? यह बॉक्सों की एक श्रृंखला है जो मूल बॉक्स पर वापस जाती है। उदाहरण के लिए, यदि बॉक्स 17, बॉक्स 79 की ओर जाता है, बॉक्स 79, बॉक्स 5 की ओर जाता है, और बॉक्स 5, बॉक्स 17 की ओर जाता है, तो ये तीन बॉक्स एक बंद लूप बनाते हैं।

हर कैदी की रणनीति अपने नंबर के अनुरूप बॉक्स खोलने की होगी। वह अंदर लिखे कागज़ को पढ़ेगा और फिर उस कागज़ पर रखे बॉक्स को खोलेगा। अगर 50 बार खोलने की सीमा न होती, तो कैदी अंततः अपने नंबर वाला बॉक्स खोल लेता। ऐसा इसलिए क्योंकि अपने नंबर वाला बॉक्स चुनकर, वह कम से कम उस बंद लूप में तो होता ही है जिसमें उसका नंबर होता है।

हालाँकि, यह सफलता की कोई गारंटी नहीं है। इस बात की पूरी संभावना है कि 51 या उससे ज़्यादा आकार का एक बंद लूप होगा। अगर ऐसा है, तो उस बंद लूप में किसी भी कैदी के पास अपना नंबर ढूँढ़ने के लिए पर्याप्त जगह नहीं होगी।

इसके बाद, आइए उन तरीकों की संख्या ज्ञात करें जिनसे 100 आकार का एक बंद लूप होता है। इस पहले बॉक्स के लिए, अंदर 99 संभावित संख्याएं हैं जो बॉक्स नंबर से मेल नहीं खाती हैं, जो 1 के बंद लूप की ओर ले जाएगा। दूसरे बॉक्स के लिए, 98 संख्याएं हैं जो पहले या दूसरे बॉक्स की संख्या से मेल नहीं खाती हैं, जो 2 के बंद लूप की ओर ले जाएगा। तीसरे बॉक्स के लिए, 97 संख्याएं हैं जो पहले तीन बॉक्स की संख्या से मेल नहीं खाती हैं, जो 3 के बंद लूप की ओर ले जाएगा। इस तर्क को विस्तारित करते हुए, 99 * 98 * 97 * … * 1 = 99! 100 के बंद लूप के तरीके हैं। 100 पेपरों को ऑर्डर करने के 100! तरीके हैं। 100 के बंद लूप की संभावना सभी संयोजनों की संख्या से विभाजित सफल संयोजनों की संख्या है।

अब, आइए 99 का एक बंद लूप बनाने के तरीकों की संख्या ज्ञात करें। दूसरे बॉक्स के लिए 100 संभावनाएँ हैं जो स्वयं की ओर जाता है और 1 का एक बंद लूप बनाता है। तो, अन्य 99 बॉक्सों के लिए 99 का एक बंद लूप बनाने के कितने क्रम हैं? उपरोक्त तर्क के अनुसार, 100 बॉक्सों के लिए, 99 के एक बंद लूप के लिए क्रमचयों की संख्या 98! है। 99 के एक बंद लूप और 1 के एक बंद लूप के लिए संयोजनों की संख्या 100*98! है। इसे 100! से भाग देने पर, जो कि संयोजनों की कुल संख्या है, हमें 1/99 प्राप्त होता है।

इसके बाद, आइए 98 के बंद लूप के तरीकों की संख्या ज्ञात करें। क्रम के संबंध में, 100 में से दो बॉक्स चुनने की permut(100,2)=100!/98! = 9900 संभावनाएं हैं जो 98 के बंद लूप का हिस्सा नहीं हैं। फिर, 98 के बंद लूप को बनाने के लिए अन्य 98 बॉक्स के लिए कितने क्रम हैं? 99 और 100 बॉक्स के लिए उपरोक्त तर्क से, 98 के बंद लूप के लिए क्रमपरिवर्तनों की संख्या 97! है। एक बंद लूप 98 और अन्य 2 को क्रमित करने के सभी तरीकों के लिए क्रमपरिवर्तनों की संख्या 100*99*97! है। इस प्रकार 98 के बंद लूप की संभावना 100*99*97!/100! = 1/98 है।

इस तर्क को 51 के बंद लूप तक बढ़ाते हुए, 51 से 99 के बंद लूप की प्रायिकता 1/51 + 1/52 + 1/53 + … + 1/100 = ~ 68.82% है। विकल्प सफलता है, यानी 51 या उससे अधिक के कोई बंद लूप नहीं हैं, यानी हर कैदी को अपना नंबर मिल जाता है। यह प्रायिकता 31.18% है।

यूलर स्थिरांक (यूलर संख्या से भ्रमित न हों) का उपयोग करके एक त्वरित अनुमान प्राप्त करने का एक तरीका है। मान लीजिए c = यूलर स्थिरांक = ~ 0.577216। संबंधित सूत्र कहता है:

6; फ़ॉन्ट-फ़ैमिली: 'ओपन सैंस', सैंस-सेरिफ़; रंग: #313131 !महत्वपूर्ण; ">1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n =~ ln(n) + c.

इस समस्या के मामले में, 51 से 100 के बंद लूप की प्रायिकता 1/51 + 1/52 + … + 1/100 थी। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/100) – (1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/50)

उपरोक्त सन्निकटन सूत्र का उपयोग करते हुए, यह लगभग है...

(ln(100) + c) – (ln(50) + c) = ln(100) – ln(50) = 4.605170 – 3.912023 = 0.693417. वैकल्पिक रूप से, सफलता की प्रायिकता 0.306853 = 30.69% है। याद कीजिए कि वास्तविक प्रायिकता 31.18% थी। इसलिए, सन्निकटन 0.50% गलत है।

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26 सितंबर, 2024 पहेली प्रश्न

आपके पास एक टॉर्च और आठ बैटरियाँ हैं। इस बैटरी को चलाने के लिए दो अच्छी बैटरियों की ज़रूरत होती है। आठ में से चार बैटरियाँ काम करती हैं और चार नहीं। हमेशा की तरह, आप दिखने में अच्छी और खराब बैटरियों में फर्क नहीं कर सकते। आप टॉर्च को ज़्यादा से ज़्यादा सात बार कैसे चालू कर सकते हैं?