फिबोनाची अनुक्रम भाग 3

इस सप्ताह हम फिबोनाची अनुक्रम पर तीन भागों की श्रृंखला शुरू कर रहे हैं, जो गणित और प्रकृति दोनों में व्यापक रूप से दिखाई देता है। हालाँकि, इससे पहले, मैं हमेशा की तरह साप्ताहिक तर्क पहेली प्रस्तुत करता हूँ।

तर्क पहेली

नीचे दी गई छवि में, कलम को कागज से उठाए बिना, चार रेखाएँ खींचें जो सभी नौ बिंदुओं से होकर गुजरती हों।

फिबोनाची अनुक्रम भाग 3

इस सप्ताह हम फिबोनाची अनुक्रम का अध्ययन जारी रखेंगे। आगे बढ़ने से पहले, आइए इसे परिभाषित करें:

F _n = फिबोनाची अनुक्रम में n ^वीं संख्या।

इस सप्ताह मैं आपको एक ऐसा सूत्र दिखाऊंगा जिससे फिबोनाची अनुक्रम में किसी भी पद को बिना किसी पूर्व पद को परिभाषित किए सीधे प्राप्त किया जा सकता है।

पिछले सप्ताह के न्यूज़लेटर में, मैंने दिखाया था कि कैसे श्रृंखला में एक फिबोनाची संख्या का पिछली संख्या से अनुपात, n के अनंत की ओर बढ़ने पर Φ के करीब पहुंचता है। Φ नीचे दिए गए समीकरण के दो हलों में से एक है और इसे स्वर्ण अनुपात के रूप में जाना जाता है।

Φ ² – Φ – 1 = 0

पुनर्व्यवस्थित करने के लिए:

(1) Φ ² = Φ + 1

इसके बाद, समीकरण (1) के दोनों पक्षों को Φ से गुणा करें:

Φ ³ = Φ ² + Φ

6;font-family: 'Open Sans',sans-serif;color: #313131!important; margin-top: 20px;">= Φ + 1 + Φ (ऊपर समीकरण (1) में Φ ² का मान रखने पर)

= 2 Φ + 1

इसके बाद, समीकरण (1) के दोनों पक्षों को Φ ² से गुणा करें:

Φ ⁴ = Φ ³ + Φ ²

= (2 Φ + 1) + (Φ + 1) (ऊपर दिए गए Φ ³ + Φ ² के मानों को रखने पर)

=3 Φ + 2

इसके बाद, समीकरण (1) के दोनों पक्षों को Φ ³ से गुणा करें:

Φ ⁵ = Φ ⁴ + Φ ³

= (3 Φ + 2) + (2Φ + 1) (ऊपर दिए गए Φ ³ + Φ ² के मानों को रखने पर)

=5 Φ + 3

इसके बाद, समीकरण (1) के दोनों पक्षों को Φ ⁴ से गुणा करें:

Φ ⁶ = Φ ⁵ + Φ ⁴

= (5 Φ + 3) + (3Φ + 2) (ऊपर दिए गए Φ ³ + Φ ² के मानों को रखने पर)

=8 Φ + 5

इसके बाद, समीकरण (1) के दोनों पक्षों को Φ ⁵ से गुणा करें:

Φ ⁷ = Φ ⁶ + Φ ⁵

= (8 Φ + 5) + (5Φ + 3) (ऊपर दिए गए Φ ³ + Φ ² के मानों को रखने पर)

=13 Φ + 8

क्या आपको कोई पैटर्न दिखाई दे रहा है?

(2) Φ ⁿ = F _n Φ + F _n-1

याद कीजिए कि समीकरण Φ ² – Φ – 1 = 0 के दो हल हैं। द्विघात समीकरण का उपयोग करते हुए, आइए दो हलों को x और y के रूप में परिभाषित करें।

6;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली: 'ओपन सैंस',सैंस-सेरिफ़;रंग: #313131!महत्वपूर्ण; मार्जिन-टॉप: 20px;"> x = 1 + √5 2

y = 1 - √5 2

इन समाधानों को समीकरण (2) में रखने पर:

(3) x ⁿ = F _n x + F _n-1

(4) y ⁿ = F _n y + F _n-1-

समीकरण (3) से समीकरण (4) को घटाने पर:

x ⁿ – y ⁿ = F _n x - F _n y

x ⁿ – y ⁿ = F _n (xy)

F _n = (x ⁿ – y ⁿ ) / (xy)

चलिए, ऊपर बताए गए अनुसार x और y पर वापस आते हैं।

मुझे पता है कि इस तरह से फिबोनाची संख्या की गणना करना वास्तव में बहुत जटिल होगा। फिर भी, मुझे यह जानकर आश्चर्य होता है कि किसी भी फिबोनाची संख्या का एक शुद्ध रूप मौजूद होता है।

इस न्यूज़लेटर में दिखाए गए तरीके के लिए मैं ब्लैकपेनरेडपेन यूट्यूब चैनल को श्रेय देना चाहूंगा। यह तरीका "द्विघात समीकरण से फिबोनाची अनुक्रम का nवां पद सूत्र" नामक वीडियो में पाया जा सकता है।

तर्क पहेली का उत्तर