मित्रता विरोधाभास (भाग 2)

पिछले सप्ताह मैंने मैत्री विरोधाभास का परिचय दिया था और एक यादृच्छिक सिमुलेशन से प्राप्त साक्ष्य के आधार पर इसकी मात्रा निर्धारित की थी कि यह वास्तव में सत्य है।

याद दिला दूँ कि दोस्ती का विरोधाभास कहता है कि औसतन, हमारे दोस्तों की संख्या हमसे बराबर या उससे ज़्यादा होती है। यह सच है! इसमें कोई विरोधाभास नहीं है क्योंकि इसे गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है। हालाँकि, मैं मानता हूँ कि यह सामान्य ज्ञान के विरुद्ध लगता है।

केवल उस स्थिति में जब सभी के दोस्तों की संख्या समान हो, प्रत्येक व्यक्ति के दोस्तों की औसत संख्या उनके दोस्तों के दोस्तों की औसत संख्या के बराबर होगी। अन्यथा, हम इसे किसी भी तरह से मापें, ऐसा लगेगा कि हमारे दोस्तों के दोस्त हमसे ज़्यादा हैं।

आइये तीन लोगों का एक सरल उदाहरण देखें।

ऐलिस चार्ली की दोस्त है।
बॉब चार्ली का दोस्त है।
चार्ली ऐलिस और बॉब का दोस्त है।

निम्नलिखित तालिका प्रति व्यक्ति मित्रों की संख्या और उनके मित्रों के मित्रों की औसत संख्या दर्शाती है। उदाहरण के लिए, ऐलिस का एक मित्र (चार्ली) है। बॉब का भी एक मित्र (चार्ली) है। चार्ली के दो मित्र हैं (ऐलिस और बॉब)। नीचे की पंक्ति में मित्रों की औसत संख्या 1.33 दर्शाई गई है, जो मित्रों के औसत मित्रों के औसत 1.67 से कम है।

व्यक्ति	दोस्त	दोस्तों के औसत दोस्त
ऐलिस	1	2
बीओबी	1	2
चार्ली	2	1
औसत	1.33	1.67

फेसबुक पर एक व्यक्ति के औसतन 249 दोस्त होते हैं। वहीं, उसके दोस्तों के दोस्तों की औसत संख्या 359 है (स्रोत: ज़ैक स्टार)

हालाँकि मैं अब भी इस आम धारणा पर कायम हूँ कि हमारे दोस्त हमसे ज़्यादा लोकप्रिय हैं, फिर भी, शायद तालिका के निचले दाएँ कोने में दिया गया 1.67 का आँकड़ा वह नहीं है जिस पर हमें ध्यान देना चाहिए। आँकड़ों की दृष्टि से, औसत का औसत निकालना सही नहीं है।

क्या होगा अगर हम गिनें कि हर दोस्त के कितने दोस्त हैं और उसका औसत निकालें? इस स्थिति में, ऐलिस कहेगी कि उसके दोस्त चार्ली के दो दोस्त हैं, जिससे चार्ली को दो अंक मिलेंगे। बॉब भी यही कहेगा, जिससे चार्ली को दो अंक और मिलेंगे। चार्ली कहेगा कि ऐलिस का एक दोस्त है और बॉब का एक दोस्त है। अंकों को जोड़ने पर, चार्ली के चार, ऐलिस के एक और बॉब के एक दोस्त हैं। यानी कुल 6 अंक। दो दोस्ती के दो पक्षों के बीच, कुल 4 दोस्त हैं। प्रति मित्र औसत अंक 6/4 = 1.5 है। यह अभी भी प्रति व्यक्ति औसत मित्रों की संख्या 1.33 से ज़्यादा है।

ऐसा आम तौर पर क्यों सच है? इसे समझाने का एक तरीका यह है कि ज़्यादातर लोगों को सामाजिक रूप से अजीबोगरीब लोगों की तुलना में करिश्माई लोग दोस्ती के लिए ज़्यादा आकर्षित करते हैं। ज़्यादातर लोगों के लिए यह उम्मीद की जाती है कि वे ज़्यादातर सामाजिक रूप से चंचल लोगों को जानते हैं, और ज़्यादा अकेले लोगों को नहीं।

दूसरे शब्दों में, कुछ करिश्माई लोग हमारे दोस्तों के औसत दोस्तों की संख्या को बढ़ा-चढ़ाकर बता रहे हैं। हम इन लोगों के दोस्त बन सकते हैं और इससे हमारे दोस्तों के औसत दोस्तों की संख्या बढ़ जाती है, जिससे हम सामाजिक रूप से असहज और उपेक्षित महसूस करते हैं।

इस विषय पर बहुत सारे गणितीय शोधपत्र हैं, लेकिन मुझे लगता है कि इसका सार ऊपर दी गई सरल व्याख्या पर निर्भर करता है।