पहले जाओ पासा

बोर्ड गेम खेलते समय, यह तय करने के लिए कि कौन पहले जाएगा, पासे उछालना आम बात है। उदाहरण के लिए, यह प्रस्तावित किया जा सकता है कि सबसे ज़्यादा पासा फेंकने वाला पहले आए और फिर मेज के चारों ओर दक्षिणावर्त घूमे। हालाँकि, इसमें दो समस्याएँ हैं। पहली, बराबरी हो सकती है, ऐसी स्थिति में पासे को दोबारा उछालने में समय बर्बाद होगा। दूसरी, अन्य स्थितियाँ यादृच्छिक नहीं होतीं।

मेरा लक्ष्य पासों का एक ऐसा सेट बनाना था जो 2 से 4+ खिलाड़ियों के क्रम को यादृच्छिक रूप से व्यवस्थित कर सके और हर क्रम समान रूप से संभावित हो। मैं पाँच प्लेटोनिक सॉलिड का इस्तेमाल करना पसंद करता था, लेकिन उसमें लचीलापन भी था। बराबरी की सख़्त मनाही थी। बस एक ही बार फेंकना था!

दो खिलाड़ियों के साथ यह बहुत आसान है। अगर सबसे कम संख्या पहले आती है और सिक्के चलन में हैं, तो सिक्कों पर आसानी से निम्नलिखित लेबल लगाए जा सकते हैं:

सिक्का 1: 1,4

सिक्का 2: 2,3

यह सब 1 पर निर्भर करता है, चाहे वह सिक्के 2 पर लगातार दो संख्याओं से ऊपर हो या नीचे। इसे प्लेटोनिक ठोसों के नियम तक विस्तारित करने के लिए, हम बस फलकों की नकल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, घनों के साथ हम यह प्राप्त कर सकते हैं:

घन 1: 1,1,1,3,3,3

घन 2: 2,2,2,2,2,2

यदि हमें सभी अलग-अलग संख्याएं चाहिए, जो मुझे पसंद है, तो हम ऐसा कर सकते हैं:

6; फ़ॉन्ट-फ़ैमिली: 'ओपन सैंस', सैंस-सेरिफ़; रंग: #313131 !महत्वपूर्ण; ">घन 1: 1,2,3,10,11,12

घन 2: 4,5,6,7,8,9

तीन खिलाड़ियों के साथ यह मुश्किल होने लगता है। मैं मानता हूँ कि मैंने एक्सेल में बीजगणित और परीक्षण-त्रुटि के संयोजन का उपयोग करने की कोशिश की, लेकिन असफल रहा। इसलिए, मैंने थोड़ी सी धोखाधड़ी का सहारा लिया और एक सिमुलेशन लिखा जिसमें तीन पासों के किनारों पर 1 से 18 तक यादृच्छिक रूप से तब तक संख्याएँ लिखीं जब तक कि कोई हल न मिल जाए। प्रोग्राम ने कुछ ही मिनटों में एक हल इस प्रकार ढूंढ लिया:

घन 1: 3,4,9,10,13,18

घन 2: 2,5,7,12,15,16

घन 3: 1,6,8,11,14,17

तीन पासों को 6 ³ = 216 तरीकों से फेंका जा सकता है। तीनों खिलाड़ियों के लिए छह संभावित क्रम हैं। आप मुझ पर विश्वास कर सकते हैं कि 216 संभावित परिणामों में से, प्रत्येक क्रम 216/6 = 36 बार आया।

चूँकि मैंने इस कार्य के लिए एक सिम्युलेटर पहले ही लिख लिया था, इसलिए मैंने इसे चार खिलाड़ियों वाले मामले में भी लागू किया। यह कई घंटों तक चला, खरबों संयोजनों की कोशिश की, लेकिन कुछ भी काम नहीं आया। इसलिए, मैं समस्या को गणितीय रूप से हल करने के लिए वापस आ गया। मेरा विचार था कि तीन पासों वाले समाधान को निम्नलिखित के साथ विस्तारित किया जाए:

घन 1	4	5	10	15	18	23
घन 2	3	6	8	17	20	21
घन 3	2	7	9	16	19	22
घन 4	1	11	12	13	14	24

मेरा मानना था कि जिस खिलाड़ी के पास पासा 4 हो, उसके पहले या आखिरी पासे पर आने की संभावना ¼ होनी चाहिए। आइए पहले पासे पर आने की संभावना पर विचार करें। अगर उसके पास 1 आता है, तो वह बाकी तीन पासों की परवाह किए बिना पहले पासा ही जाएगा, क्योंकि 1 सबसे छोटी संख्या है। यह संभावना स्पष्ट रूप से 1/6 है। अगर पासा 4, 11 और 14 के बीच का होता, तो बाकी तीन खिलाड़ियों को पासा 4 के सबसे छोटे पासे पर आने के लिए 15 या उससे ज़्यादा पासे लाने होंगे। उनमें से प्रत्येक के पास 14 से बड़ी तीन संख्याएँ थीं। इसलिए, पासा 4 के सबसे छोटे पासे पर आने की संभावना (1/4) + (4/6)*(3/6)^3 = 1/6 थी। इससे मुझे पता चला कि हर खिलाड़ी के पहले पासे पर आने की संभावना ¼ है।

हालाँकि, यदि घन 4 सबसे कम था, तो अन्य तीन खिलाड़ियों का क्रम समान रूप से संभावित नहीं था। उदाहरण के लिए, यदि घन 1 से 3 तक सभी 15 या उससे अधिक थे, तो घन 1 के सबसे कम होने की संभावना 1/3 होनी चाहिए, लेकिन वास्तव में प्रायिकता (घन 1 = 15) + प्रायिकता (घन 1 = 18) * प्रायिकता (घन 2 = 20 या 21) * प्रायिकता (घन 3 = 19 या 22) = 1/3 + (1/3) * (2/3) * (2/3) = 13/27 है।

इसलिए, मेरे मन में यह विचार आया कि घन 1 से 3 को डोडेकाहेड्रॉन (12-पक्षीय पासा) में बदल दिया जाए, तथा अन्य छह पर मूल छह भुजाओं की नकल कर दी जाए, लेकिन उनमें 24 जोड़ दिए जाएं, जैसा कि निम्नलिखित है:

घन 1	5	6	11	12	15	20	31	32	37	38	41	46
घन 2	4	7	9	14	17	18	30	33	35	40	43	44
घन 3	3	8	10	13	16	19	29	34	36	39	42	45

घन 4 के लिए, मैंने दो सबसे छोटी और दो सबसे बड़ी संख्याएँ रखीं: 1, 2, 47, और 48। फिर 20 और 29 के बीच के अंतराल में आठ संख्याएँ रखीं। इससे घन 4 के पहले या आखिरी होने की संभावना (2/12) + (8/12)*(6/12)^3 = ¼ पर बनी रहेगी। अगर घन 4 पर 10 से 39 आता है, तो यह तीन पासों वाले हल पर वापस जाएगा, जो कारगर साबित हुआ था। इस प्रकार, चार पासों वाला हल है:

मरो 1	5	6	11	12	15	20	31	32	37	38	41	46
मरो 2	4	7	9	14	17	18	30	33	35	40	43	44
मरो 3	3	8	10	13	16	19	29	34	36	39	42	45
मरो 4	1	2	21	22	23	24	25	26	27	28	47	48

आपको मुझ पर विश्वास करना होगा कि चार पासों को घुमाने के लिए 12^4 = 1,296 संभावित तरीके और 4!=24 संभावित क्रम में से, प्रत्येक क्रम में 1296/24 = 54 संयोजन हैं।

मैं यहीं नहीं रुका, बल्कि पाँच खिलाड़ियों वाले मामले पर चला गया। चार खिलाड़ियों वाले मामले में भी इसी तर्क का इस्तेमाल करते हुए, मैं बस 840-पक्षीय पासों का ही इस्तेमाल कर सका। इस न्यूज़लेटर में संख्याओं की लंबी श्रृंखला के साथ पाँच पृष्ठ जोड़ने के बजाय, मैंने विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के अपने फ़ोरम में "गो फ़र्स्ट डाइस" थ्रेड में पासों के सटीक फलक प्रकाशित किए। पाँच 840-पक्षीय पासों को फेंकने के 3,485,099,520,000 तरीके हैं, इसलिए मैंने यादृच्छिक सिमुलेशन द्वारा परिणामों की जाँच की और संतुष्ट हुआ कि पासों ने वही हासिल किया जो उन्हें करना चाहिए था।

जिस वीडियो ने मुझे इस उलझन में डाला, वह नंबरफाइल (मेरे पसंदीदा चैनलों में से एक!) पर प्रसारित "गो फर्स्ट डाइस" है। मुझे मानना होगा कि जेम्स ग्राइम चार पासों वाले मामले तक उसी तरह पहुँचते हैं जैसे मैं पहुँचा था। हालाँकि, मुझे उम्मीद है कि मैं इस चर्चा में कुछ न कुछ जोड़ पाऊँगा।

इस न्यूज़लेटर में दिखाई देने वाली सभी छवियां कोपायलट का उपयोग करके बनाई गई थीं।